Solusi Soal Maraton 27 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 27 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 - bx + 1 = 0 $ adalah $ p $ dan $ 2p$, dengan $ p $ bilangan bulat. Jika $1, \, a, \, b $ merupakan 3 suku berurutan suatu barisan aritmetika, maka $ p = ... $
A). $ 2 \, $
B). $ 1 \, $
C). $ -1 \, $
D). $ -2 \, $
E). $ -4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). Operasi akar-akar PK : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan Aritmetika memiliki ciri-ciri : Selisih sama
$ U_1 , U_2, U_3, .... \, $ maka $ U_2 - U_1 = U_3 - U_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ ax^2 - bx + 1 = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 = p \, $ dan $ x_2 = 2p $ , dengan $ p $ bilangan bulat, sehingga operasi akar-akarnya :
$ \begin{align} x_1 + x_ 2 & = \frac{-b}{a} \\ p + 2p & = \frac{-(-b)}{a} \\ 3p & = \frac{b}{a} \\ p & = \frac{b}{3a} \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ x_1 . x_ 2 & = \frac{c}{a} \\ p . 2p & = \frac{1}{a} \\ 2p^2 & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Susbtitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} p = \frac{b}{3a} \rightarrow 2p^2 & = \frac{1}{a} \\ 2( \frac{b}{3a} )^2 & = \frac{1}{a} \\ 2( \frac{b^2}{9a^2} ) & = \frac{1}{a} \\ \frac{2b^2}{9a^2} & = \frac{1}{a} \\ a & = \frac{2}{9} b^2 \end{align} $
*). Barisan $ 1, a, b \, $ adalah aritmetika sehingga selisih sama :
$ \begin{align} a - 1 & = b - a \\ 2a & = b + 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
*). substitusi $ a = \frac{2}{9} b^2 $ ke persamaan(iii) :
$ \begin{align} 2a & = b + 1 \\ 2 . \frac{2}{9} b^2 & = b + 1 \\ \frac{4}{9} b^2 & = b + 1 \\ 4b^2 & = 9b + 9 \\ 4b^2 - 9b - 9 & = 0 \\ (4b + 3)(b - 3) & = 0 \\ b = -\frac{3}{4} \vee b & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$ \begin{align} b = -\frac{3}{4} \rightarrow a & = \frac{2}{9} b^2 \\ a & = \frac{2}{9} (-\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{8} \\ p & = \frac{b}{3a} = \frac{-\frac{3}{4}}{3 . \frac{1}{8} } = -2 \\ b = 3 \rightarrow a & = \frac{2}{9} b^2 \\ a & = \frac{2}{9} (3)^2 = 2 \\ p & = \frac{b}{3a} = \frac{3}{3 .2} = \frac{1}{2} \end{align} $
Karena nilai $ p $ bulat, maka $ p = -2 $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ p = -2 . \, \heartsuit $

2). Jumlah $ n $ suku pertama barisan artimetika adalah $ S_n = \frac{1}{2}n(13-3n) $ . Suku ke-10 barisan tersebut adalah ....
A). $ -25 \, $
B). $ -22 \, $
C). $ -20 \, $
D). $ 12 \, $
E). $ 22 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). Jika diketahui $ S_n \, $ deret aritmetika, maka berlaku $ U_n = S_n - S_{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan suku ke-10 ($U_{10}$) dengan diketahui $ S_n = \frac{1}{2}n(13-3n) $
$\begin{align} U_n & = S_n - S_{n-1} \\ U_{10} & = S_{10} - S_{10-1} \\ & = S_{10} - S_{9} \\ & = \frac{1}{2}.10.(13-3.10) - \frac{1}{2}.9.(13-3.9) \\ & = 5.(13-30) - \frac{1}{2}.9.(13-27) \\ & = 5.(-17) - \frac{1}{2}.9.(-14) \\ & = 5.(-17) - 9.(-7) \\ & = -85 + 63 \\ & = -22 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{10} = -22 . \, \heartsuit $

3). Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $ . Bila suku ke-4 deret tersebut adalaah 12, maka suku ke-6 deret tersebut adalah ....
A). $ 192 \, $
B). $ 96 \, $
C). $ 16 \, $
D). $ 12 \, $
E). $ 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Pada Pembahasan Barisan Geometri dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 ini, yang agak sulit kita cerna adalah kalimat pertama pada soal yaitu Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $. Apakah yang dimaksud $ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 \, $ atau $ \, \log (u_1+u_2+u_3+u_4+u_5) = 5\log 3 $. Manakah yang benar ? Untuk memudahkan membedakannya, langsung saja perhatikan bentuk berikut :
Jumlah logaritma artinya $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + .... $
Logaritma jumlah sukunya adalah $ \log (u_1 + u_2 + u_3 + ...) $
Sehingga yang dimaksud pada soal barisan geometri dan logaritma UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 adalah $ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 \, $.

         Langkah kedua adalah kita menyusun persamaan yang ada yaitu akan terbentuk dua persamaan yang kita peroleh dengan menggunakan konsep logaritma dan barisan geometri. Langkah berikutnya adalah menentukan nilai suku pertama ($a$) dan rasio ($r$) dengan substitusi atau eliminasi kedua persamaan yang sudah terbentuk. Dan terakhir, menentukan nilai suku keenamnya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan Logaritma
*). Suku ke-$n$ barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) \, $ dan $ \, n{}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui besar angsuran tiap bulan adalah
Persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{Jumlah logaritma lima suku pertama } & = 5 \log 3 \\ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 & = 5 \log 3 \\ \log (u_1.u_2.u_3.u_4.u_5) & = \log 3^5 \\ \log (a.ar.ar^2.ar^3.ar^4) & = \log 3^5 \\ a^5r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ ar^2 & = 3 \\ a & = \frac{3}{r^2} \end{align} $
kita peroleh persaman (i) yaitu $ a = \frac{3}{r^2} $
Persamaan kedua :
$ \begin{align} u_4 = 12 \rightarrow ar^3 = 12 \, \, \, \, \, ......\text{pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} ar^3 & = 12 \\ \frac{3}{r^2} \times r^3 & = 12 \\ 3r & = 12 \\ r & = \frac{12}{3} = 4 \end{align} $
Dari pers(i) : $ a = \frac{3}{r^2} = \frac{3}{4^2} $
*). Menentukan nilai suku ke-6 :
$ \begin{align} u_6 = ar^5 = \frac{3}{4^2} \times 4^5 = 3 \times 4^3 = 192 \end{align} $
Jadi, nilai suku keenam adalah 192. $ \, \heartsuit $

4). Diketahui barisan geometri $(a_n) $ dengan deret tak hingganya bernilai 6. Jika barisan geometri $(a_n^2) $ mempunyai deret tak hingga bernilai 18, maka suku pertama dari barisan $(a_n) $ adalah .....
A). $ 4 \, $
B). $ 3 \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 1 \, $
E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $
*). Menentukan rasionya :
Rasio $ = \frac{u_2}{u_1} $
*). Rumus Jumlah Takhingga Deret Geometri :
$ s_\infty = \frac{\text{Suku Pertama}}{1 - \text{Rasio}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan suku pertamanya adalah $ a $ :
*). Barisan Geometri $\{ a_n \} $ :
$\begin{align} a_1 + a_2 + a_3 + .... & = 6 \\ a + ar + ar^2 + .... & = 6 \\ \frac{\text{Suku Pertama}}{1 - \text{Rasio}} & = 6 \\ \frac{a}{1 - r} & = 6 \\ a & = 6 - 6r \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Barisan Geometri $\{ a_n^2 \} $ :
$\begin{align} a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + .... & = 18 \\ a^2 + (ar)^2 + (ar^20^2 + .... & = 18 \\ \frac{\text{Suku Pertama}}{1 - \text{Rasio}} & = 18 \\ \frac{a^2}{1 - r^2} & = 18 \\ \frac{a}{1 - r} . \frac{a}{1 + r} & = 18 \\ 6 . \frac{a}{1 + r} & = 18 \\ \frac{a}{1 + r} & = 3 \\ a & = 3 + 3r \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{align} a & = a \\ 3 + 3r & = 6 - 6r \\ 9r & = 3 \\ r & = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \end{align} $
Pers(ii) : $ a = 3+ 3r = 3 + 3 \times \frac{1}{3} = 3 + 1 = 4 $
Jadi, suku pertamanya adalah $ 4 . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.