Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "perkalian dot dua vektor" dan "perkalian silang dua vektor" , pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan artikel Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang. Pada soal-soal seleksi masuk PTN seperti SBMPTN atau seleksi mandiri masuk PTN (perguruan tinggi negeri), soal-soal yang dikeluarkan tidak melulu dalam bentuk hitungan melainkan berkaitan dengan sifat-sifatnya seperti Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang jika berkaitan dengan vektor. Pada halaman ini, kita akan menyajikan masing-masing Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang yang diikuti dengan pembuktiannya. Setelah itu baru kita pelajari beberapa contoh soalnya. Untuk memudahkan mempelajari Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang ini, sebaiknya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi perkalian dot dan perkalian silang dengan baik karena pada pembuktiannya kita langsung menggunakan perhitungan sesuai definisi perkalian dot dan perkalian silangnya. Berikut Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang.

Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ di R$^2 $ atau di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol. Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot yaitu :
1). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $ (sifat komutatif)
2). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
5). $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
6). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a}. \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot :
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ dan $ \vec{c} = (c_1,c_2,c_3) $ di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol. (teman-teman juga bisa menggunakan vektor-vektor di R$^2$).
*). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = (a_1, a_2, a_3) . (b_1,b_2,b_3) \\ & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \\ & = b_1a_1 + b_2a_2 + b_3a_3 \\ & = (b_1,b_2,b_3) . (a_1, a_2, a_3) \\ & = \vec{b}. \vec{a} \end{align} $
Terbukti $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} $

*). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) & = (a_1, a_2, a_3). [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3). (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3) \\ & = a_1(b_1+c_1) + a_2(b_2+c_2) + a_3(b_3+c_3) \\ & = a_1b_1+a_1c_1 + a_2b_2+a_2c_2 + a_3b_3+b_3c_3 \\ & = (a_1b_1+a_2b_2 + a_3b_3) +( a_1c_1 +a_2c_2 +b_3c_3) \\ & = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \end{align} $
Terbukti $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} $

*). Pembuktian Sifat (3) :
$ \begin{align} (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} & = [(a_1, a_2, a_3) + (b_1,b_2,b_3)].(c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3).(c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1)c_1+ (a_2+b_2)c_2+ (a_3+b_3)c_3 \\ & = a_1c_1+b_1 c_1+ a_2c_2+b_2c_2+ a_3c_3+b_3c_3 \\ & = (a_1c_1+ a_2c_2 + a_3c_3) + (b_1 c_1+b_2c_2+b_3c_3) \\ & = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \end{align} $
Terbukti $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} $

*). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} k(\vec{a}.\vec{b}) & = k [(a_1, a_2, a_3) . (b_1,b_2,b_3)] \\ & = k [a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ] \\ & = k a_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \\ (k\vec{a}).\vec{b} & = [k(a_1, a_2, a_3)].(b_1,b_2,b_3) \\ & = (ka_1, ka_2, ka_3) .(b_1,b_2,b_3) \\ & = ka_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \\ \vec{a}.(k\vec{b}) & = (a_1, a_2, a_3).[k(b_1,b_2,b_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3).(kb_1,kb_2,kb_3) \\ & = a_1kb_1 + a_2kb_2 + a_3kb_3 \\ & = ka_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \end{align} $
Dari ketiga hasil di atas, terbukti bahwa
$ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $

*). Pembuktian sifat (5) : $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
Untuk pembuktian sifat (5) ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot".

*). Pembuktian sifat (6) :
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = 0 \\ |\vec{a}|| \vec{b}| \sin \theta & = 0 \\ \sin \theta & = 0 \\ \theta & = 90^\circ \end{align} $
Terbukti sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 90^\circ $ atau kita sebut $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ atau dapat kita tulis $ \vec{a} \bot \vec{b} $.

Sifat-sifat Operasi Perkalian Silang
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ di R$^3$ dan $ k $ skalar tak nol. Sifat-sifat Operasi Perkalian silang yaitu :
1). $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} \, $ (sifat anti komutatif)
2). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
5). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Sifat-sifat Operasi Perkalian Silang :
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ dan $ \vec{c} = (c_1,c_2,c_3) $ di di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol.
*). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \\ - \vec{b} \times \vec{a} & = - \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{matrix} \right| \\ & = -(a_3b_2 - a_2b_3 , a_1b_3 - a_3b_1 , a_2b_1 - a_1b_2 ) \\ & = (-a_3b_2 + a_2b_3 , -a_1b_3 + a_3b_1 , -a_2b_1 + a_1b_2 ) \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \end{align} $
Terbukti $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} $

*). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} & \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) \\ & = (a_1, a_2, a_3) \times [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3) \times (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3) \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1+c_1 & b_2+c_2 & b_3 +c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2(b_3+c_3) - a_3(b_2+c_2) , a_3(b_1+c_1) - a_1(b_3+c_3) , a_1(b_2+c_2) - a_2(b_1+c_1) ) \\ & \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) + (a_2c_3 - a_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 ) \\ & = (a_2b_3 + a_2c_3 - a_3b_2 - a_3c_2 , a_3b_1 + a_3c_1 - a_1b_3 - a_1c_3 , a_1b_2 + a_1c_2 - a_2b_1 - a_2c_1 ) \\ & = (a_2(b_3 + c_3) - a_3(b_2 +c_2) , a_3(b_1 + c_1) - a_1(b_3 +c_3) , a_1(b_2 + c_2) - a_2(b_1 +c_1) ) \end{align} $
Kedua bentuk di atas memiliki hasil yang sama.
Terbukti $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} $

*). Pembuktian sifat (3) :
$ \begin{align} & (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} \\ & = [(a_1, a_2, a_3) + (b_1,b_2,b_3)] \times (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3) \times (c_1,c_2,c_3) \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 + b_1 & a_2 + b_2 & a_3 + b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = ((a_2+b_2)c_3 - (a_3+b_3)c_2 , (a_3+b_3)c_1 - (a_1+b_1)c_3 , (a_1+b_1)c_2 - (a_2+b_2)c_1 ) \\ & \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2c_3 - a_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 ) + (b_2c_3 - b_3c_2 , b_3c_1 - b_1c_3 , b_1c_2 - b_2c_1 ) \\ & = (a_2c_3 - a_3c_2 + b_2c_3 - b_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 + b_3c_1 - b_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 + b_1c_2 - b_2c_1 ) \\ & = (a_2c_3 + b_2c_3 - a_3c_2 - b_3c_2 , a_3c_1 + b_3c_1 - a_1c_3 - b_1c_3 , a_1c_2 + b_1c_2 - a_2c_1- b_2c_1 ) \\ & = ((a_2 + b_2)c_3 - (a_3+b_3)c_2 , (a_3 + b_3)c_1 - (a_1+b_1)c_3 , (a_1 + b_1)c_2 - (a_2 + b_2)c_1 ) \end{align} $
Kedua bentuk di atas memiliki hasil yang sama.
Terbukti $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} $.

*). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} k(\vec{a} \times \vec{b}) & = k \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = k (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \\ (k\vec{a}) \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \\ \vec{a} \times (k\vec{b}) & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ kb_1 & kb_2 & kb_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2kb_3 - a_3kb_2 , a_3kb_1 - a_1kb_3 , a_1kb_2 - a_2kb_1 ) \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \end{align} $
Ketiga hasil di atas nilainya sama.
Terbukti $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $

*). Pembuktian sifat (5) :
Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = 0 \\ | \vec{a} \times \vec{b} | & = 0 \\ | \vec{a} | |\vec{b} | \sin \theta & = 0 \\ \sin \theta & = 0 \\ \theta & = 0^\circ \end{align} $
Karena sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 0^\circ $, maka kedua vektor ini sejajar. Jadi terbukti sifat (5).

Contoh soal Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang :

1). Dari bentuk berikut ini, manakah yang SALAH
A). $ \vec{a}.(\vec{b}.\vec{c}) = (\vec{a}.\vec{b}).\vec{c} $
B). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $
C). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $
D). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $
E). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
Penyelesaian :
*). dari sifat-sifat perkalian dot di atas, maka yang salah adalah option (A). Kenapa option A salah? berikut penjelasannya.
-). Perhatikan bentuk $ \vec{b}.\vec{c} $, hasilnya adalah skalar (bukan vektor).
-). bentuk $ \vec{a}.(\vec{b}.\vec{c}) $ = vektor dot skalar, tidak terdefinis karena perkalian dot berlaku hanya antara vektor dan vektor.
Karena tidak terdefinisi, maka otomatis option (A) salah.

2). Manakah dari pernyataan berikut yang SALAH !
A). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $
B). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $
C). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
D). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
E). $ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a} \, $
Penyelesaian :
*). Option atau pernyataan yang salah adalah option (E) karena pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif melainkan berlaku sifat anti komutatif yaitu $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} $ .

       Demikian pembahasan materi Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi vektor tingkat SMA" lainnya yaitu "proyeksi ortogonal vektor pada vektor".