Sabtu, 29 April 2017

Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi transformasi geometri yang terdiri dari beberapa jenis yaitu Translasi, Dilatasi, Refleksi, dan Rotasi, dimana disetiap penjelasan juga sudah disertai dengan contoh-contohnya, nah pada artikel ini kita akan khusus membahas materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi. Hal ini penting untuk kita perdalam lagi karena biasanya untuk soal-soal Ujian Nasional (UN) atau Ujian masuk perguruan tinggi negeri (SBMPTN), benda atau objek yang ditransformasi kebanyakan berbentuk persamaan kurva atau fungsi suatu kurva.

         Memepelajari materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi tentu kita tidak terlepas dari bentuk "komposisi transformasi geometri". Suatu persamaan kurva atau fungsi suatu kurva bisa ditransformasi tidak hanya satu kali saja namun bisa lebih dari satu kali baik dengan jenis transformasi yang sama atau jenis transformasi yang berbeda. Pada komposisi transformasi, ada matriks yang bisa langsung dikalikan dan ada juga harus dikerjakan satu-persatu transformasinya, inilah salah satu penekanan yang akan kita bahas pada artikel Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi ini.

         Dalam pembahasan materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi, kita bagi menjadi dua bagian yaitu pertama jenis soal yang matriks transformasinya bisa digabung langsung dan kedua jenis soal yang matriksnya tidak bisa digabung langsung sehingga pengerjaannya dilakukan satu demi satu.

         Untuk mempermudah dalam mempelajari materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi, teman-teman harus menguasai materi transformasi secara keseluruhan seperti 'matriks transformasi geometri', 'jenis-jenis transformasi', 'komposisi transfomasi geometri', dan tentu juga 'operasi matriks'.

Matriks transformasi bisa digabungkan (bisa dikomposisikan langsung)
       Untuk jenis matriks transformasi yang bisa langsung digabungkan maka pengerjaan Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi sangatlah mudah. Berikut langkah-langkahnya :
i). Gabungkan semua matriks transformasinya dengan cara dikalikan,

ii). Menentukan hubungan titik awal $ (x,y)$ dan bayangan $(x^\prime , y^\prime ) $,

a). Jika yang diminta bayangan persamaan, maka bentuklah $ x = m_1x^\prime + n_1y^\prime $ dan $ y = m_2x^\prime + n_2y^\prime $ . Setelah itu substitusi ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangan kurva.

b). Jika yang diminta persamaan bayangan, maka bentuklah $ x^\prime = m_1x + n_1y $ dan $ y^\prime = m_2x + n_2y $. Setelah itu substitusikan ke persamaan bayangan sehingga akita peroleh persamaan awalnya.
Catatan :
Silahkan teman-teman baca syarat matriks transformasi bisa digabungkan atau tidak pada artikel : "Komposisi Transformasi dengan Matriks".

Contoh Soal Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi :

1). Persamaan $ y = x^2 - 2x $ dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian dilanjutkan lagi dengan dilatasi pusat (0,0) dan faktor skala 3, dan dilanjtukan lagi rotasi sejauh $ 90^\circ $ terhadap titik pusat. Tentukan bayangan persamaan kurva parabola tersebut!

Penyelesaian :
*). Ketiga jenis matriks transformasi bisa digabungkan langsung karena memiliki titik pusat yang sama (0,0) dan matriks berordo $ 2 \times 2 $.
*). Menentukan matriks masing-masing dan matriks gabungannya :
Pertama : Pencerminan terhadap sumbu X, $ T_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Kedua : Dilatasi dengan $ k = 3 $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
Ketiga : Rotasi dengan $ \theta = 90^\circ $ , $ T_3 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Matriks gabungannya (MT) :
$ \begin{align} MT & = T_3 \circ T_2 \circ T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ (x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3y \\ 3x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 3y \rightarrow y = \frac{1}{3}x^\prime $
$ y^\prime = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}y^\prime $
*). Susbstitusi yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita dapatkan persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 - 2x \\ \frac{1}{3}x^\prime & = \left( \frac{1}{3}y^\prime\right)^2 - 2(\frac{1}{3}y^\prime) \\ \frac{1}{3}x^\prime & = \frac{1}{9}( y^\prime )^2 - \frac{2}{3}y^\prime \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ x^\prime & = \frac{1}{3}( y^\prime )^2 - 2y^\prime \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya adalah $ x^\prime = \frac{1}{3}( y^\prime )^2 - 2y^\prime $ atau $ x = \frac{1}{3}y^2 - 2y $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x = \frac{1}{3}y^2 - 2y . \, \heartsuit $.

Berikut adalah ilustrasi kurva awal dan kurva bayangannya :

2). Suatu persamaan kurva atau suatu fungsi didilatasi terhadap pusat koordinat dengan faktor skala -2 kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = x $ menghasilkan persamaan bayangan $ 2x - 3y = 5 $. Tentukan persamaan kurva tersebut!

Penyelesaian :
*). Kedua jenis matriks transformasi bisa digabungkan.
*). Pada soal diketahui :
Persamaan bayangannya : $ 2x - 3y = 5 $ atau dapat dituliskan $ 2x^\prime - 3y^\prime = 5 $.
Yang ditanyakan persamaan awalnya.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing dan matriks gabungannya :
Pertama : Dilatasi dengan $ k = -2 $ , $ T_1 = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) $
Kedua : Pencerminan terhadap garis $ y = x $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Matriks gabungannya (MT) :
$ \begin{align} MT & = T_2 \circ T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ (x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2y \\ -2x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = -2y $ dan $ y^\prime = -2x $
(tidak perlu diubah lagi karena yang ditanyakan persamaan awalnya).
*). Susbstitusi $ x^\prime = -2y $ dan $ y^\prime = -2x $ ke persamaan bayangan sehingga kita dapatkan persamaan awalnya :
$ \begin{align} 2x^\prime - 3y^\prime & = 5 \\ 2(-2y) - 3(-2x) & = 5 \\ -4y + 6x & = 5 \\ 6x -4y & = 5 \end{align} $
Jadi, persamaan awalnya adalah $ 6x -4y = 5 . \, \heartsuit $.

Matriks transformasi tidak bisa digabungkan
       Untuk Kasus kedua ini dimana matriks transformasinya tidak bisa digabungkan langsung sehingga pengerjaan Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi dilakukan satu-persatu. Ada dua cara yang bisa kita lakukan dalam pengerjaannya yaitu :
1). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ setelah itu kita ubah sesuai pertanyaannya apakah yang ditanya persamaan bayangan atau persamaan awal seperti contoh di atas.

2). Kita lakukan satu persatu dan langsung mencari bayangan persamaannya sehingga akan ada persamaan bayangan pertama, persamaan bayangan kedua, dan seterusnya. Persamaan bayangan terakhirlah jawaban yang kita pakai.
Contoh Soal Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi :

3). Tentukan persamaan bayangan kurva $ x^2 + y^2 = 4 $ jika ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) $, kemudian dirotasikan sebesar $ 180^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat putaran (1,2), dan dilanjutkan lagi dilatasi dengan faktor skala $ -2 $ dengan titik acuan (0,0)!

Penyelesaian :
*). Ketiga jenis matriks transformasi pada soal ini tidak bisa digabungkan karena ordo berbeda dan titik pusat (titik acuan) juga berbeda.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing :
Pertama : Translasi , $ T_1 = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) $
Kedua : Rotasi dengan $ \theta = 180^\circ $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Ketiga : Dilatasi dengan $ k = -2 $, $ T_3 = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) $
*). Untuk pengerjaan berikutnya, kita gunakan Dua Cara yaitu :

Cara 1 : Langsung menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
*). Pertama : Ditranslasi,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x-3 \\ y + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kedua : titik $(x^\prime , y^\prime ) $ dirotasi dengan titik pusat $(a,b) = (1,2) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) &= (T_2) . \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^\prime - 1 \\ y^\prime - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} (x-3) - 1 \\ (y+1) - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x - 4 \\ y - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 4 \\ -y + 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 5 \\ -y + 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Ketiga : titik $(x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime } ) $ didilatasi dengan pusat (0,0):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime \prime} \\ y^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) &= (T_3) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -x+5 \\ -y+3 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 2x -10 \\ 2y - 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk akhir hubungan titik awal dan titik bayangannya :
$ x^{\prime \prime \prime} = 2x -10 \rightarrow x = \frac{ x^{\prime \prime \prime} + 10}{2} $
$ y^{\prime \prime \prime} = 2y -6 \rightarrow x = \frac{ y^{\prime \prime \prime} + 6 }{2} $
*). Substitusi bentuk akhir yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya.
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 4 \\ \left( \frac{ x^{\prime \prime \prime} + 10}{2} \right)^2 + \left( \frac{ y^{\prime \prime \prime} + 6 }{2} \right)^2 & = 4 \\ \frac{ (x^{\prime \prime \prime} + 10)^2}{4} + \frac{ (y^{\prime \prime \prime} + 6 )^2}{4} & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (x^{\prime \prime \prime} + 10)^2 + (y^{\prime \prime \prime} + 6 )^2 & = 16 \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya adalah $ (x^{\prime \prime \prime} + 10)^2 + (y^{\prime \prime \prime} + 6 )^2 = 16 $
atau $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 . \, \heartsuit $.

Cara 2 : Kita tentukan langsung bayangan persamaannya untuk setiap jenis transformasi :
*). Pertama : Ditranslasi,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x-3 \\ y + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = x - 3 \rightarrow x = x^\prime + 3 $
$ y^\prime = y + 1 \rightarrow y = y^\prime - 1 $
Bayangan pertama persamaan :
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 4 \\ (x^\prime + 3)^2 + (y^\prime - 1)^2 & = 4 \end{align} $
Sehingga bayangan pertama persamaan : $ (x+3)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ .

*). Kedua : $ (x+3)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ dirotasi dengan titik pusat $(a,b) = (1,2) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{ \prime } \\ y^{\prime } \end{matrix} \right) &= (T_2) . \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x - 1 \\ y - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 1 \\ -y + 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 2 \\ -y + 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = -x + 2 \rightarrow x = -x^\prime + 2 $
$ y^\prime = -y + 4 \rightarrow y = -y^\prime + 4 $
Bayangan kedua persamaan :
$ \begin{align} (x+3)^2 + (y - 1)^2 & = 4 \\ (-x^\prime + 2+3)^2 + (-y^\prime + 4 - 1)^2 & = 4 \\ (-x^\prime + 5)^2 + (-y^\prime + 3)^2 & = 4 \\ (x^\prime - 5)^2 + (y^\prime - 3)^2 & = 4 \end{align} $
Sehingga bayangan kedua persamaan : $ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 4 $ .

*). Ketiga : $ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 4 $ didilatasi dengan pusat (0,0):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (T_3) . \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2x \\ -2y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = -2x \rightarrow x = -\frac{1}{2}x^\prime $
$ y^\prime = -2y \rightarrow y = -\frac{1}{2}y^\prime $
Bayangan ketiga persamaan :
$ \begin{align} (x - 5)^2 + (y - 3)^2 & = 4 \\ (-\frac{1}{2}x^\prime - 5)^2 + (-\frac{1}{2}y^\prime - 3)^2 & = 4 \\ (-\frac{1}{2}x^\prime - \frac{10}{2})^2 + (-\frac{1}{2}y^\prime - \frac{6}{2})^2 & = 4 \\ (\frac{-x^\prime - 10}{2})^2 + (\frac{-y^\prime -6}{2})^2 & = 4 \\ \frac{(-x^\prime - 10)^2}{4} + \frac{(-y^\prime -6)^2}{4} & = 4 \\ \frac{(x^\prime + 10)^2}{4} + \frac{(y^\prime + 6)^2}{4} & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (x^\prime + 10)^2 + (y^\prime + 6)^2 & = 16 \end{align} $
Sehingga bayangan ketiga persamaan : $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 . \, \heartsuit $.

4). Suatu persamaan kurva ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $, kemudian dirotasikan sebesar $ 90^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat putaran (1,2), dan dilanjutkan lagi dilatasi dengan faktor skala $ 3 $ dengan titik acuan (0,0) menghasilkan bayangan $ y = x^3 - 2x + 5$. Tentukan persamaan awal kurva tersebut!

Penyelesaian :
*). Ketiga jenis matriks transformasi pada soal ini tidak bisa digabungkan karena ordo berbeda dan titik pusat (titik acuan) juga berbeda.
*). Pada soal diketahui :
Persamaan bayangan kurva : $ y = x^3 - 2x + 5 $ atau bisa ditulis $ y^{\prime \prime \prime} = (x^{\prime \prime \prime} )^3 - 2x^{\prime \prime \prime} + 5 $.
Yang ditanyakan persamaan awalnya.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing :
Pertama : Translasi , $ T_1 = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $
Kedua : Rotasi dengan $ \theta = 180^\circ $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Ketiga : Dilatasi dengan $ k = 3 $, $ T_3 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
*). Pertama : Ditranslasi,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x+2 \\ y 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kedua : titik $(x^\prime , y^\prime ) $ dirotasi dengan titik pusat $(a,b) = (1,2) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) &= (T_2) . \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^\prime - 1 \\ y^\prime - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} (x+2) - 1 \\ (y-1) - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x +1 \\ y - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -y +3 \\ x + 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -y + 4 \\ x + 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Ketiga : titik $(x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime } ) $ didilatasi dengan pusat (0,0):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime \prime} \\ y^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) &= (T_3) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -y+4 \\ x+3 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -3y + 12 \\ 3x + 9 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk akhir hubungan titik awal dan titik bayangannya :
$ x^{\prime \prime \prime} = -3y + 12 $ dan $ y^{\prime \prime \prime} = 3x + 9 $
*). Substitusi bentuk akhir yang kita peroleh ke persamaan bayangan sehingga kita peroleh persamaan awalnya.
$ \begin{align} y^{\prime \prime \prime} & = (x^{\prime \prime \prime} )^3 - 2x^{\prime \prime \prime} + 5 \\ 3x + 9 & = (-3y + 12)^3 - 2(-3y + 12) + 5 \\ 3x + 9 & = (-3y + 12)^3 + 6y -24 + 5 \\ 3x & = (-3y + 12)^3 + 6y -28 \end{align} $
Jadi, persamaan awalnya adalah $ 3x = (-3y + 12)^3 + 6y -28 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Transformasi geometri Luas bangun datar".