Pernyataan Majemuk Logika Matematika

         Blog Koma - Artikel yang masih merupakan submateri "logika matematika" yang akan kita bahas pada artikel ini adalah Pernyataan Majemuk Logika Matematika. Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari submateri "pernyataan dan kalimat terbuka" dimana pernyataan dapat dibedakan menjadi pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Kumpulan lebih dari satu pernyataan tunggal kita sebut sebagai Pernyataan Majemuk Logika Matematika yang akan dihubungkan dengan kata penghubung seperti "dan", "atau", "jika ... maka ... ", dan "... jika dan hanya jika ...". Pada submateri Pernyataan Majemuk Logika Matematika ini, kita juga akan mempelajari nilai kebenaran dari pernyataan majemuk tersebut yang akan kita dapftar dalam sebuah tabel yang biasa kita sebut "tabel kebenaran" dari pernyataan majemuknya. Untuk memudahkan, kita harus bisa mengubah setiap pernyataan tunggal dengan notasi-notasi yaitu biasanya dengan huruf kecil. Berikut penjelasan Pernyataan Majemuk Logika Matematika secara lebih mendetail yang dilengkapi dengan contohnya.

Pengertian Pernyataan Majemuk
       Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Ada empat jenis kata hubung yang kita gunakan yaitu : "dan", "atau", "jika ... maka ...." , "... jika dan hanya jika ..." . Keemepat kata penghubung ini juga biasa disebut sebagai operasi dalam logika matematika. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh: nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan.
Pernyataan Majemuk : Konjungsi ("dan")
       Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung "dan". Kata hubung "dan" disajikan dengan lambang "$\wedge$". Kata hubung "dan" pada konjungsi juga setara dengan "meskipun/tetapi/walaupun". Konjungsi dari dua pernyataan tunggal $p$ dan $q$ dinotasikan sebagai "$ p \wedge q $" yang dibaca "$p$ dan $q$". Suatu konjungsi akan bernilai BENAR jika kedua pernyataan pembentuknya bernilai benar dan bernilai SALAH jika salah satu atau keduanya bernilai salah. Perhatikan tabel kebenaran konjungsi di bawah ini.

Contoh soal pernyataan majemuk Konjungsi ("dan") :

1). Berikut adalah contoh pernyataan majemuk dengan operasi konjungsi :
a). Indonesia adalah negara Republik dan berpenduduk 200 juta jiwa.
b). 2 adalah bilangan prima dan 2 habis dibagi 4.
c). Gajah berkaki empat dan dapat terbang.
d). Bumi itu bulat dan bumi mengitari matahari.
e). Manusia bernafas dengan paru-paru dan termasuk herbivora.
f). Segitiga memiliki empat sisi dan jumlah ketiga sudutnya $ 180^\circ $.

2). Tentukan nilai kebenaran dari bentuk konjungsi :
Lombok adalah pulau terluas di Indonesia dan 5 adalah bilangan prima.
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol huruf :
$ p $ : Lombok adalah pulau terluas di Indonesia (bernilai Salah)
$ q $ : 5 adalah bilangan prima (bernilai benar).
Berdasarkan tabel kebenaran konjungsi :
$ p \wedge q $ bernilai Salah.
*). Berikut simbol menggunakan nilai kebenarannya :
$ \tau ( p) = S , \tau (q) = B $ sehingga $ \tau (p \wedge q) = S $.

Pernyataan Majemuk : Disjungsi ("atau")
       Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung "atau". Disjungsi dari pernyataan $p$ dan $q$ dinotasikan $p \vee q $ dan dibaca "$p$ atau $q$". Suatu disjungsi memikili nilai kebenaran SALAH jika kedua pernyataan pembentuknya bernilai salah. Akan tetapi, berniali BENAR jika salah satu atau keduanya bernilai benar. Perhatikan tabel kebenaran disjungsi di bawah ini!

Contoh soal pernyataan majemuk Disjungsi ("atau") :

3). Berikut adalah contoh pernyataan majemuk disjungsi :
a). Bali adalah privinsi paling timur di Indonesia atau Lombok adalah pulau terkecil.
b). 3 bilangan prima atau 5 bilangan prima genap.
c). Pak Budi berlangganan harian Kompas atau Kedaulatan Rakyat.
d). Wati pergi ke perpustakaan atau ke kantin.
e). Saya rajin belajar atau saya lulus UN.
f). $ 2 + 3 \leq 4 $ atau Surabaya adalah kota pahlawan.

4). Tentukan nilai kebenaran dari bentuk disjungsi :
Denpasar ibukota provinsi Bali atau kota bandung ada di Jawa Timur.
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol huruf :
$ p $ : Denpasar ibukota provinsi Bali (bernilai Benar)
$ q $ : kota bandung ada di Jawa Timur (bernilai Salah).
Berdasarkan tabel kebenaran disjungsi :
$ p \vee q $ bernilai Benar.
*). Berikut simbol menggunakan nilai kebenarannya :
$ \tau ( p) = B , \tau (q) = S $ sehingga $ \tau (p \vee q) = B $.

Catatan :
*). Bentuk disjungsi dibagi menjadi dua yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.
*). disjungsi inklusif adalah disjungsi yang sudah kita bahas di atas.
*). disjungsi eksklusif adalah disjungsi yang bernilai benar jika hanya ada salah satu pernyataan yang benar, dilambangkan dengan $ \oplus $ atau $ \underline{\vee} $ .
*). Kalau tidak dikatakan apa-apa, maka dalam Matematika biasanya yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.

Pernyataan Majemuk : Implikasi ("jika ... maka ...")
       Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung "jika .... maka....". Implikasi dari pernyataan $p$ dan $q$ dinotasikan dengan $p \Rightarrow q$ yang dibaca "jika $p$, maka $q$" atau "$p$ hanya jika $q$" atau "$p$ syarat cukup untuk $q$" atau "$q$ syarat perlu untuk $p$". Dari implikasi $ p \Rightarrow q$ , $p$ disebut anteseden atau sebab atau hipotesa, $q$ disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi. Pernyataan implikasi $ p \Rightarrow q $memikili nilai kebenaran SALAH, jika anteseden $p$ bernilai benar dan konsekuen $q$ bernilai salah. Perhatikan tabel kebenaran implikasi di bawah!

Contoh soal pernyataan majemuk Implikasi ("jika ... maka ...") :

5). Berikut adalah contoh pernyataan majemuk implikasi :
a). Jika turun hujan, maka jalanan akan basah.
b). Jika Intan adalah seorang pria, maka ia akan mempunyai kumis.
c). Jika bumi berputar dari timur ke barat, maka matahari akan terbit disebelah barat.
d). Jika $ a > b $ , maka $ a + c > b + c $
e). Jika $ 4 < 5 $ , maka $ -4 > -5 $
f). Jika $ x > 12 $ , maka $ x > 4 $.

6). Tentukan nilai kebenaran dari bentuk implikasi :
Jika 2 adalah bilangan prima genap, maka 2 adalah bilangan ganjil.
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol huruf :
$ p $ : 2 adalah bilangan prima genap (bernilai Benar)
$ q $ : 2 adalah bilangan ganjil (bernilai Salah).
Berdasarkan tabel kebenaran implikasi :
$ p \Rightarrow q $ bernilai Salah.
*). Berikut simbol menggunakan nilai kebenarannya :
$ \tau ( p) = B , \tau (q) = S $ sehingga $ \tau (p \Rightarrow q) = S $.

7). Tentukan manakah yang merupakan syarat perlu dan syarat cukup dari bentuk implikasi berikut ini :
Jika $x$ adalah bilangan genap, maka $x$ habis dibagi 2.
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol huruf :
$ p $ : $x$ adalah bilangan genap.
$ q $ : $x$ habis dibagi 2.
-). $ p $ adalah sebagai syarat cukup.
-). $ q $ adalah sebagai syarat perlu.
Dapat kita tulis secara lengkap yaitu :
-). Pertama :
"$x$ adalah bilangan genap" merupakan syarat cukup untuk "$x$ habis di bagi 2".
-). Kedua :
"$x$ habis di bagi 2" merupakan syarat perlu agar "$x$ adalah bilangan genap".

Catatan :
*). Dalam bahasa sehari-hari kita memakai implikasi dalam bermacam-macam arti, misalnya:
a). Untuk menyatakan suatu syarat:
Contoh :
"Jika kamu tidak membeli karcis, maka kamu tidak akan diperbolehkan masuk".
b). Untuk menyatakan suatu hubungan sebab akibat:
Contoh :
"Jika kehujanan, maka Iwan pasti sakit".
c). Untuk menyatakan suatu tanda:
Contoh :
"Jika bel berbunyi, maka mahasiswa masuk ke dalam ruang kuliah".

*). Penjelasan syarat cukup dan syarat cukup :
Bentuk $ A \Rightarrow B $ :
-). A diatas disebut syarat cukup untuk B, karena bila A terjadi ( benar) maka B juga berjadi (benar).
-). B juga disebut syarat perlu untuk A. Suatu syarat disebut syarat perlu bila tidak terpenuhinya (salahnya ) syarat tersebut mengakibatkan tidak terjadinya apa yang disyaratkan.

Pernyataan Majemuk : Biimplikasi ("... jika dan hanya jika ...")
       Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung "....jika dan hanya jika...." dan dilambangkan $\Leftrightarrow$. Biimplikasi dari pernyataan $p$ dan $q$ ditulis $p \Leftrightarrow q $ yang dibaca "$p$ jika dan hanya jika $q$" atau "jika $p$ maka $q$ dan jika $q$ maka $p$". Biimplikasi memikili nilai kebenaran BENAR, jika anteseden $p$ dan konsekuen $q$ memiliki nilai kebenaran yang sama. Perhatikan tabel kebenaran biimplikasi di bawah!

Contoh soal pernyataan majemuk Biimplikasi ("... jika dan hanya jika ...") :

8). Berikut contoh pernyataan majemuk biimplikasi :
a). Matahari terbit jika dan hanya jika bumi berotasi.
b). Indonesia Merdeka jika dan hanya jika Jepang mengalahkan sekutu.
c). $ a + b = c $ jika dan hanya jika $ c - b = a $
d). hujan turun jika dan hanya jika terjadi penguapan air laut.
e). $ x^2 = 4 $ jika dan hanya jika $ x = -2 $ atau $ x = 2 $.

9). Tentukan nilai kebenaran dari bentuk Biimplikasi :
$ 2 \times 4 = 8 $ jika dan hanya jika 4 bilangan prima.
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol huruf :
$ p $ : $ 2 \times 4 = 8 $ (bernilai Benar)
$ q $ : 4 bilangan prima (bernilai Salah).
Berdasarkan tabel kebenaran biimplikasi :
$ p \Leftrightarrow q $ bernilai Salah.
*). Berikut simbol menggunakan nilai kebenarannya :
$ \tau ( p) = B , \tau (q) = S $ sehingga $ \tau (p \Leftrightarrow q) = S $.

       Demikian pembahasan materi Pernyataan Majemuk Logika Matematika dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "Konvers, Invers, dan Kontraposisi".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar