Minggu, 19 Juli 2015

Sifat - sifat Logaritma

         Blog Koma - Untuk dapat mengerjakan soal-soal logaritma, hal yang paling penting dikuasai adalah sifat-sifat logaritmanya. Kebanyakan soal-soal logaritma yang keluar seperti pada Ujian Nasional atau pun Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri pasti penyelesaiannya menggunakan sifat-sifat logaritma. Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat sifat-sifatnya berikut.

         Sifat-sifat Logaritma merupakan materi dasar yang harus benar-benar kita kuasai dengan baik dan kita harus mengetahui cara penggunaannya. Sifat-sifat logaritma ini bisa kita ibaratkan sebagai alat-alat untuk menghitung dan menentukan hasil dari suatu bentuk logaritma. Tanpa mengerti sifat-sifat logaritma, akan sulit bagi kita untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan langsung dengan logaritma.

         Untuk memudahkan dalam mengingat Sifat-sifat Logaritma , kita perlu banyak mengerjakan soal-soal logaritma dengan berbagai variasi tipe soal, bila perlu kita kerjakan soal-soal untuk tes seleksi masuk perguruan tinggi, karena soal-soal tersebut biasanya akan sangat menantang untuk kita kerjakan. Dengan biasa mengerjakan soal-soal logaritma, maka secara tidak langsung kita juga akan mengingatnya (sifat-sifatnya) dengan sendirinya.

Adapun sifat-sifat logaritma :
Untuk $ a > 0 , \, a\neq 1, \, b > 0 , \, c > 0 , \, $ berlaku sifat-sifat logaritma berikut :
i). $ {}^a \log 1 = 0 $
ii). $ {}^a \log a = 1 $
iii). $ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
iv). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
v). $ a^{{}^a \log b } = b $
vi). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b \, $ akibatnya :
      1). $ {{}^a}^m \log b = \frac{1}{m} . {}^a \log b $
      2). $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
      3). $ {{}^a}^m \log b^n = {}^a \log b^\frac{n}{m} $
      4). $ {{}^a}^m \log b^n = {{}^a}^\frac{m}{n} \log b $
vii). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} , \, $ dengan syarat $ p > 0, \, p \neq 1 \, $ , akibatnya :
      1). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
      2). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
         Berikut beberapa contoh untuk sifat-sifat logaritma yang telah disebutkan di atas.
Contoh 1.
Tentukan nilai dari : $ {}^5 \log 1 \, $ dan $ {}^7 \log 7 $ ?
Penyelesaian :
*). $ {}^5 \log 1 = 0 , \, $ karena $ 5^0 = 1 $
*). $ {}^7 \log 7 = 1 , \, $ karena $ 7^1 = 7 $
Contoh 2.
Jika $ \log 2 = 0,301 \, $ dan $ \log 3 = 0,477 \, $ , nilai $ \log 6 = .... $
Penyelesaian : berdasarkan sifat (iii) ,
$ \log 6 = \log (2.3) = \log 2 + \log 3 = 0,310 + 0,477 = 0,778 $
Jadi, nilai $ \log 6 = 0,778 $
Contoh 3.
Jika $ \log 2 = 0,301 \, $ , nilai $ \log 5 = .... $
Penyelesaian : berdasarkan sifat (iv) ,
$ \log 5 = \log \frac{10}{2} = \log 10 - \log 2 = 1 - 0,301 = 0,699 $
Jadi, nilai $ \log 5 = 0,699 $
Contoh 4.
Tentukan nilai dari $ 3^{{}^3 \log 7} $ ?
Penyelesaian : berdasarkan sifat (v) ,
$ 3^{{}^3 \log 7} = 7 $
Jadi, nilai $ 3^{{}^3 \log 7} = 7 $
Contoh 5.
Tentukan nilai $ {}^\sqrt{2} \log 8 $ ?
Penyelesaian : berdasarkan sifat (vi) ,
$ {}^\sqrt{2} \log 8 = {{}^2}^\frac{1}{2} \log 2^3 = \frac{3}{\frac{1}{2}} . {}^2 \log 2 = 6. 1 = 6 $
Jadi, nilai $ {}^\sqrt{2} \log 8 = 6 $
Contoh 6.
Tentukan nilai $ {}^5 \log 625 $ ?
Penyelesaian : berdasarkan sifat (vi) ,
$ {}^5 \log 625 = {}^5 \log 5^4 = 4. {}^5 \log 5 = 4. 1 = 4 $
Jadi, nilai $ {}^5 \log 625 = 4 $
Contoh 7.
Tentukan nilai $ {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 $ ?
Penyelesaian : berdasarkan sifat (vii) ,
$\begin{align} {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 & = {}^2 \log 3 . \, {{}^3}^\frac{1}{2} \log 2^4 \\ & = {}^2 \log 3 . \frac{4}{\frac{1}{2}} . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{4}{\frac{1}{2}} . {}^2 \log 3 . {}^3 \log 2 \\ & = 8 . {}^2 \log 2 \\ & = 8 . 1 = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 = 8 $
Contoh 8.
Jika $ {}^2 \log 3 = p \, $ dan $ {}^2 \log 5 = q , \, $ maka nyatakan logaritma berikut hasilnya dalam bentuk $ p \, $ dan $ q $ ?
a). $ {}^2 \log 15 $
b). $ {}^{12} \log 20 $
Penyelesaian :
a). Berdasarkan sifat (iii) :
$ {}^2 \log 15 = {}^2 \log (3.5) = {}^2 \log 3 + {}^2 \log 5 = p + q $
Jadi, nilai $ {}^2 \log 15 = p + q $
b). Berdasarkan sifat (vii) dan (iii) :
$\begin{align} {}^{12} \log 20 & = \frac{{}^2 \log 20}{{}^2 \log 12} \\ & = \frac{{}^2 \log (4.5)}{{}^2 \log (4.3)} \\ & = \frac{{}^2 \log 4 + {}^2 \log 5}{{}^2 \log 4 + {}^2 \log 3} \\ & = \frac{2 + q }{2 + p } \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^{12} \log 20 = \frac{2 + q }{2 + p } $
         Sebenarnya untuk menyelesaikan soal logaritma, sifat-sifat yang digunakan bebas dari sifat (i) sampai sifat (vii). Jika sifat-sifat logaritma yang digunakan tepat, maka penyelesaiannya akan lebih singkat. Akan tetapi jika sifat yang digunakan tidak tepat, maka penyelesaiannya akan lebih lama, tapi yakinlah pasti jawabannya akan ditemukan.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar