Kamis, 19 Januari 2017

Matriks Transformasi Geometri


         Blog Koma - Sebenarnya materi transformasi geometri itu apakah sulit bagi teman-teman? Tentu ada sebagian siswa/siswi akan menjawab ya, dan sebagian lagi menjawab tidak. Khusus untuk transformasi geometri tingkat SMA, kita lebih ditekankan pada perhitungan secara aljabarnya, artinya kita tidak terlalu dibebankan pada bentuk geometri baik bentuk awal ataupun bentuk setelah terjadi perubahan (kita sebut bayangannya). Nah, maka dari itu kita harus konsentrasi pada perhitungan secara aljabarnya.

         Pada proses transformasi dari semua jenis transformasi geometri (translasi, rotasi, dilatasi, dan refleksi), masing-masing melibatkan bentuk matriks dalam proses penghitungannya yang biasanya melibatkan dua operasi yaitu penjumlahan untuk translasi dan perkalian untuk jenis transformasi lainnya. Bagaimana cara penghitungannya? Inilah yang akan kita bahas dalam artikel ini yaitu matriks transformasi geometri secara umum.

         Setiap jenis transformasi geometri memiliki matriks transformasi geometri tersendiri yang tentu akan kita bahas secara spesifik lagi pada pembahasan jenis transformasi masing-masing. Pada artikel ini kita hanya mengumpamakan ada suatu matriks transformasi geometri yang mentransformasi suatu titik, atau fungsi suatu kurva, atau suatu bangun datar, atau sejenisnya, sehingga kita peroleh bayangannya. Secara Garis Besar, Ordo matriks transformasi geometri adalah berordo $ 2 \times 2 $, kecuali translasi (pergeseran) yang matriks transformasinya berordo $ 2 \times 1 $ . Namun, yang kita bahas khusus matriks transformasi berordo $ 2 \times 2 $ saja.

Penghitungan Menggunakan Matriks Transformasi Geometri
       Misalkan terdapat suatu matriks transformasi yang digunakan untuk mentransformasikan suatu titik, fungsi suatu kurva, dan bidang, sehingga diperoleh bayangannya, dimana matriks tersebut disajikan dalam bentuk $ M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $, Penulisan dan penghitungan transformasinya dapat kita tuliskan :

*). Penulisan :
$ \text{awal} \overset{\text{matriks} }{\Huge \longrightarrow} \text{bayangannya} \, $
atau dalam bentuk koordinat kartesiusnya :
$ A(x,y) \overset{\text{M} }{ \longrightarrow} A^\prime (x^\prime, y^\prime ) $

*). Rumus Umum Penghitungannya :
$ \text{bayangan} = M \times \text{ awalnya} \, $ atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

Keterangan :
$ A(x,y) \, $ : adalah titik awal,
$ A^\prime (x^\prime, y^\prime ) \, $ : adalah bayangannya.
Catatan :
*). Sebaiknya teman-teman menguasai operasi hitung pada matriks, silahkan baca : "operasi hitung pada matriks".
*). Dari rumus umum di atas, kita hanya perlu menghafal atau mengingat matriks transformasi dari masing-masing jenis transformasi, setelah itu tinggal mengalikan ke titik awalnya sehingga diperoleh bayangannya.
*). Penekanan pada pembahasan artikel ini adalah pada penggunaan matriks transformasi geometrinya secara umum, sehingga untuk hal-hal yang khusus akan kita bahas pada artikel lainnya, misalkan seperti menghitung luas bayangan dan mentransformasikan suatu persamaan atau fungsi.

Contoh Soal Matriks Transformasi Geometri :
1). Bayangan titik $ A(1,3) \, $ dan $ B(-2,-5) \, $ oleh transformasi matriks $ \left( \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $ adalah ....

Penyelesaian :
*). Kita cari bayangan masing-masing titik dengan rumus umum di atas :
*). Menentukan bayangan Titik A(1,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( 8 , 6) $

*). Menentukan bayangan Titik B(-2,-5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -13 \\ -10 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -13 , -10) $

2). Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis $ 2x - 3y = 5 \, $ jika ditransformasikan oleh matriks transformasi $ \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{matrix} \right) $ ?

Penyelesaian :
*). Sifat invers fungsi : $ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
Silahkan teman-teman baca : "determinan dan invers matriks".
*). Karena persamaan yang ditransformasi, maka yang sebagai titik awal adalah dalam bentuk umum saja yaitu $(x,y) \, $, setelah itu kita ubah bentuk awal menjadi dalam bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{matrix} \right)^{-1} \times \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{2.(-3) - 5. (-1)} \left( \begin{matrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} -3x^\prime + y^\prime \\ -5x^\prime + 2y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = (-1) \left( \begin{matrix} -3x^\prime + y^\prime \\ -5x^\prime + 2y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3x^\prime - y^\prime \\ 5x^\prime - 2y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Sehingga kita peroleh :
$ x = 3x^\prime - y^\prime \, $ dan $ y = 5x^\prime - 2y^\prime $
*). Kita substitusi yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh bayangannya :
$ \begin{align} \text{awal : } 2x - 3y & = 5 \\ 2(3x^\prime - y^\prime) - 3(5x^\prime - 2y^\prime) & = 5 \\ 6x^\prime - 2y^\prime - 15x^\prime + 6y^\prime & = 5 \\ -9x^\prime + 4y^\prime & = 5 \end{align} $
Jadi, bayangan persamaannya adalah $ -9x^\prime + 4y^\prime = 5 \, $ atau tanda aksennya dihilangkan sehingga menjadi $ -9x + 4y = 5 $.

Untuk penjelasan lebih mendetail tentang suatu fungsi atau suatu persamaan di transformasikan, teman-teman bisa membacanya pada artikel "transformasi geometri pada persamaan atau fungsi".

3). Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks $ \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) $ , maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

Penyelesaian :
*). Luas segitiga yang diketahui koordinat ketiga sudutnya dapat dihitung seperti determinan yaitu :
Misalkan ada segitiga ABC dengan titik sudutnya : $ A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), \, $ dan $ C(x_3,y_3) $. Maka luasnya dapat dihitung dengan rumus :
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1) - (x_2y_1+x_3y_2+x_1y_3)] \end{align} $
*). Luas bayangan suatu bangun datar jika ditransformasi oleh matriks transformasi $ M $ yang berordo $ 2 \times 2 $ yaitu :
Luas $ = |M| \times \, $ Luas awal.
dengan $ |M| \, $ = determinan matriks M.

*). Ada dua cara yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan soal nomor 3 ini :

Cara I : Menentukan titik bayangan ketiga sudutnya, setelah itu baru menghitung luas bayangannya dengan menggunakan titik bayangannya.
*). Menentukan bayangan ketiga titiknya :
*). Menentukan bayangan Titik A(1,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -7 \\ 13 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik A adalah $ A^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -7, 13) $
*). Menentukan bayangan Titik B(-2,4) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -16 \\ 14 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik B adalah $ B^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -16 , 14) $
*). Menentukan bayangan Titik C(-1,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik C adalah $ C^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( 1,-5) $
*). Menentukan Luas bayangan segitiga ABC dengan titik bayangannya :
$ A^\prime ( -7, 13) , B^\prime ( -16 , 14) , \, $ dan $ C^\prime ( 1,-5) $
$ \begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & -7 & -16 & 1 & -7 \\ & 13 & 14 & -5 & 13 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[( (-7).14 + (-16).(-5) + 1.13 ) - ( (-16).13 + 1. 14 + (-7).(-5) )] \\ & = \frac{1}{2}[( -98 + 80 + 13 ) - ( -208 + 14 + 35 )] \\ & = \frac{1}{2}[( -5 ) - ( -159 )] \\ & = \frac{1}{2} . (154) \\ & = 77 \end{align} $
Jadi, luas bayangan segitiga ABC adalah 77 satuan luas.

Cara II : Menentukan luas awal dan setelah itu menentukan luas bayangannya.
*). Luas awal segitiga dengan titik sudutnya :
A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1)
$ \begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -2 & -1 & 1 \\ & 3 & 4 & -1 & 3 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[( 1.4 + (-2).(-1)+(-1).3 ) - ( (-2).3 + (-1).4+1.(-1))] \\ & = \frac{1}{2}[( 4 + 2+(-3) ) - ( (-6) + (-4)+ (-1))] \\ & = \frac{1}{2}[( 3 ) - ( -11)] \\ & = \frac{1}{2}[14] \\ & = 7 \end{align} $
*). Menentukan luas bayangannya :
$ \begin{align} \text{Luas bayangannya } & = |M| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| \times 7 \\ & = (2.4 - (-3).1) \times 7 \\ & = (11) \times 7 \\ & = 77 \end{align} $
Jadi, luas bayangan segitiga ABC adalah 77 satuan luas.

Untuk penjelasan tentang luas bayangan suatu bangun datar, silahkan teman-teman kunjungi artikel "Transformasi geometri pada Luas bangun datar".

4). Suatu matriks transformasi $ M = \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & b \end{matrix} \right) \, $ mentransformasi titik A($2,-3$) sehingga diperoleh bayangannya yaitu $A^\prime (9,-11)$. Tentukan bayangan titik P(-3,1) jika ditransformasikan oleh matriks M?

Penyelesaian :
*). Matriks M masih belum lengkap karena masih memuat entri-entri yang bukan angka yaitu $ a $ dan $ b $. Sehingga kita harus menentukan nilai $ a $ dan $ b $ terlebih dahulu dari proses trasformasi pertama yaitu pada titik A.
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $.
titik A($2,-3$) memeiliki bayangan $A^\prime (9,-11)$ oleh matriks transformasi M, artinya dapat kita tuliskan :
$ \begin{align} A^\prime & = M \times A \\ \left( \begin{matrix} 9 \\ -11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & b \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 9 \\ -11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2a+3 \\ 4 - 3b \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh persamaan :
$ 2a + 3 = 9 \rightarrow 2a = 6 \rightarrow a = 3 $
$ 4 - 3b = -11 \rightarrow -3b = -15 \rightarrow b = 5 $
Sehingga matriks M menjadi $ M = \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik P(-3,1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik P adalah $ P^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -10 , -1) $

5). Suatu matriks mentransformasikan titik A(-1,2) dan B(2,-5) menjadi titik $A^\prime (-5,11) $ dan $ B^\prime (12,-26) $. Tentukan bayangan titik C(7,-8) jika ditransformasikan oleh matriks tersebut?

Penyelesaian :
*). Kita tentukan dulu matirks transformasinya, misalkan matriksnya adalah $ M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $.
*). Menyusun persamaan dari masing-masing proses transformasi baik titik A maupun titik B.
*). Titik A(-1,2) dengan bayangan $A^\prime (-5,11) $
$ \begin{align} A^\prime & = M \times A \\ \left( \begin{matrix} -5 \\ 11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -5 \\ 11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -a + 2b \\ -c+2d \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh persamaan :
$-a + 2b = -5 \, $ .....pers(i)
$-c + 2d = 11 \, $ .....pers(ii)
*). Titik B(2,-5) dengan bayangan $A^\prime (12,-26) $
$ \begin{align} B^\prime & = M \times B \\ \left( \begin{matrix} 12 \\ -26 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 12 \\ -26 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2a-5b \\ 2c-5d \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh persamaan :
$2a-5b = 12 \, $ .....pers(iii)
$2c-5d = -26 \, $ .....pers(iv)
*). Kemudian kita selesaikan dari persamaan yang ada untuk mencari nilai $ a, b, c $ dan $ d $ dengan cara eliminasi dan substitusi. Untuk langkah ini kami biarkan teman-teman pembaca yang melakukannya sendiri.
*). Eliminasi pers(i) dan (iii), kita akan peroleh nilai $ a = 1 $ dan $ b = -2 $.
*). Eliminasi pers(ii) dan (iv), kita akan peroleh nilai $ c = -3 $ dan $ d = 4 $.
Sehingga matriks transformasinya adalah $ M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik C(7,-8) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 7 \\ -8 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 23 \\ -53 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C adalah $ C^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( 23, -53) $

       Demikian pembahasan materi Matriks Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan transformasi geometri : Dilatasi.