Selasa, 24 Januari 2017

Dilatasi pada Transformasi Geometri


         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "translasi pada transformasi geometri", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan salah satu jenis dari transformasi geometri yaitu Dilatasi pada Transformasi Geometri. Dilatasi adalah sebuah transformasi geometri yang mengubah ukuran benda namun bentuk benda tetap. Beberapa contoh dari dilatasi yaitu : sebuah miniatur mobil dimana ukurannya lebih kecil dari ukuran mobil sebenarnya, sebuah pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya (layar kamera), dan lain-lainnya.

         Proses perubahan ukuran benda dari kecil menjadi lebih besar (diperbesar) atau sebaliknya yaitu dari besar menjadi lebih kecil (diperkecil) inilah yang disebut dengan dilatasi. Dilatasi pada transformasi geometri mengakibatkan ukuran benda berubah, Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi atau faktor skala atau faktor pengali. Faktor skala ini biasanya disimbolkan dengan $ k $.

         Perbesaran atau pengecilan suatu bangun oleh dilatasi membutuhkan suatu titik acuan yangg biasa kita sebut sebagai titik pusat. Artinya ada acuan jelas bagi kita sehingga bisa diperoleh ukuran yang lebih besar atau lebih kecil. Titik pusat tersebut kita simbolkan sebagai titik $ P(a,b)$. Titik pusat pada dilatasi dibagi menjadi dua yaitu titik pusat $ P(0,0) $ dan titik pusat bukan $ (0,0) $ yaitu $ P(a,b)$.

Sifat-sifat Dilatasi pada transformasi geometri
       Dilatasi menyebabkan ukuran suatu bangun berubah kecuali untuk faktor skala $ k = 1 $ yang ukuran bendanya tetap. Perubahan ukuran bangun dipengaruhi oleh besarnya faktor skala $ k $ yang terbagi menjadi beberapa bagian yaitu :
gambar perubahan bangun berdasarkan faktor skala $ k $.
i). Jika $ k > 1 $ maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula, terlihat seperti gambar warna hijau.
ii). Jika $ k = 1 $ maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak, terlihat seperti gambar warna biru (gambar awal/aslinya).
iii). Jika $ 0 < k < 1 $ maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula, terlihat seperti gambar warna kuning.
iv). Jika $ -1 < k < 0 $ maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula, terlihat seperti gambar warna abu-abu.
v). Jika $ k = -1 $ maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula, terlihat seperti gambar warna merah.
vi). Jika k < - 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula, terlihat seperti gambar warna oranye.
Simbol Penulisan Dilatasi
       Terkadang pada soal-soal tidak tertuliskan kata-kata dilatasi tetapi menggunakan simbolnya, jika kita mengerti simbolnya maka akan sulit bagi kita untuk menjawab soal tersebut yang padahal kita mengerti cara pengerjaannya. Berikut simbol yang mewakili dilatasi yaitu :
1). Simbol D[O,$k$]
       artinya dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala $ k $.
2). Simbol D[P($a,b),k$]
       artinya dilatasi dengan pusat ($a,b$) dan faktor skala $ k $.
Contoh Soal Dilatasi :
1). Tuliskan simbol dilatasinya dari pernyataan berikut ini dan tentukan jenis perubahan ukurannya :
a). Suatu dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 2.
b). Suatu dilatasi dengan pusat ($-2,3$) dan faltor skala $ -\frac{2}{3} $

Penyelesaian :
a). Simbolnya yaitu : D[O,$k$] = D[O,2].
Bangun mengalami perbesaran dan searah karena $ k = 2 $.

b). Simbolnya yaitu : D[P($a,b),k$] = D[P($-2,3), -\frac{2}{3}$].
Bangun mengalami pengecilan dan berlawanan arah karena $ k = -\frac{2}{3} $.

2). Tuliskan arti dari simbol dilatasi berikut ini.
a). D[O,$-3$] ,
b). D[P(2,1), 5].

Penyelesaian :
a). D[O,$-3$] ,
artinya suatu dilatasi dengan pusat (0,0) dan fakator skala $ - 3 $.

b). D[P(2,1), 5].
artinya suatu dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 5.

Cara Penghitungan Dilatasi
       Setiap jenis transformasi geometri proses penghitungannya dapat diubah dalam bentuk matriks transformasi geometri. Dilatasi dengan faktor skala $ k $ memiliki matriks transformasi yaitu $ M = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) $. Untuk penghitungannya kita bagi menjadi dua berdasarkan titik pusatnya :
i). Titik pusat (0,0) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

ii). Titik pusat P($a,b$) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Catatan :
Cara penghitungan ini sesuai dengan rumus umum transformasi geometri yaitu :
bayangan = Matriks transformasi $ \times $ awal.

Contoh Soal :
3). Tentukan bayangan masing-masing titik berikut ini :
a). Titik A(2,3) didilatasi dengan titik pusat adalah pusat koordinat dan faktor skala $ -2$.
b). Titik B($-1,1$) didilatasi dengan faktor skala 3 dan terhadap titik ($-2,5$).
c). Titik C(1,5) oleh D[O,7].
d). Titik D($4, - 1$) oleh D[P(1,2),3].

Penyelesaian :
a). Titik A(2,3) didilatasi dengan titik pusat adalah pusat koordinat dan faktor skala $ -2$.
*). Faktor skala $ - 2 $ artinya $ k = -2 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan banyangan titik A(2,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 \\ -6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (-4,-6) . \, \heartsuit $.

b). Titik B($-1,1$) didilatasi dengan faktor skala 3 dan terhadap titik ($-2,5$).
*). Faktor skala $ 3 $ artinya $ k = 3 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
dan titik pusatnya : $ (a,b) = (-2,5) $.
*). Menentukan banyangan titik B($-1,1$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 - (-2) \\ 1 - 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ -12 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (1,-7) . \, \heartsuit $.

c). Titik C(1,5) oleh D[O,7].
*). Faktor skala $ 7 $ artinya $ k = 7 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) $
dan titik pusatnya adalah (0,0).
*). Menentukan banyangan titik C(1,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 \\ 35 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C adalah $ C^\prime (7,35) . \, \heartsuit $.

d). Titik D($4, - 1$) oleh D[P(1,2),3].

*). Faktor skala $ 3 $ artinya $ k = 3 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
dan titik pusatnya : $ (a,b) = (1,2) $.
*). Menentukan banyangan titik D($4, - 1$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4-1 \\ -1-2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 9 \\ -9 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 10 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik D adalah $ D^\prime (10,-7) . \, \heartsuit $.

4). Tentukan bayangan persamaan $ 4x + 3y - 5 = 0 $ oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0)!

Penyelesaian :
*). Untuk menentukan persamaan bayangannya, kita ubah bentuk awal ($x,y$) menjadi bayangannya ($x^\prime , y^\prime $).
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x \\ 2y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 2x \rightarrow x = \frac{1}{2} x^\prime $
$ y^\prime = 2y \rightarrow y = \frac{1}{2} y^\prime $
*). Substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{2} x^\prime $ dan $ y = \frac{1}{2} y^\prime $ ke persamaan awal :
$ \begin{align} 4x + 3y - 5 & = 0 \\ 4. (\frac{1}{2} x^\prime ) + 3.(\frac{1}{2} y^\prime ) - 5 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x^\prime + 3 y^\prime - 10 & = 0 \end{align} $
sehingga bayangannya $ 4x^\prime + 3 y^\prime - 10 = 0 $ atau $ 4x + 3y - 10 = 0 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ 4x + 3y - 10 = 0 . \, \heartsuit $.

5). Sebuah lingkaran $ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 $ ditranslasikan oleh D[P(1,4),$\frac{1}{2}$]. Tentukan persamaan bayangannya dan luas bayangan dari lingkarannya?

Penyelesaian :
*). Faktor skalanya $ k = \frac{1}{2} $ dan titik pusatnya $ (a,b) = (1,4) $
*). Menentukan hubungan ($x,y$) dan ($x^\prime , y^\prime $) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 1 \\ y^\prime - 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - 1 \\ y - 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 1 \\ y^\prime - 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}(x - 1) \\ \frac{1}{2}(y - 4) \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \rightarrow x - 1 = 2(x^\prime -1) \rightarrow x = 2x^\prime -1 $
$ y^\prime - 4 = \frac{1}{2}(y - 4) \rightarrow y - 4 = 2(y^\prime -4) \rightarrow y = 2y^\prime - 4 $
*). Kita substitusi ke persamaan awalnya :
$ \begin{align} (x-3)^2 + (y+2)^2 & = 16 \\ ( 2x^\prime -1 -3)^2 + ( 2y^\prime - 4+2)^2 & = 16 \\ ( 2x^\prime -4)^2 + ( 2y^\prime - 2)^2 & = 16 \\ [2(x^\prime -2)]^2 + [ 2(y^\prime - 1)]^2 & = 16 \\ 4(x^\prime -2)^2 + 4(y^\prime - 1)^2 & = 16 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ (x^\prime -2)^2 + (y^\prime - 1)^2 & = 4 \end{align} $
Sehingga persamaan bayangan lingkarannya adalah $ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 $.
jari-jarinya : $ r^2 = 4 \rightarrow r = 2 $.
*). Menentukan luas bayangannya :
Luas $ = \pi r^2 = \pi . 2^2 = 4\pi \, $ satuan luas.
Jadi, luas bayangannya adalah $ 4 \pi $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Cara II untuk soal nomor 5.
*). Persamaan lingkaran awal :
$ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $.
Luas awal $ = \pi r^2 = \pi . 4^2 = 16\pi $
*). Menentukan luas bayangannya :
$ \begin{align} \text{Luas bayangan } & = det{M} \times \text{ luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right| \times 16\pi \\ & = \left( \frac{1}{2} . \frac{1}{2} - 0.0 \right) \times 16\pi \\ & = \frac{1}{4} \times 16\pi \\ & = 4\pi \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah $ 4 \pi $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Dilatasi pada Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "rotasi pada transformasi geometri".