Jumat, 17 Februari 2017

Komposisi Transformasi pada Translasi

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Komposisi Transformasi pada Translasi. Artikel ini merupakan kelanjutan dari materi komposisi transformasi geometri yang mana sebelumnya juga telah kita bahas materi "komposisi transformasi dengan matriks". Sesuai dengan pengertian komposisi transformasi geometri, maka pada artikel Komposisi Transformasi pada Translasi ini kita akan membahas transformasi yang lebih dari satu kali yang dikenakan pada suatu bangun dimana semua jenis transformasinya adalah berupa translasi atau pergeseran.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Komposisi Transformasi pada Translasi, sebaiknya teman-teman menguasai dulu materi "translasi pada transformasi geometri" dan "operasi hitung pada matriks" khususnya operasi penjumlahan. Translasi juga melibatkan atau memiliki "matriks transformasi geometri" dengan cara pengerjaannya yaitu dengan cara dijumlahkan.

Penulisan komposisi transformasi pada translasi
       Misalkan ada suatu bangun ditranslasi $T_1$ dengan matriks yang bersusaian dengan $M_1 = \left( \begin{matrix} a_1 \\ b_1 \end{matrix} \right) $ , dilanjutkan lagi dengan translasi kedua yaitu $T_2$ dengan matriks $ M_2 = \left( \begin{matrix} a_2 \\ b_2 \end{matrix} \right) $, dan dilanjutkan lagi dengan translasi ketiga yaitu $ T_3 $ dengan matriks $ M_3 = \left( \begin{matrix} a_3 \\ b_3 \end{matrix} \right) $, maka bentuk komposisi translasinya bisa ditulis dengan :
$ T_3 \circ T_2 \circ T_1 = M_3 + M_2 + M_1 $

Komposisi transformasi pada translasi bentuk matriksnya bisa langsung dihitung sekaligus, artinya kita tidak perlu mengerjakan satu persatu dari masing-masing translasinya:
$ \begin{align} T_3 \circ T_2 \circ T_1 & = M_3 + M_2 + M_1 \\ & = \left( \begin{matrix} a_3 \\ b_3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a_2 \\ b_2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a_1 \\ b_1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} a_3 + a_2 + a_1 \\ b_3 + b_2 + b_1 \end{matrix} \right) \end{align} $

Catatan :
Karena translasi dikerjakan dengan penjumlahan, sebenarnya bentuk $ M_3 + M_2 + M_1 $ bisa diacak dalam urutan yang lainnya, misalkan $ M_3 + M_1 + M_2 $ atau $ M_1 + M_2 + M_3 $ atau yang lainnya karena hasilnya tetap sama. Tetapi, untuk memudahkan dan tidak salah penerapan pada konsep transformasi yang lainnya, sebaiknya tetap diurutkan saja sesuai dengan urutan translasi pada soal.

Pengerjaan Komposisi transformasi pada translasi
       Cara pengerjaan komposisi translasi yaitu langsung dengan menjumlahkannya saja dengan bangun awalnya. Berikut cara mencari bayangannya :
Bayangan $ = T_3 \circ T_2 \circ T_1 + \, $ awal.

*). Penulisan secara mariksnya :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = T_3 \circ T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (M_3+M_2+M_1) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_3 + a_2 + a_1 \\ b_3 + b_2 + b_1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

Contoh soal komposisi transformasi pada translasi :

1). Tentukan bayangan titik B(-2,3) jika ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $ , yang dilanjutkan dengan translasi oleh matriks yang bersesuain dengan $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $ !

Penyelesaian :
*). Matriks masing-masing translasi :
$T_1$ : translasi dengan $ M_1 = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $
$T_2$ : translasi dengan $ M_2 = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
*). Penulisan komposisi translasinya :
$ T_2 \circ T_1 = M_2 + M_1 = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 + 1 \\ -2 + (-1) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik B(-2,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 + (-2) \\ -3 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (2,0). \, \heartsuit $.

Cara penghitunganya juga bisa seperti berikut ini :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = (M_2 + M_1) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left[ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \right] + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 + (-2) \\ -3 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $

2). Jika $ T_1 = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) , \, T_2 = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) , \, $ dan $ T_3 = \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) $. Tentukan bayangan titik A(5,-1) jika ditransformasi oleh komposisi translasi berikut ini :
a). $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ ,
b). $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $,
c). $ T_2 \circ T_2 \circ T_1 $,
d). $ T_1 \circ T_1 \circ T_3 $.

Penyelesaian :
a). $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ ,
*). Menentukan matriks gabungan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ artinya dilakukan translasi $T_3$, kemudian dilanjutkan translasi $ T_2 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_1 $.
$ \begin{align} T_1 \circ T_2 \circ T_3 & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + 1 + (-4) \\ -3 + (-1) + 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 \circ T_2 \circ T_3 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 5 \\ -2 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (4,-3). \, \heartsuit $.

b). $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $,
*). Menentukan matriks gabungan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dilakukan translasi $T_1$, kemudian dilanjutkan translasi $ T_2 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_3 $.
$ \begin{align} T_3 \circ T_2 \circ T_1 & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 + 1 + 2 \\ 2 + (-1) + (-3) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_3 \circ T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 5 \\ -2 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (4,-3). \, \heartsuit $.

Catatan :
hasil dari soal bagian (a) dan bagian (b) di atas sama karena urutan $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ sama saja dengan $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $. Hal ini terjadi karena matriksnya dijumlahkan.

c). $ T_2 \circ T_2 \circ T_1 $,
*). Menentukan matriks gabungan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_2 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dilakukan translasi $T_1$, kemudian dilanjutkan translasi $ T_2 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_2 $.
$ \begin{align} T_2 \circ T_2 \circ T_1 & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 + 1 + 2 \\ -1 + (-1) + (-3) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 + 5 \\ -5 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 9 \\ -6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (9,-6). \, \heartsuit $.

d). $ T_1 \circ T_1 \circ T_3 $.
*). Menentukan matriks gabungan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_1 \circ T_1 \circ T_3 $ artinya dilakukan translasi $T_3$, kemudian dilanjutkan translasi $ T_1 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_1 $.
$ \begin{align} T_1 \circ T_1 \circ T_3 & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + 2 + (-4) \\ -3 + (-3) + 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 \circ T_1 \circ T_3 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 + 5 \\ -4 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (5, -5). \, \heartsuit $.

3). Tentukan bayangan persamaan $ y = 2x^2 - 3x + 1 $ jika ditranslasi oleh $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $ , dan dilanjutkan lagi dengan translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) $!

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks komposisi (gabungannya) :
$T_1$ : translasi dengan $ M_1 = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $
$T_2$ : translasi dengan $ M_2 = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) $
$ T_2 \circ T_1 = M_2 + M_1 = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 + 4 \\ 3 + (-5) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 + x \\ -2 + y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 3 + x \rightarrow x = x^\prime - 3 $
$ y^\prime = -2 + y \rightarrow y = y^\prime + 2 $
*). Kita substitusi bentuk $ x = x^\prime - 3 $ dan $ y = y^\prime + 2 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = 2x^2 - 3x + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2(x^\prime - 3)^2 - 3(x^\prime - 3) + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2[ {x^\prime }^2 - 6 x^\prime + 9] - 3x^\prime + 9 + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2{x^\prime }^2 - 12 x^\prime + 18 - 3x^\prime + 9 + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2{x^\prime }^2 - 15 x^\prime + 28 \\ y^\prime & = 2{x^\prime }^2 - 15 x^\prime + 26 \end{align} $
Sehingga bayangannya adalah $ y^\prime = 2{x^\prime }^2 - 15 x^\prime + 26 $ atau $ y = 2x^2 - 15x + 26 $
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ y = 2x^2 - 15x + 26 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Komposisi Transformasi pada Translasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi Pencerminan garis vertikal atau horizontal.