Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "perkalian dot dua vektor" dan "perkalian silang dua vektor" , pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan artikel Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang. Pada soal-soal seleksi masuk PTN seperti SBMPTN atau seleksi mandiri masuk PTN (perguruan tinggi negeri), soal-soal yang dikeluarkan tidak melulu dalam bentuk hitungan melainkan berkaitan dengan sifat-sifatnya seperti Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang jika berkaitan dengan vektor. Pada halaman ini, kita akan menyajikan masing-masing Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang yang diikuti dengan pembuktiannya. Setelah itu baru kita pelajari beberapa contoh soalnya. Untuk memudahkan mempelajari Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang ini, sebaiknya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi perkalian dot dan perkalian silang dengan baik karena pada pembuktiannya kita langsung menggunakan perhitungan sesuai definisi perkalian dot dan perkalian silangnya. Berikut Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang.

Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ di R$^2 $ atau di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol. Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot yaitu :
1). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $ (sifat komutatif)
2). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
5). $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
6). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a}. \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot :
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ dan $ \vec{c} = (c_1,c_2,c_3) $ di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol. (teman-teman juga bisa menggunakan vektor-vektor di R$^2$).
*). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = (a_1, a_2, a_3) . (b_1,b_2,b_3) \\ & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \\ & = b_1a_1 + b_2a_2 + b_3a_3 \\ & = (b_1,b_2,b_3) . (a_1, a_2, a_3) \\ & = \vec{b}. \vec{a} \end{align} $
Terbukti $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} $

*). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) & = (a_1, a_2, a_3). [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3). (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3) \\ & = a_1(b_1+c_1) + a_2(b_2+c_2) + a_3(b_3+c_3) \\ & = a_1b_1+a_1c_1 + a_2b_2+a_2c_2 + a_3b_3+b_3c_3 \\ & = (a_1b_1+a_2b_2 + a_3b_3) +( a_1c_1 +a_2c_2 +b_3c_3) \\ & = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \end{align} $
Terbukti $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} $

*). Pembuktian Sifat (3) :
$ \begin{align} (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} & = [(a_1, a_2, a_3) + (b_1,b_2,b_3)].(c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3).(c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1)c_1+ (a_2+b_2)c_2+ (a_3+b_3)c_3 \\ & = a_1c_1+b_1 c_1+ a_2c_2+b_2c_2+ a_3c_3+b_3c_3 \\ & = (a_1c_1+ a_2c_2 + a_3c_3) + (b_1 c_1+b_2c_2+b_3c_3) \\ & = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \end{align} $
Terbukti $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} $

*). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} k(\vec{a}.\vec{b}) & = k [(a_1, a_2, a_3) . (b_1,b_2,b_3)] \\ & = k [a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ] \\ & = k a_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \\ (k\vec{a}).\vec{b} & = [k(a_1, a_2, a_3)].(b_1,b_2,b_3) \\ & = (ka_1, ka_2, ka_3) .(b_1,b_2,b_3) \\ & = ka_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \\ \vec{a}.(k\vec{b}) & = (a_1, a_2, a_3).[k(b_1,b_2,b_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3).(kb_1,kb_2,kb_3) \\ & = a_1kb_1 + a_2kb_2 + a_3kb_3 \\ & = ka_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \end{align} $
Dari ketiga hasil di atas, terbukti bahwa
$ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $

*). Pembuktian sifat (5) : $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
Untuk pembuktian sifat (5) ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot".

*). Pembuktian sifat (6) :
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = 0 \\ |\vec{a}|| \vec{b}| \sin \theta & = 0 \\ \sin \theta & = 0 \\ \theta & = 90^\circ \end{align} $
Terbukti sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 90^\circ $ atau kita sebut $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ atau dapat kita tulis $ \vec{a} \bot \vec{b} $.

Sifat-sifat Operasi Perkalian Silang
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ di R$^3$ dan $ k $ skalar tak nol. Sifat-sifat Operasi Perkalian silang yaitu :
1). $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} \, $ (sifat anti komutatif)
2). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
5). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Sifat-sifat Operasi Perkalian Silang :
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ dan $ \vec{c} = (c_1,c_2,c_3) $ di di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol.
*). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \\ - \vec{b} \times \vec{a} & = - \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{matrix} \right| \\ & = -(a_3b_2 - a_2b_3 , a_1b_3 - a_3b_1 , a_2b_1 - a_1b_2 ) \\ & = (-a_3b_2 + a_2b_3 , -a_1b_3 + a_3b_1 , -a_2b_1 + a_1b_2 ) \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \end{align} $
Terbukti $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} $

*). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} & \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) \\ & = (a_1, a_2, a_3) \times [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3) \times (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3) \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1+c_1 & b_2+c_2 & b_3 +c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2(b_3+c_3) - a_3(b_2+c_2) , a_3(b_1+c_1) - a_1(b_3+c_3) , a_1(b_2+c_2) - a_2(b_1+c_1) ) \\ & \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) + (a_2c_3 - a_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 ) \\ & = (a_2b_3 + a_2c_3 - a_3b_2 - a_3c_2 , a_3b_1 + a_3c_1 - a_1b_3 - a_1c_3 , a_1b_2 + a_1c_2 - a_2b_1 - a_2c_1 ) \\ & = (a_2(b_3 + c_3) - a_3(b_2 +c_2) , a_3(b_1 + c_1) - a_1(b_3 +c_3) , a_1(b_2 + c_2) - a_2(b_1 +c_1) ) \end{align} $
Kedua bentuk di atas memiliki hasil yang sama.
Terbukti $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} $

*). Pembuktian sifat (3) :
$ \begin{align} & (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} \\ & = [(a_1, a_2, a_3) + (b_1,b_2,b_3)] \times (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3) \times (c_1,c_2,c_3) \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 + b_1 & a_2 + b_2 & a_3 + b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = ((a_2+b_2)c_3 - (a_3+b_3)c_2 , (a_3+b_3)c_1 - (a_1+b_1)c_3 , (a_1+b_1)c_2 - (a_2+b_2)c_1 ) \\ & \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2c_3 - a_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 ) + (b_2c_3 - b_3c_2 , b_3c_1 - b_1c_3 , b_1c_2 - b_2c_1 ) \\ & = (a_2c_3 - a_3c_2 + b_2c_3 - b_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 + b_3c_1 - b_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 + b_1c_2 - b_2c_1 ) \\ & = (a_2c_3 + b_2c_3 - a_3c_2 - b_3c_2 , a_3c_1 + b_3c_1 - a_1c_3 - b_1c_3 , a_1c_2 + b_1c_2 - a_2c_1- b_2c_1 ) \\ & = ((a_2 + b_2)c_3 - (a_3+b_3)c_2 , (a_3 + b_3)c_1 - (a_1+b_1)c_3 , (a_1 + b_1)c_2 - (a_2 + b_2)c_1 ) \end{align} $
Kedua bentuk di atas memiliki hasil yang sama.
Terbukti $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} $.

*). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} k(\vec{a} \times \vec{b}) & = k \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = k (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \\ (k\vec{a}) \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \\ \vec{a} \times (k\vec{b}) & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ kb_1 & kb_2 & kb_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2kb_3 - a_3kb_2 , a_3kb_1 - a_1kb_3 , a_1kb_2 - a_2kb_1 ) \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \end{align} $
Ketiga hasil di atas nilainya sama.
Terbukti $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $

*). Pembuktian sifat (5) :
Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = 0 \\ | \vec{a} \times \vec{b} | & = 0 \\ | \vec{a} | |\vec{b} | \sin \theta & = 0 \\ \sin \theta & = 0 \\ \theta & = 0^\circ \end{align} $
Karena sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 0^\circ $, maka kedua vektor ini sejajar. Jadi terbukti sifat (5).

Contoh soal Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang :

1). Dari bentuk berikut ini, manakah yang SALAH
A). $ \vec{a}.(\vec{b}.\vec{c}) = (\vec{a}.\vec{b}).\vec{c} $
B). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $
C). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $
D). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $
E). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
Penyelesaian :
*). dari sifat-sifat perkalian dot di atas, maka yang salah adalah option (A). Kenapa option A salah? berikut penjelasannya.
-). Perhatikan bentuk $ \vec{b}.\vec{c} $, hasilnya adalah skalar (bukan vektor).
-). bentuk $ \vec{a}.(\vec{b}.\vec{c}) $ = vektor dot skalar, tidak terdefinis karena perkalian dot berlaku hanya antara vektor dan vektor.
Karena tidak terdefinisi, maka otomatis option (A) salah.

2). Manakah dari pernyataan berikut yang SALAH !
A). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $
B). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $
C). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
D). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
E). $ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a} \, $
Penyelesaian :
*). Option atau pernyataan yang salah adalah option (E) karena pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif melainkan berlaku sifat anti komutatif yaitu $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} $ .

       Demikian pembahasan materi Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi vektor tingkat SMA" lainnya yaitu "proyeksi ortogonal vektor pada vektor".

Perkalian Silang Dua Vektor

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Perkalian Silang Dua Vektor atau biasa disebut Cross Product. Operasi Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor merupakan kelanjutan dari operasi lain pada vektor dimana sebelumnya kita telah membahas "penjumlahan dan pengurangan vektor", "perkalian skalar dengan vektor", dan "perkalian dot (perkalian titik) dua vektor". Perkalian Silang Dua Vektor menghasilkan vektor lain yang tegak lurus dengan kedua vektor yang dikalikan. Berbeda dengan perkalian dot yang menghasilkan skalar. Perkalian Silang Dua Vektor memiliki aplikasi yang cukup luas diantaranya menentukan jarak titik ke garis, menentukan luas bangun datar, volume bangun ruang, dan jarak dua garis bersilangan. Hal-hal yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor ini yaitu pengertian vektor dan penulisannya, panjang vektor dan vektor satuan, determinan matriks $ 3 \times 3 $ cara Sarrus, dan Penerapan trigonometri pada segitiga (luasnya). Perkalian Silang Dua Vektor hanya berlaku pada vektor di R$^3$ saja.

Definisi Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product)
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas. Jika $ \vec{a} \neq 0 $ dan $ \vec{b} \neq 0 $ dalam ruang dapat diputar tanpa mengubah besar atau arah masing-masing sehingga titik pangkalnya berimpit, dengan kaidah tangan kanan (ulir kanan) didefinisikan bahwa:
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta , \, 0 \leq \theta \leq \pi $
dengan :
$ \vec{e} = \, $ vektor satuan yang tegak lurus $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $
$ \theta = \, $ sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $
$ \vec{a} \times \vec{b} \, $ dibaca "vektor $ \vec{a} $ kros vektor $ \vec{b} $ " atau cukup " $ \vec{a} $ kros $ \vec{b} $ "
(Thomas, 1986 : 727 - 730)
Menentukan Hasil Perkalian Silang Dua Vektor
       Mislkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ , hasil perkalian silang kedua vektor dapat kita tentukan dengan cara :
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \, $ atau
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} $

Bentuk penghitungan di atas dapat kita tuliskan dengan bentuk lainnya yang kita namakan "rumus determinan cross vektor" sebagai berikut :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} \end{align} $
Cara penghitungan "rumus determinan cross vektor" adalah sama dengan determinan matriks ordo $ 3 \times 3 $, silahkan baca aritikelnya pada "Determinan dan Invers Matriks".

Rumus panjang Hasil Perkalian Silang Dua Vektor
       Dari "definisi Perkalian Silang Dua Vektor" di atas, maka kita peroleh rumus panjang hasil Perkalian Silang Dua Vektor yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $

Contoh Soal Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product) :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = 2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k} $ dan $ \vec{b} = \vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k} $ . Tentukan hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil perkalian silang (Metode Sarrus) :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & | & \vec{i} & \vec{j} \\ 2 & -1 & 3 & | & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & | & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (-1.-2\vec{i} + 1.3\vec{j} + 2.2\vec{k}) - (2.3\vec{i} + 2.(-2)\vec{j} + 1.(-1)\vec{k}) \\ & = (2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}) - (6\vec{i} -4\vec{j} -\vec{k}) \\ & = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k} - 6\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k} \\ & = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \vec{a} \times \vec{b} = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} $.

2). Jika hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{a} = (p, 2, r) $ dan $ \vec{b} = (-1, 4, 3 ) $ adalah $ ( 2 , 5, -6) $ , maka tentukan nilai $ ( p + r)^{2017} + 2 $ !
Penyelesaian :
*). Diketahui $ \vec{a} \times \vec{b} = ( 2 , 5, -6) $
*). Menentukan $ \vec{a} \times \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ p & 2 & r \\ -1 & 4 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = ( 6\vec{i} -r\vec{j} + 4p\vec{k} ) - ( 4r\vec{i} + 3p\vec{j} - 2\vec{k}) \\ & = (6 - 4r)\vec{i} - ( r + 3p)\vec{j} + (4p + 2)\vec{k} \\ & = ( 6 - 4r , -r - 3p , 4p + 2 ) \end{align} $
*). Kedua hasil dari $ \vec{a} \times \vec{b} $ sama yaitu :
$ ( 2 , 5, -6) = ( 6 - 4r , -r - 3p , 4p + 2 ) $
Sehingga :
$ 2 = 6 - 4r \rightarrow 4r = 4 \rightarrow r = 1 $
$ -6 = 4p + 2 \rightarrow 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
*). Menentukan hasil $ ( p + r)^{2017} + 2 $ :
$ ( p + r)^{2017} + 2 = ( -2 + 1)^{2017} + 2 $
$ = (-1)^{2017} + 2 = -1 + 2 = 1 $
Jadi, hasil dari $ ( p + r)^{2017} + 2 = 1 $.

3). Sudut antara vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ adalah $ 30^\circ $. Jika $ |\vec{p}| = 4 $ dan $ |\vec{q}| = 5 $ , maka tentukan $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ :
$ \begin{align} |\vec{p} \times \vec{q}| & = |\vec{p} | |\vec{q}| \sin \theta \\ & = 4 \times 5 \sin 30^\circ \\ & = 20 \times \frac{1}{2} \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ |\vec{p} \times \vec{q}| = 10 $.

4). Diketahui vektor $ \vec{p} = (-1, 1, -1) $ dan $ \vec{q} = (2, -1 ,1) $ . Jika vektor $ \vec{a} $ yang panjangnya satu tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan tegak lurus vektor $ \vec{q} $ , maka tentukan vektor $ 3\sqrt{2}\vec{a} $ !
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{b} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ , artinya vektor $ \vec{b} $ adalah hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $, yaitu :
$ \begin{align} \vec{b} & = \vec{p} \times \vec{q} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = (\vec{i} -2\vec{j} + \vec{k}) - ( \vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}) \\ & = \vec{i} -2\vec{j} + \vec{k} - \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} \\ & = -\vec{j} - \vec{k} \\ & = (0 , -1, -1) \end{align} $
*). Vektor $ \vec{a} $ adalah vektor satuan dari vektor $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} & = \left( \frac{1}{|\vec{b}|} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{1}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} \right) ( 0, -1, -1) \\ & = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ( 0, -1, -1) \\ & = ( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} , -\frac{1}{\sqrt{2}} ) \end{align} $
*). Menentukan hasil $ 3\sqrt{2}\vec{a} $ :
$ \begin{align} 3\sqrt{2}\vec{a} & = 3\sqrt{2}( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} , -\frac{1}{\sqrt{2}} ) \\ & = ( 0, -3 , -3 ) \end{align} $
Jadi, hasil dari $ 3\sqrt{2}\vec{a} = ( 0, -3 , -3 ) $ .

Catatan :
Untuk contoh nomor 4 di atas, vektor $ \vec{a} $ yang panjangnya satu tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ dapat kita tentukan dengan cara :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} = \frac{\vec{p} \times \vec{q}}{|\vec{p} \times \vec{q}|} $
Silahkan teman-teman coba dengan rumus ini untuk mengerjakan kembali contoh soal nomor 4 di atas.

5). Sudut antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ 30^\circ $ dengan $ \vec{u} = ( x, -2 , 1) $ . Jika $ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{6} $ dan $ |\vec{v}| = \sqrt{2} $ , maka tentukan nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ x^2 $ :
$ \begin{align} |\vec{u} \times \vec{v}| & = |\vec{u} | |\vec{v}| \sin \theta \\ \sqrt{6} & = \sqrt{x^2 + (-2)^2 + 1^2} \times \sqrt{2} \sin 30^\circ \\ \sqrt{3}. \sqrt{2} & = \sqrt{x^2 + 5} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \\ \sqrt{3} & = \sqrt{x^2 + 5} \times \frac{1}{2} \\ 2\sqrt{3} & = \sqrt{x^2 + 5} \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 12 & = x^2 + 5 \\ x^2 & = 7 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 $ :
$ \begin{align} \sqrt{x^2 + 2} - 3 & = \sqrt{7 + 2} - 3 \\ & = \sqrt{9} - 3 \\ & = 3 - 3 = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 = 0 $.

6). Diketahui vektor $ \vec{p} = (5, 0, 0) $ dan $ \vec{q} = (3,2,1) $. Tentukan luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar :
Dari vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ terbentuk jajargenjang ABCD seperti pada gambar di atas.
*). Luas segitiga ABD dengan aturan sinus pada segitga dan $ |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p}| |\vec{q}| \sin \theta $.
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} AB \times AD \sin \theta \\ & = \frac{1}{2} |\vec{p}| |\vec{q}| \sin \theta \\ & = \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{q}| \end{align} $
*). Luas jajargenjang ABCD adalah 2 kali luas ABD :
Luas ABCD $ = 2 \times \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p} \times \vec{q}| $
*. Menentukan $ \vec{p} \times \vec{q} $ dan $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ :
$ \begin{align} \vec{p} \times \vec{q} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + 10\vec{k}) - ( 0 + 5\vec{j} +0) \\ & = -5\vec{j} + 10\vec{k} \\ & = (0 , -5, 10) \end{align} $
Nilai $ |\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} $
Artinya luas ABCD $ = |\vec{p} \times \vec{q}| = 5\sqrt{5} $
Jadi, luas jajargenjangnya adalah $ 5\sqrt{5} \, $ satuan luas.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Rumus penghitungan Perkalian Silang dua vektor
*). Definisi perkalian silang (cross product) :
$ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta , \, 0 \leq \theta \leq \pi $
*). Cara menghitung hasil perkalian silang dua vektor :
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) $
*). Pembktiannya :
-). dari definisi perkalian silang, kita peroleh :
$ \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} $ , $ \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i} $ , $ \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} $
$ \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k} $ , $ \vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i} $ , $ \vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j} $
$ \vec{i} \times \vec{i} = 0 $ , $ \vec{j} \times \vec{j} = 0 $ , $ \vec{k} \times \vec{k} = 0 $
-). hasil $ \vec{a} \times \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}) \times (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) \\ & = a_1b_1\vec{i} \times \vec{i} + a_1b_2\vec{i} \times \vec{j}+a_1b_3\vec{i} \times \vec{k} + a_2b_1\vec{j} \times \vec{i} + a_2b_2\vec{j} \times \vec{j} \\ & \, \, \, \, + a_2b_3\vec{j} \times \vec{k} + a_3b_1\vec{k} \times \vec{i} + a_3b_2\vec{k} \times \vec{j}+a_3b_3\vec{k} \times \vec{k} \\ & = 0 + a_1b_2\vec{k} +a_1b_3(-\vec{j}) + a_2b_1(-\vec{k}) + 0 + a_2b_3\vec{i} + a_3b_1\vec{j} + a_3b_2(-\vec{i}) + 0 \\ & = a_1b_2\vec{k} - a_1b_3 \vec{j} - a_2b_1 \vec{k} + a_2b_3\vec{i} + a_3b_1\vec{j} - a_3b_2 \vec{i} \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) $ .

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus panjang Perkalian Silang dua vektor
*). Rumus panjang hasil perkalian silang (cross product)
$ |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $
*). Pembuktiannya :
-). Dari definisi perkalian silangnya :
Panjang vektor satuannya satu : $ | \vec{e}| = 1 $
Nilai sinusnya : $ | \sin \theta | = \sin \theta \, $ untuk $ 0 \leq \theta \leq \pi $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \\ |\vec{a} \times \vec{b}| & = |\vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta | \\ & = |\vec{e} | |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta | \\ & = 1. |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \end{align} $
Jadi, terbukti $ |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $.

Untuk berikutnya silahkan bacar artikel "sifat operasi perkalian dot dan perkalian silang".

       Demikian pembahasan materi Perkalian Silang Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "Proyeksi Orthogonal Suatu Vektor ke Vektor Lain".

Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot

         Blog Koma - Setelah membahas materi "Perkalian dot dua vektor", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot. Sebenarnya artikel Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot ini merupakan kelanjutan atau lebih tepatnya bagian dari materi perkalian dot dua vektor, hanya saja agar tidak terlalu banyak yang dipelajari (artikel terlalu panjang), maka penulisannya kami pisah di sini. Hal-hal yang akan kita bahas adalah contoh-contoh soal dan pembuktian Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot. Karena masih terkait dengan perkalian dot, maka untuk memudahkan dalam mempelajari materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot, sebaiknya teman-teman harus menguasai definisi perkalian dot dua vektor dan nilai trigonometri sudut-sudut istimewa. Dan tentu kita juga harus memahami pengertian panjang pada vektor. Langsung saja kita pelajari rumus-rumusnya yang dilengkapi dengan contoh-contoh berikut ini.

Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ dengan $ \theta _1 $ sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $, $ \theta _2 $ sudut antara $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ , $ \theta _3 $ sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ , serta terdapat bilangan real $m $ , $ n $ , dan $ k $. Berlaku rumus-rumus panjang berkaitan perkalian dot berikut ini :

i). $ \vec{a}.\vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 $
ii). $ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iii). $ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iv). $ |m\vec{a} + n\vec{b}|^2 = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
$ \begin{align} \text{v). } & |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ \text{vi).} & |m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} |^2 = |m^2\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \end{align} $
Catatan :
Rumus panjang di atas masih dalam bentuk kuadrat dan dapat kita ubah dengan pengakaran.
Misalkan kita ambil satu rumus panjang berikut ini,
$ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
kita ubah menjadi :
$ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 } $

Contoh soal Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot :

1). Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut $ 45^\circ $. Jika diketahui $ |\vec{a}| = 3 $ dan $ |\vec{b}| = \sqrt{2} $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) $
b). $ \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) $
c). $ |\vec{a}+\vec{b}| $
d). $ |\vec{a} - \vec{b}| $
e). $ |\vec{a} - 3\vec{b}| $
f). $ |2\vec{a} + 3\vec{b}| $
Penyelesaian :
a). $ \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) & = \vec{a}.\vec{a} - \vec{a}.\vec{b} \\ & = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = 3^2 - 3. \sqrt{2} \cos 45^\circ \\ & = 9 - 3\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 9 - 3 = 6 \end{align} $

b). $ \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) & = 2\vec{a}.\vec{a} + 3\vec{a}.\vec{b} \\ & = 2|\vec{a}|^2 + 3|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = 2(3)^2 + 3.3.\sqrt{2}. \cos 45^\circ \\ & = 18 + 9\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 18 + 9 = 27 \end{align} $

c). $ |\vec{a}+\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a}+\vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2 +2.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 2 + 6\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{11 + 6 } = \sqrt{17} \end{align} $

d). $ |\vec{a} - \vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2 - 2.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 2 - 6\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{11 - 6 } = \sqrt{5} \end{align} $

e). $ |\vec{a} - 3\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a} - 3\vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 3.2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + 9(\sqrt{2})^2 - 6.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 18 - 18\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{27 - 18 } = \sqrt{9} = 3 \end{align} $

f). $ |2\vec{a} + 3\vec{b}| $
$ \begin{align} |2\vec{a} + 3\vec{b}| & = \sqrt{4|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 2.3.2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{4(3^2) + 9(\sqrt{2})^2 - 13.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{36 + 18 - 39\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{54 - 39 } = \sqrt{15} \end{align} $

2). Diketahui panjang vektor $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 2 $ , $ |\vec{c}| = 3 $. Sudut $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 60^\circ $ , sudut $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ adalah $ 45^\circ $ , sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ adalah $ 30^\circ $ .
a). Tentukan $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 $
b). Jika $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} $ , maka nilai $ p - q + r $ adalah ....?
Penyelesaian :
a). Menentukan $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 $
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ & = 4^2 + 2^2 + 3^2 + 2(4.2 \cos 60^\circ + 2.3. \cos 45^\circ + 4.3 \cos 30^\circ ) \\ & = 16 + 4 + 9 + 2(8. \frac{1}{2} +6. \frac{1}{2}\sqrt{2} + 12. \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \\ & = 29 + 2(4 +3\sqrt{2} + 6\sqrt{3} ) \\ & = 29 + 8 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} \\ & = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $.

b). Pada soal bagian (a) , kita sudah memperoleh :
$ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $, sehingga :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 & = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} \\ 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} & = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} \end{align} $
artinya nilai $ p = 37, q = 6 $ dan $ r = -12 $.
*). Mennetukan nilai $ p - q + r $
$ p - q + r = 37 - 6 + (-12) = 19 $
Jadi, nilai $ p - q + r = 19 $

3). Jika $ |\vec{a}| = 5 $ , $ |\vec{b}| = 3, $ dan $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7$ , maka tentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ 2\vec{a}.\vec{b} $ :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2 \vec{a}.\vec{b} \\ 7^2 & = 5^2 + 3^2 +2 \vec{a}.\vec{b} \\ 49 & = 25 + 9 + 2 \vec{a}.\vec{b} \\ 2 \vec{a}.\vec{b} & = 15 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $ :
$ \begin{align} |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a}.\vec{b} \\ & = 5^2 + 3^2 - 15 \\ & = 25 + 9 - 15 \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 19 \\ |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{19} $.

Cara II :
*). Jumlahkan kedua rumus berikut :
$ \begin{array}{cc} |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2 \vec{a}.\vec{b} & \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a}.\vec{b} & + \\ \hline |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2) & \end{array} $
*). Menentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $ :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2) \\ 7^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 2(5^2 + 3^2) \\ 49 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 68 \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 19 \\ |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{19} \end{align} $
Hasilnya sama dengan cara pertama di atas.

4). Diketahui sudut antara tiap pasang vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah $ 60^\circ $ di dalam R$^3$, serta $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 2 $ , dan $ |\vec{c}| = 6 $. Tentukan nilai $ |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| $ !
Penyelesaian :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ & = 4^2 + 2^2 + 6^2 + 2(4.2 \cos 60^\circ + 2.6. \cos ^\circ + 4.6 \cos 60^\circ ) \\ & = 16 + 4 + 36 + 2(8. \frac{1}{2} +12. \frac{1}{2} + 24. \frac{1}{2} ) \\ & = 56 + 2(4 + 6 + 12 ) \\ & = 56 + 44 \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = 100 \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 10 $.

5). Diketahui $ |\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 5 $ , dan $ |\vec{c} = 2 $. Jika $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a} . \vec{b} $
b). $ \vec{b} . \vec{c} $
c). $ \vec{a} . \vec{c} $
d). $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} $
Penyelesaian :
*). Pada sebuah vektor, panjang vektor $ \vec{p} $ sama dengan panjang vektor $ -\vec{p} $ atau dapat kita tulis $ |\vec{p}| = |-\vec{p}| $.
a). Menentukan $ \vec{a} . \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{a} + \vec{b} & = - \vec{c} \\ |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |- \vec{c}|^2 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} & = |\vec{c}|^2 \\ \vec{a}.\vec{b} & = \frac{|\vec{c}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 }{2} \\ & = \frac{2^2 - 3^2 - 5^2 }{2} \\ & = \frac{-30}{2} = -15 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} = -15 $.

b). Menentukan $ \vec{b} . \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{b} + \vec{c} & = - \vec{a} \\ |\vec{b} + \vec{c}|^2 & = |- \vec{a}|^2 \\ |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{b}.\vec{c} & = |\vec{a}|^2 \\ \vec{b}.\vec{c} & = \frac{|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 }{2} \\ & = \frac{3^2 - 5^2 - 2^2}{2} \\ & = \frac{-20}{2} = -10 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{b} . \vec{c} = -10 $.

c). Menentukan $ \vec{a} . \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{a} + \vec{c} & = - \vec{b} \\ |\vec{a} + \vec{c}|^2 & = |- \vec{b}|^2 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}.\vec{c} & = |\vec{b}|^2 \\ \vec{a}.\vec{c} & = \frac{|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{c}|^2 }{2} \\ & = \frac{5^2 - 3^2 - 2^2}{2} \\ & = \frac{20}{2} = 6 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{c} = 6 $.

d). Menentukan $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} & = -15 + (-10) + 6 = -19 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} = -19 $.

Cara II bagian (d) :
*). Karena $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 $, maka panjangnya $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | = 0 $.
*). Dari rumus berikut :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 +2(\vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ 0^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 +2(\vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} & = - \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2}{2} \\ & = - \frac{3^2 + 5^2 + 2^2}{2} \\ & = - \frac{38}{2} = - 19 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} = -19 $.

6). Diketahui $ |\vec{a}| = 3 $ , $ \vec{b}| = 6 $ , dan $ |\vec{c}| = 2 $. Jika $ 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} = 0 $ , maka tentukan nilia $ \vec{a}.\vec{b} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ :
$ \begin{align} 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} & = 0 \\ 2\vec{a} - \vec{b} & = - 3\vec{c} \\ |2\vec{a} - \vec{b}|^2 & = |- 3\vec{c}|^2 \\ |2\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(2\vec{a}).\vec{b} & = 9| \vec{c}|^2 \\ 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 4\vec{a}.\vec{b} & = 9| \vec{c}|^2 \\ \vec{a}.\vec{b} & = \frac{4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 9| \vec{c}|^2}{4} \\ & = \frac{4(3)^2 + 6^2 - 9(2)^2}{4} \\ & = \frac{36 + 36 - 36}{4} \\ & = \frac{36 }{4} = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ \vec{a}.\vec{b} = 9 $.

Pembkuktian Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot
Ingat definsi perkalian dot dua vektor berikut ini :
       $ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
dengan $ \theta \, $ adalah sudut kedua vektor.
       Dengan memahami atau bisa membutikan "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot" , harapannya kita tidak perlu menghafal semua rumusnya, namun cukup kita ingat Triknya. Trik penjabaran Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot adalah DIKUADRATKAN.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (i) :
       Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{a} $ membentuk sudut $ 0^\circ $ (karena berimpit) , sehingga dengan definisi perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a}^2 & = \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}||\vec{a}| \cos 0^\circ \\ & = |\vec{a}|^2 \times 1 \\ & = |\vec{a}|^2 \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a}^2 = \vec{a}. \vec{a} |\vec{a}|^2 $

Dari rumus panjang (i) ini memiliki arti : Dua buah vektor yang sama kita kalikan (perkalian dotnya) akan menghasilkan kuadrat dari panjangnya.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (ii) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a} + \vec{b} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (iii) :
$ \begin{align} (\vec{a} - \vec{b} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a} - \vec{b} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (iv) :
$ \begin{align} (m\vec{a} + n\vec{b} )^2 & = (m\vec{a})^2 + (n\vec{b})^2 + 2(m\vec{a}).(n\vec{b}) \\ |m\vec{a} + n\vec{b} |^2 & = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (v) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 +\vec{c}^2 + 2(\vec{a}.\vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ |\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3) \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (vi) :
$ \begin{align} (m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} )^2 & = (m\vec{a})^2 + (n\vec{b})^2 + (k \vec{c})^2 + 2((m\vec{a}).(n\vec{b}) + (n\vec{b}).(k\vec{c}) + (m\vec{a}).(k\vec{c})) \\ |\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} |^2 & = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3) \end{align} $
(Terbukti)

       Pembuktian rumus panjang di atas juga melibatkan "sifat perkalian dot dua vektor". Dari bentuk pembuktian di atas, trik dalam penjabaran "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot" adalah dengan melakukan pengkuadratan. Dengan cara ini, teman-teman juga bisa membuat atau menjabarkan rumus panjang lainnya.

       Demikian pembahasan materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA".

Perkalian Dot Dua Vektor

         Blog Koma - Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor yaitu "penjumlahan dan pengurangan pada vektor" dan "perkalian vektor dengan skalar", maka pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan operasi vektor berikutnya yaitu Perkalian Dot Dua Vektor (Dot Product). Seperti pada "pengertian vektor dan penulisannya", vektor dapat kita sajikan dalam bentuk aljabar dan bentuk geometri dimana dua vektor akan membentuk besar sudut tertentu. Nah, sudut antar dua vektor tersebut bisa kita hitung salah satunya dengan menerapkan konsep Perkalian Dot Dua Vektor. Baik di ujian nasional ataupun seleksi masuk PTN (SBMPTN atau lainnya), materi Perkalian Dot Dua Vektor sering dikeluarkan soal-soalnya, sehingga penting bagi kita untuk mempelajarinya dengan baik. Pada uraian Perkalian Dot Dua Vektor ini, kita akan membahas definisinya yang dilengkapi dengan pembuktiannya, dan tidak lupa akan kita sajikan berbagai variasi soal-soal Perkalian Dot Dua Vektor untuk bisa lebih memahaminya dengan lebih baik. Selain itu teman-teman harus menguasai materi "panjang vektor". Perhatikan ilustrasi gambar dua vektor berikut ini.

Definisi Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor
$ \spadesuit \, $ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Geometri
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3 ) $ dan vektor $ \vec{b} = (b_1, b_2,b_3 ) $ dimana kedua vektor membentuk sudut sebesar $ \theta $, maka berlaku rumus perkalian dot yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $.

$ \spadesuit \, $ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Aljabar
       Selain berlaku rumus perkalian dot seperti di atas, juga berlaku perkalian yang langsung melibatkan unsur-unsur vektornya, yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
Catatan :
*). Rumus perkalian dot (perkalian titik) ini juga berlaku untuk vektor dimensi dua. Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2 ) $ dan vektor $ \vec{b} = (b_1, b_2) $ , maka berlaku :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \, $ dan $ \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 $
*). Secara geometri, arah kedua vektor adalah menjauh dari sudut yang terbentuk.
*). Perkalian dot dua vektor menghasilkan skalar.

Contoh Soal Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (-1,2,3) $ , $ \vec{b} = (2,0,-2) $ , dan $ \vec{c}= (1, -3, 4 ) $. Tentukan hasil perkalian dot vektor-vektor berikut :
a). $ \vec{a}. \vec{b} $ dan $ \vec{b}. \vec{c} $
b). $ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) $
c). $ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) $
d). $ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ \vec{a}. \vec{b} $ dan $ \vec{b}. \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = (-1,2,3) . (2,0,-2) \\ & = -1.2 + 2.0 + 3.(-2) \\ & = -2 + 0 - 6 \\ & = -8 \\ \vec{b}. \vec{c} & = (2,0,-2) . (1, -3, 4 ) \\ & =2.1 + 0. (-3) + -2.4 \\ & = 2 + 0 - 8 \\ & = - 6 \end{align} $

b). Menentukan $ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{b}- \vec{c} & = (2,0,-2) - (1, -3, 4 ) \\ & = ( 2 - 1 , 0 - (-3) , -2 - 4 ) \\ & = (1 , 3, -6 ) \\ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) & = (-1,2,3) . (1 , 3, -6 ) \\ & = -1.1 + 2. 3 + 3. (-6) \\ & = -1 + 6 - 18 \\ & = -13 \end{align} $

c). Menentukan $ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a}- \vec{c} & = (-1,2,3) - (1, -3, 4 ) \\ & = ( -2, 5, -1 ) \\ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) & = (2,0,-2).( -2, 5, -1 ) \\ & = 2.(-2) + 0.5 + -2. (-1) \\ & = -4 + 0 + 2 \\ & = -2 \end{align} $

d). Menentukan $ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a}- \vec{b} & = (-1,2,3) - (2,0,-2) \\ & = ( -3, 2, 5 ) \\ \vec{b}+ \vec{c} & = (2,0,-2) + (1, -3, 4 ) \\ & = (3, -3, 2) \\ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) & = ( -3, 2, 5 ) . (3, -3, 2) \\ & = -9 + -6 + 10 \\ & = -5 \end{align} $

2). Jika $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ membentuk sudut $ 60^\circ $, dengan $ |\vec{p}| = 6 $ , $ |\vec{q}| = 5 $ , maka tentukan nilai $ \vec{p}.\vec{q} $!
Penyelesaian :
$ \begin{align} \vec{p}.\vec{q} & = |\vec{p}||\vec{q} | \cos \theta \\ & = 6 . 5. \cos 60^\circ \\ & = 30. \frac{1}{2} \\ & = 15 \end{align} $

3). Tentukan nilai kosinus sudut antara vektor $ \vec{a} = (2, -3,1) $ dan $ \vec{b} =(1,-2,3) $!
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ dan panjangnya :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = 2.1 + -3 . (-2) + 1.3 \\ & = 2 + 6 + 3 = 11 \\ |\vec{a}| & = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2 } = \sqrt{14} \\ |\vec{b}| & = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ dengan $ \theta $ adalah sudut antara kedua vektor.
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}| } \\ & = \frac{11 }{\sqrt{14}. \sqrt{14}} \\ & = \frac{11 }{14} \end{align} $
Jadi, nilai kosinus sudutnya adalah $ \frac{11}{14} $.

4). DIketahui vektor $ \vec{a} = (3, -5, 4) $ dan $ \vec{b} = (-2,1,2) $. Tentukan nilai sinus sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}| } \\ & = \frac{ -6 - 5 + 8 }{\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 4^2} . \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} } \\ & = \frac{ -3 }{\sqrt{50} . \sqrt{9} } = \frac{ -3 }{5\sqrt{2} .3 } \\ & = \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } \end{align} $
*). Karena nilai cosinusnya negatif, maka sudutnya ada di kuadran II, sehingga nilai sinusnya positif. Dengan rumus identitas trigonometri $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $ , kita peroleh :
$ \begin{align} \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta & = 1 \\ \sin ^2 \theta & = 1 - \cos ^2 \theta \\ \sin \theta & = \sqrt{ 1 - \cos ^2 \theta } \\ & = \sqrt{ 1 - ( \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } )^2 } \\ & = \sqrt{ 1 - \frac{1 }{50} } \\ & = \sqrt{ \frac{49 }{50} } \\ & = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7}{10}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai sinusnya adalah $ \frac{7}{10}\sqrt{2} $.

5). Jika $ \vec{p} = (k,2) $ dan $ \vec{q} = (5,3) $ dan $ \angle (\vec{p},\vec{q}) = \frac{\pi}{4} $ , maka tentukan nilai $ k $ positif yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Berdasarkan rumus perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{p}.\vec{q} & = |\vec{p}||\vec{q} | \cos \theta \\ k.5 + 2.3 & = \sqrt{k^2 + 2^2}. \sqrt{5^2 + 3^2} . \cos \frac{\pi}{4} \\ 5k + 6 & = \sqrt{k^2 + 4}. \sqrt{34} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ (5k + 6)^2 & = (\sqrt{k^2 + 4}. \sqrt{34} . \frac{1}{2}\sqrt{2} )^2 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = ( k^2 + 4). 34 . \frac{1}{4} . 2 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = ( k^2 + 4). 17 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = 17k^2 + 68 \\ 8k^2 + 60k - 32 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 2k^2 + 15k - 8 & = 0 \\ (2k-1)(k+8) & = 0 \\ k = \frac{1}{2} \vee k & = -8 \end{align} $
Karena $ k $ positif, maka $ k = \frac{1}{2} $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ k = \frac{1}{2} $.

6). Diketahui segitiga ABC dengan koordinat $ A(3,2) $ , $ B(4,2) $ , dan $ C(3, 2 + \sqrt{3}) $.
a). Tentukan besar sudut ABC,
b). Tentukan besar sudut antara $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $.
Penyelesaian :
a). Tentukan besar sudut ABC,
*). Ilustrasi gambar berikut :
*). Arah vektor harus keluar dari sudutnya, sehingga kita haris mencari vektor $ \vec{BA} $ dan $ \vec{BC} $ .
$ \begin{align} \vec{BA} & = A - B = (-1,0) \\ \vec{BC} & = A - B = (-1,\sqrt{3}) \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{BA} . \vec{BC} }{|\vec{BA}||\vec{BC}| } \\ & = \frac{ -1.(-1) + 0 . \sqrt{3} }{\sqrt{(-1)^2 + 0^2} . \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} } \\ & = \frac{ 1 + 0 }{\sqrt{1} . \sqrt{4} } \\ \cos \theta & = \frac{ 1 }{2 } \\ \theta & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut ABC adalah $ 60^\circ $.

b). Tentukan besar sudut antara $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $.
*). Perhatikan bentuk geometrinya berikut,
Karena $ \vec{AB} = - \vec{BA} $ , maka sudutnya sama dengan antara vektor $ -\vec{BA} $ dan vektor $ \vec{BC} $ yaitu $ \alpha $ (gambar b).
*). Menentukan vektor dan sudutnya :
$ \begin{align} \vec{AB} & = B - A = (1,0) \\ \vec{BC} & = A - B = (-1,\sqrt{3}) \\ \cos \alpha & = \frac{ \vec{AB} . \vec{BC} }{|\vec{AB}||\vec{BC}| } \\ & = \frac{ 1.(-1) + 0 . \sqrt{3} }{\sqrt{(1)^2 + 0^2} . \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} } \\ & = \frac{ -1 + 0 }{\sqrt{1} . \sqrt{4} } \\ \cos \alpha & = \frac{ -1 }{2 } \\ \alpha & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut ABC adalah $ 60^\circ $.

Catatan :
*). Jika teman-teman perhatikan secara geometri gambar a dan gambar b, maka $ \alpha $ dan $ \theta $ berpelurus, sehingga :
$ \alpha + \theta = 180^\circ \rightarrow \alpha + 60^\circ = 180^\circ \rightarrow \alpha = 120^\circ $.
*). Jika teman-teman bingun dalam menggambar secara geometri sudut antara dua vektor, maka tidak usah digambar, melainkan langsung saja kita hitung menggunakan rumus perkalian dotnya.

Dua Vektor Tegak Lurus berkaitan Perkalian Dot (perkalian titik)
Jika vektor $ \vec{a} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{b} $ (sudutnya $ 90^\circ$), maka berlaku :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = 0 $.
(Perkalian dotnya = mol)
Pembuktian :
*). Karena $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ , artinya sudutnya $ = 90^\circ $. Sehingga :
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 90^\circ \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \times 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} . \vec{b} = 0 $.

Contoh SOal Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor tegak lurus :

7). DIketahui vektor $ \vec{a} = (-1,3,2) $ , $ \vec{b} = (5, 3, -2 ) $ dan $ \vec{c} = (1,-2,3) $.
a). Apakah vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{b} $ !
b). Apakah vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{c} $ !
Penyelesaian :
a). Kita cek hasil perkalian dot vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{b} & = -1. 5 + 3.3 + 2. (-2) \\ & = -5 + 9 - 4 = 0 \end{align} $
Karena $ \vec{a} .\vec{b} = 0 $ , maka vektor $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $.

b). Kita cek hasil perkalian dot vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{c} & = -1.1 + 3.(-2) + 2.3 \\ & = -1 -6 + 6 = -1 \end{align} $
Karena $ \vec{a} .\vec{c} \neq 0 $ , maka vektor $ \vec{a} $ tidak tegak lurus $ \vec{c} $.

8). Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, m) $ dan $ \vec{v} = (-3, 2, 4) $. Jika $ \vec{u} $ tegak lurus vektor $ \vec{v} $ , maka tentukan nilai $ m^2 - 2m + 2017 $ !
Penyelesaian :
*). Syarat tegak lurus : $ \vec{u} .\vec{v} = 0 $
$ \begin{align} \vec{u} .\vec{v} & = 0 \\ 2.(-3) + -1. 2 + m.4 & = 0 \\ -6 - 2 + 4m & = 0 \\ 4m & = 8 \\ m & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ m^2 - 2m + 2017 $ :
$ \begin{align} m^2 - 2m + 2-17 & = 2^2 - 2.2 + 2-17 \\ & = 4 - 4 + 2017 \\ & = 2017 \end{align} $
Jadi, nilai $ m^2 - 2m + 2017 = 2017 $.

9). Jika vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut $ 60^\circ $ , serta vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{c} $, dengan $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 3 $ , dan $ \vec{c}| = 6 $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) $
b). $ \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) $
Penyelesaian :
*). Pada perkalian dot (perkalian titik) berlaku sifat distributif. Silahkan baca artikelnya pada "Sifat-sifat perkalian dot dan perkalian silang".
*). Karena $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{c} $ , maka $ \vec{a}.\vec{c} = 0 $.
a). Menentukan $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) & = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a}. \vec{c} \\ & = |\vec{a}| |\vec{b} | \cos 60^\circ + 0 \\ & = 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = 6 $.

b). Menentukan $ \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) & = 2(\vec{a}.\vec{c}) - 3(\vec{a}.\vec{b}) \\ & = 2.0 - 3|\vec{a}| |\vec{b} | \cos 60^\circ \\ & = 0 - 3 . 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = - 18 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) = -8 $.

10). Diketahui vektor-vektor $ \vec{p} = ( m, 2, 6 ) $ , $ \vec{q} = (-1,n,0) $ dan $ \vec{r} = (6k,3,7) $. Jika $ \vec{p} \bot \vec{q} $ dan $ \vec{q} \bot \vec{r} $ , maka tentukan nilai $ 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 $ !
Keterangan : simbol $ \bot \, $ artinya tegak lurus.
Penyelesaian :
*). Menentukan hubungan $ m , n , $ dan $ k $ :
-). $ \vec{p} $ tegak lurus $ \vec{q} $
$ \vec{p}.\vec{q} = 0 \rightarrow -m + 2n + 0 = 0 \rightarrow m = 2n \, $ ....(i)
-). $ \vec{q} $ tegak lurus $ \vec{r} $
$ \vec{q}.\vec{r} = 0 \rightarrow -6k + 3n + 0 = 0 \rightarrow k = \frac{n}{2} \, $ ....(ii)
*). Menentukan hasil akhir dengan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{align} 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 & = 16\left( \frac{n^2 + (\frac{n}{2})^2}{(2n)^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{n^2 + \frac{n^2}{4} }{4n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{n^2 + \frac{n^2}{4} }{4n^2} \times \frac{4}{4} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{4n^2 + n^2}{16n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{5n^2}{16n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{5 }{16 } \right) + 2012 \\ & = 5 + 2012 = 2017 \end{align} $
Jadi, nilai $ 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 = 2017 $.

Rumus panjang berkaitan perkalian dot (perkalian titik)
Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $, berlaku rumus-rumus panjang vektor berikut :
i). $ \vec{a}.\vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 $
ii). $ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iii). $ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iv). $ |m\vec{a} + n\vec{b}|^2 = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
$ \begin{align} \text{v). } & |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ \text{vi).} & |m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} |^2 = |m^2\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \end{align} $
       Untuk contoh soal dan pembuktian rumus-rumus panjang vektor berkaitan perkalian dot ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "Rumus Panjang vektor Berkaitan Perkalian Dot".

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Rumus perkalian dot secara aljabar
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
       Pada segitiga AOB di atas, vektor $ \vec{OA} = \vec{a} $ dan $ \vec{OB} = \vec{b} $ membentuk sudut $ \theta $.
*). Menentukan vektor dan panjangnya :
$ \begin{align} \vec{AB} & = \vec{b} - \vec{a} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2 , b_3 - a_3 ) \\ |\vec{AB}|^2 & = (b_1 - a_1)^2 + ( b_2 - a_2)^2 + ( b_3 - a_3 )^2 \\ & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \\ \vec{OA} & = \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) \\ |\vec{OA}|^2 & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \\ \vec{OB} & = \vec{b} = (b_1, b_2,b_3) \\ |\vec{OB}|^2 & = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \\ \end{align} $
*). Menentukan $ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 $ :
$ \begin{align} & |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 \\ & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \\ & \, \, \, \, -( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) - (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \\ & = - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \end{align} $
*). Berdasarkan aturan kosinus segitiga AOB dan definisi perkalian dot secara geometri :
$ \begin{align} |\vec{AB}|^2 & = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 - 2 |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \theta \\ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 & = - 2 |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \theta \\ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 & = - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) & = - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 & = \vec{a}.\vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Cara II :
*). Kita menggunakan vektor basis $ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} $
dengan $ \vec{i} = (1,0,0) , \vec{j} = (0,1,0) \, $ dan $ \vec{j} = (0,0,1) $.
panjang vektor basisnya : $ |\vec{i}| = 1 $ , $ |\vec{j}| = 1 $ , $ |\vec{k}| = 1 $.
Sudut antara masing-masing vektor adalah $ 90^\circ $.
*). Dengan definisi perkalian dot (peralian titik) dua vektor yaitu :
$ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
kita peroleh :
$ \vec{i}.\vec{i} = |\vec{i}||\vec{i}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{j}.\vec{j} = |\vec{j}||\vec{j}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{k}.\vec{k} = |\vec{k}||\vec{k}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{i}.\vec{j} = |\vec{i}||\vec{j}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
$ \vec{j}.\vec{k} = |\vec{j}||\vec{k}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
$ \vec{i}.\vec{k} = |\vec{i}||\vec{k}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
*). Vektor $ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k} $ dan $ \vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k} $
*). Menentukan hasil perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}). (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) \\ & = a_1\vec{i}.b_1\vec{i} + a_1\vec{i}.b_2\vec{j}+a_1\vec{i}.b_3\vec{k} + a_2\vec{j}.b_1\vec{i} + a_2\vec{j}.b_2\vec{j} \\ & \, \, \, \, + a_2\vec{j}.b_3\vec{k} + a_3\vec{k}.b_1\vec{i} + a_3\vec{k}.b_2\vec{j}+a_3\vec{k}.b_3\vec{k} \\ & = a_1b_1\vec{i}.\vec{i} + 0+0 + 0 + a_2b_2\vec{j}.\vec{j} + 0 + 0 + 0+a_3b_3\vec{k}.\vec{k} \\ & = a_1b_1. 1 + a_2b_2. 1 + a_3b_3. 1 \\ & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $.

       Demikian pembahasan materi Perkalian Dot Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product)".

Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan yang berkaitan dengan penyelesaian pertidaksamaan. Garis bilangan pertidaksamaan biasanya kita perlukan ketika akar-akar (pembuaat nol) pada pertidaksamaannya lebih dari satu. Nah, terkadang tidak semua kita bisa dengan mudah dalam Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan. Sebenarnya Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan ini sudah kita bahas dalam artikel "Pertidaksamaan secara Umum", namun hanya secara sekilas saja (tidak terlalu mendalam). Pada materi "Pertidaksamaan secara Umum", telah dibahas tentang 'Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan' dimana salah satu langkahnya adalah kita membutuhkan garis bilangan dan tandanya yaitu $ + $ atau $ - $ . Catatan : pada pembahasan artikel ini, kita hanya khusus membahas bentuk garis bilangan dan tanda pada setiap intervalnya yaitu $ + $ atau $ - $ saja. Berikut langkah-langkah umum penyelesaian pertidaksamaan untuk berbagai jenis pertidaksamaan.

Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan
       Langkah - langkah berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan :

$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ - $ setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ - $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)

$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.

$\spadesuit $ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2
         Seperti yang kita ketahui bersama, jenis-jenis pertidaksamaan ada banyak, diantaranya yaitu Pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan (rasional), pertidaksamaan bentuk akar (irrasional), pertidaksamaan nilai mutlak, pertidaksamaan eksponen, pertidaksamaan logaritma, pertidaksamaan trigonometri, dan pertidaksamaan dalam bentuk kombinasinya (gabungan beberapa jenis pertidaksamaan). Nah, ternyata Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan sama semua, termasuk cara penyelesaiannya mengikuti langkah-langkah umum di atas. Berikut Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan secara lebih mendalam dengan berbagai bentuk atau jenis pertidaksamaan.

Cara menentukan tanda $+$ atau $ - $ pada garis bilangan
       Untuk menentukan tanda $ + $ atau $ - $ pada garis bilangan, nolkan ruas kanan pertidaksamaan, kemudian pilih angka dari selang yang terbentuk pada garis bilangan dan substitusikan ke persamaan yang terbentuk di ruas kiri.
Catatan :
*). Kami sarankan untuk memilih $ x $ yang mudah di hitung ketika kita substitusikan ke persamaannya.
*). Jangan memilih akar-akarnya sebagai titik uji.

Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan yang dijelaskan di atas adalah secara garis besar yaitu kita harus mengecek satu persatu setiap intervalnya. Namun, jika intervalnya ada banyak, maka akan banyak waktu yang terbuang untuk mengecek satu persatu tanda untuk setiap intervalnya. Nah untuk memudahkan, kita akan bahas trik-trik khusus dalam Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan. Kita bagi dalam dua bentuk fungsi yaitu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri dengan pembahasannya masing-masing.

$ \spadesuit \, $ Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan Pertidaksamaan Fungsi Aljabar.
       Ada dua kemungkinan tanda yang terbentuk yaitu :
1). Tanda selang-seling jika akarnya sebanyak ganjil,
2). Tanda tidak selang-seling jika akarnya sebanyak genap.
Catatan :
*). Tanda selang-seling maskudnya adalah setelah + pasti $ - $ atau sebaliknya yaitu setelah $ - $ pasti $ + $.
*). Jika teman-teman tidak yakin dengan tanda + atau $ - $ yang sudah dibuat, maka sebaiknya kita uji satu persatu intervalnya untuk memastikan tanda + atau $ - $ nya sudah benar, karena jawaban akhir kita tergantung dari benar atau salahnya garis bilangan dan tandanya.

Contoh soal Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan

1). Tentukan garis bilangan dari pertidaksamaan berikut :
a). $ x(x-1)(x+3) \geq 0 $
b). $ (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 > 0 $
c). $ (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 \leq 0 $
d). $ (x+4)^3(x-1)^2 \geq 0 $
Penyelesaian :
a). $ x(x-1)(x+3) \geq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Faktor dari $ x(x-1)(x+3) = 0 $ yaitu $ x, x - 1, x + 3 $
-). faktor I : $ x = 0 \, $ , ada satu akar (sebanyak ganjil)
-). faktor II : $ x - 1 = 0 \rightarrow x = 1 \, $ , ada satu akar (sebanyak ganjil)
-). faktor III : $ x + 3 = 0 \rightarrow x = -3 \, $ , ada satu akar (sebanyak ganjil)
*). Karena semua akar-akarnya masing-masing sebanyak ganjil, maka pasti tandanya akan selang-seling untuk interval yang bergantian. Berikut kita cek salah satu interval yang paling kiri dengan memilih $ x = -4 $.
$ x = -4 \rightarrow x(x-1)(x+3) = -4.(-4-1)(-4+3) = - \times - \times - = - $ (negatif)
Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ \geq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh. Misalkan kita cek salah satu akarnya yaitu $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow x(x-1)(x+3) \geq 0 \rightarrow 1.(1-1)(1+3) \geq 0 \rightarrow 0 \geq 0 \, $ (BENAR).

b). $ (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 > 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Faktor dari $ (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 = 0 $ yaitu $ (x+2)^2, (x-5), (x+1)^3 $
-). faktor I : $ (x+2)^2 = 0 \rightarrow (x+2)(x+2) = 0 \rightarrow x = -2 , x = -2 $,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
-). faktor II : $ (x-5) = 0 \rightarrow x = 5 \, $ ,
ada satu akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor III : $ (x+1)^3 = 0 \rightarrow (x + 1)(x+1)(x+1) = 0 \rightarrow x = -1, x = -1, x = -1$ ,
ada tiga akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 = (0+2)^2(0-5)(0+1)^3 = + \times - \times + = - $ (negatif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ - $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ > $ (tidak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tidak ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan kosong. Misalkan kita cek salah satu akarnya yaitu $ x = 1 $ :
$ x = -1 \rightarrow (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 > 0 \rightarrow (-1+2)^2(-1-5)(-1+1)^3 > 0 \rightarrow 0 > 0 \, $ (SALAH).

c). $ (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 \leq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Faktor dari $ (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 = 0 $ yaitu $ (x+3), (x-1)^3, (x+1)^5 $
-). faktor I : $ x + 3 = 0 \rightarrow x = -3 $,
ada satu akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x-1)^3 = 0 \rightarrow x = 1, x = 1, x = 1 \, $ ,
ada tiga akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor III : $ (x+1)^5 = 0 \rightarrow x = -1, x = -1, x = -1, x = -1, x = -1 $ ,
ada lima akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 = (0+3)(0-1)^3(0+1)^5 = + \times - \times + = - $ (negatif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ - $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ \leq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.

d). $ (x+4)^3(x-1)^2 \geq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Faktor dari $ (x+4)^3(x-1)^2 = 0 $ yaitu $ (x+4)^3,(x-1)^2 $
-). faktor I : $ (x+4)^3 = 0 \rightarrow x = -4, x = -4 , x = -4 $,
ada tiga akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x-1)^2 = 0 \rightarrow x = 1, x = 1 \, $ ,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (x+4)^3(x-1)^2 = (0+4)^3(0-1)^2 = + \times + = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ \geq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.
Solusi dari bentuk garis bilangannya adalah $ x \geq 1 $.

2). Tentukan bentuk garis bilangan dan tandanya dari pertidaksamaan berikut ini :
a). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 > 0 $
b). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 < 0 $
c). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \geq 0 $
d). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \leq 0 $
Penyelesaian :
a). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 > 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Faktor dari $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 = 0 $ yaitu $ x^2, (x-3)^2, (x+2)^4 $
-). faktor I : $ x^2 = 0 \rightarrow x.x = 0 \rightarrow x = 0 , x = 0 $,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
-). faktor II : $ (x-3)^2 = 0 \rightarrow x = 3, x = 3 \, $ ,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
-). faktor III : $ (x+2)^4 = 0 \rightarrow x = -2, x = -2, x = -2 , x = -2 $ ,
ada empat akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow x^2(x-3)^2(x+2)^4 = 1^2(1-3)^2(1+2)^4 = + \times + \times + = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 1 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ > $ (tidak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tidak ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan kosong.
Solusinya adalah : $ x < -2 $ atau $ -2 < x < 0 $ atau $ 0 < x < 3 $ atau $ x > 3 $.

Contoh soal nomor 2 ini sebenarnya mirip, hanya saja tanda ketaksamaannya saja yang berbeda. Sehingga garis bilangannya mirip hanya saja yang berbeda adalah daerah arsiran dan bulatannya.

b). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 < 0 $
gambar garis bilangannya :

Karena tanda ketaksamaannya $ < $ (tidak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tidak ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan kosong.
Solusinya adalah himpunan kosong karena tidak ada interval yang bertanda $ - $ (negatif).

c). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \geq 0 $
gambar garis bilangannya : 
Karena tanda ketaksamaannya $ \geq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.
Solusinya adalah : $ x \in R $ (Semua nilai $ x $ memenuhi).

d). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \leq 0 $
gambar garis bilangannya : 
Karena tanda ketaksamaannya $ \leq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.
Solusinya adalah : $ x = -2, x = 0 , x = 3 $ (hanya akar-akarnya saja).

3). Tentukan garis bilangan dan tandanya dari pertidaksamaan berikut :
a). $ \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^3(x-3)} \leq 0 $
b). $ \frac{(x+5)(x+3)^2}{(x+1)^2(x+3)^3} > 0 $
Penyelesaian :
a). $ \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^3(x-3)} \leq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Pembilangnya :
Faktor dari $ (x-1)(x+2)^2 = 0 $ yaitu $ (x-1), (x+2)^2 $
-). faktor I : $ (x-1) = 0 \rightarrow x = 1 $,
ada satu akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x+2)^2 = 0 \rightarrow x = -2, x = -2 \, $ ,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
Penyebutnya :
Faktor dari $ (x+1)^3(x-3) = 0 $ yaitu $ (x+1)^3, (x-3) $
-). faktor III : $ (x+1)^3 = 0 \rightarrow x = -1 , x = -1, x = -1 $,
ada tiga akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor IV : $ (x-3) = 0 \rightarrow x = 3 \, $ ,
ada satu akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 1 $
$ x = 0 \rightarrow \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^3(x-3)} = \frac{(0-1)(0+2)^2}{(0+1)^3(0-3)} = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ \leq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh kecuali akar-akar penyebutnya karena penyebut pecahan tidak boleh bernilai nol.

b). $ \frac{(x+5)(x+3)^2}{(x+1)^2(x+3)^3} > 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Pembilangnya :
Faktor dari $ (x+5)(x+3)^2 = 0 $ yaitu $ (x+5), (x+3)^2 $
-). faktor I : $ (x+5) = 0 \rightarrow x = -5 $,
ada satu akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x+3)^2 = 0 \rightarrow x = -3, x = -3 $, ada dua akar
Penyebutnya :
Faktor dari $ (x+1)^2(x+3)^3 = 0 $ yaitu $ (x+1)^2, (x+3)^3 $
-). faktor III : $ (x+1)^2 = 0 \rightarrow x = -1 , x = -1 $,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
-). faktor IV : $ (x+3)^3 = 0 \rightarrow x = -3, x = -3, x = -3 $ ,ada tiga akar.
Akar pembilang dan penyebut ada yang sama yaitu $ x = -3 $ yang totalnya menjadi lima akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 1 $
$ x = 0 \rightarrow \frac{(x+5)(x+3)^2}{(x+1)^2(x+3)^3} = \frac{(0+5)(0+3)^2}{(0+1)^2(0+3)^3} = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ > $ (tidak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tidak ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan kosong.

$ \clubsuit \, $ Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan Pertidaksamaan Fungsi Trigonometri.
       Untuk pertidaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri, saran terbaik kami adalah sebaiknya kita cek satu persatu interval yang terbentuk karena pada pertidaksamaan trigonometri bentuk grafiknya yang periodik sehingga sulit bagi kita membuat kesimpulan tanda + atau $ - $ untuk interval-intervalnya. Jadi, teman-teman harus bersabar ya ketika menjumpai soal pertidaksamaan trigonometri. Dan demi hasil akhir yang benar, sebaiknya kita cek satu persatu intervalnya dengan substitusi $ x $ yang dipilih ke persamaan trigonometrinya. Seperti penyelesaian umum pertidaksamaan, menentukan akar-akar persamaan trigonometri agak lebih sulit dibandingkan dengan bentuk aljabar. Artinya jangan sampai sia-sia penyelesaian kita karena terjadi kesalahan pada garis bilangan dan tandanya. Silahkan baca artikelnya pada link "pertidaksamaan trigonometri". Tetap Semangad !!!^_^!!!

       Demikian pembahasan materi Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan dan contoh-contohnya. Semoga artikel ini bermanfaat untuk kita semua yang lagi mempelajari materi pertidaksamaan.