Rabu, 22 Februari 2017

Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal. Sebelumnya telah kita bahas materi "Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi" dan "Pencerminan terhadap Garis $ y = mx + c $". Seperti komposisi transformasi yang lainnya, komposisi pencerminan juga melibatkan lebih dari satu pencerminan yang dilakukan secara berurutan terhadap suatu bangun atau benda tertentu. Sebenarnya refleksi atau pencerminan ada beberapa jenis yaitu pencerminan terhadap sumbu X, sumbu Y, garis $ y = x $, garis $ y = -x $, dan pencerminan terhadap pusat koordinat. Namun pada materi ini kita lebih fokuskan pada pembahsan Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal yaitu pencerminan terhadap garis $ y = h $ dan garis $ x = k $. Untuk jenis komposisi pencerminan yang tidak dibahas pada artikel ini, pengerjaannya mirip dengan maeri "komposisi transformasi dengan matriks" dimana titik pusatnya tidak ada atau dianggap (0,0).

Komposisi Pencerminan garis Vertikal sejajar sumbu Y
       Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ x = k $, dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ x = h $, maka bayangannya adalah :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2(h-k)+a,b) $

Penulisan dalam bentuk matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2(h-k) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Ilustrasi gambarnya :

Contoh soal Komposisi Pencerminan garis Vertikal sejajar sumbu Y :

1). Tentukan bayangan titik C(-2,1) jika dicerminkan terhadap garis $ x = 1 $ , lalu dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ x = 3 $!

Penyelesaian :
Cara I :
*). Kita bisa mengerjakan satu per satu pencerminannnya dengan rumus yang telah kita pelajari sebelumnya pada artikel "refleksi atau pencerminan pada transformasi", rumusnya pencerminan terhadap garis $ x = k $ dengan pencerminan pertama terhadap garis $ x = 1 $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2k \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \times 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dilanjutkan pencerminan kedua terhadap garis $ x = 3 $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^{\prime \prime} \\ b^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2k \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \times 3 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan akhir dari titik C adalah $ C^{\prime \prime} (2,1). \, \heartsuit $.

Silahkan baca : "operasi hitung pada matriks" untuk mempermudah dalam pengerjaan matriks transformasi berupa pencerminan di artikel ini.

Cara II :
*). Kita langsung menggunakan komposisi transformasi pencerminan seperti rumus di atas.
*). Pencerminan terhadap garis $ x = 1 $, dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ x = 3 $, artinya $ k = 1 $ dan $ h = 3 $. Bayangan titik C(-2,1) dapat kita tentukan sebagai berikut :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(h-k) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2(3 - 1) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C adalah $ C^\prime (2,1). \, \heartsuit $.

2). Tentukan bayangan dari persamaan $ y = x^2 - 5 $ jika dicerminkan terhadap garis $ x = -3 $ kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ x = 2$!

Penyelesaian :
*). Pencerminan terhadap garis $ x = -3 $ dilanjutkan lagi dengan $ x = 2 $, artinya $ k = -3 $ dan $ h = 2 $. Hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime )$ yaitu :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(h-k) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(2 - (-3)) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(5) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + 10 \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = x + 10 \rightarrow x = x^\prime - 10 $
$ y^\prime = y \rightarrow y = y^\prime $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = x^\prime - 10 $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 - 5 \\ y^\prime & = (x^\prime - 10)^2 - 5 \\ y^\prime & = {x^\prime}^2 - 20x^\prime + 100 - 5 \\ y^\prime & = {x^\prime}^2 - 20x^\prime + 95 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ y^\prime = {x^\prime}^2 - 20x^\prime + 95 $ atau $ y = x^2 - 20x + 95 $.
jadi, persamaan bayangannya adalah $ y = x^2 - 20x + 95. \, \heartsuit $.

Komposisi Pencerminan garis Horizontal sejajar sumbu X
       Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ y = m $, dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ y = n $, maka bayangannya adalah :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (a , 2(n - m)+b) $

Penulisan dalam bentuk matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(n-m) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Ilustrasi gambarnya :

Contoh soal Komposisi Pencerminan garis Horizontal sejajar sumbu X :

3). Tentukan bayangan titik A(1,-3) jika dicerminkan terhadap garis $ y = -1 $, kemudian dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y = 2 $!

Penyelesaian :
*). Pencerminan terhadap garis $ y = -1 $, dilanjutkan garis $ y = 2 $, artinya $ m = -1 $ dan $ n = 2 $. Bayangan titik A(1,-3) yaitu :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(n-m) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(2 - (-1)) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(3) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (1,3). \, \heartsuit $.

4). Tentukan bayangan persamaan garis $ 5x - y = 7 $ jika dicerminakan terhadap garis $ y = 1 $, kemudian dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y = 3 $!

Penyelesaian :
*). Dari soal kita peroleh $ m = 1 $ dan $ n = 3 $.
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(n-m) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(3 - 1) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(2) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} x \\ y + 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = x \rightarrow x = x^\prime $
$ y^\prime = y + 4 \rightarrow y = y^\prime - 4 $
*). Kita substitusikan $ x = x^\prime $ dan $ y = y^\prime - 4 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 5x - y & = 7 \\ 5x^\prime - (y^\prime - 4) & = 7 \\ 5x^\prime - y^\prime + 4 & = 7 \\ 5x^\prime - y^\prime & = 3 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ 5x^\prime - y^\prime = 3 $ atau $ 5x - y = 3 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ 5x - y = 3 . \, \heartsuit $.

Komposisi Pencerminan Garis Vertikal dan Horizontal (garis yang saling tegak lurus)
       Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ x = h $ dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ y = k $, bayangannya dapat kita hitung dengan cara :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2h - a , 2k - b) $

Penulisan dalam bentuk matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2h \\ 2k \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Ilustrasi gambarnya :

Contoh soal Komposisi Pencerminan garis Vertikal dan Horizontal (garis yang saling tegak lurus) :

5). Tentukan bayangan titik B(-2,-3) jika dicerminkan terhadap garis $ x = 1 $, kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ y = 5$!

Penyelesaian :
*). Dari soal kita peroleh $ h = 1 $ dan $ k = 5 $.
*). Menentukan bayangan titik B(-2,-3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2h \\ 2k \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \times 1 \\ 2 \times 5 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 10 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 13 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (4,13) . \, \heartsuit $.

6). Tentukan bayangan persamaan $ (x+5)^2 + y^2 = 3 $ jika dicerminkan terhadap garis $ x = -2 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = 1 $!

Penyelesaian :
*). Dari soal kita peroleh $ h = -2 $ dan $ k = 1 $.
*). Menentukan hubungan $(x,y) $ dan $ ( x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2h \\ 2k \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(-2) \\ 2(1) \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -4 -x \\ 2 - y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh hubungan :
$ x^\prime = -4 - x \rightarrow x = -x^\prime - 4 $
$ y^\prime = 2 - y \rightarrow y = -y^\prime + 2 $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = -x^\prime - 4 $ dan $ y = -y^\prime + 2 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} (x+5)^2 + y^2 & = 3 \\ (-x^\prime - 4+5)^2 + (-y^\prime + 2)^2 & = 3 \\ (-x^\prime + 1)^2 + (-y^\prime + 2)^2 & = 3 \\ [(-1)(x^\prime - 1)]^2 + [(-1)(y^\prime - 2)]^2 & = 3 \\ (-1)^2(x^\prime - 1)^2 + (-1)^2(y^\prime - 2)^2 & = 3 \\ (1).(x^\prime - 1)^2 + (1).(y^\prime - 2)^2 & = 3 \\ (x^\prime - 1)^2 + (y^\prime - 2)^2 & = 3 \end{align} $
Sehingga bayangannya : $ (x^\prime - 1)^2 + (y^\prime - 2)^2 = 3 $ atau $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 $
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 . \, \heartsuit $.

Catatan :
Jika teman-teman tidak terlalu menyukai pengerjaan komposisi pencerminan seperti di atas, maka sebaiknya kita lakukan pengerjaannya satu-satu saja dengan rumus perhitungan sebagai berikut yaitu :
*). Pencerminan terhadap garis $ x = k $ :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2k - a , b) $
*). Pencerminan terhadap garis $ y = h $ :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime ( a , 2h - b) $

       Demikian pembahasan materi Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi Pencerminan dua garis sembarang.