Kamis, 27 Juli 2017

Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton

         Blog koma - Setelah mempelajari materi "Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)", pada artikel ini kita akan membahas materi Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton. Konsep binomial newton memiliki beberapa kegunaan di ataranya dalam memfaktorkan suatu ekspresi perpangkatan dan kegunaan lainnya adalah untuk menghitung Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton yang kita bahas sekarang ini. Berdasarkan Wikipedia, Konstanta matematika $e$ adalah basis dari logaritma natural. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini ($e$) adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan $ 0, 1, i$, dan $ \pi $ . Nilai bilangan Euler ($e$), dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah: $ e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 $.

         Pada artikel Besar Bilangan Euler ($e$) dengan Binomial Newton ini, kita tidak membahas asal-usul keberadaan bilangan euler tersebut namun kita akan lebih menekankan tentang cara menemukan besarnya bilangan Euler ($e$) dengan salah satunya pendekatan menggunakan konsep binomial newton. Hal-hal mendasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan dalam mempelajari Cara menemukan Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton yaitu : "limit tak hingga fungsi khusus", "konsep binomial newton", "bentuk faktorial", "notasi sigma", "kombinasi", dan "penyelesaian limit tak hingga fungsi aljabar".

Kesetaraan Bilangan Euler ($e$)
       Seperti yang ada dalam pembahasan materi "Limit Tak hingga Fungsi Khusus", nilai bilangan euler setara dengan beberapa bentuk limit tak hingga fungsi khusus yaitu :
$ e = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \, $ dan $ e = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + x\right)^\frac{1}{x} $

Bentuk $ e = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \, $ inilah yang akan kita hitung sebagai pendekatan untuk nilai konstanta $ e $.

Langkah-langkah Menentukan besarnya nilai bilangan euler ($e$) :
*). Konsep Binomial newton :
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $ atau
$ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + ... + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $
dengan $ n, \, r \, $ adalah bilangan asli dan $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
serta $ n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1$
Contoh : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 \, $ dan $ 0! = 1 $

*). Perhatikan bentuk $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $ , dengan memisalkan $ a = 1 , b = \frac{1}{x} $ dan $ n = x $ , maka bentuk $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $ dapat kita jabarkan (ekspansi) dengan konsep binomial Newton menjadi :

$ \begin{align} (a+b)^n & = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + C_2^n a^{n-2}b^2 + C_3^n a^{n-3}b^3 + ... + C_n^nb^n \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x & = C_0^x 1^x + C_1^x 1^{x-1}.\left( \frac{1}{x} \right) + C_2^x 1^{x-2}.\left( \frac{1}{x} \right)^2 \\ & \, \, \, \, \, \, + C_3^x 1^{x-3}.\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + C_x^x.\left( \frac{1}{x} \right)^x \\ & = C_0^x + C_1^x.\left( \frac{1}{x} \right) + C_2^x .\left( \frac{1}{x} \right)^2 + C_3^x .\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + C_x^x.\left( \frac{1}{x} \right)^n \\ & = \frac{x!}{(x-0)!.0!} + \frac{x!}{(x-1)!1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x!}{(x-2)!2!} .\left( \frac{1}{x} \right)^2 \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x!}{(x-3)!3!} .\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + \frac{x!}{(x-x)!x!}.\left( \frac{1}{x} \right)^x \\ & = \frac{x!}{x!} . 1 + \frac{x.(x-1)!}{(x-1)!. 1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x.(x-1).(x-2)!}{(x-2)!2!} .\left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x.(x-1).(x-2).(x-3)!}{(x-3)!3!} .\left( \frac{1}{x^3} \right) + ... + \frac{x!}{0!x!}.\left( \frac{1}{x^x} \right) \\ & = 1 + \frac{x}{ 1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x.(x-1)}{2!} .\left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x.(x-1).(x-2)}{3!} .\left( \frac{1}{x^3} \right) + ... + \frac{x!}{x!}.\left( \frac{1}{x^x} \right) \\ & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x.(x-1).(x-2)...(x-x)}{x^x}. \frac{1}{x!} \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x}. \frac{1}{x!} \\ \end{align} $

*). Penyelesaian limit tak hingga :
Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_{n-1}x^{n-1} + ....}{bx^n + b_{n-1}x^{n-1} + ....} = \frac{a}{b} $
(hasilnya adalah pembagian koefisien pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya).
Sehingga kita peroleh hasil limit tak hingga berikut ini :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - x}{x^2} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x} = \frac{1}{1} = 1 $

*). Bentuk limit tak hingga dari nilai $ e $ :
$ \begin{align} e & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x}. \frac{1}{x!} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, \left( 1 + \frac{1}{ 1!} +1. \frac{1}{2!} + 1 . \frac{1}{3!} + 1. \frac{1}{4!} + ... + 1. \frac{1}{x!} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, \left( 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ... + \frac{1}{x!} \right) \\ & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + \frac{1}{ 1} + \frac{1}{2.1} + \frac{1}{3.2.1} + \frac{1}{4.3.2.1} + \frac{1}{5.4.3.2.1} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + \frac{1}{ 1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + 1 + 0,5 + 0,166666... + 0,04166666... + 0,0083333.... + ... + 0 \\ & \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352.... \end{align} $

Kesimpulannya, kita peroleh nilai besar bilangan Euler ($e$) dengan pendekatan yaitu :
$ e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352.... $

       Demikian pembahasan materi Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton sebagai salah satu kegunaan dari konsep binomial Newton dan materi lainnya. Semoga materi ini bermanfaat. Terimakasih.