Minggu, 19 Juli 2015

Persamaan Logaritma

         Blog Koma - Persamaan Logaritma merupakan persamaan yang melibatkan sifat-sifat logaritma yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Untuk artikel kali ini akan dibahas tentang persamaan logaritma dari bentuk yang paling sederhana sampai yang lebih sulit.
         Persamaan Logaritma memiliki berbagai bentuk dari yang paling sederhana dan yang paling kompleks. Untuk memudahkan dalam mempelajari persamaan logaritma, sebaiknya kita kuasai dulu sifat-sifat logaritma, karena pasti akan melibatkan sifat-sifat logaritma setiap kali menyelesaikan bentuk persamaan logaritmanya.

         Persamaan Logaritma akan sering kita jumpai pada soal-soal ujian nasional maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Tentu soal-soalnya akan bervariasi dari tipe yang sederhana sampai yang paling sulit. Tapi tenang saja teman-teman, salah satu cara terbaik untuk mengatasinya adalah dengan latihan dan banyak mengerjakan soal-soal yang setingkat, maka kita pasti akan bisa mengerjakannya. Dan satu hal penting yang harus selalu diingat adalah semua akar-akar dari penyelesaian persamaan logaritma harus memenuhi semua syarat logaritma yang ada, ini artinya belum tentu semua akar-akar yang kita peroleh adalah sebagai solusi dari persamaannya.

Konsep Persamaan Logaritma
Untuk $ a, \, b \in R , \, a > 0 , \, b > 0 , \, $ dan $ a \neq 1 , \, $ berlaku sifat-sifat persamaan logaritma berikut :
(i). $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $
(ii). $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ f(x) > 0, \, g(x) > 0 , \, h(x) > 0, \, $ dan $ h(x) \neq 1 $
(iii). $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ b > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
(iv). $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) , \, $ solusinya semua yang memenuhi
    1). $ f(x) = g(x) $
    2). $ h(x) = 1 $
    dengan syarat : $ h(x) > 0 , \, f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
Hint :
Ruas kiri dan kanan harus memuat bentuk logaritma.
Nilai $ x \, $ yang diperoleh harus memenuhi semua syarat yang ada.

         Untuk lebih mudah dalam memahami sifat-sifat persamaan logaritma, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :
Contoh 1.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ {}^5 \log (3x-1) = {}^5 \log 2 $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan sifat persamaan (i) : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) $
$ f(x) = 3x-1 \, $ dan $ g(x) = 2 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 3x-1 & = 2 \\ 3x & = 3 \\ x & = 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek syarat untuk $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow f(x) = 3x-1 \rightarrow f(1) = 3.1 -1 = 2 > 0 $
Karena untuk $ x = 1 , \, $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , \, $ maka $ x = 1 \, $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 1 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 2.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ {}^2 \log (2x-2) = 3 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Modifikasi soal agar kedua ruas memuat logaritma
$ {}^2 \log (2x-2) = 3 \rightarrow {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 2^3 $
$ \rightarrow {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 8 $
Sehingga soalnya menjadi : $ {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 8 $
$\clubsuit \,$ Berdasarkan sifat persamaan (i) : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) $
$ f(x) = 2x-2 \, $ dan $ g(x) = 8 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 2x-2 & = 8 \\ 2x & = 10 \\ x & = 5 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Cek syarat untuk $ x = 5 $
$ x = 5 \rightarrow f(x) = 2x-2 \rightarrow f(5) = 2.5-2 = 8 > 0 $
Karena untuk $ x = 5 , \, $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , \, $ maka $ x = 5 \, $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 5 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 3.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^4 \log (3x-1) = {}^4 \log (2x+2) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan sifat persamaan (i) : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) $
$ f(x) = 3x-1 \, $ dan $ g(x) = 2x+2 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 , \, g(x) > 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 3x-1 & = 2x+2 \\ 3x - 2x & = 2 + 1 \\ x & = 3 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek syarat untuk $ x = 3 $
$ x = 3 \rightarrow f(x) = 3x-1 \rightarrow f(3) = 3.3 -1 = 8 > 0 $
$ x = 3 \rightarrow g(x) = 2x+2 \rightarrow g(3) = 2.3+2 = 8 > 0 $
Karena untuk $ x = 3 , \, $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , \, g(x) > 0 , \, $ maka $ x = 3 \, $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 3 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 4.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{3x-5} \log (2x+1) = {}^{3x-5} \log (x+3) $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan sifat persamaan (ii) : $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) $
$h(x) = 3x-5, \, f(x) = 2x+1 \, $ dan $ g(x) = x+3 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0, \, g(x) > 0, \, h(x) > 0, \, h(x) \neq 1 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 2x+1 & = x+3 \\ 2x - x & = 3-2 \\ x & = 1 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Cek syarat untuk $ x = 2 $
$ x = 2 \rightarrow h(x) = 3x-5 \rightarrow h(2) = 3.2 - 5 = 1 > 0 $
Karena untuk $ x = 2 , \, $ diperoleh nilai $ h(x) = 1 , \, $ sementara syaratnya haruslah $ h(x) \neq 1 , \, $ ini artinya $ x = 2 \, $ tidak memenuhi syarat. Sehingga tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan logaritma tersebut (tidak ada solusi atau jawabannya himpunan kosong).
Catatan : Nilai $ x \, $ yang diperoleh harus memenuhi semua syarat yang ada, jika salah satu saja ada syarat yang tidak terpenuhi, maka bisa dikatan nilai $ x \, $ tersebut gagal menjadi solusi persamaan logaritmanya.
Jadi, tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 5.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{x^2 + 6x} \log (\frac{1}{3}) = {}^{2x+5} \log (\frac{1}{3}) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan sifat persamaan (iii) : $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b $
$ f(x) = x^2 + 6x \, $ dan $ g(x) = 2x+5 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0, \, f(x) \neq 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ x^2 + 6x & = 2x+5 \\ x^2 + 4x - 5 & = 0 \\ (x-1)(x+5) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = -5 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek syarat untuk $ x = 1 \, $ dan $ x = -5 $
*). Untuk $ x = 1 $
$ f(x) = x^2 + 6x \rightarrow f(1) = 1^2 + 6.1 = 7 > 0 $
$ g(x) = 2x+5 \rightarrow g(1) = 2.1+5 = 7 > 0 $
nilai $ x = 1 \, $ memenuhi syarat.
*). Untuk $ x = -5 $
$ f(x) = x^2 + 6x \rightarrow f(-5) = (-5)^2 + 6.(-5) = -5 < 0 $
$ g(x) = 2x+5 \rightarrow g(1) = 2.(-5)+5 = -5 < 0 $
nilai $ x = -5 \, $ tidak memenuhi syarat.
Sehingga yang memenuhi syarat adalah $ x = 1 $ .
Jadi, nilai $ x = 1 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 6.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{2x^2-3x+1} \log (2x-1) = {}^{x^2+2x-5} \log (2x-1) $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan sifat persamaan (iv) : $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) $
$h(x) = 2x-1, \, f(x) = 2x^2-3x+1 \, $ dan $ g(x) = x^2+2x-5 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan $ h(x) = 1 , \, $ dengan syarat $ h(x) > 0 , \, f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
*). Solusi pertama :
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 2x^2-3x+1 & = x^2+2x-5 \\ x^2 - 5x + 6 & = 0 \\ (x-2)(x-3) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 3 \end{align}$
Cek untuk nilai $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 $
untuk $ x = 2 $
$ h(x) = 2x-1 \rightarrow h(2) = 2.2 - 1 = 3 \, $ (memenuhi)
$ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(2) = 2.2^2-3.2+1 = 3 \, $ (memenuhi)
$ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(2) = 2^2+2.2-5 = 3 \, $ (memenuhi)
untuk $ x = 3 $
$ h(x) = 2x-1 \rightarrow h(3) = 2.3 - 1 = 5 \, $ (memenuhi)
$ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(3) = 2.3^2-3.3+1 = 10 \, $ (memenuhi)
$ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(2) = 3^2+2.3-5 = 10 \, $ (memenuhi)
Artinya untuk nilai $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 \, $ memenuhi syarat sebagai solusi dari persamaannya.
*). Solusi kedua : $ h(x) = 1 $
$\begin{align} h(x) & = 1 \\ 2x-1 & = 1 \\ 2x & = 2 \\ x & = 1 \end{align}$
Cek untuk nilai $ x = 1 $
untuk $ x = 2 $
$ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(1) = 2.1^2-3.1+1 = 1 \, $ (tidak memenuhi)
$ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(1) = 1^2+2.1-5 = -2 \, $ (tidak memenuhi)
Artinya nilai $ x = 1 \, $ tidak memenuhi syarat atau nilai $ x = 1 \, $ tidak sebagai solusi dari persamaan.
Jadi, penyelesaiannya adalah $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 . \heartsuit $
         Sebenarnya masih ada lagi tipe atau bentuk lain dari persamaan logaritma seperti bentuk persamaan logaritma yang melibatkan bentuk polinomial (suku banyak). Untuk tipe lainnya, sobat bisa lihat pada kumpulan soal-soal logaritma. Semoga Bermanfaat. Terima kasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar