Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Konsep jarak terakhir yang akan kita bahas yang berkaitan jarak pada dimensi tiga tingkat SMA adalah Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga. Seperti biasa, konsep jarak yang akan kita hitung dalam materi Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga adalah jarak terdekat dari kedua bidang tersebut. Untuk menentukan jarak terdekatnya, kita akan menerapkan langkah-langkah yang diperlukan dalam menghitung Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai materi jarak sebelumnya seperti jarak dua titik dan jarak titik ke garis dalam artikel "Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang", "jarak titik ke bidang", "jarak dua garis", dan "jarak garis dan bidang pada dimensi tiga". Materi konsep jarak sebelumnya sangat penting karena kita tidak bisa menghitung langsung jarak dua bidang melainkan menyederhanakan sehingga jaraknya sama dengan jarak titik ke garis atau jarak lainnya yang sudah kita pelajari.

Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga
Misalkan terdapat dua bidang U dan V yang tidak saling berpotongan (jika berpotongan maka jaraknya nol). Perhatikan gambar ilustrasi di atas, langkah-langkah menentukan jarak kedua bidang tersebut yaitu :
1). Buat bidang W yang tegak lurus dengan bidang U dan bidang V,
2). Misalkan garis $ g $ dan $ h $ adalah perpotongan bidang W dengan bidang U dan bidang W dengan bidang V,
3). Jarak U ke V = jarak garis $ g $ ke $ h $.

Ada dua cara untuk menentukan jarak $ g $ dan $ h $ yaitu :
Cara I :
i). Pilih sembarang satu titik P pada salah satu garis,
ii). Jarak $ g $ dan $ h $ adalah jarak titik titik P ke garis yang tidak memuat P.
Cara II :
a). buat bidang T yang tegak lurus garis $ g $ dan $ h $,
b). bidang U memotong garis $ g $ dan $ h $ masing-masing di titik P dan Q,
c). Jarak $ g $ ke $ h $ = jarak titik P ke titik Q.

Contoh Soal Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga

1). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 3 cm. Tentukan jarak bidang BCGF dan ADHE!
Penyelesaian :
*). Buat bidang yang tegak lurus BCGF dan ADHE yaitu bidang ABFE.
*). ABFE memotong BCGF dan ADHE di BF dan AE, sehingga jaraknya adalah BF ke AE.
*). Buat bidang tegak lurus BF dan AE yaitu ABCD dimana ABCD memotong BF dan AE di A dan B, sehingga jaraknya adalah A ke B yaitu 3 cm.
Jadi, jarak bidang BCGF dan ADHE adalah 3 cm.

2). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak bidang BDE dan CFH!
Penyelesaian :
*). Buat bidang yang tegak lurus BDE dan CFH yaitu bidang ACGE.
*). ACGE memotong BDE dan CFH di PE dan CQ, sehingga jaraknya adalah PE ke CQ.
*). Kita pilih titik P pada PE, sehingga jaraknya adalah P ke CQ yaitu panjang PN. Untuk memudahkan perhitungan PN, kita fokus pada segitiga CPQ yang siku-siku di P.
*). Menentukan panjang sisi-sisi CPQ
$ CP = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{2} \, $ cm
PQ = CG = 6 cm
$ CQ = \sqrt{CP^2 + PQ^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = 3\sqrt{6}= 3\sqrt{2} \sqrt{3} $
*). Konsep luas segitiga CPQ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.CP.PQ & = \frac{1}{2}.CQ.PN \\ CP.PQ & = CQ.PN \\ 3\sqrt{2} . 6 & = 3\sqrt{2} \sqrt{3} .PN \\ 6 & = \sqrt{3} .PN \\ PN & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak BDE dan CFH adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

3). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Titik-titik P, Q, R, dan S terletak di tengah-tengah AB, EF, EH, dan AD. Titik-titik T, U, V, dan W terletak di tengah-tengah BC, FG, GH, dan CD. Tentukan jarak bidang PQRS dan TUVW!
Penyelesaian :
*). Buat bidang yang tegak lurus PQRS dan TUVW yaitu bidang ACGE.
*). ACGE memotong PQRS dan TUVW di MN dan XY, sehingga jaraknya adalah MN ke XY.
*). Buat bidang tegak lurus MN dan XY yaitu ABCD dimana ABCD memotong MN dan XY di M dan X, sehingga jaraknya adalah M ke X.
$ MX = \frac{2}{4}AC = \frac{2}{4} . 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $
Jadi, jarak bidang PQRS dan TUVW adalah $ 2\sqrt{2} \, $ cm.

4). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 2 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak ditengah-tengah AE dan CG. Tentukan jarak bidang PFH dan QBD!
Penyelesaian :
*). Buat bidang yang tegak lurus PFH dan QBD yaitu bidang ACGE.
*). ACGE memotong PFH dan QBD di PX dan QY, sehingga jaraknya adalah PX ke QY.
*). Kita pilih titik X pada PX, sehingga jaraknya adalah X ke QY yaitu panjang XN. Untuk memudahkan perhitungan XN, kita fokus pada segitiga XQY.
*). Menentukan panjang sisi-sisi XQY
XY = CG = 2 cm
Pada segitiga CQY :
$ QY = \sqrt{YC^2 + CQ^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3} \, $ cm
QX = QY = $ \, \sqrt{3} \, $ cm
Misalkan $ YN = s $, maka $ NQ = \sqrt{3} - s $
*). Menentukan $ s $ pada $ \Delta XQY $ :
$ \begin{align} t^2 \, (\Delta YNX) & = t^2 \, (\Delta QNX) \\ XY^2 - YN^2 & = XQ^2 - NQ^2 \\ 2^2 - s^2 & = (\sqrt{3})^2 - ( \sqrt{3} - s)^2 \\ 4 - s^2 & = 3 - ( 3 - 2\sqrt{3}s + s^2) \\ 4 - s^2 & = 3 - 3 + 2\sqrt{3}s - s^2 \\ 4 & = 2\sqrt{3}s \\ s & = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan $ XN = t $ pada segitiga YNX :
$ \begin{align} t & = \sqrt{XY^2 - YN^2} \\ & = \sqrt{2^2 - s^2} \\ & = \sqrt{2^2 - (\frac{2}{3}\sqrt{3} )^2} \\ & = \sqrt{2^2 - \frac{4}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak PFH dan QBD adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{6} \, $ cm.

5). Sebuah limas T.ABCD dimana semua panjang rusuknya sama yaitu 8 cm. Titik P, Q, R, dan S masing-masing terletak ditengah-tengah AB, CD, TD, dan TA. Tentukan jarak PQRS dan TBC!
Penyelesaian :
*). Buat bidang yang tegak lurus PQRS dan TBC yaitu bidang TUV.
*). TUV memotong PQRS dan TBC di OK dan TV, sehingga jaraknya adalah OK ke TV.
*). Kita pilih titik O pada OK, sehingga jaraknya adalah O ke TV yaitu panjang ON. Untuk memudahkan perhitungan ON, kita fokus pada segitiga TOV.
*). Menentukan panjang sisi-sisi TOV :
$ OV = \frac{1}{2}AB = 4 \, $ cm
Pada segitiga TOB :
$ TO = \sqrt{TB^2 - OB^2} = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{2})^2} = 4\sqrt{2} \, $ cm
Pada segitiga TVC :
$ TV = \sqrt{TC^2 - CV^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3} \, $ cm
*). Konsep luas segitiga TOV :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.TO.OV & = \frac{1}{2}.TV.ON \\ TO.OV & = TV.ON \\ 4\sqrt{2} . 4 & = 4\sqrt{3}.ON \\ ON & = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak PQRS dan TBC adalah $ \frac{4}{3}\sqrt{6} \, $ cm.

6). Pada Kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 4 cm. Terdapat titik P dan Q masing-masing di tengah-tengah EF dan EH. Tentukan jarak APQ dan BCGF!
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar contoh 6 di atas, bidang APQ dan BCGF tidak sejajar sehingga jika kedua bidang diperluas maka akan berpotongan. Disini kita akan mencari jarak terdekat antara segmen bidang APQ dan BCGF yang tampak pada kubus ABCD.EFGH tanpa adanya perluasan. Jarak terdekat akan kita peroleh dari titik P ke garis FB yaitu jarak antara P ke F sebesar 2 cm.
Jadi, jarak APQ dan BCGF adalah 2 cm.

       Demikian pembahasan materi Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "Sudut antara Dua Garis pada Dimensi Tiga".

Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga . Seperti yang telah kita pelajari, konsep jarak pada dimensi tiga adalah "jarak terpendek yang kita hitung antara garis dan bidang. Jarak terpendek akan kita peroleh salah satunya ketika terbentuk bagian yang tegak lurus. Sebelum mempelajari materi Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga ini, kita juga telah membahas materi jarak dua titik dan jarak titik ke garis pada artikel "Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang", materi "jarak titik dan bidang", dan "jarak dua garis pada dimensi tiga". Lalu bagaimana cara menghitung Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga? Tentu kita tidak bisa langsung menghitung jarak garis ke bidang, namun yang bisa kita hitung adalah jarak titik ke garis atau jarak dua garis atau jarak titik ke bidang, sehingga kita perlu menyederhanakan agar bentuknya ekuivalen dengan bentuk yang paling sederhana. Jadi, untuk memudahkan mempelajari Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga, teman-teman harus menguasai dahulu konsep jarak-jarak sebelumnya pada dimensi tiga.

Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga
       Misalkan terdapat garis $ g $ dan bidang W yang tidak berpotongan, perhatikan ilustrasi gambar di atas. Langkah-langkah Menentukan jarak garis $ g $ ke bidang W yaitu :
1). Buat sebuah bidang V yang melalui garis $ g $ dan tegak lurus bidang W,
2). Tentukan perpotongan bidang V dan bidang W, misalkan keduanya berpotongan di sepanjang garis $ l $,
3). Jarak $ g $ ke bidang W = jarak $ g $ ke $ l $.

Ada dua cara untuk menentukan jarak $ g $ dan $ l $ yaitu :
Cara I :
i). Pilih sembarang satu titik P pada salah satu garis,
ii). Jarak $ g $ dan $ l $ adalah jarak titik titik P ke garis yang tidak memuat P.
Cara II :
a). buat bidang U yang tegak lurus garis $ g $ dan $ l$,
b). bidang U memotong garis $ g $ dan $ l $ masing-masing di titik P dan Q,
c). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke titik Q.

Contoh soal Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :

1). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 5 cm. Tentukan jarak BC dan bidang ADHE!
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang melalui BC dan tegak lurus ADHE yaitu bidang ABCD dimana kedua bidang berpotongan di AD, sehingga jaraknya adalah BC ke AD.
*). Buat bidang yang tegak lurus BC dan AD yaitu bidang ABFE yang berpotongan dengan garis di A dan B, sehingga jaraknya adalah A ke B yaitu 5 cm.
Jadi, jarak BC dan bidang ADHE adalah 5 cm.

2). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak AH dan bidang BCGF!
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang melalui AH dan tegak lurus BCGF yaitu bidang ABGH dimana kedua bidang berpotongan di BG, sehingga jaraknya adalah AH ke BG.
*). Buat bidang yang tegak lurus AH dan BG yaitu bidang CDEF yang berpotongan dengan garis di P dan Q, sehingga jaraknya adalah P ke Q yaitu 6 cm.
Jadi, jarak AH dan bidang BCGF adalah 6 cm.

3). Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, titik P terletak di tengah-tengah BD. Tentukan jarak PG dan bidang AFH!
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang melalui PG dan tegak lurus AFH yaitu bidang ACGE dimana kedua bidang berpotongan di AQ, sehingga jaraknya adalah PG ke AQ.
*). Kita pilih titik P pada garis PG, sehingga jaraknya adalah dari titik P ke garis AQ yaitu panjang PM.
*). Menentukan panjang sisi segitiga APQ :
$ AP = \frac{1}{2}. AC = 3\sqrt{2} \, $ cm
PQ = CG = 6 cm
$ AQ = \sqrt{AP^2+PQ^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = 3\sqrt{6} \, $ cm.
*). Menentukan PM dengan Luas $ \Delta APQ $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AP.PQ & = \frac{1}{2}. AQ.PM \\ AP.PQ & = AQ.PM \\ 3\sqrt{2} . 6 & = 3\sqrt{6}.PM \\ \sqrt{2} . 6 & = \sqrt{2} . \sqrt{3}.PM \\ PM & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak PG dan AFH adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

4). Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, titik P, Q, dan M masing-masing terletak di tengah-tengah EF, GH, dan AB. Tentukan jarak MF dan bidang APQD!
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang melalui MF dan tegak lurus APQD yaitu bidang ABFE dimana kedua bidang berpotongan di AP, sehingga jaraknya adalah MF ke AP.
*). Kita pilih titik M pada garis MF, sehingga jaraknya adalah dari titik M ke garis AP yaitu panjang MN.
*). Menentukan panjang sisi segitiga AMP :
$ AM = \frac{1}{2}. AB = 2 \, $ cm
MP = BF = 4 cm
$ AP = \sqrt{AM^2+MP^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5} \, $ cm.
*). Menentukan MN dengan Luas $ \Delta AMP $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AM.MP & = \frac{1}{2}. AP.MN \\ AM.MP & = AP.MN \\ 2 . 4 & = 2\sqrt{5}.MN \\ MN & = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak MF dan APQD adalah $ \frac{4}{5}\sqrt{5} \, $ cm.

5). Titik P terletak di tengah-tengah FG pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 3 cm. Tentukan jarak BP dan bidang ADH!
Penyelesaian :
*). Buat bidang melalui BP dan tegak lurus bidang ADH yaitu bidang ABPQ dimana kedua bidang hanya berpotongan di titik A, sehingga jaraknya adalah dari titik A ke garis BP yaitu AB.
Jadi, jarak BP dan ADH adalah 3 cm.

6). Titik P dan M masing-masing terletak di tengah-tengah FG dan AD pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 2 cm. Tentukan jarak BP dan bidang MDH!
Penyelesaian :
*). Buat bidang melalui BP dan tegak lurus bidang MDH yaitu bidang ABPQ. Ternyata bidang MDH dan ABPQ tidak berpotongan, sehingga jarak terdekatnya adalah jarak BP dan MH.
*). Kita pilih titik M pada garis MH, sehingga jaraknya dari titik M ke garis BP yaitu panjang MN. Untuk menentukan panjang MN, kita harus fokus pada segitiga BPM.
*). Menentukan panjang sisi segitiganya :
$ \Delta ABM , \, BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ \Delta BFP , \, BP = \sqrt{BF^2 + FP^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ \Delta MQP , \, MP = \sqrt{MQ^2 + QP^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} $
Misalkan panjang $ BN = x $ , maka $ PN = \sqrt{5} - x $
Misalkan $ MN = t $ (yang akan kita cari panjangnya).
*). Menentukan nilai $ x $ dengan bantuan teorema Pythagoras pada segitiga BNM dan PNM untuk panjang $ t $ :
$ \begin{align} t^2 \, \text{ BNM } & = t^2 \, \text{ PNM } \\ BM^2 - BN^2 & = PM^2 - PN^2 \\ (\sqrt{5})^2 - x^2 & = (\sqrt{8})^2 - (\sqrt{5} - x)^2 \\ 5 - x^2 & = 8 - (5 - 2\sqrt{5}x + x^2) \\ 5 - x^2 & = 8 - 5 + 2\sqrt{5}x - x^2 \\ 2\sqrt{5}x & = 2 \\ x & = \frac{1}{\sqrt{5}} \end{align} $
*). Menentukan panjang MN ($t$) pada segitiga BNM :
$ \begin{align} t & = \sqrt{BM ^2 - BN^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - x^2} \\ & = \sqrt{5 - \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2} \\ & = \sqrt{5 - \frac{1}{5} } = \sqrt{ \frac{24}{5} } \\ & = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\sqrt{30} \end{align} $
Jadi, jarak BP dan MDH adalah $ \frac{2}{5}\sqrt{30} $ cm.

       Demikian pembahasan materi Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "Jarak dua bidang pada dimensi tiga".

Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga. Sebelumnya juga telah kita bahas jarak pada dimensi tiga yaitu jarak dua titik dan jarak titik ke garis pada artikel "Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang", serta "jarak titik ke bidang pada dimensi tiga". Sebagai kelanjutannya, kita bahas Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga yang tentu akan lebih sulit dalam penghitungannya dibandingkan dengan konsep jarak sebelumnya. Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga yang kita bahas adalah jarak antara dua garis yang tidak berpotongan, karena jika kedua garis tersebut berpotongan, maka sudah bisa kita pastikan jaraknya nol.

         Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga akan kita bagi menjadi tiga bagian yaitu jarak antara dua garis yang sejajar, jarak antara dua garis yang bersilangan tegak lurus, dan jarak antara dua garis yang bersilangan namun tidak tegak lurus. Untuk memudahkan mempelajri materi Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu konsep jarak titik ke titik, konsep jarak titik ke garis, dan konsep jarak titik ke bidang.

Jarak Dua garis Sejajar pada Dimensi Tiga
Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
garis $ g $ sejajar garis $ l $.

Langkah-langkah menentukan jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ yaitu :
1). Buat bidang W yang tegak lurus terhadap kedua garis,
2). Tentukan titik potong bidang terhadap kedua garis, misalkan berpotongan di P dan Q
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke Q.

Contoh soal Jarak Dua Garis Sejajar pada Dimensi Tiga:

1). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Tentukan :
a). Jarak BC dan AD,
b). Jarak BC dan EH,
c). Jarak BG dan AH.
Penyelesaian :
a). Jarak BC dan AD,
*). Kita pilih bidang yang memotong BC dan AD tegak lurus kedua garis tersebut yaitu bidang ABFE. Bidang ABFE memotong BC dan AD di A dan B, sehingga jaraknya adalah AB yaitu 4 cm.
Jadi, jarak BC dan AD adalah 4 cm.

b). Jarak BC dan EH,
*). Kita pilih bidang yang memotong BC dan EH tegak lurus kedua garis tersebut yaitu bidang ABFE. Bidang ABFE memotong BC dan EH di B dan E, sehingga jaraknya adalah BE yaitu $ 4\sqrt{2} \, $ cm.
Jadi, jarak BC dan EH adalah $ 4\sqrt{2} \, $ cm.

c). Jarak BG dan AH.
*). Kita pilih bidang yang memotong BG dan AH tegak lurus kedua garis tersebut yaitu bidang CDEF. Bidang CDEF memotong BG dan AH di P dan Q, sehingga jaraknya adalah PQ = AB yaitu 4 cm.
Jadi, jarak BG dan AH adalah 4 cm.

Catatan :
Sebenarnya kita tidak harus membuat bidang untuk menentukan jarak kedua garis tersebut, namun kita juga cukup membuat sebuah garis bantu yang tentu tegak lurus dengan kedua garis yang mau kita cari jaraknya.

2). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika titik P adalah titik perpotongan diagonal alas dan titik Q adalah titik perpotongan diagonal tutup, maka tentukan jarak PE dan CQ!
Penyelesaian :
*). Perhatikan Ilustrasi gambar berikut.
*). Kita buat garis yaitu garis AG yang tegak lurus dengan garis PE dan CQ dimana garis AG memotong kedua garis tersebut di titik M dan N. Ini artinya jarak PE dan CQ sama dengan jarak M ke N.
*). Perhatikan garis AG yang merupakan diagonal ruang, titik M dan N membagi garis AG menjadi 3 bagian sama panjang sehingga jarak MN adalah
Panjang MN $ = \frac{1}{3} AG = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ .
Jadi, jarak PE dan CQ adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

Jarak Dua garis Bersilangan Tegak Lurus pada Dimensi Tiga
Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
garis $ g $ dan garis $ l $ bersilangan tegak lurus.

Langkah-langkah menentukan jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ yaitu :
1). Buat bidang W melalui garis $ g $ dan tegak lurus garis $ l $,
2). Misalkan bidang W memotong garis $ l $ di titik P,
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke garis $ g $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan apakah kedua garis bersialngan tegak lurus atau tidak, sebaiknya teman-teman menguasa terlebih dahulu materi "sudut antara dua garis pada dimensi tiga", karena pada artikel ini tidak akan kita jelaskan lagi kenapa kedua garis tegak lurus atau tidak.

Contoh soal Jarak Dua Garis Bersilangan Tegak Lurus pada Dimensi Tiga:

3). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, tentukan jarak AB dan CF!
Penyelesaian :
*). Garis AB dan CF bersilangan tegak lurus. Kita pilih bidang melalui CF dan tegak lurus AB yaitu bidang BCGF yang memotong AB di B. Sehingga jarak AB ke CF sama saja dengan jarak titik B ke CF.
*). Dari gambar, jarak B ke CF sama dengan setengah dari diagonal BG, sehingga
jarak B ke CF $ = \frac{1}{2}BG = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
Jadi, jarak AB dan CF adalah $ 3\sqrt{2} \, $ cm.

4). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, tentukan jarak BG dan DE!
Penyelesaian :
*). Garis BG dan DE bersilangan tegak lurus. Kita pilih bidang melalui BG dan tegak lurus DE yaitu bidang BGHA yang memotong DE di Q. Sehingga jarak BG ke DE sama saja dengan jarak titik P ke BG yang sama juga dengan jarak A ke B karena garis AH sejajar BG.
Jarak P ke BG = panjang AB = 6 cm.
Jadi, jarak BG dan DE adalah 6 cm.

5). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak BG dan CE!
Penyelesaian :
*). Garis BG tegak lurus dengan garis CE. Kita pilih bidang melalui BG dan tegak lurus CE yaitu bidang BDG yang memotong CE di titik P. Sehingga jarak BG ke CE sama saja dengan jarak titik P ke BG atau panjang PQ.
*). Perhatikan $\Delta GNC $ , panjang GN :
$ GN = \sqrt{CN^2 + CG^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 12^2} = 6\sqrt{6} $
*). Perhatikan $ \Delta GNC $ , luasnya :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.NC. CG & = \frac{1}{2}. GN . PC \\ NC. CG & = GN . PC \\ 6\sqrt{2}. 12 & = 6\sqrt{6} . PC \\ PC & = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = 4\sqrt{3} \end{align} $
*). Perhatikan $ \Delta GPC $ :
$ GP = \sqrt{CG^2 - PC^2} = \sqrt{ 12^2 - (4\sqrt{3})^2} = 4\sqrt{6} $
*). Perhatikan $ \Delta GNB $ :
$ \Delta GPQ $ sebangun dengan $ \Delta GNB $, sehingga perbandingan sisi yang bersesuaian sama yaitu :
$ \begin{align} \frac{PQ}{NB} & = \frac{GP}{GB} \\ \frac{PQ}{6\sqrt{2}} & = \frac{4\sqrt{6}}{12\sqrt{2}} \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{PQ}{1} & = \frac{4\sqrt{6}}{2} \\ PQ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan CE adalah $ 2\sqrt{6} \, $ cm.

Jarak Dua garis Bersilangan tidak Tegak Lurus pada Dimensi Tiga
Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
garis $ g $ dan garis $ l $ bersilangan tidak tegak lurus.

Langkah-langkah menentukan jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ yaitu :
1). Buat bidang W melalui garis $ g $ dan sejajar garis $ l $,
2). pilih sembarang satu titik pada garis $ l $, misalkan titik P
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke bidang W.

Contoh soal Jarak Dua Garis Bersilangan tidak Tegak Lurus pada Dimensi Tiga:

6). Pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 6 cm, tentukanlah jarak CH dan BD!
Penyelesaian :
*). Garis CH dan BD bersilangan tidak tegak lurus. Kita buat bidang melalui CH dan sejajar BD yaitu bidang CFH, sehingga jarak yang kita hitung sama saja dengan jarak garis BD ke bidang CFH. Untuk memudahkan, kita pilih titik P di tengah-tengah BD, sehingga jaraknya sama dengan jarak P ke bidang CFH. Kita buat bidang melalui titik P dan tegak lurus bidang CFH yaitu biang ACGE yang berpotongan dengan bidang CFH di garis CM, sehingga jaraknya sekarang sama dengan jarak P ke garis CM yaitu panjang PQ.
*). Untuk memudahkan menghitung jarak P ke CM, kita hubungakan titik P ke M dan ke C sehingga terbentuk segitiga CPM yang siku-siku di P.
*). Perhatikan $ \Delta CGM $,
$ CM = \sqrt{GC^2 + GM^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{2})^2} = 3\sqrt{6} $
Panjang $ PC = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{2} \, $ dan PM = 6 .
*). Perhatikan segitiga CPM, dengan konsep luas $ \Delta CPM $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}. PC. PM & = \frac{1}{2}. CM. PQ \\ PC. PM & = CM. PQ \\ 3\sqrt{2}. 6 & = 3\sqrt{6}. PQ \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ 6 & = \sqrt{3}. PQ \\ PQ & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak CH dan BD adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

Catatan :
Perhatikan contoh soal nomor 5 dan 6 di atas, kesulitan utamanya adalah menentukan bidang yang dimaksud sehingga membutuhkan imajinasi yang tinggi untuk bisa menjawab soal-soal ini. Nah, sebagai alternatif penyelesaian lainnya, kami menyajikan penyelesaian jarak antara dua garis menggunakan konsep vektor yang menurut kami lebih mudah dalam mengerjakannya soal-soalnya bahkan untuk berbagai variasi soal lainnya yang lebih sulti. Silahkan baca artikelnya pada "Aplikasi vektor : Jarak dua garis".

       Demikian pembahasan materi Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "jarak garis dan bidang pada dimensi tiga".

Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar. Dengan mengetahui "panjang vektor", "perkalian dot" "perkalian silang", "proyeksi orthogonal vektor pad vektor", dan "vektor normal garis atau bidang", ternyata konsep vektor ini bisa kita aplikasikan pada bangun ruang dan bangun datar yang berkaitan dengan luas, jarak dan sudut. Adapun Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar yaitu menghitung luas bangun datar, menentukan jarak baik titik ke titik, jarak titik ke garis, jarak dua garis bersilangan, jarak titik ke bidang, jarak bidang ke bidang, sudut antara dua garis, sudut antara garis ke bidang, dan sudut antara bidang ke bidang. Tentu dengan menggunakan konsep pada dimensi tiga juga bisa, hanya saja untuk jenis atau tipe soal tertentu sangatlah sulit dikerjakan dengan konsep pada dimensi tiga, namun dengan menggunakan Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar ternyata pengerjaannya akan lebih mudah. Salah satu penghitungan yang sulit dikerjakan dengan konsep pada dimensi tiga yaitu jarak antara dua garis bersilangan, karena butuh imajinasi tinggi dalam menentukan jaraknya.

         Dengan mempelajari Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar berkaitan dengan jarak dan sudut, harapannya adalah sebagai penambah wawasan dalam pembelajaran matematika karena semakin banyak cara pengerjaan yang kita ketahui maka akan semakin bagus. Saran kami adalah tetap menggunakan konsep pada dimensi tiga, namun jika dirasa sulit maka silahkan teman-teman menggunakan konsep Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar ini. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita harus menguasai secara baik konsep vektor, silahkan baca artikelnya di "Materi Vektor Tingkat SMA". Berikut Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar yang bisa kita pelajari bersama-sama yaitu :

1). Luas Bangun Datar,
2). Jarak dua titik,
3). Jarak titik ke garis,
4). Jarak titik ke bidang,
5). Jarak dua garis bersilangan
6). Jarak garis ke bidang,
7). Jarak dua bidang,
8). Sudut antara dua garis,
9). sudut antara garis dan bidang,
10). sudut antara dua bidang,
11). Titik berat segitiga,
12). Volume bangun ruang.

       Demikian penjabaran submateri Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar. Semoga materi Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar ini bisa bermanfaat untuk kita semua baik dari segi kebutuhan dalam mengerjakan soal maupun sebagai wawasan dalam pengetahuan tentang penerapan vektor. Untuk melengkapi seluruh aplikasi vektor, kami akan update secara berkala. Terima kasih.

Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis

         Blog Koma - Aplikasi vektor yang akan kita bahas pada artikel ini adalah Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis. Aplikasi vektor dalam bangun datar atau bangun ruang cukuplah banyak, diantaranya kita sudah membahas materi "aplikasi vektor : jarak titik ke garis", "aplikasi vektor : luas bangun datar", dan "aplikasi vektor : volume bangun ruang". Pada dimensi tiga, sebenarnya juga kita pelajari materi "jarak dua garis bersilangan", namun pengerjaannya menggunakan konsep keruangan pada dimensi tiga dimana menurut kami memang tidak mudah dalam aplikasi pengerjaan pada soalnya. Nah pada konsep vektor yaitu Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis ini, kita hanya terfokus pada pengerjaan soalnya menggunakan konsep vektor yaitu "proyeksi orthogonal vektor pada vektor" khususnya panjang vektor proyeksinya. Hal-hal yang harus teman-teman kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis yaitu "pengertian vektor dan penulisannya", "panjang vektor", "perkalian dot", "perkalian silang dua vektor", dan "panjang proyeksi vektor".

Langkah-langkah Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas. Misalkan kita akan mencari jarak antara garis $ g_1 $ dan garis $ g_2 $. Garis $ g_1 $ dan $ g_2 $ diwakili oleh masing-masing vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $. Pada garis $ g_1 $ kita pilih titik A. Berikut langkah-langkah menentukan jarak dua garis bersilangan menggunakan konsep vektor :
1). Impitkan kedua pangkal vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $ di titik A.
2). Kita buat bidang W melalui kedua vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $.
3). Tentukan vektor normal yang tegak lurus dengan bidang W yaitu vektor $ \vec{u} $ dengan $ \vec{u} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 $.
4). Tentukan salah satu vektor dari garis $ g_1 $ ke garis $ g_2 $, misalkan vektor $ \vec{AC} $.
5). Jarak kedua garis adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor $ \vec{u} $.

Dapat kita ringkas rumus jaraknya yaitu :
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AD} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BD} $ ke $ \vec{u} $.

Contoh Soal Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis

1). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak BG dan CE!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis BG dan CE :
B(12, 12, 0); G(0, 12, 12); C(0, 12, 0) dan E(12, 0, 12)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (-12, 0, 12) $
$ \vec{CE} = \vec{e} - \vec{c} = (12, -12, 12) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{BG} \times \vec{CE} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -12 & 0 & 12 \\ 12 & -12 & 12 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 144\vec{j} +144\vec{k}) - (-144\vec{i} - 144\vec{j} + 0) \\ & = 144\vec{i} + 288\vec{j} + 144\vec{k} = (144, 288 , 144 ) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{144^2 + 288^2+144^2} = 144\sqrt{6} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan BG dan CE, misalkan kita pilih vektor $ \vec{BE} $ yaitu $ \vec{BE} = \vec{e} - \vec{b} = (0, -12, 12) $
*). Jarak BG ke CE adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{BE} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{BE} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(0, -12, 12).(144, 288 , 144 ) }{144\sqrt{6}} \right| \\ & = \left| \frac{0 + (-12).288 + 12. 144 }{144\sqrt{6}} \right| \\ & = \left| \frac{-12. 144 }{144\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-12 }{ \sqrt{6}} \right| = \frac{12 }{ \sqrt{6}} = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan CE adalah $ 2 \sqrt{6} \, $ cm.

2). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak BG dan AC!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis BG dan AC :
B(6, 6, 0); G(0, 6, 6); A(6, 0, 0) dan C(0, 6, 0)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (-6, 0, 6) $
$ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-6, 6, 0) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{BG} \times \vec{AC} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 0 & 6 \\ -6 & 6 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 -36\vec{j} -36\vec{k}) - (36\vec{i} + 0 + 0) \\ & = -36\vec{i} -36\vec{j} -36\vec{k} = (-36, -36, -36) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{(-36)^2 + (-36)^2+(-36)^2} = 36\sqrt{3} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan BG dan AC, misalkan kita pilih vektor $ \vec{BA} $ yaitu $ \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (0, -6, 0) $
*). Jarak BG ke AC adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{BA} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{BA} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(0, -6, 0).(-36, -36, -36) }{36\sqrt{3} } \right| \\ & = \left| \frac{0 + 6. 36 + 0}{36\sqrt{3} } \right| \\ & = \left| \frac{6.36}{36\sqrt{3} } \right| = \left| \frac{6 }{ \sqrt{3}} \right| = \frac{6 }{ \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan AC adalah $ 2 \sqrt{3} \, $ cm.

3). Sebuah balok ABCD.EFGH memiliki panjang 6 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 3 cm. Jika titik M adalah titik tengah EF, maka tentukan jarak AG dan DM!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis AG dan DM :
A(4, 0, 0): G(0, 6, 3); D(0, 0, 0) dan M(4, 3, 3)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{AG} = \vec{g} - \vec{a} = (-4, 6, 3) $
$ \vec{DM} = \vec{m} - \vec{d} = (4, 3, 3) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{AG} \times \vec{DM} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 6 & 3 \\ 4 & 3 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = (18\vec{i} + 12\vec{j} -12\vec{k}) - (9\vec{i} - 12\vec{j} + 24\vec{k}) \\ & = 9\vec{i} + 24\vec{j} -36\vec{k} = (9, 24, -36) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{9^2 + 24^2+(-36)^2} = \sqrt{1953} = 3\sqrt{217} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan AG dan DM, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AD} $ yaitu $ \vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = (-4, 0, 0) $
*). Jarak AG ke DM adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AD} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{AD} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{AD}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-4, 0, 0).(9, 24, -36) }{ 3\sqrt{217}} \right| \\ & = \left| \frac{-36 +0 + 0}{ 3\sqrt{217} } \right| \\ & = \left| \frac{-36}{ 3\sqrt{217}} \right| = \left| \frac{12 }{ \sqrt{217}} \right| = \frac{12}{217}\sqrt{217} \end{align} $
Jadi, jarak AG dan DM adalah $ \frac{12}{217}\sqrt{217} \, $ cm.

4). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jika titik P, Q, dan R terletak ditengah-tengah rusuk AB, EH, dan CD, maka tentukan jarak PQ dan FR!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
 

*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis PQ dan FR:
P(6, 3, 0); Q(3, 0, 6); F(6, 6, 6) dan R(0, 3, 0)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-3, -3, 6) $
$ \vec{FR} = \vec{r} - \vec{f} = (-6, -3, -6) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{PQ} \times \vec{FR} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & 6 \\ -6 & -3 & -6 \end{matrix} \right| \\ & = (18\vec{i} -36\vec{j} + 9\vec{k}) - (-18\vec{i} + 18\vec{j} + 18\vec{k}) \\ & = 36\vec{i} - 54\vec{j} -9\vec{k} = (36 , -54 , -9) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{36^2 + (-54)^2+(-9)^2} = 9\sqrt{53} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan PQ dan FR, misalkan kita pilih vektor $ \vec{PR} $ yaitu $ \vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = (-6, 0, 0) $
*). Jarak PQ ke FR adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{PR} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{PR} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{PR}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-6, 0, 0).(36 , -54 , -9) }{ 9\sqrt{53} } \right| \\ & = \left| \frac{-216 +0 + 0}{ 9\sqrt{53} } \right| \\ & = \left| \frac{-216}{ 9\sqrt{53} } \right| = \left| \frac{24 }{ \sqrt{53}} \right| = \frac{24}{53}\sqrt{53} \end{align} $
Jadi, jarak PQ dan FR adalah $ \frac{24}{53}\sqrt{53} \, $ cm.

5). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak AH dan CF!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis AH dan CF :
A(6, 0, 0); H(0, 0, 6); C(0, 6, 0) dan F(6, 6, 6)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{AH} = \vec{h} - \vec{a} = (-6, 0, 6) $
$ \vec{CF} = \vec{f} - \vec{c} = (6, 0, 6) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{AH} \times \vec{CF} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 0 & 6 \\ 6 & 0 & 6 \end{matrix} \right| \\ & = (0 +36\vec{j} + 0 ) - (0 -36\vec{j} + 0 ) \\ & = 72\vec{j} = (0, 72, 0 ) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{0^2 + 72^2+0^2} = 72 $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan AH dan CF, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AC} $ yaitu $ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-6, 6, 0 ) $
*). Jarak AH ke CF adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{AC} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-6, 6, 0 ).(0, 72, 0 ) }{72} \right| \\ & = \left| \frac{0 + 6. 72 + 0}{72} \right| \\ & = \left| \frac{6.72}{72 } \right| = 6 \end{align} $
Jadi, jarak AH dan CF adalah $ 6 \, $ cm.

       Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi Vektor Tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : Jarak titik ke bidang".

Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang yang merupakan salah satu bagian dari aplikasi vektor, dimana sebelumnya kita telah membahas aplikasi vektor yang lainnya yaitu "aplikasi vektor : jarak titik ke garis" dan "aplikasi vektor : luas bangun datar". Dengan mempelajari Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini, akan menambah wawasan kepada kita semua bahwa untuk mencari atau menentukan volume bangun ruang selain dengan menggunakan rumus volume yang sudah kita pelajari di tingkat SMP, ternyata volume bangun datar juga bisa kita hitung dengan menggunakan konsep vektor. Untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi "pengertian vektor dan penulisannya", "panjang vektor", "perkalian dot dua vektor", "perkalian silang dua vektor", dan "proyeksi orthogonal vektor pada vektor". Salah satu bangun ruang yang akan kita bahas adalah Paralel Epipedum , prisma, dan limas dalam Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini.

Rumus Aplikasi vektor : Volume Bangun Ruang
$ \spadesuit \, $ Volume Paralel Epipedum
       Perhatikan bangun ruang di atas. Paralel Epipedum adalah benda ruang bersisi 6 yang sisi-sisi sejajarnya kongruen dan masing-masing sisinya berupa jajargenjang. Paralel Epipedum terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$. Rumus volume Paralel Epipedum yaitu :
    Volume $ = |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \clubsuit \, $ Volume Limas Segitiga
       Perhatikan gambar limas segitiga di atas yang terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$. Rumus volume limas segitiga dengan konsep vektor yaitu :
    Volume $ = \frac{1}{6} |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = \frac{1}{6} |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = \frac{1}{6} |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \clubsuit \, $ Volume Limas Segiempat
       Volume Limas segiempat dengan alas berbentuk persegi, persegi panjang, belah ketupat, atau jajargenjang, dimana limas terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$ yaitu :
    Volume $ = \frac{1}{3} |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = \frac{1}{3} |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = \frac{1}{3} |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \heartsuit \, $ Volume prisma segi empat
       Rumus Volume prisma segi empat (alasnya persegi atau persegi atau belahketupat) sama dengan rumus volume Paralel Epipedum di atas.
Catatan :
*). Bentuk $ \vec{a} \times \vec{b} \, $ adalah perkalian silang yang menghasilkan vektor.
*). Bentuk $ \vec{a} . \vec{b} \, $ adalah perkalian dot yang menghasilkan skalar.
*). bentuk $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| \, $ artinya nilainya selalu positif.
*). Bentuk $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| \, $ artinya kita bisa menghitung volumenya dengan memilih salah satu rumus karena hasilnya akan sama, misalkan cukup menggunakan rumus $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| $ saja dengan mengerjakan operasi yang didalam kurung terlebih dahulu.

Contoh soal Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang

1). Tentukan volume Paralel Epipedum yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} = (3, -1 , 2) $ , $ \vec{v} = (1, 0 , -2) $ , dan $ \vec{w} = (2, 1, 3) $ !
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| $.
*). Menentukan hasil $ \vec{v} \times \vec{w} $ :
$ \begin{align} \vec{v} \times \vec{w} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = (0.3.\vec{i} + (-2).2.\vec{j} + 1.1.\vec{k}) - (-2.1.\vec{i} + 1.3.\vec{j} + 0.2.\vec{k}) \\ & = - 4\vec{j} + \vec{k} + 2\vec{i} - 3\vec{j} \\ & = 2\vec{i} - 7\vec{j} + \vec{k} \\ & = ( 2 , -7 , 1) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) $
$ \begin{align} \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) & = (3, -1 , 2) . ( 2 , -7 , 1) \\ & = 3.2 + (-1).(-7) + 2.1 \\ & = 6 + 7 + 2 = 15 \end{align} $
*). Menentukan volume Paralel Epipedum
Volume $ = | \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) | = | 15 | = 15 $
Jadi, volume Paralel Epipedum tersebut adalah 15 satuan volume.

Gambar balok ABCD.EFGH berikut adalah untuk contoh soal nomor 2,3,4, dan 5.
Untuk memudahkan, mari kita daftar titik-titik sudut masing-masing yaitu :
A(5, 0, 0) ; B(5, 6, 0) ; C(0, 6, 0) ; D(0,0,0) ; E(5, 0, 4) ;
F(5, 6, 4) ; G(0, 6, 4) ; dan H(0, 0, 4) .

2). Tentukan volume Balok ABCD.EFGH di atas.
Penyelesaian :
Cara I : Rumus volume balok $ = p . l . t $
Pada gambar , $ p = 6, l = 5, t = 4 $.
Volume $ = p.l.t = 6.5.4 = 120 \, $ satuan volume.

Cara II : Aplikasi vektor .
*). Alas balok adalah ABCD yang terbentuk oleh vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AD} $
$ \vec{AB} = (0, 6, 0 ) $ dan $ \vec{AD} = (-5, 0 , 0 ) $
*). Balok ABCD. EFGH terbentuk juga oleh vektor $ \vec{AE} $
$ \vec{AE} = (0, 0, 4) $
*). Volume balok $ = | \vec{AE} . (\vec{AB} \times \vec{AD} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{AB} \times \vec{AD} $ :
$ \begin{align} \vec{AB} \times \vec{AD} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + 0) - (0 + 0 -30\vec{k}) \\ & = 30 \vec{k} \\ & = ( 0 , 0 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AE}.(\vec{AB} \times \vec{AD}) $
$ \begin{align} \vec{AE}.(\vec{AB} \times \vec{AD}) & = (0, 0, 4) . ( 0 , 0 , 30 ) \\ & = 0 + 0 + 120 = 120 \end{align} $
Sehingga volume balok ABCD.EFGH adalah 120 satuan volume.
(hasilnya sama dengan cara I ).

3). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segitiga F.ACH!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut
*). Limas segitiga F.ACH terbentuk dari :
alas segitiga ACH dengan $ \vec{AC} = (-5, 6, 0) $ dan $ \vec{AH} = (-5, 0, 4) $
vektor ketiga $ \vec{AF} = (0, 6, 4) $
*). Volume Limas F.ACH $ = \frac{1}{6} | \vec{AF} . (\vec{AC} \times \vec{AH} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{AC} \times \vec{AH} $ :
$ \begin{align} \vec{AC} \times \vec{AH} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{matrix} \right| \\ & = (24\vec{i} + 0 +0) - (0 -20\vec{j} - 30\vec{k}) \\ & = 24\vec{i} + 20\vec{j} + 30 \vec{k} \\ & = (24, 20 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AF}.(\vec{AC} \times \vec{AH}) $
$ \begin{align} \vec{AF}.(\vec{AC} \times \vec{AH}) & = (0, 6, 4) . (24, 20 , 30 ) \\ & = 0 + 120 + 120 = 240 \end{align} $
*). Volume limas F.ACH :
Volume $ = \frac{1}{6} | \vec{AF} . (\vec{AC} \times \vec{AH} ) | = \frac{1}{6} |240 | = 40 $
Sehingga volume limas F.ACH adalah 40 satuan volume.

4). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segitiga E.BCD!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut
*). Limas segitiga E.BCD terbentuk dari :
alas segitiga BCD dengan $ \vec{BC} = (-5, 0, 0) $ dan $ \vec{BD} = (-5, -6, 0) $
vektor ketiga $ \vec{BE} = (0, -6, 4) $
*). Volume Limas E.BCD $ = \frac{1}{6} | \vec{BE} . (\vec{BC} \times \vec{BD} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{BC} \times \vec{BD} $ :
$ \begin{align} \vec{BC} \times \vec{BD} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 0 & 0 \\ -5 & -6 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 +30\vec{k}) - (0 + 0 + 0) \\ & = 30 \vec{k} \\ & = (0, 0 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) $
$ \begin{align} \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) & = (0, -6, 4) . (0, 0 , 30 ) \\ & = 0 + 0 + 120 = 120 \end{align} $
*). Volume limas E.BCD :
Volume $ = \frac{1}{6} | \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) | = \frac{1}{6} |120 | = 20 $
Sehingga volume limas E.BCD adalah 20 satuan volume.

5). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segiempat A.PQRS dengan titik P, Q, R, dan S berturut-turut terletak ditengah-tengah garis CD, CG, GH, dan DH!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut
Koordinat titik A(5, 0, 0) ; P(0, 3, 0) ; Q(0, 6, 2) : S(0, 0, 2)
*). Limas segiempat A.PQRS terbentuk dari :
alas PQRS dengan $ \vec{PQ} = (0, 3, 2) $ dan $ \vec{PS} = (0, -3 , 2) $
vektor ketiga $ \vec{PA} = (5, -3, 0 ) $
*). Volume Limas A.PQRS $ = \frac{1}{3} | \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{PQ} \times \vec{PS} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} \times \vec{PS} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (6\vec{i} + 0 +0) - (-6\vec{i} + 0 + 0) \\ & = 12\vec{i} \\ & = (12, 0, 0 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $\vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) $
$ \begin{align} \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) & = (5, -3, 0 ) . (12, 0, 0 ) \\ & = 60 + 0 + 0 = 60 \end{align} $
*). Volume limas A.PQRS :
Volume $ = \frac{1}{3} | \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} )| = \frac{1}{3} |60 | = 20 $
Sehingga volume limas A.PQRS adalah 20 satuan volume.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang :

$ \heartsuit \, $ Volume Paralel Epipedum
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
*). Alas Paralel Epipedum adalah jajargenjang yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas alas $ = | \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi Paralel Epipedum adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume Paralel Epipedum (berbentuk prisma) :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = | \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume Paralel Epipedum $ = \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

$ \heartsuit \, $ Volume Limas Segitiga
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
*). Alas Limas adalah segitiga yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas alas $ = \frac{1}{2}| \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi limas segitiganya adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume limas segitiga :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \frac{1}{3} \times \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{6} \times | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume limas segitiga $ = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

$ \heartsuit \, $ Volume Limas Segiempat
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
*). Alas Limas adalah segiempat yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas alas $ = | \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi limas segitiganya adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume limas segiempat :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \frac{1}{3} \times \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{3} \times | \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{3} \times | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume limas segiempat $ = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

       Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi Vektor tingkat SMA" yaitu "Aplikasi vektor : Jarak dua garis bersilangan".

Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "aplikasi vektor : jarak titik ke garis", pada artikel ini kita lanjutkan lagi pembahasan aplikasi vektor yang lainnya yaitu Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar. Luas bangun datar yang akan kita hitung adalah bangun datar yang diketahui titik-titik sudutnya. Setiap bangun datar pada intinya tersusun dari beberapa segitiga, sehingga kita harus bisa menghitung luas segitiga dengan aplikasi dari vektor. Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar melibatkan rumus "perkalian silang antara dua vektor" yaitu khusus menentukan panjangnya. Untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi "pengertian vektor dan penulisannya" dan "perkalian silang dua vektor". Selain itu juga tentu kita harus mengetahui rumus luas segitiga dan luas bangun datar lainnya serta rumus "perbandingan trigonometri segitiga siku-siku". Pada SBMPTN, soal-soal berkaitan Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar ini sering keluar untuk soal matematika IPA (saintek). Langsung saja kita pelajari materi "Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar" ini secara mendetail berikut ini.

Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar
       Perhatikan ilustrasi gambar jajar genjang dan segitiga yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
$ \spadesuit \, $ Luas jajar genjang
Rumus luas jajar genjangnya yaitu :
     Luas jajargenjang $ = |\vec{u} \times \vec{v}| $
$ \clubsuit \, $ Luas segitiga
Rumus luas segitiga yaitu :
     Luas segitiga $ = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| $
Catatan :
$ |\vec{u} \times \vec{v}| = \, $ besar/panjang vektor $ \vec{u} \times \vec{v} $

Pembuktian Rumus luas bangun datar :
*). Rumus panjang perkalian silang dua vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
$ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin \theta $.
*). Perhatikan sudut $ \theta $ pada jajar genjang,
$ \sin \theta = \frac{t}{|\vec{v}|} \rightarrow t = |\vec{v}| \sin \theta $

*). Luas jajargenjang
       Perhatikan jajargenjang di atas, luas jajar genjangnya :
$ \begin{align} \text{Luas jajargenjang} & = \text{alas } \times \text{ tinggi} \\ & = |\vec{u}| \, t \\ & = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta \\ & = |\vec{u} \times \vec{v}| \end{align} $
Jadi, terbukti luas jajargenjang $ = |\vec{u} \times \vec{v}| $ .

*). Luas segitiga
Segitiga adalah bangun datar yang bentuknya separuh dari jajargenjang seperti pada gambar di atas, sehingga luas segitiga :
$ \begin{align} \text{luas segitiga } & = \frac{1}{2}\text{ luas jajargenjang} \\ & = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiga $ = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| $.

Contoh Soal Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar

1). Tentukan luas jajar genjang dan luas segitiga yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} = (-1,2,3) $ dan $ \vec{v} = (2, -1,2) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil perkalian silangnya $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (2.2.\vec{i} + 3.2.\vec{j} + (-1).(-1).\vec{k}) - (-1.3.\vec{i} + (-1).2.\vec{j} + 2.2.\vec{k}) \\ & = (4\vec{i} + 6\vec{j} + \vec{k}) - (-3\vec{i} -2\vec{j} + 4\vec{k}) \\ & = 7\vec{i} + 8\vec{j} -3\vec{k} \\ & = ( 7 , 8 , -3) \end{align} $
*). Menentukan luas jajargenjangnya :
$ \begin{align} \text{Luas jajargenjang} & = |\vec{u} \times \vec{v}| \\ & = \sqrt{7^2 + 8^2 + (-3)^2} \\ & = \sqrt{49 + 64 + 9} = \sqrt{112} \\ & = \sqrt{16.7} = 4\sqrt{7} \end{align} $
Jadi, luas jajargenjangnya adalah $ 4\sqrt{7} $ satuan luas.

*). Menentukan luas segitiganya :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2} . 4\sqrt{7} = 2\sqrt{7} $
Jadi, luas segitiga yang terbentuk adalah $ 2\sqrt{7} $ satuan luas.

2). Diketahui vektor $ \vec{a} = ( 1, -2 , 0) $ dan $ \vec{b} = ( -3, 1, p) $ . Jika luas jajargenjang yang dibentuk oleh $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 3\sqrt{5} $ satuan luas, maka tentukan semua nilai $ p $ yang mungkin!
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil perkalian silang $ \vec{a} \times \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ -3 & 1 & p \end{matrix} \right| \\ & = (-2p\vec{i} + 0 + \vec{k} ) - ( 0 + p\vec{j} + 6\vec{k}) \\ & = -2p\vec{i} - p\vec{j} - 5\vec{k} \\ & = (-2p , -p , -5) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$ \begin{align} \text{Luas } & = |\vec{a} \times \vec{b}| \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{(-2p)^2 + (-p)^2 + (-5)^2} \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{4p^2 + p^2 + 25} \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{5p^2 + 25} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 45 & = 5p^2 + 25 \\ 5p^2 & = 20 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -2 $ atau $ p = 2 $

3). Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk seperti gambar berikut,
Tentukan luas bidang ACH!
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan perhitungan, sebaiknya kita identifikasi terlebih dahulu koordinat titiktitik sudut yang diperlukan.
*). Dari gambar yang tersedia kita dapat menyatakan bahwa koordinat titik
A(5, 0, 0) ; B(5, 6, 0) ; C(0, 6, 0) ; H(0, 0, 4) ; F(5, 6, 4) ; dan G(0, 6, 4).
*). Menentukan vektor $ \vec{AC} $ dan $ \vec{AH} $ :
$ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-5, 6, 0 ) $
$ \vec{AH} = \vec{h} - \vec{a} = (-5, 0, 4 ) $
*). Menentukan hasil perkalian silangnya $ \vec{AC} \times \vec{AH} $ :
$ \begin{align} \vec{AC} \times \vec{AH} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{matrix} \right| \\ & = (24\vec{i} + 0 + 0) - (0 -20\vec{j} - 30\vec{k}) \\ & = 24\vec{i} + 20\vec{j} + 30\vec{k} \\ & = ( 24 , 20 , 30) \end{align} $
*). Menentukan luas bidang ACH (segitiga) :
$ \begin{align} \text{Luas ACH} & = \frac{1}{2}|\vec{AC} \times \vec{AH}| \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{24^2 + 20^2 + 30^2} \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{1984} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 496} \\ & = \frac{1}{2} . 2\sqrt{ 496} = \sqrt{ 496} \end{align} $
Jadi, luas bidang ACH adalah $ \sqrt{ 496} $ satuan luas.

Luas Bangun Datar Diketahui koordinat titik sudutnya
       Untuk menghitung Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya adalah dengan menggunakan rumus yang mirip dengan determinan matriks. Rumus ini berlaku untuk semua bangun datar segi-$n$ yang diketahui koordinat titik-titik sudutnya.

*). Rumus luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2})] $

*). Rumus luas segiempat ABCD dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) , C(c_1,c_2) $ , dan $ D(d_1,d_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1d_2+d_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+d_1c_2+a_1d_2})] $

Catatan :
*). Begitu seterusnya untuk bangun datar segilima, segienam, dan lainnya berlaku mirip dengan rumus di atas.
*). Urutan titiknya harus berurutan sehingga membentuk bangun yang dihitung luasnya.
*). Dari rumus di atas, satu titik paling kiri kita ulang lagi letakkan di akhir paling kanan.

Contoh Soal Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar

4). Hitunglah luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya $A(-2,1), B(2,3) $, dan $ C(4,-5) $!

Penyelesaian :
*). Koordinatnya : $A(-2,1), B(2,3) $, dan $ C(4,-5) $
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -2 & 2 & 4 & -2 \\ 1 & 3 & -5 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-2.3+2.-5+4.1)-(2.1+4.3+-2.-5)] \\ & = \frac{1}{2} [(-6-10+4)-(2+12+10)] \\ & = \frac{1}{2} [(-12)-(24)] \\ & = \frac{1}{2} [-36] = -18 = 18 \end{align} $
(luas selalu bernilai positif).
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 18 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Untuk contoh lainnya tentang luas bangun datar yang diketahui koordinat titik sudutnya, silahkan baca pada artikel "Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya"

Pembuktian Rumus luas bangun datar yang diketahui koordinatnya :
$ \clubsuit \, $ Luas segitiga dengan koordinat $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $
*). Untuk menentukan luas segitiganya , kita bentuk dua vektor yaitu $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $ yang berpotongan di titik A.
$ \vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2 ) $ dan $ \vec{AC} = (c_1 - a_1, c_2 - a_2) $
*). Karena rumus perkalian silang hanya berlaku di R$^3$, maka kita tambahkan $ 0 $ pada vektor maing-masing yang searah dengan sumbu $ Z $ seperti berikut ini :
$ \vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2 , 0) $ dan $ \vec{AC} = (c_1 - a_1, c_2 - a_2, 0 ) $
*). Menentukan hasil perkalian silangnya $ \vec{AB} \times \vec{AC} $ :
$ \begin{align} \vec{AB} \times \vec{AC} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 - a_1 & b_2 - a_2 & 0 \\ c_1 -a_1 & c_2 - a_2 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + (b_1-a_1)(c_2-a_2)\vec{k} ) - ( 0 + 0 + (c_1-a_1)(b_2-a_2)\vec{k}) \\ & =[(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)]\vec{k} \\ & = (0,0,(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)) \end{align} $
*). Menentukan Luas segitiganya :
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta & = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{0^2 + 0^2 + [(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)]^2 } \\ & = \frac{1}{2} [(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)] \\ & = \frac{1}{2} [(b_1c_2 - b_1a_2 - a_1c_2 + a_1a_2)-(c_1b_2 - c_1a_2 - a_1b_2 + a_1a_2)] \\ & = \frac{1}{2} [b_1c_2 - b_1a_2 - a_1c_2 + a_1a_2 - c_1b_2 + c_1a_2 + a_1b_2 - a_1a_2] \\ & = \frac{1}{2} [b_1c_2 - b_1a_2 - a_1c_2 - c_1b_2 + c_1a_2 + a_1b_2] \\ & = \frac{1}{2} [ a_1b_2 + b_1c_2 + c_1a_2 - b_1a_2 - c_1b_2 - a_1c_2 ] \\ & = \frac{1}{2} [ (a_1b_2 + b_1c_2 + c_1a_2 ) - (b_1a_2 + c_1b_2 + a_1c_2 )] \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiga $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $ .

$ \spadesuit \, $ Luas segiempat dan lainnya
       Untuk membuktikan rumus luas segiempat dan segi lainnya, kita cukup menghitung dengan membagi-bagi bangunnya menjadi segitiga-segitiga, kemuadian luasnya kita jumlahkan, dengan sedikit pengaturan maka akan terbukti luas yang kita inginnkan. Silahkan teman-teman coba ya. Semoga berhasil.

       Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : Volume bangun ruang".