Solusi Soal Maraton 10 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 10 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Perhatikan gambar di bawah ini!

Koordinat titik potong yang lain dari kedua kurva tersebut adalah ...?
A). $ (0, 3) $
B). $ (-1, 1) $
C). $ (-5, -7) $
D). $ (-6, -9) $
E). $ (-7, -11) $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Untuk menentukan perpotongan dua kurva (apapun jenis kurvanya), bisa dengan metode eliminasi dan substitusi (menyamakan).

*). Kurva $ y = -x^2 - 2x + 8 $ dan $ y = 2x + 3 $ berpotonga:
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ -x^2 - 2x + 8 & = 2x + 3 \\ -x^2 - 4x + 5 & = 0 \\ -x^2 - 4x + 5 & = 0 \, \, \, \text{(kali } -1) \\ x^2 + 4x - 5 & = 0 \\ (x+5)(x-1) & = 0 \\ x = -5 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Substitusi $ x= -5 $ dan $ x = 1 $ ke salah satu kurva, kita pilih yang sederhana yaitu fungsi garisnya :
$ x = - 5 \rightarrow y = 2(-5) + 3 = -10 + 3 = -7 $
titik potongnya $ (-5, -7) $
$ x = 1 \rightarrow y = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 $
titik potongnya $ (1, 5) $
sehingga titik potong yang lainnya adalah $ (-5, -7) $.
Jadi, tipotnya adalah $ (-5, -7) $ dan $ (1, 5). \heartsuit $

2). Jika grafik parabola $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memotong sumbu Y pada titik $ (0,4) $, serta memotong garis $ y = x - 2 $ di titik $ x = 1 $ dan $ x = 6 $, maka koordinat titik puncak parabola tersebut adalah ...
A). $ (3,5) \, $
B). $ (-3,5) \, $
C). $ (3,-5) \, $
D). $ (2,-5) \, $
E). $ (-2,5) $

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat (FK) : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
titik puncaknya $ (x_p, y_p) $
dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p= f(x_p) $
atau $ y_p= \frac{D}{-4a} $ dimana $ D = b^2 - 4ac $
*). Jika suatu titik dilalui oleh grafik/kurva (atau titik berada pada kurva) , maka titik tersebut bisa langsung disubstitusikan ke fungsinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (x,y) = (0,4) $ ke FK :
$\begin{align} (x,y) = (0,4) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ 4 & = a.0^2 + b.0 + c \\ 4 & = c \end{align} $
sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = ax^2 + bx + 4 $
*). Parabola dan garis berpotongan di $ x = 1 $ dan $ x = 6 $, kita tentukan titik potongnya secara lengkap dengan substitusi ke garisnya : $ y = x - 2 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow y & = 1 - 2 = -1 \\ x = 6 \rightarrow y & = 6 - 2 = 4 \end{align} $
Sehingga titik potongnya adalah $ (1,-1) $ dan $ (6,4) $.
*). Substitusi kedua titik potong ke parabola : $ f(x) = ax^2 + bx + 4 $
$\begin{align} (x,y) = (1,-1) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + 4 \\ -1 & = a.1^2 + b.1 + 4 \\ a + b & = -5 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y) = (6,4) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + 4 \\ 4 & = a.6^2 + b.6 + 4 \\ 0 & = 36a + 6b \\ 0 & = 6a + b \\ b & = -6a \end{align} $
*). Substitusi $ b = -6a $ ke pers(i) :
$\begin{align} a + b & = -5 \\ a + (-6a) & = -5 \\ -5a & = -5 \\ a & = 1 \end{align} $
Nilai $ b = -6a = -6. 1 = -6 $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = x^2 - 6x + 4 $
*). Menentukan titik puncak :
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2.1} = 3 \\ y_p & = f(x_p) = f(3) \\ & = 3^2 - 6.3 + 4 = -5 \end{align} $
Jadi, titik puncaknya adalah $ (3, -5) . \, \heartsuit $
Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat (FK) : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
titik puncaknya $ (x_p, y_p) $
dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p= f(x_p) $
atau $ y_p= \frac{D}{-4a} $ dimana $ D = b^2 - 4ac $
*). Persamaan kuadrat $ \, ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Jika suatu titik dilalui oleh grafik/kurva (atau titik berada pada kurva) , maka titik tersebut bisa langsung disubstitusikan ke fungsinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (x,y) = (0,4) $ ke FK :
$\begin{align} (x,y) = (0,4) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ 4 & = a.0^2 + b.0 + c \\ 4 & = c \end{align} $
sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = ax^2 + bx + 4 $
*). Parabola dan garis berpotongan di $ x = 1 $ dan $ x = 6 $, artinya $ x_1 = 1 $ dan $ x_2 = 6 $ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat perpotongan kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ ax^2 + bx + 4 & = x - 2 \\ ax^2 + (b-1)x + 6 & = 0 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ dengan operasi akar-akar :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ 1 . 6 & = \frac{6}{a} \rightarrow a = 1 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ 1 + 6 & = \frac{-(b-1)}{1} \\ 7 & = 1 - b \rightarrow b = -6 \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = x^2 - 6x + 4 $
*). Menentukan titik puncak :
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2.1} = 3 \\ y_p & = f(x_p) = f(3) \\ & = 3^2 - 6.3 + 4 = -5 \end{align} $
Jadi, titik puncaknya adalah $ (3, -5) . \, \heartsuit $

3). Diketahui $ b, c, d $ bilangan-bilangan bulat positif. Jika parabola $ y = x^2 + bx + c $ dan garis $ y = dx $ mempunyai tepat satu titi berserikat, maka pernyataan berikut yang benar adalah ...
A). $ b = 0 \, $
B). $ d - b \, $ genap
C). $ c = 0 \, $
D). $ |d| \geq |a|^2 + |b|^2 \, $
E). $ d > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Parabola dan garis berpotongan di satu titik (disebut bersinggungan atau berserikat di satu titik) memiliki syarat $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Beberapa sifat-sifat bilangan :
-). Suatu bilangan kepipatan 2 atau kelipatan 4 pasti merupakan bilangan genap
-). jika $ a^2 $ genap, maka $ a $ juga genap.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). parabola $ y_1 = x^2 + bx + c $ dan garis $ y_2 = dx $
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + bx + c & = dx \\ x^2 + bx - dx + c & = 0 \\ x^2 + ( b - d)x + c & = 0 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ (b-d)^2 - 4 . 1. c & = 0 \\ (b-d)^2 - 4c & = 0 \\ (b-d)^2 & = 4c \\ (d - b)^2 & = 4c \end{align} $
-). Karena $ 4c $ bilangan genap, maka $ (d - b)^2 $ juga genap (karena nilainya sama yaitu $ (d - b)^2 = 4c $ ).
-). Karena $ (d - b)^2 $ genap, maka $ d - b $ juga genap.
Jadi, yang benar adalah $ d - b $ genap $ . \, \heartsuit $

4). Jika fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ melalui titik $ (0,3) $ dan mencapai minimum di titik $ (-2,1) $ , maka $ a - b + c $ sama dengan .....
A). $ \frac{9}{2} \, $
B). $ \frac{5}{2} \, $
C). $ \frac{3}{2} \, $
D). $ \frac{2}{9} \, $
E). $ -\frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $ (x_p , y_p) $ :
$ y = a(x- x_p)^2 + y_p $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik puncaknya : $ ( x_p,y_p) = (-2,1) $
*). Menyusun fungsi kuadratnya :
$\begin{align} y & = a(x - x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x - (-2))^2 + 1 \\ y & = a(x + 2)^2 + 1 \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui yaitu $ (0,3) $ :
$\begin{align} y & = a(x + 2)^2 + 1 \\ 3 & = a(0 + 2)^2 + 1 \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga FK menjadi :
$ y = a(x + 2)^2 + 1 \rightarrow y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 + 1 $
$ y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 3 $
yang sama dengan $ f(x) = ax^2 + bx + c $
Artinya $ a = \frac{1}{2} , b = 2, $ dan $ c = 3 $
*). Menentukan nilai $ a - b + c $ :
$\begin{align} a - b + c & = \frac{1}{2} - 2 + 3 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ a - b + c = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

  •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.