Rabu, 07 Desember 2016

Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran


         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "kedudukan dua lingkaran", pada artikel ini kita akan membahas tentang kelanjutan materi tersebut yaitu Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran. Tujuan materi Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran ini adalah untuk memantapkan pemahaman materi melalui beberapa variasi tipe soal. Namun sebelumnya, akan kita tuliskan kembali beberapa kemungkinan kedudukan dua lingkaran dengan syarat-syaratnya. Teman-teman sebaiknya juga membaca dulu artikel kedudukan dua lingkaran yang sudah kita upload sebelumnya.

         Agar memudahkan dalam mempelajari artikel variasi soal kedudukan dua lingkaran, teman-teman harus menguasai materi "persamaan lingkaran" (khususnya menentukan pusat dan jari-jarinya) , jarak antara dua titik (untuk mencari jarak antara dua pusat lingkaran), bentuk mutlak dan sifat pertidaksamaan bentuk mutlak

Beberapa Jenis kedudukan dua lingkaran
       Dari artikel "kedudukan dua lingkaran" sebelumnya, ada 8 jenis kedudukan dua lingkaran. Misalkan ada dua lingkaran dengan jari-jari masing-masing $ r_1 $ dan $ r_2 $, serta jarak kedua pusat lingkarannya adalah $ d $ dan kita tidak tahu lingkaran mana yang lebih besar. Berikut syarat masing-masing kedudukan dua lingkarannya :

$\spadesuit \, $ Lima jenis kedudukan dua lingkaran
Untuk memudahkan mengingat, perhatikan gambar berikut ini.
Dari gambar, ada 5 kemungkinan kedudukan dua lingkaran. Perhatikan gerakan lingkaran kecil (warna merah), seolah-olah bergerak terus menurus ke arah kanan lingkaran besar (warna biru) yang tetap. Nah untuk syaratnya, perhatikan garis bilangan di bawahnya, kedudukan (i) berada dipaling kiri $|r_1-r_2|$, kedudukan (ii) berada tepat di $|r_1-r_2|$, kedudukan (iii) diantara $|r_1-r_2| \, $ dan $ r_1 + r_2 $ , kedudukan (iv) berada tepat di $ r_1+r_2$ , dan kedudukan (v) berada di kanan $ r_1 + r_2 $.
Kedudukan dan syarat-syaratnya :
(i). Lingkaran berada di dalam lingkaran lain, syaratnya $ d < |r_1 - r_2| $
(ii). bersinggungan dalam, syaratnya $ d = |r_1 - r_2| $
(iii). berotongan, syaratnya $ |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 $
(iv). bersinggungan luar, syaratnya $ d = r_1 + r_2 $
(v). tidak berpotongan, syaratnya $ d > r_1 + r_2 $

$\clubsuit \, $ Tiga jenis kedudukan dua lingkaran sisanya
Tiga jenis kedudukan lainnya adalah :
(vi). Kosentris (sepusat), syaratnya kedua pusat lingkaran sama.
(vii). Ortogonal (tegak lurus), syaratnya $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
(viii). berpotongan tepat pada diameter, syaratnya $ d^2 = | r_1^2 - r_2^2 | $
Catatan :
*). Untuk gambar kedudukan (vi), (vii), dan (viii), teman-teman langsung bisa melihat gambarnya pada artikel "kedudukan dua lingkaran" sebelumnya.
*). bentuk $ |r_1 - r_2 | $ bertujuan agar hasil pengurangannya selalu positif karena nilai $ d $ (jarak pusat) juga selalu positif.
*). Bentuk mutlak $ |f(x) | = \sqrt{[f(x)]^2} $
*). Sifat pertidaksamaan mutlak yang kita gunakan yaitu :
$ |f(x)| < a , \, $ maka $ -a < f(x) < a \, $ dan
$ | f(x) > a , \, $ maka $ f(x) < -a \, $ atau $ f(x) > a $
berlaku sama juga untuk tanda ketaksamaan $ \leq \, $ dan $ \geq $.


Contoh variasi soal kedudukan dua lingkaran :
1). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan masing-masing :
L1 : $ x^2 + y^2 -2px + 4y + p^2 - 5p - 16 = 0 \, $ dan
L2 : $ x^2 + y^2 -2x - 2qy + q^2 - q - 2 = 0 $ .
Jika kedua lingkaran kosentris, maka tentukan nilai $ p + q \, $ dan jari-jari kedua lingkaran!

Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari dan pusat kedua lingkaran :
L1 : $ x^2 + y^2 -2px + 4y + p^2 - 5p - 16 = 0 $
nilai $ A = -2p, B = 4, C = p^2 - 5p - 16 $
Pusat L1,
$ a = -\frac{1}{2}A = - \frac{1}{2}(-2p) = p $
$ b = -\frac{1}{2}B = - \frac{1}{2}(4) = -2 $ Sehingga pusatnya : $ (a,b) = ( p , -2) $
Jari-jari L1,
$ r_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - C } = \sqrt{p^2 + (-2)^2 - (p^2 - 5p - 16)} = \sqrt{5p + 20} $
L2 : $ x^2 + y^2 -2x - 2qy + q^2 - q - 2 = 0 $
nilai $ A = -2, B = -2q, C = q^2 - q - 2 $
Pusat L2,
$ a = -\frac{1}{2}A = - \frac{1}{2}(-2) = 1 $
$ b = -\frac{1}{2}B = - \frac{1}{2}(-2q) = q $ Sehingga pusatnya : $ (a,b) = ( 1,q) $
Jari-jari L2,
$ r_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - C } = \sqrt{1^2 + q^2 - (q^2 - q - 2)} = \sqrt{q+3} $
*). Kedua lingkaran kosentris, artinya kedua lingkaran memiliki pusat yang sama sehingga :
$ \begin{align} \text{pusat L1 } & = \text{ pusat L_2} \\ ( p , -2) & = ( 1,q) \end{align} $
Artinya nilai $ p = 1 \, $ dan $ q = -2 $.
*). Nilai $ p + q = 1 + (-2) = -1 $.
*). Menentukan besar jari-jari kedua lingkaran :
$ r_1 = \sqrt{5p + 20} = \sqrt{5 . 1 + 20} = \sqrt{25} = 5 $
$ r_2 = \sqrt{q + 3} = \sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1 $
Jadi, nilai $ p + q = -1 \, $ dan $ r_1 = 5, \, r_2 = 1. \, \heartsuit $.

2). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan masing-masing
L1 : $ (x+2)^2 + (y-2)^2 = r^2 \, $ dan
L2 : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $.
Tentukan besarnya jari-jari lingkaran kedua jika kedua lingkaran memiliki kedudukan :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.

Penyelesaian :
*). Menentukan pusat, jarak pusat, dan jari-jari :
L1 : $ (x+2)^2 + (y-2)^2 = r^2 $
Pusat L1 : $(-2,2) \, $ dan $ r_1 = \sqrt{r^2} = r $
L2 : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $
Pusat L2 : $(2,-1) \, $ dan $ r_2 = \sqrt{9} = 3 $
Jarak kedua pusat lingkaran ($d$) :
$ d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{25} = 5 $.

*). Menentukan besar jari-jari lingkaran pertama ($r$) jika
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ 5 & < |r - 3| \, \, \, \, \, \, \text{(atau sama dengan)} \\ |r - 3 | & > 5 \\ r - 3 & < -5 \vee r - 3 > 5 \\ r & < -5 + 3 \vee r > 5 + 3 \\ r & < -2 \vee r > 8 \end{align} $
Karena jari-jari positif, maka yang memenuhi $ r > 8 $.
Jadi, agar salah satu lingkaran ada di dalam lingkaran lainnya, maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ r > 8 $.

b). bersinggungan dalam,
Syaratnya $ d = | r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$\begin{align} d & = | r_1 - r_2 | \\ 5 & = | r - 3 | \\ | r - 3 | & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( r - 3 )^2 & = 5^2 \\ ( r - 3 )^2 - 5^2 & = 0 \\ ( r - 3 + 5 )(r - 3 - 5) & = 0 \\ ( r +2 )(r- 8) & = 0 \\ r = - 2 \vee r & = 8 \end{align} $
Jadi, jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = 8 $.

c). berpotongan,
Syarat $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |r - 3 | < & 5 < r + 3 \\ |r - 3 | < 5 & \cap 5 < r + 3 \\ -5 < r - 3 < 5 & \cap r + 3 > 5 \\ -5 + 3 < r - 3 + 3 < 5 + 3 & \cap r > 5 - 3 \\ -2 < r < 8 & \cap r > 2 \end{align} $
solusinya adalah irisan dari $ -2 < r < 8 \, $ dan $ r > 2 $ yaitu $ 2 < r < 8 $.
Jadi, agar kedua lingkaran berpotongan, maka besar jari-jarinya adalah $ 2 < r < 8 $.

d). bersinggungan luar,
Syarat $ d = r_1 + r_2 $
sehingga : $ d = r_1 + r_2 \rightarrow 5 = r + 3 \rightarrow r = 2 $.
Jadi, agar kedua bersinggungan luar, maka jari-jari lingkaran pertama $ r = 2 $.

e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $.
sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ 5 & > r + 3 \, \, \, \, \, \, \text{(atau sama dengan)} \\ r + 3 & < 5 \\ r & < 5 - 3 \\ r & < 2 \end{align} $
Jadi, agar kedua lingkaran tidak berpotongan maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ 0 < r < 2 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $.
sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ 5^2 & = r^2 + 3^2 \\ 25 & = r^2 + 9 \\ r^2 & = 16 \\ r & = 4 \end{align} $
Jadi, agar kedua lingkaran ortogonal maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = 4 $.

g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $.
sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ 5^2 & = |r^2 - 3^2| \\ 25 & = |r^2 - 9| \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 25^2 & = (r^2 - 9)^2 \\ (r^2 - 9 + 25)(r^2 - 9 - 25) & = 0 \\ (r^2 + 16)(r^2 -34) & = 0 \\ r^2 = - 16 \vee r^2 = 34 \end{align} $
yang memenuhi $ r^2 = 34 \rightarrow r = \sqrt{34} $
Jadi, jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = \sqrt{34} $ .


3). Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari masing-masing adalah 4 dan 7. $ d $ menyatakan jarak kedua pusat lingkaran. Tentukan nilai $ d $ jika kedua lingkaran memiliki keduduka :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.

Penyelesaian :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ d & < |4 - 7 | \\ d & < | - 3 | \\ d & < 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ 0 < d < 3 \, $ karena selalu positif.

b). bersinggungan dalam,
Syarat : $ d = |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = |r_1 - r_2 | \\ d & = |4 - 7 | \\ d & = |-3| \\ d & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ d = 3 $.

c). berpotongan,
Syarat : $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |4 - 7 | < & d < 4 + 7 \\ |-3 | < & d < 11 \\ 3 < & d < 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d $ adalah $ 3 < d < 11 $.

d). bersinggungan luar,
Syarat : $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = r_1 + r_2 \\ d & = 4 + 7 \\ d & = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d = 11 $.

e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ d & > 4 + 7 \\ d & > 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d > 11 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ d & = \sqrt{4^2 + 7^2 } \\ & = \sqrt{16 + 49 } \\ & = \sqrt{65 } \end{align} $
Jadi, nilai $ d =\sqrt{65} $

g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ d & = \sqrt{|4^2 - 7^2| } \\ & = \sqrt{|16 - 49| } \\ & = \sqrt{|-33| } \\ & = \sqrt{33 } \end{align} $
Jadi, nilai $ d =\sqrt{33} $

4). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan
L1 : $(x-p)^2 + y^2 = 25 \, $ dan
L2 : $ x^2 + y^2 = 9 $.
Tentukan nilai $ p \, $ jika kedudukan kedua lingkarannya :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.

Penyelesaian :
*). Menentukan pusat, jarak pusat, dan jari-jari lingkarannya :
L1 : $(x-p)^2 + y^2 = 25 \, $ dan
Pusat L1 : $( p,0) \, $ dan $ r_1 = \sqrt{25} = 5 $
L2 : $ x^2 + y^2 = 9 $.
Pusat L2 : $ ( 0,0 ) \, $ dan $ r_2 = \sqrt{9} = 3 $
Jarak kedua pusat ($d$) :
$ d =\sqrt{(p-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{p^2} = |p| $

a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ |p| & < |5 - 3 | \\ |p| & < 2 \\ -2 < p & < 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ -2 < d < 2 \, $ untuk kedudukan pertama ini.

b). bersinggungan dalam,
Syarat : $ d = |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = |r_1 - r_2 | \\ |p| & = |5-3| \\ |p| & = 2 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ p^2 & = 2^2 \\ p & = \pm \sqrt{4} \\ p & = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p= -2 \, $ atau $ p = 2 $.

c). berpotongan,
Syarat : $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |5 - 3 | < & |p| < 5 + 3 \\ 2 < & |p| < 8 \\ 2 < & p < 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p $ adalah $ 2 < p < 8 $.

d). bersinggungan luar,
Syarat : $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = r_1 + r_2 \\ |p| & = 5 + 3 \\ p & = \pm 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 \, $ atau $ p = 8 $.

e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ |p| & > 5 + 3 \\ |p| & > 8 \\ p < -8 & \vee p > 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p < -8 \, $ atau $ p > 8 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ |p|^2 & = 5^2 + 3^2 \\ p ^2 & = 34 \\ p & = \pm \sqrt{34} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = \sqrt{34} \, $ atau $ p = \sqrt{34} $

g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ |p|^2 & = |5^2 - 3^2| \\ p^2 & = |16| \\ p^2 & = 16 \\ p & = \pm 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -4 \, $ atau $ p = 4 $.

         Demikian pembahasan materi Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan irisan dua lingkaran. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.