Senin, 20 Maret 2017

Komposisi Transformasi pada Dilatasi

         Blog Koma - Bentuk komposisi transformasi lainnya yang akan kita bahas yaitu materi Komposisi Transformasi pada Dilatasi, artinya kita akan menerapkan beberapa kali transformasi pada sebuah bangun atau benda dimana semua bentuk transformasinya berupa dilatasi. Dilatasi dalam penghitungannya juga menggunakan "matriks transformasi" yang juga berdasarkan titik pusat atau titik acuannya. Apakah semua matriks transformasinya langsung bisa dikalikan? Ternyata jawabannya tidak, karena dua atau lebih matriks transformasi berordo $ 2 \times 2 $ bisa dikalikan langsung dengan syarat harus memiliki titik pusat yang sama seperti yang sudah dijelaskan dalam artikel "Komposisi Transformasi dengan Matriks".

         Untuk memudahkan mempelajari materi Komposisi Transformasi pada Dilatasi ini, sebaiknya teman-teman pelajari juga materi sebelumnya yaitu "Dilatasi pada Transformasi Geometri", dan "operasi hitung pada matriks" terutama operasi perkalian matriks. Sementara untuk cara penghitungan dalam menentukan bayangan transformasinya, kita gunakan rumus umum transformasi yaitu
$ bayangan \, = matriks \, \times \, awal$.

Perkalian beberapa Matriks Dilatasi
       Misalkan diketahui beberapa matriks dilatasi, hasil perkaliannya sebagai berikut :
$ \left( \begin{matrix} k_1 & 0 \\ 0 & k_1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} k_2 & 0 \\ 0 & k_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} k_3 & 0 \\ 0 & k_3 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} k_4 & 0 \\ 0 & k_4 \end{matrix} \right) $
$ = \left( \begin{matrix} k_1 \times k_2 \times k_3 \times k_4 & 0 \\ 0 & k_1 \times k_2 \times k_3 \times k_4 \end{matrix} \right) $
Pengerjaan Komposisi Transformasi pada Dilatasi
       Misalkan suatu benda atau bangun dilakukan komposisi transformasi DIlatasi. Pertama didilatasi $T_1$ yang bersesuaian dengan matriks $ M_1$, dilanjutkan lagi dengan dilatasi $ T_2$ yang bersesuaian dengan matriks $M_2$, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi $T_3$ yang bersesuaian dengan matriks $M_3$. Penulisan komposisinya yaitu :
$ T_3 \circ T_2 \circ T_1 = M_3 . M_2 . M_1 $
(penulisannya dibalik sesuai urutan pengerjaannya).

$\clubsuit $ Menentukan bayangannya :
Jika semua jenis translasinya memiliki titik pusat atau titik acuan yang sama, maka kita bisa mengalikan semua matriks dilatasinya tanpa harus mengerjakan secara satu persatu dengan konsep komposisi matriks pada umumnya yaitu :
bayangan $ = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \, $ awal
*). titik pusat (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik pusat $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Catatan :
Jika dilatasi dengan masing-masing titik pusatnya berbeda, maka kita harus mengerjakannya satu persatu.

Contoh Soal Komposisi Transformasi pada Dilatasi :

1). Tentukan bayangan titik A(2,5) jika ditranslasi dengan titik pusat koordinat dan faktor skala 2, kemudian dilanjutkan lagi oleh dilatasi dengan titik pusat yang sama dengan faktor skala $-3$, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi pada titik pusat koordinat serta faktor skala $-1$?

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \, \, (k = -3) $
$T_3 \rightarrow M_3 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, \, (k = -1) $
*). Titik Pusat adalah pusat koordinat, artinya titik pusatnya ($0,0$).
*). Menentukan bayangan titik A(2,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \times -3 \times 2 & 0 \\ 0 & -1 \times -3 \times 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 12 \\ 30 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $A^\prime (12, 30) . \, \heartsuit $

2). Titik B($-1,2$) didilatasi dengan faktor skala 4, dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala $-2$ dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi yang faktor skalanya $ \frac{1}{2} $. Jika titik pusat ketiga dilatasi tersebut sama yaitu ($3, - 5$), maka bayangan titik B adalah ...?

*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \, \, (k = 4) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \, \, (k = -2) $
$T_3 \rightarrow M_3 = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \, \, (k = \frac{1}{2}) $
*). Titik Pusat sama yaitu $(a,b) = (3,-5) $.
*). Menentukan bayangan titik B($-1,2$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 - 3 \\ 2 - (-5) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} \times -2 \times 4 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \times -2 \times 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -4 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -4 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 16 & 0 \\ 0 & -28 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 19 & 0 \\ 0 & -33 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $B^\prime (19, -33) . \, \heartsuit $

3). Persamaan garis $ 2x - 3y = 5 $ didilatasi oleh faktor skala $ - 1 $, dilanjutkan dengan dilatasi oleh faktor skala $ 2 $, dan dilanjutkan lagi dilatasi dengan faktor skala 3. Jika titik pusat ketiga dilatasi itu sama yaitu ($-2,1$), maka tentukan bayangan persamaan garis tersebut!

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, \, (k = -1) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
$T_3 \rightarrow M_3 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \, \, (k = 3) $
*). Titik Pusat sama yaitu $(a,b) = (-2,1) $.
*). Menentukan hubungan ($x,y$) dan ($x^\prime , y^\prime $) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x - (-2) \\ y - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \times 2 \times -1 & 0 \\ 0 & 3 \times 2 \times -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x + 2 \\ y - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x + 2 \\ y - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6x - 12 \\ -6y + 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6x - 12 \\ -6y + 6 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime + 2 \\ y^\prime -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6x - 12 \\ -6y + 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh hubungan :
$ x^\prime + 2 = -6x - 12 \rightarrow x = \frac{- x^\prime - 14}{6} $
$ y^\prime -1 = -6y + 6 \rightarrow y = \frac{- y^\prime + 7 }{6} $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = \frac{- x^\prime - 14}{6} $ dan $ y = \frac{- y^\prime + 7 }{6} $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x - 3y & = 5 \\ 2 \times \frac{- x^\prime - 14}{6} - 3 \times \frac{- y^\prime + 7 }{6} & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 2 \times (- x^\prime - 14) - 3 \times (- y^\prime + 7) & = 30 \\ -2 x^\prime - 28 + 3 y^\prime - 21 & = 30 \\ -2 x^\prime + 3 y^\prime & = 79 \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya adalah $ -2 x^\prime + 3 y^\prime = 79 $ atau $ -2x + 3y = 79 $
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ -2x + 3y = 79 . \, \heartsuit $

4). Persamaan lingkaran $ (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4 $ didilatasi dengan faktor skala 3, lalu dilanjutkan lagi dengan dilatasi faktor skala $ 2 $. Jika titik pusat kedua dilatasi tersebut sama yaitu (0,0), maka tentukan luas bayangan persamaan lingkaran tersebut?

*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \, \, (k = 3) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
*). Titik Pusat adalah pusat koordinat, artinya titik pusatnya ($0,0$).
*). Menentukan hubungan ($x,y$) dan ($x^\prime , y^\prime$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 6x \\ 6y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh hubungan :
$ x^\prime = 6x \rightarrow x = \frac{1}{6}x^\prime $
$ y^\prime = 6y \rightarrow y = \frac{1}{6}y^\prime $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{6}x^\prime $ dan $ y = \frac{1}{6}y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} (x-2)^2 + (y+3)^2 & = 4 \\ ( \frac{1}{6}x^\prime - 2)^2 + (\frac{1}{6}y^\prime +3)^2 & = 4 \\ ( \frac{1}{6}x^\prime - \frac{12}{6})^2 + (\frac{1}{6}y^\prime +\frac{18}{6})^2 & = 4 \\ ( \frac{x^\prime - 12}{6})^2 + (\frac{y^\prime + 18}{6})^2 & = 4 \\ \frac{(x^\prime - 12)^2}{36} + \frac{(y^\prime + 18)^2}{36}) & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ (x^\prime - 12)^2 + (y^\prime + 18)^2 & = 4 \times 36 \\ (x^\prime - 12)^2 + (y^\prime + 18)^2 & = 144 \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya yaitu $ (x^\prime - 12)^2 + (y^\prime + 18)^2 = 144 $ atau
$ (x - 12)^2 + (y + 18)^2 = 144 $ dengan jari-jari $ r = \sqrt{144} = 12 $.
*). Menentukan luas bayangannya :
Luas bayangan lingkaran $ = \pi r^2 = \pi . 12^2 = 144 \pi \, $ satuan luas.
Jadi, luas bayangan lingkarannya adalah $ 144 \pi . \, \heartsuit $

Cara II untuk soal nomor (4) :
Untuk mencari luas bayangan, bisa menggunakan rumus :
$ \text{Luas bayangannya } = |M_2 . M_1| \times \text{ Luas awal} $
*). Menentukan luas awal lingkaran :
$ (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4 \, \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $
Luas awal lingkaran $ = \pi r^2 = \pi . 2^2 = 4 \pi $
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{ Luas bayangannya } & = |M_2. M_1| \times \text{ Luas awal} \\ & = \left| \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \right| \times 4\pi \\ & = \left| \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) \right| \times 4\pi \\ & = (6.6 - 0.0) \times 4\pi \\ & = 36 \times 4\pi \\ & = 144 \pi \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah $ 144 \pi$.

5). Tentukan bayangan titik D($1,-3$) jika didilatasi oleh faktor skala 2 dengan titik pusat (2,1), dilanjutkan dengan dilatasi faktor skala $-3$ dengan titik pusat ($-3,1$)?

Penyelesaian :
*). Karena titik pusat kedua dilatasi berbeda, maka kita kerjakan satu-satu.
*). Dilatasi pertama : faktor skala 2 dan titik pusat (2,1)
$ M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
Bayangan titik D($1,-3$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = M_1 \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 - 2 \\ -3 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 \\ -8 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan pertama $ D^\prime (0,-7) $.
*). Dilatasi kedua : faktor skala $-3$ dan titik pusat ($-3,1$)
$ M_2 = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \, \, (k = -3) $
Bayangan titik $ D^\prime (0,-7) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = M_2 \times \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 0 - (-3) \\ -7 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 3 \\ -8 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -9 \\ 24 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -12 \\ 25 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan kedua $ D^{\prime \prime} (-12,25) $.
Jadi, bayangan titik D adalah $D^{\prime \prime} (-12,25) . \, \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Komposisi Transformasi pada Dilatasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi Rotasi sepusat.