Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan

         Blog Koma - Setelah membahas materi "Pernyataan dan Kalimat Terbuka" yang merupakan submateri dari "logika matematika", pada artikel ini kita lanjutkan lagi pembahasan submateri lainnya yaitu Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan. Pembahasannya akan kita bagi menjadi dua yaitu pertama membahas "nilai kebenaran" dan kedua membahas "ingkaran dari pernyataan". Pada artikel sebelumnya telah kita definisikan "Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja tetapi tidak kedua-duanya. Nah bagaimana cara menentukan suatu kalimat bernilai benar atau salah? Inilah yang akan kita bahas secara lebih mendalam pada materi Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan ini. Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan, ada dua dasar yang kita gunakan yaitu dasar empiris dan dasar tak empiris. Berikut penjelasan tentang "dasar empiris" dan "dasar tak empiris" yang akan memudahkan bagi kita dalam menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan.

$ \spadesuit \, $ Dasar Empiris yaitu menunjukkan benar atau salahnya sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya :
-). Tugu monas terletak di wilayah Jakarta Pusat. (Benar)
-). Matahari terbit dari barat. (Salah)
-). Iwan anak yang pandai.
$ \clubsuit \, $ Dasar tak Empiris yaitu menunjukkan benar salahnya sebuah pernyataan melalui bukti-bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika. Contohnya :
-). Dalam sebuah segitiga jumlah sudut dalamnya sama dengan 180$^\circ$. (Benar)
-). Persamaan $ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $ memiliki akar-akar real. (Benar)

         Nilai Kebenaran yang menggunakan kata sifat akan bisa kita tentukan jika harus didefinisikan terlebih dahulu. Misalnya pada kalimat "Iwan anak yang pandai", selain butuh observasi juga harus didefinisikan terlebih dahulu tentang kriteria "pandai", sehingga tidak menimbulkan penafsiran berbeda. Selain itu juga harus didukung oleh fakta yang ada seperti nilai atau hal lain yang mendukung agar dikatan memenuhi kriteria "pandai". Jadi, dapat kita simpulkan penggunaan kata sifat dapat sebagai pernyataan jika sudah kita definisikan terlebih dahulu kriteria yang memenuhi kata sifat tersebut. Dalam logika matematika, suatu pernyataan biasa dinotasikan dengan huruf kecil seperti $p, q, r, $ ...., dan sebagainya.

Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan
       Kebenaran atau ketidakbenaran suatu pernyataan dinamakan nilai kebenaran atau nilai logik (truth value) dari pernyataan tersebut. Sebagai simbol dari benar biasa di pakai B (benar), R (right), T (true) atau 1 sedangkan simbol salah digunakan S (salah), W (wrong), F (false) atau 0. Penggunaan notasi nilai kebenaran ini harus berpasangan (B-S, R-W,T-F, l-0). Untuk tingkat SMP atau SMA, kita gunakan simbol B (Benar) dan S(Salah). Nilai kebenaran suatu pernyataan $ p $ dinotaskan $ \tau (p) $ ( simbol $\tau $ dibaca tau).

Contoh soal Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan :

1). Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut :
$ p $ : 3 adalah bilangan prima
$ q $ : Ibu kota Jawa Barat adalah Surabaya
$ r $ : Manusia memiliki jantung.
Penylesaian :
*). Berikut adalah nilai kebenaran masing-masing pernyataan :
$ \tau (p) = B $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $p$ adalah Benar".
$ \tau (q) = S $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $q$ adalah Salah".
$ \tau (r) = B $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $r$ adalah Benar".

2). Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut :
$ a $ : Besar sudut satu putaran penuh pada lingkaran adalah $ 345^\circ $
$ b $ : $ 3 + 5 > 7 $
$ c $ : Jepang adalah sebuah negara yang terletak di benua Asia.
Penylesaian :
*). Berikut adalah nilai kebenaran masing-masing pernyataan :
$ \tau (a) = S $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $a$ adalah Salah".
$ \tau (b) = B $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $b$ adalah Benar".
$ \tau (c) = B $ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $c$ adalah Benar".

Ingkaran atau Negasi dari pernyataan
       Ingkaran atau Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang berlawanan dengan pernyataan semula (terjadi penyangkalan terhadap pernyataan semula). Ingkaran atau negasi dipat kita peroleh dengan menambahkan kata "tidak" atau menyisipkan kata "bukan" pada pernyataan semula. Ingkaran atau negasi dari penyataan $ p $ dinotasikan dengan $ -p $ atau $ \overline{p} $ atau $ p' $ atau $ \sim p $ dibaca "negasi $p$" atau "ingkaran $p$" atau "tidak $p$" atau "bukan $p$". Jika pernyataan $ p $ bernilai Benar, maka ingkarannya bernilai Salah, begitu juga sebaliknya, dapat kita notasikan : jika $ \tau (p) = B $ , maka $ \tau (\sim p) = S $ atau jika $ \tau (p) = S $ , maka $ \tau (\sim p) = B $.

       Tabel nilai kebenaran suatu pernyataan adalah semua kemungkinan nilai kebenaran suatu pernyataan yang disusun dalam sebuah tabel. Berikut contoh tabel kebenaran nilai $p$ dan ingkarannya :

Contoh soal Ingkaran atau Negasi dari pernyataan :

3). Berikut adalah contoh-contoh pernyataan dan ingkarannya :
-). Contoh (a) :
$p$ : Bapak pergi ke kebun
$ \sim p $ : Bapak tidak pergi ke kebun. atau
$ \sim p $ : Tidak benar Bapak pergi ke kebun.
-). Contoh (b) :
$q$ : Malang adalah kota di Jawa Timur
$ \sim q $ : Malang adalah bukan kota di Jawa Timur. atau
$ \sim q $ : Tidak benar Malang adalah kota di Jawa Timur.
-). Contoh (c) :
$r$ : $ 7 + 2 > 3 $
$ \sim r $ : $ 7 + 2 \leq 3 $ atau
$ \sim r $ : TIdak benar bahwa $ 7 + 2 > 3 $
-). Contoh (d) :
$z$ : $ 3 + 4 = 7 $
$ \sim z $ : $ 3 + 4 \neq 7 $ atau
$ \sim z $ : Tidak benar bahwa $ 3 + 4 = 7 $

4). Tentukan nilai ingkaran atau negasi dari setiap pernyataan berikut dan nilai kebenarannya:
a). Denpasar adalah ibukota provinsi Bali.
b). Rusia terletak di benua Australia.
c). 2 adalah bilangan prima
d). Persamaan sumbu simetri parabola $ y = x^2+4x -1 $ adalah $ x = -2 $.
Penyelesaian :
*). Kita misalkan masing-masing pernyataan dengan huruf kecil, lalu kita tentukan ingkarannya.
a). Denpasar adalah ibukota provinsi Bali.
-). Ingkaran atau negasinya :
$p $ : Denpasar adalah ibukota provinsi Bali. (Benar)
$\sim p $ : Denpasar bukan ibukota provinsi Bali. (Salah)
atau
$\sim p $ : Tidak benar Denpasar adalah ibukota provinsi Bali. (Salah)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (p) = B $ dan $ \tau (\sim p) = S $.

b). Rusia terletak di benua Australia.
-). Ingkaran atau negasinya :
$q $ : Rusia terletak di benua Australia. (Salah)
$\sim q $ : Rusia tidak terletak di benua Australia. (Benar)
atau
$\sim q $ : Tidak benar Rusia terletak di benua Australia. (Benar)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (q) = S $ dan $ \tau (\sim q) = B $.

c). 2 adalah bilangan prima
-). Ingkaran atau negasinya :
$r $ : 2 adalah bilangan prima. (Benar)
$\sim r $ : 2 bukan bilangan prima. (Salah)
atau
$\sim r $ : Tidak benar 2 adalah bilangan prima. (Salah)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (r) = B $ dan $ \tau (\sim r) = S $.

d). Persamaan sumbu simetri parabola $ y = x^2+4x -1 $ adalah $ x = -2 $.
-). Kita cek nilai kebenarannya terlebih dahulu :
persamaan sumbu simetri parabola $ y = ax^2 + bx + c $ adalah $ x = \frac{-b}{2a} $
sehingga $ y = x^2+4x -1 $, persamaan sumbu simetrinya :
$ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2.1} \rightarrow x = -2 $
Jadi benar bahwa persamaan sumbu simetrinya adalah $ x = -2 $.
-). Ingkaran atau negasinya :
$z $ : Persamaan sumbu simetri parabola $ y = x^2+4x -1 $ adalah $ x = -2 $. (Benar)
$\sim z $ : Persamaan sumbu simetri parabola $ y = x^2+4x -1 $ bukan $ x = -2 $. (Salah)
atau
$\sim z $ : Tidak benar Persamaan sumbu simetri parabola $ y = x^2+4x -1 $ adalah $ x = -2 $. (Salah)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (z) = B $ dan $ \tau (\sim z) = S $.

5). Tentukan ingkaran atau negasi dan nilai kebenaran dari pernyataan :
a). akar-akar dari persamaan $ 2x - 4 = 2 $ adalah $ x = -1 $
b). penyelesaian dari $ 3x + 1 < 7 $ adalah $ x < 2 $.
Penyelesaian :
a). akar-akar dari persamaan $ 2x - 4 = 2 $ adalah $ x = -1 $
-). Menentukan penyelesaian persamaannya :
$ 2x - 4 = 2 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3 $.
Aartinya, penyelesainnya adalah $ x =3 $, sehingga pernyataan soal (a) ini Salah.
-). Ingkaran atau negasinya :
$p $ : akar-akar dari persamaan $ 2x - 4 = 2 $ adalah $ x = -1 $. (Salah)
$\sim p $ : akar-akar dari persamaan $ 2x - 4 = 2 $ bukan $ x = -1 $. (Benar)
atau
$\sim p $ : Tidak benar akar-akar dari persamaan $ 2x - 4 = 2 $ adalah $ x = -1 $. (Benar)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (p) = S $ dan $ \tau (\sim p) = B $.

b). penyelesaian dari $ 3x + 1 < 7 $ adalah $ x < 2 $.
-). Menentukan penyelesaian pertidaksamaannya :
$ 3x + 1 < 7 \rightarrow 3x < 6 \rightarrow x < 2 $.
Aartinya, penyelesainnya adalah $ x < 2 $, sehingga pernyataan soal (b) ini Benar.
-). Ingkaran atau negasinya :
$q $ : penyelesaian dari $ 3x + 1 < 7 $ adalah $ x < 2 $. (Benar)
$\sim q $ : penyelesaian dari $ 3x + 1 < 7 $ bukan $ x < 2 $. (Salah)
atau
$\sim q $ : Tidak benar penyelesaian dari $ 3x + 1 < 7 $ adalah $ x < 2 $. (Salah)
-). Nilai kebenarannya : $ \tau (q) = B $ dan $ \tau (\sim q) = S $.

       Demikian pembahasan materi Nilai Kebenaran dan Ingkaran Pernyataan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "Pernyataan Berkuantor".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar