Tampilkan postingan dengan label logika matematika. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label logika matematika. Tampilkan semua postingan

Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "pernyataan majemuk" dan jenis-jenisnya, pada artikel ini kita akan membahas materi Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen yang merupakan bagian dari submateri pada "logika matematika". Ekuivalen suatu pernyataan berarti kita mencari bentuk lain dimana nilai kebenarannya setara atau sama dengan pernyataan semula. Biasanya ada dua pernyataan majemuk yang sering ditanyakan bentuk ekuvalensinya yaitu implikasi dan biimplikasi. Untuk memudahkan mempelajari materi Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen ini, kita harus menguasai materi "pernyataan majemuk", "nilai kebenaran dan ingkaran pernyataan", dan "nilai kebenearan pernyataan majemuk" serta materi "konvers, invers, dan kontraposisi". Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, kita juga harus mengetahui cara membuat tabel kebenarannya. Berikut langsung saja kita bahas materi Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen yang akan kita mulai dari pengertian dan simbolnya, lalu contoh-contoh soal yang berkaitan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen.

Pengertian Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
       Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika (berekivalensi logis) jika memiliki nilai kebenaran yang sama. Jika pernyataan majemuk X dan Y ekuivalen, ditulis $ X \equiv Y $, maka nilai kebenaran pernyataan majemuk X dan Y sama.

$ \clubsuit \, $ Pernyataan majemuk yang ekuivalen :
*). Bentuk implikasi $ p \Rightarrow q $ ekuivalen dengan bentuk :
    (i). disjungsi : $ \sim p \vee q $
    (ii). kontraposisi : $ \sim q \Rightarrow \sim p $
    Dapat kita tulis :
    $ p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q \equiv \sim q \Rightarrow \sim p $.
*). Bentuk biimplikasi $ p \Leftrightarrow q $ ekuvalen dengan $ (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $.
    ditulis : $ p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $
          atau
    ditulis : $ p \Leftrightarrow q \equiv (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p) $

Berikut tabel kebenaran bentuk ekuivalensi dari pernyataan majemuk di atas :
*). Bentuk : $ p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q $
Tabel kebenarannya :
Nampak bahwa nilai kebenaran $ p \Rightarrow q $ sama dengan nilai kebenaran $ \sim p \vee q $.

*). Bentuk : $ p \Rightarrow q \equiv \sim q \Rightarrow \sim p $
Tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & \sim q & p \Rightarrow q & \sim q \Rightarrow \sim p \\ \hline B & B & S & S & B & B \\ \hline B & S & S & B & S & S \\ \hline S & B & B & S & B & B \\ \hline S & S & B & B & B & B \\ \hline \end{array} $
Nampak bahwa nilai kebenaran $ p \Rightarrow q $ sama dengan nilai kebenaran $ \sim q \Rightarrow \sim p $.

*). Bentuk : $ p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $
Tabel kebenarannya :
Nampak bahwa nilai kebenaran $ p \Leftrightarrow q $ sama dengan nilai kebenaran $ (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $.

*). Selain bentuk pernyataan majemuk yang ekuivalen di atas, ada bentuk ekuivalen yang lain yaitu :
-). Hukum Komutatif pada disjungsi dan konjungsi :
       $ p \vee q \equiv q \vee p $
       $ p \wedge q \equiv q \wedge p $
-). Hukum Asosiatif pada disjungsi dan konjungsi :
       $ (p \vee q)\vee r \equiv p \vee (q \vee r) $
       $ (p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge (q \wedge r ) $
-). Hukum Distirbutif pada disjungsi dan konjungsi :
       $ (p \vee q) \wedge r \equiv (p \wedge r) \vee (q \wedge r) $
       $ (p \wedge q) \vee r \equiv (p \vee r) \wedge (q \vee r) $
       $ p \vee ( q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r) $
       $ p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r) $

Catatan :
*). Jika kita diminta untuk menunjukkan apakah dua pernyataan majemuk ekuivalen atau tidak, cukup menggunkan tabel kebenaran,
Jika kedua pernyataan majemuk memiliki nilai kebenaran yang sama, maka ekuivalen.
Jika kedua pernyataan majemuk memiliki nilai kebenaran yang tidak sama, maka tidak ekuivalen.

*). Trik mudah mengingat ekuivalensi implikasi dan disjungsi :
"Berikan negasi pada pernyataan sebelah kiri".
Misalkan :
$ p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q $
$ \sim p \Rightarrow q \equiv \sim (\sim p) \vee q \equiv p \vee q $
$ p \vee q \equiv \sim p \Rightarrow q $
$ \sim p \vee q \equiv \sim (\sim p) \Rightarrow q \equiv p \Rightarrow q $

*). Untuk memudahkan dalam menentukan kesetaraan atau ekuivalensi pernyataan majemuk, kita ubah dulu menjadi notasi-notasi dengan huruf kecil.

Contoh soal Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen :

1). Pernyataan majemuk :
"Jika hari ini hujan, maka jalan basah"
ekuivalen (setara) dengan pernyataan?
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$ p \Rightarrow q $ : Jika $\underbrace{\text{hari ini hujan}}_{p}$, maka $\underbrace{\text{jalan basah}}_{q} $
Artinya :
$ p $ mewakili hari ini hujan
$ q $ mewakili jalan basah.
*). Berdasarkan ekuivalensi, pernyataan $ p \Rightarrow q $ ekuivalen dengan $ \sim p \vee q $ dan $ \sim q \Rightarrow \sim p $ . Sehingga dalam kalimat :
$ \sim p \vee q $ : "hari ini tidak hujan atau jalan basah"
$ \sim q \Rightarrow \sim p $ : "Jika jalan tidak basah, maka hari ini tidak hujan".
Jadi, pernyataan "Jika hari ini hujan, maka jalan basah" setara atau ekuivalen dengan pernyataan "hari ini tidak hujan atau jalan basah" atau setara dengan "Jika jalan tidak basah, maka hari ini tidak hujan".

2). Pernyataan majemuk :
"Iwan lulus UN jika dan hanya jika Iwan Rajin belajar"
ekuivalen (setara) dengan pernyataan?
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$ p \Leftrightarrow q $ : $\underbrace{\text{Iwan lulus UN}}_{p}$ jika dan hanya jika $\underbrace{\text{Iwan Rajin belajar}}_{q} $
Artinya :
$ p $ mewakili Iwan lulus UN
$ q $ mewakili Iwan Rajin belajar.
*). Berdasarkan ekuivalensi, pernyataan $ p \Leftrightarrow q $ ekuivalen dengan $ (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $ atau $ (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p) $ . Sehingga dalam kalimat :
$(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $ : "Jika Iwan lulus UN maka ia rajin belajar dan jika Iwan rajin belajar maka ia lulus UN"
$ (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p) $ : "Iwan tidak lulus UN atau rajin belajar dan Iwan tidak rajin belajar atau lulus UN".
Jadi, pernyataan "Iwan lulus UN jika dan hanya jika Iwan Rajin belajar" setara atau ekuivalen dengan pernyataan "Jika Iwan lulus UN maka ia rajin belajar dan jika Iwan rajin belajar maka ia lulus UN" atau setara dengan "Iwan tidak lulus UN atau rajin belajar dan Iwan tidak rajin belajar atau lulus UN".

3). Pernyataan majemuk :
"Wati gadis cerdas atau ia menjadi guru"
ekuivalen (setara) dengan pernyataan?
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$ p \vee q $ : $\underbrace{\text{Wati gadis cerdas}}_{p}$, atau $\underbrace{\text{ia menjadi guru}}_{q} $
Artinya :
$ p $ mewakili Wati gadis cerdas
$ q $ mewakili ia menjadi guru.
*). Berdasarkan ekuivalensi, pernyataan $ p \vee q $ ekuivalen dengan $ \sim p \Rightarrow q $ dan $ \sim q \Rightarrow p $ . Sehingga dalam kalimat :
$ \sim p \Rightarrow q $ : "Jika Wati bukan gadis cerdas, maka ia menjadi guru"
$ \sim q \Rightarrow p $ : "Jika Wati tidak menjadi guru, maka ia gadis cerdas".
Jadi, pernyataan "Wati gadis cerdas atau ia menjadi guru" setara atau ekuivalen dengan pernyataan "Jika Wati bukan gadis cerdas, maka ia menjadi guru" atau setara dengan "Jika Wati tidak menjadi guru, maka ia gadis cerdas".

       Demikian pembahasan materi Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "negasi dari pernyataan majemuk".

Negasi atau Ingkaran Pernyataan Majemuk

         Blog Koma - Setelah mempelajari "pernyataan majemuk yang ekuivalen", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Negasi atau Ingkaran Pernyataan Majemuk yang merupakan submateri dari "logika matematika". "pernyataan majemuk" terdiri dari disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Kita akan mencari semua bentuk Negasi atau Ingkaran Pernyataan Majemuk ini. Untuk memudahkan mempelajari materi Negasi atau Ingkaran Pernyataan Majemuk ini, sebaiknya kita menguasai materi sebelumnya yaitu "negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan", "pernyataan berkuantor dan ingkarannya", "pernyataan majemuk", dan "ekuivalensi pernyatan majemuk". Kebanyakan soal-soal yang ada biasanya dalam bentuk kalimat, sehingga kita harus mengubahnya dulu dengan memisalkan dengan huruf-huruf kecil yang mewakili pernyataan-pernyataan tunggal. Berikut materi Negasi atau Ingkaran Pernyataan Majemuk secara detail dan diikuti dengan contohnya.



Negasi atau Ingkaran Pernyataan Majemuk
       Negasi atau ingkaran dari pernyataan majemuk untuk disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi :
$ \sim ( p \wedge q) \equiv \sim p \, \vee \sim q $
$ \sim ( p \vee q) \equiv \sim p \, \wedge \sim q $
$ \sim ( p \Rightarrow q) \equiv p \, \wedge \sim q $
$ \sim ( p \Leftrightarrow q) \equiv p \Leftrightarrow \sim q \, $ atau
$ \sim ( p \Leftrightarrow q) \equiv \sim p \Leftrightarrow q $

Contoh soal Negasi atau Ingkaran Pernyataan Majemuk :

1). Tentukan negasi atau ingkaran pernyataan majemuk berikut ini :
a). Hari ini hujan atau cuaca cerah.
b). Budi lulus SMA dan melanjutkan kuliah kedokteran.
c). Jika Iwan ingin menjadi hakim, maka ia harus kuliah jurusan hukum.
d). Wati juara kelas jika dan hanya jika wati cerdas.
Penyelesaian :
a). Hari ini hujan atau cuaca cerah.
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$\underbrace{\text{hari ini hujan}}_{p} \, \underbrace{\text{atau}}_{\vee} \, \underbrace{\text{cuaca cerah}}_{q} \, \equiv p \vee q $ .
Artinya :
$ p $ mewakili hari ini hujan
$ q $ mewakili cuaca cerah.
*). Negasi dari $ p \vee q $ :
$ \sim ( p \vee q) \equiv \sim p \, \wedge \sim q $
Dibaca : "hari ini tidak hujan dan cuaca tidak cerah"

b). Budi lulus SMA dan melanjutkan kuliah kedokteran.
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$\underbrace{\text{Budi lulus SMA}}_{p} \, \underbrace{\text{dan}}_{\wedge} \, \underbrace{\text{melanjutkan kuliah kedokteran}}_{q} \, \equiv p \wedge q $ .
Artinya :
$ p $ mewakili Budi lulus SMA
$ q $ mewakili melanjutkan kuliah kedokteran.
*). Negasi dari $ p \wedge q $ :
$ \sim ( p \wedge q) \equiv \sim p \, \vee \sim q $
Dibaca : "Budi tidak lulus SMA atau Budi tidak melanjutkan kuliah kedokteran"

c). Jika Iwan ingin menjadi hakim, maka ia harus kuliah jurusan hukum.
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
Jika $\underbrace{\text{Iwan ingin menjadi hakim}}_{p} \, $ maka $ \, \underbrace{\text{ia harus kuliah jurusan hukum}}_{q} \, \equiv p \Rightarrow q $ .
Artinya :
$ p $ mewakili Iwan ingin menjadi hakim
$ q $ mewakili ia harus kuliah jurusan hukum.
*). Negasi dari $ p \Rightarrow q $ :
$ \sim ( p \Rightarrow q) \equiv p \, \wedge \sim q $
Dibaca : "Iwan ingin menjadi hakim dan ia tidak harus kuliah jurusan hukum "

d). Wati juara kelas jika dan hanya jika wati cerdas.
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$\underbrace{\text{Wati juara kelas}}_{p} \, $ jika dan hanya jika $ \, \underbrace{\text{wati cerdas}}_{q} \, \equiv p \Leftrightarrow q $ .
Artinya :
$ p $ mewakili Wati juara kelas
$ q $ mewakili cuaca cerah.
*). Negasi dari $ p \Leftrightarrow q $ :
$ \sim ( p \Leftrightarrow q ) \equiv p \Leftrightarrow \sim q $
Dibaca : "Wati juara kelas jika dan hanya jika wati tidak cerdas".
atau
$ \sim ( p \Leftrightarrow q ) \equiv \sim p \Leftrightarrow q $
Dibaca : "Wati tidak juara kelas jika dan hanya jika wati cerdas".

2). Tentukan negasi atau ingkaran dari pernyataan majemuk :
"Jika Intan rajin belajar, maka ia lulus dan mendapat hadiah".
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
Jika $\underbrace{\text{Intan rajin belajar}}_{p} \, $ maka $ \, \underbrace{\text{ia lulus}}_{q} \, \underbrace{\text{dan}}_{ \wedge} \, \underbrace{\text{mendapat hadiah}}_{r} \, \equiv p \Rightarrow ( q \wedge r) $ .
Artinya :
$ p $ mewakili Intan rajin belajar
$ q $ mewakili ia lulus.
$ r $ mewakili mendapat hadiah.
*). Negasi dari $ p \Rightarrow ( q \wedge r) $ :
$ \sim ( p \Rightarrow ( q \wedge r)) \equiv p \, \wedge \sim ( q \wedge r) \equiv p \, \wedge ( \sim q \vee \sim r) $
Dibaca : "Intan rajin belajar dan ia tidak lulus atau tidak mendapat hadiah "

3). Tentukan negasi atau ingkaran dari pernyataan majemuk :
"Hari ini hari senin dan minggu depan bukan hari rabu".
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$\underbrace{\text{Hari ini hari senin}}_{p} \, \underbrace{\text{dan}}_{ \wedge} \, \underbrace{\text{minggu depan bukan hari rabu}}_{\sim q} \, \equiv p \, \wedge \sim q $ .
Artinya :
$ p $ mewakili Hari ini hari senin
$ \sim q $ mewakili ia lulus.
*). Negasi dari $ p \, \wedge \sim q $ :
$ \sim ( p \, \wedge \sim q) \equiv \sim p \, \vee \sim ( \sim q) \equiv p \, \vee q $
Dibaca : "Hari ini bukan hari senin atau minggu depan hari rabu "

4). Tentukan negasi atau ingkaran dari pernyataan majemuk :
"Jika Anton cukup umur dan cerdas, maka ia akan menjadi juara olimpiade matematika".
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
Jika $\underbrace{\text{Anton cukup umur}}_{p} \, \underbrace{\text{dan}}_{ \wedge} \, \underbrace{\text{Anton cerdas}}_{q} \, $ maka
$ \, \underbrace{\text{ia akan menjadi juara olimpiade matematika}}_{r} \, \equiv ( p \, \wedge q ) \Rightarrow r $ .
Artinya :
$ p $ mewakili Anton cukup umur
$ q $ mewakili Anton cerdas.
$ r $ mewakili ia akan menjadi juara olimpiade matematika.
*). Negasi dari $ ( p \, \wedge q ) \Rightarrow r $ :
$ \sim ( ( p \, \wedge q ) \Rightarrow r ) \equiv ( p \, \wedge q ) \wedge \sim r $
Dibaca : "Anton cukup umur dan cerdas dan ia tidak akan menjadi juara olimpiade matematika ".

       Demikian pembahasan materi Negasi atau Ingkaran Pernyataan Majemuk dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "penarikan kesimpulan".

Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "nilai kebenaran pernyataan majemuk" pada artikel sebelumnya, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika yang tentu masih merupakan submateri "logika matematika". Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, kita biasanya menggunakan tabel kebenaran, dari tabel tersebut kita peroleh nilai kebenaran suatu bentuk pernyataan majemuk. Nilai kebenaran pernyataan majemuk dapat kita golongkan menjadi tiga yaitu Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi. Untuk mempermudah mempelajari materi Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika ini, sebaiknya kita menguasai terlebih dahulu materi "pernyataan majemuk", "nilai kebenaran dan ingkarannya", serta "nilai kebenaran pernyataan majemuk" itu sendiri yang kita tuangkan dalam bentuk tabel. Sebagai contoh, "Budi masih perjaka atau Budi bukan perjaka", nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ini adalah BBBB, yang artinya bernilai selalu benar untuk semua kemungkinan.
 


Pengertian Tautologi
       Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai BENAR untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Contoh soal Tautologi :

1). Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $ (\sim p \Rightarrow q) \vee \sim p $ adalah tautologi!
Penyelesaian :
*). Ada dua pernyataan tunggal yaitu $ p $ dan $ q $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^2 = 4 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & \sim p \Rightarrow q & ( \sim p \Rightarrow q ) \vee \sim p \\ \hline B & B & S & B & B \\ \hline B & S & S & B & B \\ \hline S & B & B & B & B \\ \hline S & S & B & S & B \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ ( \sim p \Rightarrow q ) \vee \sim p $ adalah BBBB (semuanya BENAR), sehingga pernyataan $ ( \sim p \Rightarrow q ) \vee \sim p $ adalah tautologi.

2). Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $ (p \vee q) \vee (r \Rightarrow \sim q ) $ adalah tautologi!
Penyelesaian :
*). Ada 3 pernyataan tunggal yaitu $ p $ , $ q $, dan $ r $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^3 = 8 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
Misalkan hasil : $ X = (p \vee q) $ dan $ Y = (r \Rightarrow \sim q) $
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & r & \sim q & p \vee q & r \Rightarrow \sim q & X \vee Y \\ \hline B & B & B & S & B & S & B \\ \hline B & B & S & S & B & B & B \\ \hline B & S & B & B & B & B & B \\ \hline B & S & S & B & B & B & B \\ \hline S & B & B & S & B & S & B \\ \hline S & B & S & S & B & B & B \\ \hline S & S & B & B & S & B & B \\ \hline S & S & S & B & S & B & B \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ (p \vee q) \vee (r \Rightarrow \sim q ) $ adalah BBBBBBBB (semuanya BENAR), sehingga pernyataan $ (p \vee q) \vee (r \Rightarrow \sim q ) $ adalah tautologi.

3). Berikut contoh lain dari pernyataan majemuk yang bersifat tautologi. Silahkan cek kebenarannya lewat tabel kebenaran.
a). $ (p \Rightarrow q) \Rightarrow ( \sim p \vee q) $
b). $ p \vee \sim p $
c). $ ( p \wedge q) \Rightarrow p $
d). $ p \Rightarrow ( p \vee q ) $
e). $ (p \Rightarrow q) \vee ( q \Rightarrow p) $
f). $ (p \wedge \sim q) \Leftrightarrow \sim (p \Rightarrow q) $

Pengertian Kontradiksi
       Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai SALAH untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.
Catatan :
*). Kontradiksi adalah negasi atau ingkaran dari tautologi atau sebaliknya yaitu tautologi adalah ingkaran dari kontradiksi.

Contoh soal Kontradiksi :

4). Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $ \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah kontradiksi!
Penyelesaian :
*). Ada dua pernyataan tunggal yaitu $ p $ dan $ q $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^2 = 4 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & \sim p \Rightarrow q & \sim ( \sim p \Rightarrow q ) & \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p \\ \hline B & B & S & B & S & S \\ \hline B & S & S & B & S & S \\ \hline S & B & B & B & S & S \\ \hline S & S & B & S & B & S \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah SSSS (semuanya SALAH), sehingga pernyataan $ \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah kontradiksi.

5). Berikut contoh lain dari pernyataan majemuk yang bersifat tautologi. Silahkan cek kebenarannya lewat tabel kebenaran.
a). $ (\sim p \wedge \sim q) \wedge \sim ( q \Rightarrow \sim r) $
b). $ (p \Rightarrow q) \wedge ( p \wedge \sim q) $
c). $ p \wedge \sim p $
d). $ p \Leftrightarrow \sim p $
e). $ p \Leftrightarrow [(p \vee \sim q) \Rightarrow (\sim p \wedge \sim q)] $
f). $ (p \wedge q) \wedge \sim p $
g). $ q \wedge ( p \wedge \sim q ) $
h). $ ( p \wedge \sim q) \wedge ( q \wedge \sim p) $
i). $ ( p \wedge \sim q) \Leftrightarrow ( p \Rightarrow q) $ .

Pengertian Kontingensi
       Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang tidak selalu bernilai BENAR dan tidak selalu bernilai SALAH (bukan tautologi dan bukan kontradiksi) untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya. Artinya dalam kontingensi, nilai kebenarannya sekaligus memuat BENAR dan SALAH.

Contoh soal Kontingensi :

6). Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $ ( p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah koningensi!
Penyelesaian :
*). Ada dua pernyataan tunggal yaitu $ p $ dan $ q $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^2 = 4 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & p \Rightarrow q & ( p \Rightarrow q ) \wedge p \\ \hline B & B & B & B \\ \hline B & S & S & S \\ \hline S & B & B & S \\ \hline S & S & B & S \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ ( p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah BSSS (tidak semuanya BENAR dan tidak semuanya SALAH), sehingga pernyataan $ (p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah kontingensi.

7). Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $ adalah koningensi!
Penyelesaian :
*). Ada 3 pernyataan tunggal yaitu $ p $ , $ q $, dan $ r $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^3 = 8 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
Misalkan hasil : $ X = (\sim p \vee q) $ dan $ Y = (p \Rightarrow \sim r) $
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & r & \sim p & \sim r & \sim p \vee q & p \Rightarrow \sim r & X \Leftrightarrow Y \\ \hline B & B & B & S & S & B & S & S \\ \hline B & B & S & S & B & B & B & B \\ \hline B & S & B & S & S & S & S & B \\ \hline B & S & S & S & B & S & B & S \\ \hline S & B & B & B & S & B & B & B \\ \hline S & B & S & B & B & B & B & B \\ \hline S & S & B & B & S & B & B & B \\ \hline S & S & S & B & B & B & B & B \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $ adalah SBBSBBBB (tidak semuanya BENAR dan tidak semuanya SALAH), sehingga pernyataan $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $ adalah kontingensi.

Catatan :
*). Untuk contoh-contoh pernyataan majemuk sangat mudah kita temukan daripada mencari contoh tautologi atau kontradiksi. Silahkan teman-teman daftarkan sendiri contoh-contoh kontingensi, pasti sangat banyak contoh yang bisa kita dapatkan.

       Demikian pembahasan materi Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen".

Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "pernyataan majemuk" yang terdiri dari konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk yang masih merupakan submateri dari "logika matematika". Suatu pernyataan majemuk terdiri dari beberapa pernyataan tunggal dimana masing-masing pernyataan tunggal memiliki nilai kebenaran. Untuk memudahkan mempelajari materi Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk ini, sebaiknya kita harus menguasai materi "nilai kebenaran dan ingkaran pernyataan" dan "pernyataan majemuk" itu sendiri. Untuk menentukan semua kemungkinan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk, kita akan mennggunakan bantuan tabel yang akan kita sebut sebagai tabel kebenaran suatu pernyataan baik pernyataan tunggal maupun pernyataan majemuk. Berikut penjelasan materi Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk beserta contohnya.
 


Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk
       Untuk memudahkan dalam membuat tabel kebenaran pernyataan majemuk, kita harus menguasai masing-masing bentuk pernyataan majemuk seperti konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Pernyataan majemuk yang akan kita tentukan nilai kebenarannya bentuknya akan bervariasi yang merukanan kombinasi dari keempat jenis pernyataan majemuk tersebut.

$ \clubsuit \, $ Menentukan banyak baris tabel kebenaran
       Misalkan terdapat $ n $ pernyataan tunggal berbeda yang membentuk pernyataan majemuk, banyak baris pada tabel kebenaran ada sebanyak $ 2^n $.

$ \spadesuit \, $ Langkah-langkah menentukan tabel kebenaran
1). tentukan banyak baris pada tabel
2). tentukan semua kemungkinan nilai kebenaran masing-masing pernyataan tunggalnya
3). tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk masing-masing jika terdapat lebih dari satu pernyataan majemuk
4). tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk utamanya.

Contoh soal Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk.

1). Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk $ \sim ( \sim p \vee q) $
Penyelesaian :
*). Ada dua pernyataan tunggal yaitu $ p $ dan $ q $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^2 = 4 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & \sim p \vee q & \sim (\sim p \vee q) \\ \hline B & B & S & B & S \\ \hline B & S & S & S & B \\ \hline S & B & B & B & S \\ \hline S & S & B & B & S \\ \hline \end{array} $
Jadi, nilai kebenaran pernyataan majemuk $ \sim ( \sim p \vee q) $ adalah SBSS.

2). Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk $ (p \wedge \sim q ) \Rightarrow r $
Penyelesaian :
*). Ada 3 pernyataan tunggal yaitu $ p $ , $ q $, dan $ r $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^3 = 8 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & r & \sim q & p \wedge \sim q & (p \wedge \sim q) \Rightarrow r \\ \hline B & B & B & S & S & B \\ \hline B & B & S & S & S & B \\ \hline B & S & B & B & B & B \\ \hline B & S & S & B & B & S \\ \hline S & B & B & S & S & B \\ \hline S & B & S & S & S & B \\ \hline S & S & B & B & S & B \\ \hline S & S & S & B & S & B \\ \hline \end{array} $
Jadi, nilai kebenaran pernyataan majemuk $ (p \wedge \sim q ) \Rightarrow r $ adalah BBBSBBBB.

3). Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $
Penyelesaian :
*). Ada 3 pernyataan tunggal yaitu $ p $ , $ q $, dan $ r $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^3 = 8 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
Misalkan hasil : $ X = (\sim p \vee q) $ dan $ Y = (p \Rightarrow \sim r) $
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & r & \sim p & \sim r & \sim p \vee q & p \Rightarrow \sim r & X \Leftrightarrow Y \\ \hline B & B & B & S & S & B & S & S \\ \hline B & B & S & S & B & B & B & B \\ \hline B & S & B & S & S & S & S & B \\ \hline B & S & S & S & B & S & B & S \\ \hline S & B & B & B & S & B & B & B \\ \hline S & B & S & B & B & B & B & B \\ \hline S & S & B & B & S & B & B & B \\ \hline S & S & S & B & B & B & B & B \\ \hline \end{array} $
Jadi, nilai kebenaran pernyataan majemuk $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $ adalah SBBSBBBB.

       Demikian pembahasan materi Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi".

Konvers, Invers, dan Kontraposisi Logika Matematika

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas submateri yang masih berkaitan dengan "logika matematika" yaitu Konvers, Invers, dan Kontraposisi Logika Matematika. Untuk mempermudah mempelajari materi Konvers, Invers, dan Kontraposisi Logika Matematika ini, sebaiknya teman-teman menguasai terlebih dahulu materi "Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan" dan "pernyataan majemuk". Bentuk Konvers, Invers, dan Kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, artinya dari bentuk implikasi tersebut kita akan bisa mencari bentuk lainnya seperti konversnya, inversnya, dan kontraposisinya. Tentu dalam mengerjakan soal-soal yang berkaitan Konvers, Invers, dan Kontraposisi Logika Matematika, sebaiknya kita ubah dulu menjadi notasi-notasi yang diwakili oleh huruf kecil. Langsung saja berikut penjelasan lebih mendetail berkaitan dengan Konvers, Invers, dan Kontraposisi Logika Matematika yang sebenarnya tidaklah sulit untuk kita pahami.

Pengertian Konvers, Invers, dan Kontraposisi
       Misalkan terdapat bentuk implikasi $ p \Rightarrow q $. Dari implikasi tersebut dapat dibentuk pernyataan baru seperti berikut ini yaitu :
1). Konvers : pernyataan berbentuk $ q \Rightarrow p $
2). invers : pernyataan berbentuk $ \sim p \Rightarrow \sim q $
3). Kontraposisi : pernyataan berbentuk $ \sim q \Rightarrow \sim p $

Tabel kebenaran dari Konvers, Invers, dan Kontraposisi :

Catatan :
*). Dengan melihat tabel kebenaran di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
-). Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi
-). Konvers ekuivalen dengan invers.
*). Ekuivalen artinya memiliki nilai kebenaran yang sama (setara).
*). Bentuk $ \sim p $ adalah ingkaran atau negasi dari $ p $ .

Contoh soal Konvers, Invers, dan Kontraposisi Logika Matematika :

1). Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari bentuk bentuk implikasi :
Jika listrik mati, maka lampu padam.
Penyelesaian :
*). Bentuk implikasinya :
$ p \Rightarrow q $ : Jika $\underbrace{listrik \, \, mati}_{p}$, maka $\underbrace{lampu \, \, padam}_{q}$.
*). Bentuk konvers, invers, dan kontraposisinya :
-). Konvers : $ q \Rightarrow p $
Dibaca : Jika $\underbrace{lampu \, \, padam}_{q}$, maka $\underbrace{listrik \, \, mati}_{p}$.
-). Invers : $ \sim p \Rightarrow \sim q $
Dibaca : Jika $\underbrace{listrik \, tidak \, mati}_{\sim p}$, maka $\underbrace{lampu \, tidak \, padam}_{\sim q}$.
-). Kontraposisi : $ \sim q \Rightarrow \sim p $
Dibaca : Jika $\underbrace{lampu \, tidak \, padam}_{\sim q}$, maka $\underbrace{listrik \, tidak \, mati}_{\sim p}$.

2). Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari bentuk bentuk implikasi :
Jika semua siswa rajin belajar, maka ada siswa juara.
Penyelesaian :
*). Silahkan baca : "pernyataan berkuantor dan ingkarannya".
*). Bentuk implikasinya :
$ \forall p \Rightarrow \exists q $ : Jika $\underbrace{semua}_{\forall} \, \underbrace{siswa \, rajin \, belajar}_{p}$, maka $\underbrace{ada}_{\exists} \, \underbrace{siswa \, juara}_{q}$.
*). Menentukan negasi dari pernyataan tunggalnya :
-). negasi dari $ \forall p $ yaitu $ \sim (\forall p) = \exists (\sim p) $
dibaca : "tidak semua siswa rajin belajar"
atau dibaca : "ada siswa tidak rajin belajar".
-). negasi dari $ \exists q $ yaitu $ \sim (\exists q) = \forall (\sim q) $
dibaca : "tidak ada siswa juara"
atau dibaca : " semua siswa tidak juara".
*). disini kita bebas menggunakan sebagai pengganti dari bentuk negasi $ \forall p $ dan negasi dari $ \exists q $.
*). Bentuk konvers, invers, dan kontraposisinya :
-). Konvers : $ \exists q \Rightarrow \forall p $
Dibaca : Jika $\underbrace{ada}_{\exists} \, \underbrace{siswa \, juara}_{q}$, maka $\underbrace{semua}_{\forall} \, \underbrace{siswa \, rajin \, belajar}_{p}$.
-). Invers : $ \sim (\forall p) \Rightarrow \sim (\exists q) $
Dibaca : Jika tidak semua siswa rajin belajar, maka tidak ada siswa juara.
atau : Jika tidak semua siswa rajin belajar, maka semua siswa tidak juara.
atau : Jika ada siswa tidak rajin belajar, maka tidak ada siswa juara.
atau : Jika ada siswa tidak rajin belajar, maka semua siswa tidak juara.
-). Kontraposisi : $ \sim (\exists q) \Rightarrow \sim (\forall p) $
Dibaca : Jika tidak ada siswa juara, maka tidak semua siswa rajin belajar.
atau : jika tidak ada siswa juara, maka ada siswa tidak rajin belajar.
atau : Jika semua siswa tidak juara, maka tidak semua siswa rajin belajar.
atau : jika semua siswa tidak juara, maka ada siswa tidak rajin belajar.

       Demikian pembahasan materi Konvers, Invers, dan Kontraposisi Logika Matematika dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk".

Pernyataan Majemuk Logika Matematika

         Blog Koma - Artikel yang masih merupakan submateri "logika matematika" yang akan kita bahas pada artikel ini adalah Pernyataan Majemuk Logika Matematika. Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari submateri "pernyataan dan kalimat terbuka" dimana pernyataan dapat dibedakan menjadi pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Kumpulan lebih dari satu pernyataan tunggal kita sebut sebagai Pernyataan Majemuk Logika Matematika yang akan dihubungkan dengan kata penghubung seperti "dan", "atau", "jika ... maka ... ", dan "... jika dan hanya jika ...". Pada submateri Pernyataan Majemuk Logika Matematika ini, kita juga akan mempelajari nilai kebenaran dari pernyataan majemuk tersebut yang akan kita dapftar dalam sebuah tabel yang biasa kita sebut "tabel kebenaran" dari pernyataan majemuknya. Untuk memudahkan, kita harus bisa mengubah setiap pernyataan tunggal dengan notasi-notasi yaitu biasanya dengan huruf kecil. Berikut penjelasan Pernyataan Majemuk Logika Matematika secara lebih mendetail yang dilengkapi dengan contohnya.

Pengertian Pernyataan Majemuk
       Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Ada empat jenis kata hubung yang kita gunakan yaitu : "dan", "atau", "jika ... maka ...." , "... jika dan hanya jika ..." . Keemepat kata penghubung ini juga biasa disebut sebagai operasi dalam logika matematika. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh: nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan.
Pernyataan Majemuk : Konjungsi ("dan")
       Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung "dan". Kata hubung "dan" disajikan dengan lambang "$\wedge$". Kata hubung "dan" pada konjungsi juga setara dengan "meskipun/tetapi/walaupun". Konjungsi dari dua pernyataan tunggal $p$ dan $q$ dinotasikan sebagai "$ p \wedge q $" yang dibaca "$p$ dan $q$". Suatu konjungsi akan bernilai BENAR jika kedua pernyataan pembentuknya bernilai benar dan bernilai SALAH jika salah satu atau keduanya bernilai salah. Perhatikan tabel kebenaran konjungsi di bawah ini.

Contoh soal pernyataan majemuk Konjungsi ("dan") :

1). Berikut adalah contoh pernyataan majemuk dengan operasi konjungsi :
a). Indonesia adalah negara Republik dan berpenduduk 200 juta jiwa.
b). 2 adalah bilangan prima dan 2 habis dibagi 4.
c). Gajah berkaki empat dan dapat terbang.
d). Bumi itu bulat dan bumi mengitari matahari.
e). Manusia bernafas dengan paru-paru dan termasuk herbivora.
f). Segitiga memiliki empat sisi dan jumlah ketiga sudutnya $ 180^\circ $.

2). Tentukan nilai kebenaran dari bentuk konjungsi :
Lombok adalah pulau terluas di Indonesia dan 5 adalah bilangan prima.
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol huruf :
$ p $ : Lombok adalah pulau terluas di Indonesia (bernilai Salah)
$ q $ : 5 adalah bilangan prima (bernilai benar).
Berdasarkan tabel kebenaran konjungsi :
$ p \wedge q $ bernilai Salah.
*). Berikut simbol menggunakan nilai kebenarannya :
$ \tau ( p) = S , \tau (q) = B $ sehingga $ \tau (p \wedge q) = S $.

Pernyataan Majemuk : Disjungsi ("atau")
       Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung "atau". Disjungsi dari pernyataan $p$ dan $q$ dinotasikan $p \vee q $ dan dibaca "$p$ atau $q$". Suatu disjungsi memikili nilai kebenaran SALAH jika kedua pernyataan pembentuknya bernilai salah. Akan tetapi, berniali BENAR jika salah satu atau keduanya bernilai benar. Perhatikan tabel kebenaran disjungsi di bawah ini!

Contoh soal pernyataan majemuk Disjungsi ("atau") :

3). Berikut adalah contoh pernyataan majemuk disjungsi :
a). Bali adalah privinsi paling timur di Indonesia atau Lombok adalah pulau terkecil.
b). 3 bilangan prima atau 5 bilangan prima genap.
c). Pak Budi berlangganan harian Kompas atau Kedaulatan Rakyat.
d). Wati pergi ke perpustakaan atau ke kantin.
e). Saya rajin belajar atau saya lulus UN.
f). $ 2 + 3 \leq 4 $ atau Surabaya adalah kota pahlawan.

4). Tentukan nilai kebenaran dari bentuk disjungsi :
Denpasar ibukota provinsi Bali atau kota bandung ada di Jawa Timur.
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol huruf :
$ p $ : Denpasar ibukota provinsi Bali (bernilai Benar)
$ q $ : kota bandung ada di Jawa Timur (bernilai Salah).
Berdasarkan tabel kebenaran disjungsi :
$ p \vee q $ bernilai Benar.
*). Berikut simbol menggunakan nilai kebenarannya :
$ \tau ( p) = B , \tau (q) = S $ sehingga $ \tau (p \vee q) = B $.

Catatan :
*). Bentuk disjungsi dibagi menjadi dua yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.
*). disjungsi inklusif adalah disjungsi yang sudah kita bahas di atas.
*). disjungsi eksklusif adalah disjungsi yang bernilai benar jika hanya ada salah satu pernyataan yang benar, dilambangkan dengan $ \oplus $ atau $ \underline{\vee} $ .
*). Kalau tidak dikatakan apa-apa, maka dalam Matematika biasanya yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.

Pernyataan Majemuk : Implikasi ("jika ... maka ...")
       Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung "jika .... maka....". Implikasi dari pernyataan $p$ dan $q$ dinotasikan dengan $p \Rightarrow q$ yang dibaca "jika $p$, maka $q$" atau "$p$ hanya jika $q$" atau "$p$ syarat cukup untuk $q$" atau "$q$ syarat perlu untuk $p$". Dari implikasi $ p \Rightarrow q$ , $p$ disebut anteseden atau sebab atau hipotesa, $q$ disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi. Pernyataan implikasi $ p \Rightarrow q $memikili nilai kebenaran SALAH, jika anteseden $p$ bernilai benar dan konsekuen $q$ bernilai salah. Perhatikan tabel kebenaran implikasi di bawah!

Contoh soal pernyataan majemuk Implikasi ("jika ... maka ...") :

5). Berikut adalah contoh pernyataan majemuk implikasi :
a). Jika turun hujan, maka jalanan akan basah.
b). Jika Intan adalah seorang pria, maka ia akan mempunyai kumis.
c). Jika bumi berputar dari timur ke barat, maka matahari akan terbit disebelah barat.
d). Jika $ a > b $ , maka $ a + c > b + c $
e). Jika $ 4 < 5 $ , maka $ -4 > -5 $
f). Jika $ x > 12 $ , maka $ x > 4 $.

6). Tentukan nilai kebenaran dari bentuk implikasi :
Jika 2 adalah bilangan prima genap, maka 2 adalah bilangan ganjil.
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol huruf :
$ p $ : 2 adalah bilangan prima genap (bernilai Benar)
$ q $ : 2 adalah bilangan ganjil (bernilai Salah).
Berdasarkan tabel kebenaran implikasi :
$ p \Rightarrow q $ bernilai Salah.
*). Berikut simbol menggunakan nilai kebenarannya :
$ \tau ( p) = B , \tau (q) = S $ sehingga $ \tau (p \Rightarrow q) = S $.

7). Tentukan manakah yang merupakan syarat perlu dan syarat cukup dari bentuk implikasi berikut ini :
Jika $x$ adalah bilangan genap, maka $x$ habis dibagi 2.
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol huruf :
$ p $ : $x$ adalah bilangan genap.
$ q $ : $x$ habis dibagi 2.
-). $ p $ adalah sebagai syarat cukup.
-). $ q $ adalah sebagai syarat perlu.
Dapat kita tulis secara lengkap yaitu :
-). Pertama :
"$x$ adalah bilangan genap" merupakan syarat cukup untuk "$x$ habis di bagi 2".
-). Kedua :
"$x$ habis di bagi 2" merupakan syarat perlu agar "$x$ adalah bilangan genap".

Catatan :
*). Dalam bahasa sehari-hari kita memakai implikasi dalam bermacam-macam arti, misalnya:
a). Untuk menyatakan suatu syarat:
Contoh :
"Jika kamu tidak membeli karcis, maka kamu tidak akan diperbolehkan masuk".
b). Untuk menyatakan suatu hubungan sebab akibat:
Contoh :
"Jika kehujanan, maka Iwan pasti sakit".
c). Untuk menyatakan suatu tanda:
Contoh :
"Jika bel berbunyi, maka mahasiswa masuk ke dalam ruang kuliah".

*). Penjelasan syarat cukup dan syarat cukup :
Bentuk $ A \Rightarrow B $ :
-). A diatas disebut syarat cukup untuk B, karena bila A terjadi ( benar) maka B juga berjadi (benar).
-). B juga disebut syarat perlu untuk A. Suatu syarat disebut syarat perlu bila tidak terpenuhinya (salahnya ) syarat tersebut mengakibatkan tidak terjadinya apa yang disyaratkan.

Pernyataan Majemuk : Biimplikasi ("... jika dan hanya jika ...")
       Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung "....jika dan hanya jika...." dan dilambangkan $\Leftrightarrow$. Biimplikasi dari pernyataan $p$ dan $q$ ditulis $p \Leftrightarrow q $ yang dibaca "$p$ jika dan hanya jika $q$" atau "jika $p$ maka $q$ dan jika $q$ maka $p$". Biimplikasi memikili nilai kebenaran BENAR, jika anteseden $p$ dan konsekuen $q$ memiliki nilai kebenaran yang sama. Perhatikan tabel kebenaran biimplikasi di bawah!

Contoh soal pernyataan majemuk Biimplikasi ("... jika dan hanya jika ...") :

8). Berikut contoh pernyataan majemuk biimplikasi :
a). Matahari terbit jika dan hanya jika bumi berotasi.
b). Indonesia Merdeka jika dan hanya jika Jepang mengalahkan sekutu.
c). $ a + b = c $ jika dan hanya jika $ c - b = a $
d). hujan turun jika dan hanya jika terjadi penguapan air laut.
e). $ x^2 = 4 $ jika dan hanya jika $ x = -2 $ atau $ x = 2 $.

9). Tentukan nilai kebenaran dari bentuk Biimplikasi :
$ 2 \times 4 = 8 $ jika dan hanya jika 4 bilangan prima.
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol huruf :
$ p $ : $ 2 \times 4 = 8 $ (bernilai Benar)
$ q $ : 4 bilangan prima (bernilai Salah).
Berdasarkan tabel kebenaran biimplikasi :
$ p \Leftrightarrow q $ bernilai Salah.
*). Berikut simbol menggunakan nilai kebenarannya :
$ \tau ( p) = B , \tau (q) = S $ sehingga $ \tau (p \Leftrightarrow q) = S $.

       Demikian pembahasan materi Pernyataan Majemuk Logika Matematika dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "Konvers, Invers, dan Kontraposisi".

Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya

         Blog Koma - Pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya. Dalam "logika matematika" pembahasan sebelumnya, kita telah memahami tentang apa itu "pernyataan dan kalimat terbuka" dan "Nilai kebenaran dan ingkaran pernyataan" yang tentu berkaitan langsung dengan materi Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya pada artikel ini. Dalam penulisan pernyataan, terkadang kita menjumpai kata-kata "semua", "setiap", "seluruh", "ada", "beberapa", "sebagian", dan "terdapat", semua kata-kata ini bertujuan untuk menyatakan ukuran kuantitas (jumlah). Kata-kata yang menunjukkan ukuran kuantitas inilah yang disebut sebagai kuantor/quantifier. Kuantor dibedakan menjadi kuantor universal dan kuantor eksistensial. Setelah mengenal kuantor, kita akan membahas ingkaran pernyataan berkuantor yang tentunya juga tidak kalah menarik untuk kita pelajari. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya sangat penting sebagai pendukung submateri logika matematika berikutnya.

Pernyataan Berkuator
       Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada dua macam kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor universal dinotasikan $ \forall $ dan kuantor eksistensial dinotasikan $ \exists $ .
Kuantor Universal ($\forall$)
       Dalam pernytaan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan "semua, setiap, seluruh". Kuantor universal dilambangkan dengan $ \forall $ (dibaca untuk semua atau untuk setiap atau untuk seluruh).

$ \clubsuit \, $ misalkan terdapat pernyataan $ p $ :
$ \forall p $ dibaca semua $ p $ atau setiap $ p $ atau seluruh $ p $

$ \spadesuit \, $ misalkan terdapat kalimat terbuka $ p(x) $ :
$ \forall x , p(x) $ dibaca "untuk semua $ x $ berlaku sifat $ p(x) $
$ (\forall x \in S) , p(x) $ dibaca "untuk semua $ x $ anggota $ S $ berlaku sifat $ p(x) $

$ \heartsuit \, $ Pernyataan $ (\forall x \in S) , p(x) $ bisa bernilai benar atau salah. Hal ini tergantung dari himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka $ p(x) $ .

Contoh Soal Kuantor Universal :

1). Berikut adalah contoh-contoh kuator universal :
a). $ \forall x \in R , x^2 \geq 0 $
Dibaca : "untuk setiap $ x $ anggota bilangan Real berlaku $ x^2 \geq 0 $

b). Semua ikan bernafas dengan insang.
disimbolkan : $ \forall p $ dengan
$ \forall $ : semua
$ p $ : ikan bernafas dengan insang.

2). Nyatakan kalimat terbuka berikut dengan menggunakan kuantor universal!
$ p(x) : x^2 - 3x + 1 = 5 $, dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat B.
Penyelesaian :
-). Bentuk kuantor universalnya yaitu :
$ (\forall x \in B) , x^2 - 3x + 1 = 5 $.
-). Dibaca :
"untuk setiap x anggota bilangan bulat, berlaku $ x^2 - 3x + 1 = 5 $"
atau bisa juga kita baca :
"untuk semua bilangan bulat $ x $ , berlaku $ x^2 - 3x + 1 = 5 $"

Kuantor Eksistensial ($\exists$)
       Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan "ada, beberapa, sebagian, terdapat". Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan $ \exists $ (dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian).

$ \clubsuit \, $ misalkan terdapat pernyataan $ p $ :
$ \exists p $ dibaca ada $ p $ atau terdapat $ p $ atau beberapa $ p $

$ \spadesuit \, $ misalkan terdapat kalimat terbuka $ p(x) $ :
$ \exists x , p(x) $ dibaca "ada $ x $ sedemikian sehingga berlaku sifat $ p(x) $
$ (\exists x \in S) , p(x) $ dibaca "terdapat $ x $ anggota $ S $ sedemikian sehingga berlaku sifat $ p(x) $

$ \heartsuit \, $ Pernyataan $ (\exists x \in S) , p(x) $ bisa bernilai benar atau salah. Hal ini tergantung dari himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka $ p(x) $ .

Contoh Soal Kuantor Universal :

3). Berikut adalah contoh penggunaan kuantor eksistensial :
a). $ \exists x \in R , x^2 + 2x - 10 \leq 0 $
-). Dibaca : "ada $ x $ anggota bilangan real sedemikian sehingga $ x^2 + 2x - 10 \leq 0 $.
atau bisa juga dibaca :
"ada $ x $ anggota bilangan real dimana berlaku $ x^2 + 2x - 10 \leq 0 $.

b). Ada mamalia yang memakan daging.
-). Simbolnya : $ \exists p $
dengan
$ \exists $ : "ada"
$ p $ : "mamalia yang memakan daging".

4). Diketahui kalimat terbuka $ x^2 = 9 $. Tentukan pernyataan berkuantor eksistensial serta nilai kebenarannya, jika himpunan semestanya adalah semua bilanagn real R.
Penyelesaian :
-). Kuantor eksistensialnya : $ \exists x \in R , x^2 = 9 $ .
-). Dibaca : "terdapat $ x $ anggota bilangan real dimana berlaku $ x^2 = 9 $.
-). Nilai kebenaran dari pernyataan $ \exists x \in R , x^2 = 9 $ adalah Benar karena memang terdapat nilai $ x $ real yang memenuhi $ x^2 = 9 $ yaitu $ x = -3 $ atau $ x = 3 $.

Ingkaran Pernyataan Berkuantor
       Ingkaran dari pernyataan kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal. Dapat kita tulis $ \sim \forall = \exists $ dan $ \sim \exists = \forall $ .

$ \spadesuit \, $ Bentuk ingkaran dari pernyataan berkuantor :
a). $ \sim (\forall x , p(x) ) \equiv \sim \forall x , \sim p(x) \equiv \exists x , \sim p(x) $
b). $ \sim (\exists x , p(x) ) \equiv \sim \exists x , \sim p(x) \equiv \forall x , \sim p(x) $
Catatan :
-). Bentuk $ \sim (\forall x , p(x) ) \equiv \exists x , \sim p(x) $
-). yang dibaca bisa bagian depan yaitu $ \sim (\forall x , p(x) ) $ atau bagian belakanya yaitu $ \exists x , \sim p(x) $ .

Contoh Soal ingkaran pernyataan berkuantor :

5). Berikut contoh ingakran berkuantor :
a). Pernyataan : semua sapi bernafas dengan paru-paru.
-). Simbolnya : $ \forall p $
-). Ingakrannya : $ \sim (\forall p ) \equiv \exists (\sim p) $
-). ingkarannya dibaca :
"tidak semua sapi bernafas dengan paru-paru". atau
"bukan semua sapi bernafas dengan paru-paru". atau
"ada sapi bernafas tidak dengan paru-paru". atau
"terdapat sapi bernafas tidak dengan paru-paru".

b). Pernyataan : Beberapa siswa SMA rajin belajar
-). Simbolnya : $ \exists p $
-). Ingakrannya : $ \sim (\exists p ) \equiv \forall (\sim p) $
-). ingkarannya dibaca :
"tidak ada siswa SMA rajin belajar". atau
"semua siswa SMA tidak rajin belajar". atau
"setiap siswa SMA tidak rajin belajar". atau
"seluruh siswa SMA tidak rajin belajar".

       Demikian pembahasan materi Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "pernyataan majemuk".

Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan

         Blog Koma - Setelah membahas materi "Pernyataan dan Kalimat Terbuka" yang merupakan submateri dari "logika matematika", pada artikel ini kita lanjutkan lagi pembahasan submateri lainnya yaitu Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan. Pembahasannya akan kita bagi menjadi dua yaitu pertama membahas "nilai kebenaran" dan kedua membahas "ingkaran dari pernyataan". Pada artikel sebelumnya telah kita definisikan "Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja tetapi tidak kedua-duanya. Nah bagaimana cara menentukan suatu kalimat bernilai benar atau salah? Inilah yang akan kita bahas secara lebih mendalam pada materi Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan ini. Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan, ada dua dasar yang kita gunakan yaitu dasar empiris dan dasar tak empiris. Berikut penjelasan tentang "dasar empiris" dan "dasar tak empiris" yang akan memudahkan bagi kita dalam menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan.

$ \spadesuit \, $ Dasar Empiris yaitu menunjukkan benar atau salahnya sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya :
-). Tugu monas terletak di wilayah Jakarta Pusat. (Benar)
-). Matahari terbit dari barat. (Salah)
-). Iwan anak yang pandai.
$ \clubsuit \, $ Dasar tak Empiris yaitu menunjukkan benar salahnya sebuah pernyataan melalui bukti-bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika. Contohnya :
-). Dalam sebuah segitiga jumlah sudut dalamnya sama dengan 180$^\circ$. (Benar)
-). Persamaan $ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $ memiliki akar-akar real. (Benar)

         Nilai Kebenaran yang menggunakan kata sifat akan bisa kita tentukan jika harus didefinisikan terlebih dahulu. Misalnya pada kalimat "Iwan anak yang pandai", selain butuh observasi juga harus didefinisikan terlebih dahulu tentang kriteria "pandai", sehingga tidak menimbulkan penafsiran berbeda. Selain itu juga harus didukung oleh fakta yang ada seperti nilai atau hal lain yang mendukung agar dikatan memenuhi kriteria "pandai". Jadi, dapat kita simpulkan penggunaan kata sifat dapat sebagai pernyataan jika sudah kita definisikan terlebih dahulu kriteria yang memenuhi kata sifat tersebut. Dalam logika matematika, suatu pernyataan biasa dinotasikan dengan huruf kecil seperti $p, q, r, $ ...., dan sebagainya.

Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan
       Kebenaran atau ketidakbenaran suatu pernyataan dinamakan nilai kebenaran atau nilai logik (truth value) dari pernyataan tersebut. Sebagai simbol dari benar biasa di pakai B (benar), R (right), T (true) atau 1 sedangkan simbol salah digunakan S (salah), W (wrong), F (false) atau 0. Penggunaan notasi nilai kebenaran ini harus berpasangan (B-S, R-W,T-F, l-0). Untuk tingkat SMP atau SMA, kita gunakan simbol B (Benar) dan S(Salah). Nilai kebenaran suatu pernyataan $ p $ dinotaskan $ \tau (p) $ ( simbol $\tau $ dibaca tau).

Contoh soal Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan :

1). Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut :
$ p $ : 3 adalah bilangan prima
$ q $ : Ibu kota Jawa Barat adalah Surabaya
$ r $ : Manusia memiliki jantung.
Penylesaian :
*). Berikut adalah nilai kebenaran masing-masing pernyataan :
$ \tau (p) = B $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $p$ adalah Benar".
$ \tau (q) = S $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $q$ adalah Salah".
$ \tau (r) = B $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $r$ adalah Benar".

2). Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut :
$ a $ : Besar sudut satu putaran penuh pada lingkaran adalah $ 345^\circ $
$ b $ : $ 3 + 5 > 7 $
$ c $ : Jepang adalah sebuah negara yang terletak di benua Asia.
Penylesaian :
*). Berikut adalah nilai kebenaran masing-masing pernyataan :
$ \tau (a) = S $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $a$ adalah Salah".
$ \tau (b) = B $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $b$ adalah Benar".
$ \tau (c) = B $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $c$ adalah Benar".

Ingkaran atau Negasi dari pernyataan
       Ingkaran atau Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang berlawanan dengan pernyataan semula (terjadi penyangkalan terhadap pernyataan semula). Ingkaran atau negasi dipat kita peroleh dengan menambahkan kata "tidak" atau menyisipkan kata "bukan" pada pernyataan semula. Ingkaran atau negasi dari penyataan $ p $ dinotasikan dengan $ -p $ atau $ \overline{p} $ atau $ p' $ atau $ \sim p $ dibaca "negasi $p$" atau "ingkaran $p$" atau "tidak $p$" atau "bukan $p$". Jika pernyataan $ p $ bernilai Benar, maka ingkarannya bernilai Salah, begitu juga sebaliknya, dapat kita notasikan : jika $ \tau (p) = B $ , maka $ \tau (\sim p) = S $ atau jika $ \tau (p) = S $ , maka $ \tau (\sim p) = B $.

       Tabel nilai kebenaran suatu pernyataan adalah semua kemungkinan nilai kebenaran suatu pernyataan yang disusun dalam sebuah tabel. Berikut contoh tabel kebenaran nilai $p$ dan ingkarannya :

Contoh soal Ingkaran atau Negasi dari pernyataan :

3). Berikut adalah contoh-contoh pernyataan dan ingkarannya :
-). Contoh (a) :
$p$ : Bapak pergi ke kebun
$ \sim p $ : Bapak tidak pergi ke kebun. atau
$ \sim p $ : Tidak benar Bapak pergi ke kebun.
-). Contoh (b) :
$q$ : Malang adalah kota di Jawa Timur
$ \sim q $ : Malang adalah bukan kota di Jawa Timur. atau
$ \sim q $ : Tidak benar Malang adalah kota di Jawa Timur.
-). Contoh (c) :
$r$ : $ 7 + 2 > 3 $
$ \sim r $ : $ 7 + 2 \leq 3 $ atau
$ \sim r $ : TIdak benar bahwa $ 7 + 2 > 3 $
-). Contoh (d) :
$z$ : $ 3 + 4 = 7 $
$ \sim z $ : $ 3 + 4 \neq 7 $ atau
$ \sim z $ : Tidak benar bahwa $ 3 + 4 = 7 $

4). Tentukan nilai ingkaran atau negasi dari setiap pernyataan berikut dan nilai kebenarannya:
a). Denpasar adalah ibukota provinsi Bali.
b). Rusia terletak di benua Australia.
c). 2 adalah bilangan prima
d). Persamaan sumbu simetri parabola $ y = x^2+4x -1 $ adalah $ x = -2 $.
Penyelesaian :
*). Kita misalkan masing-masing pernyataan dengan huruf kecil, lalu kita tentukan ingkarannya.
a). Denpasar adalah ibukota provinsi Bali.
-). Ingkaran atau negasinya :
$p $ : Denpasar adalah ibukota provinsi Bali. (Benar)
$\sim p $ : Denpasar bukan ibukota provinsi Bali. (Salah)
atau
$\sim p $ : Tidak benar Denpasar adalah ibukota provinsi Bali. (Salah)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (p) = B $ dan $ \tau (\sim p) = S $.

b). Rusia terletak di benua Australia.
-). Ingkaran atau negasinya :
$q $ : Rusia terletak di benua Australia. (Salah)
$\sim q $ : Rusia tidak terletak di benua Australia. (Benar)
atau
$\sim q $ : Tidak benar Rusia terletak di benua Australia. (Benar)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (q) = S $ dan $ \tau (\sim q) = B $.

c). 2 adalah bilangan prima
-). Ingkaran atau negasinya :
$r $ : 2 adalah bilangan prima. (Benar)
$\sim r $ : 2 bukan bilangan prima. (Salah)
atau
$\sim r $ : Tidak benar 2 adalah bilangan prima. (Salah)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (r) = B $ dan $ \tau (\sim r) = S $.

d). Persamaan sumbu simetri parabola $ y = x^2+4x -1 $ adalah $ x = -2 $.
-). Kita cek nilai kebenarannya terlebih dahulu :
persamaan sumbu simetri parabola $ y = ax^2 + bx + c $ adalah $ x = \frac{-b}{2a} $
sehingga $ y = x^2+4x -1 $, persamaan sumbu simetrinya :
$ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2.1} \rightarrow x = -2 $
Jadi benar bahwa persamaan sumbu simetrinya adalah $ x = -2 $.
-). Ingkaran atau negasinya :
$z $ : Persamaan sumbu simetri parabola $ y = x^2+4x -1 $ adalah $ x = -2 $. (Benar)
$\sim z $ : Persamaan sumbu simetri parabola $ y = x^2+4x -1 $ bukan $ x = -2 $. (Salah)
atau
$\sim z $ : Tidak benar Persamaan sumbu simetri parabola $ y = x^2+4x -1 $ adalah $ x = -2 $. (Salah)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (z) = B $ dan $ \tau (\sim z) = S $.

5). Tentukan ingkaran atau negasi dan nilai kebenaran dari pernyataan :
a). akar-akar dari persamaan $ 2x - 4 = 2 $ adalah $ x = -1 $
b). penyelesaian dari $ 3x + 1 < 7 $ adalah $ x < 2 $.
Penyelesaian :
a). akar-akar dari persamaan $ 2x - 4 = 2 $ adalah $ x = -1 $
-). Menentukan penyelesaian persamaannya :
$ 2x - 4 = 2 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3 $.
Aartinya, penyelesainnya adalah $ x =3 $, sehingga pernyataan soal (a) ini Salah.
-). Ingkaran atau negasinya :
$p $ : akar-akar dari persamaan $ 2x - 4 = 2 $ adalah $ x = -1 $. (Salah)
$\sim p $ : akar-akar dari persamaan $ 2x - 4 = 2 $ bukan $ x = -1 $. (Benar)
atau
$\sim p $ : Tidak benar akar-akar dari persamaan $ 2x - 4 = 2 $ adalah $ x = -1 $. (Benar)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (p) = S $ dan $ \tau (\sim p) = B $.

b). penyelesaian dari $ 3x + 1 < 7 $ adalah $ x < 2 $.
-). Menentukan penyelesaian pertidaksamaannya :
$ 3x + 1 < 7 \rightarrow 3x < 6 \rightarrow x < 2 $.
Aartinya, penyelesainnya adalah $ x < 2 $, sehingga pernyataan soal (b) ini Benar.
-). Ingkaran atau negasinya :
$q $ : penyelesaian dari $ 3x + 1 < 7 $ adalah $ x < 2 $. (Benar)
$\sim q $ : penyelesaian dari $ 3x + 1 < 7 $ bukan $ x < 2 $. (Salah)
atau
$\sim q $ : Tidak benar penyelesaian dari $ 3x + 1 < 7 $ adalah $ x < 2 $. (Salah)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (q) = B $ dan $ \tau (\sim q) = S $.

       Demikian pembahasan materi Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "Pernyataan Berkuantor".

Pernyataan dan Kalimat Terbuka

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas submateri "logika matematika" yaitu materi Pernyataan dan Kalimat Terbuka. Sebenarnya materi Pernyataan dan Kalimat Terbuka sudah pernah kita bahas dalam artikel "Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup" yang merupakan sebagai pengantar pembahasan "persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel". Nah, untuk Pernyataan dan Kalimat Terbuka pada artikel ini sebagai materi pertama untuk pembahasan logika matematika tingkat SMA. Sebenarnya pembahasan sebelumnya dengan yang sekarang ini hampir sama, namun kita lebih menekankan pada kondisi agar sesuai dengan kebutuhan pada pembahasan materi logika matematika. Hal-hal yang akan kita bahas dalam Pernyataan dan Kalimat Terbuka ini yaitu pengertian pernyataan yang disertai dengan contoh-contoh soalnya dan pengertian kalimat terbuka juga dengan contoh-contohnya. Namun pertama kita akan berikan pengertian tentang kalimat agar memudahkan dalam mempelajari materi Pernyataan dan Kalimat Terbuka ini.

Pengertian Kalimat
       Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.
Pengertian Pernyataan
       Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja tetapi tidak kedua-duanya.Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya. Dengan kata lain, pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai kebenaran yang pasti yaitu benar saja atau salah saja namun tidak keduanya. Untuk menentukan nilai kebenaran, silahkan teman-teman baca artikel "Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan". Pernyataan juga disebut proposisi. Berdasarkan pengertian tersebut jelas bahwa setiap pernyataan adalah suatu kalimat. Akan tetapi, suatu kalimat belum tentu suatu pernyataan

Contoh Pernyataan :

1). Berikut adalah contoh-contoh pernyataan :
a). Hasil kali 6 dan 5 adalah 30. (Benar)
b). Semua unggas dapat terbang. (Salah)
c). 2 adalah bilangan prima. (Benar)
d). 8 kurang dari 5. (Salah)
e). Nilai $ x $ yang memenuhi $ x + 2 = 5 $ adalah 3. (Benar)
f). Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia. (Benar)
g). 6 adalah bilangan ganjil. (Salah)
h). Batu adalah benda padat. (Benar)
i). Matahari terbit di barat. (Salah)
j). Satu minggu terdiri dari 7 hari. (Benar)
k). Satu tahun terdiri dari 10 bulan. (Salah)
l). Jumlah sudut dalam segitiga adalah $ 180^\circ $. (Benar)
m). Jumlah dua sudut berpelurus adalah $ 60^\circ $ . (Salah)
n). Kubus memiliki 6 bidang sisi sama besar . (Benar)
0). $ 7 > 2 $ . (Benar)

Semua contoh kalimat dari (a) sampai (o) pada soal contoh (1) adalah termasuk pernyataan karena setiap kalimatnya memiliki nilai kebenaran yang pasti yaitu benar saja atau salah saja.

2). Berikut adalah contoh-contoh bukan pernyataan :
(i). Semoga engkau lekas sembuh.
(ii). Tolong bantu Ibu membukakan pitu itu.
(iii). Apakah Budi sudah belajar?
(iv). Cowok itu ganteng sekali.
(v). Dilarang parkir di sini.
(vi). Berapakah jumlah siswa SMA unggul?
(vii). Jangan mandi di danau.
(viii). Buruan berangkat sebelum hujan.
(ix). Siapa yang menanam pohon tersebut?
(x). Wati gadis yang baik.
(xi). Kue bolu itu rasanya enak.
Semua contoh kalimat dari (i) sampai (xi) pada contoh soal (2) bukan pernyataan karena nilai kebenarannya belum pasti yaitu bisa bernilai benar atau bisa juga bernilai salah. Misalkan kalimat (i). semoga engkau lekas sembuh, dari kalimat ini ada dua kemugnkinan yaitu bisa saja orang tersebut cepat sembuh (Benar) atau bisa juga sembuhnya membutuhkan waktu yang lama (Salah). Pada kalimat (i) ini juga tidak ada ukuran kapan disebut sembuhnya cepat dan kapan disebut sembuhnya lama, karena semuanya bersifat relatif.

         Pernyataan secara umum dibagi menjadi dua yaitu pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk.
*). Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang hanya memuat satu pokok persoalan atau satu ide. Pernyataan tunggal pada umumnya dinyatakan dengan huruf-huruf kecil seperti $ p, q, $ dan $ r $.
*). Pernyataan majemuk adalah kumpulan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan oleh kata penghubung, misalkan "dan", "atau", dan lainnya.
Pernyatikan contoh berikut :

3). a). Berikut adalah contoh pernyataan tunggal :
$ p $ : 3 adalah bilangan asli
$ q $ : 3 adalah bilangan prima
b). Berikut contoh pernyataan majemuk :
Pernyataan : 3 adalah bilangan asli dan 3 adalah bilangan prima
dapat kita tulis dengan simbul $ p \wedge q $
dengan $ \wedge $ mewakili kata hubung "dan" yang akan kita bahas lebih mendalam pada artikel lainnya yaitu pada artikel "pernyataan majemuk".

Pengertian Kalimat Terbuka
       Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat di tentukan nilai kebenarannya. dan variabel/peubah tersebut bisa kita ganti dengan banyak kemungkinan. Kalimat semacam ini masih "terbuka" untuk menjadi pernyataan yang benar atau yang salah. Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Contoh soal Kalimat terbuka :

4). Berikut adalah contoh-contoh kalimat terbuka :
a). $ n + 2 $ adalah bilangan ganjil.
b). $ 5x + 2 = 12 $
c). Kota A adalah ibukota provinsi Jawa Timur.
d). $ y $ adalah bilangan asli.
e). $ x^2 - x - 6 \geq 0 $
f). $ y = 2x^3 - 1 $.
g). Suatu bilangan dikali 3 kemudian dikurangkan 2 sama dengan 10.

Perhatikan kalimat-kalimat contoh (4) di atas, jika masing-masing variabel kita ganti dengan angka atau sesuatu yang sesuai dengan semestanya, maka akan kita peroleh sebuah pernyataan. Misalkan :
a). $ n + 2 $ adalah bilangan ganjil.
-). kita ganti $ n = 3 $, maka $ n + 2 = 3 + 2 = 5 $ adalah bilangan ganjil (Benar).
-). kita ganti $ n = 4 $, maka $ n + 2 = 4 + 2 = 6 $ adalah bilangan ganjil (Salah).
c). Kota A adalah ibukota provinsi Jawa Timur.
-). kita ganti kota A = Surabaya, maka Surabaya adalah ibukota provinsi Jawa Timur (Benar)
-). kita ganti kota A = Bandung, maka Bandung adalah ibukota provinsi Jawa Timur (Salah)

       Demikian pembahasan materi Pernyataan dan Kalimat Terbuka dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan".

Logika Matematika Secara Umum

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Logika Matematika Secara Umum. Dalam artikel Logika Matematika Secara Umum ini, kita akan membahas pengertian logika matematika, "sejarah logika", dan "submateri logika matematika" yang kita pelajari untuk tingkat SMA. Menurut kamus matematika oleh Borowsky & Borwein, logika adalah prinsip dan metode khas yang dipergunakan dalam argumentasi atau penalaran yang tidak memperhatikan isi atau konteks dari bentuk penalaran. Logika yang mengesampingkan isi dari pernyataan dan hanya melihat bentuknya saja (terutama pada saat mengadakan penalaran), lebih dikenal dengan istilah logika formal, logika simbolik, logika modern atau logika matematika. Sementara menurut Soekadijo," Logika adalah suatu studi yang sistimatik tentang struktur proposisi dan syarat-syarat umum mengenai penalaran yang sahih dengan menggunakan metode yang mengesampingkan isi atau bahan proposisi dan hanya membahas bentuk logisnya saja". Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang menggunakan notasi-notasi berupa simbol-simbol matematik (logika simbolik). Sehingga dapat kita susun pengertian logika matematika yaitu logika matematika adalah suatu pirinsip dan metode khas pada suatu studi yang sistematik yang dipergunakan dalam argumentasi dan penalaran menggunakan notasi-notasi secara matematik dengan mengesampingkan isi atau bahan proposisi dan hanya membahas bentuk logisnya saja.

         Penalaran dalam logika ada dua bentuk yaitu penalaran deduktif dan penalaran induktif. Sementara Logika matematika lebih menggunakan penalaran deduktif yaitu didasarkan atas sejumlah unsur tak terdefinisi (undifine term), unsur terdefinisi, asumsi dasar/ aksioma serta aturan-aturan tertentu yang daripadanya dapat diturunkan teorema-teorema.

$ \clubsuit \, $ Penalaran deduktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola penalaran tertentu. Sebagai contoh sederhana :
Premis 1 : Setiap mamalia punya sebuah jantung.
Premis 2 : Semua kambing adalah mamalia.
Kesimpulan : Setiap kambing punya sebuah jantung.

$ \spadesuit \, $ Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum. Sebagai contoh sederhana :
Premis 1 : Sapi Jawa berkaki empat.
Premis 2 : Sapi Madura berkaki empat.
Premis 3 : Sapi Bali berkaki empat.
Premis 4 : Sapi Medan berkaki empat.
Premis 5 : Sapi Australia berkaki empat.
Premis 6 : Sapi Rusia berkaki empat.
Kesimpulan : Semua sapi berkaki empat.

$ \heartsuit \, $ Sejarah perkembangan Logika
         Logika berasal dari kata Yunani kuno, yakni logos yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika dapat ditinjau dari tiga sudut pandang yaitu :
(1). Sebagai ilmu : logika disebut dengan logike episteme atau ilmu pengetahuan yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur.
(2). sebagai cabang Filsafat : Logika digunakan untuk melakukan pembuktian. Logika mengatakan yang bentuk inferensi yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang Filosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang matematika. Logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencari kebenaran.
(3). sebagai matematika murni : Logika masuk ke dalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik.

         Asal-Usul Perkembangan Logika sejak Masa Yunani Kuno bernama Thales (624 SM - 548 SM), filsuf Yunani pertama yang meninggalkan segala dongeng, takhayul, dan cerita-cerita isapan jempol dan berpaling kepada akal budi untuk memecahkan rahasia alam semesta. Thales mengatakan bahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau asas utama alam semesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif. Matematikawan lain yaitu Aristoteles kemudian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemudian disebut logica scientica.

         Pada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De Interpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan.Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi logika. Lahirlah logika modern dengan tokoh-tokoh seperti: Petrus Hispanus (1210 - 1278), Roger Bacon (1214-1292), Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metode logika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian, dan William Ocham (1295 - 1349) . Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan oleh : Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (1632-1704) dalam An Essay Concerning Human Understanding, Francis Bacon (1561 - 1626) mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunya Novum Organum Scientiarum, J.S. Mills (1806 - 1873) melanjutkan logika yang menekankan pada pemikiran induksi dalam bukunya System of Logic.

         Logika matematika termasuk salah satu ilmu matematika yang banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari seperti kepolisian, pengadilan, jaksa, hakim yang menggunakan logika matematika untuk menganalisis suatu kasus atau permasalahan.

Submateri Logika Matematika
       Berikut submateri logika matematika yang akan kita pelajari sebagai bahan ajar untuk tingkat SMA yaitu :
(1). Pernyataan dan Kalimat Terbuka
(2). Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan
(3). Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya
(4). Pernyataan Majemuk
(5). Konvers, Invers, dan Kontraposisi
(6). Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk
(7). Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi
(8). Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
(9). Negasi dari Pernyataan Majemuk
(10). Penarikan Kesimpulan
(11). Bukti Langsung dan Tak Langsung
(12). Aplikasi Logika Matematika dalam Kehidupan Sehari-hari

       Demikian pembahasan materi Logika Matematika Secara Umum beserta submateri yang akan kita pelajari secara lebih mendalam. Silahkan ikuti link setiap submateri di atas untuk mempelajarinya secara lebih lanjut.

Sumber pengertian logika di atas :
(1). E.J. Borowsky and J.M. Borwein. Collins Dictionary Mathematics. Collins, Great Britain, 1989.
(2). R. Soekadijo. Logika Dasar. Gramedia, Jakarta, 1983.

Sumber asal-usul logika :
https://id.wikipedia.org/wiki/Logika.