Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga . Seperti yang telah kita pelajari, konsep jarak pada dimensi tiga adalah "jarak terpendek yang kita hitung antara garis dan bidang. Jarak terpendek akan kita peroleh salah satunya ketika terbentuk bagian yang tegak lurus. Sebelum mempelajari materi Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga ini, kita juga telah membahas materi jarak dua titik dan jarak titik ke garis pada artikel "Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang", materi "jarak titik dan bidang", dan "jarak dua garis pada dimensi tiga". Lalu bagaimana cara menghitung Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga? Tentu kita tidak bisa langsung menghitung jarak garis ke bidang, namun yang bisa kita hitung adalah jarak titik ke garis atau jarak dua garis atau jarak titik ke bidang, sehingga kita perlu menyederhanakan agar bentuknya ekuivalen dengan bentuk yang paling sederhana. Jadi, untuk memudahkan mempelajari Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga, teman-teman harus menguasai dahulu konsep jarak-jarak sebelumnya pada dimensi tiga.

Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga

       Misalkan terdapat garis $ g $ dan bidang W yang tidak berpotongan, perhatikan ilustrasi gambar di atas. Langkah-langkah Menentukan jarak garis $ g $ ke bidang W yaitu :
1). Buat sebuah bidang V yang melalui garis $ g $ dan tegak lurus bidang W,
2). Tentukan perpotongan bidang V dan bidang W, misalkan keduanya berpotongan di sepanjang garis $ l $,
3). Jarak $ g $ ke bidang W = jarak $ g $ ke $ l $.

Ada dua cara untuk menentukan jarak $ g $ dan $ l $ yaitu :
Cara I :
i). Pilih sembarang satu titik P pada salah satu garis,
ii). Jarak $ g $ dan $ l $ adalah jarak titik titik P ke garis yang tidak memuat P.
Cara II :
a). buat bidang U yang tegak lurus garis $ g $ dan $ l$,
b). bidang U memotong garis $ g $ dan $ l $ masing-masing di titik P dan Q,
c). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke titik Q.

Contoh soal Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :

1). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 5 cm. Tentukan jarak BC dan bidang ADHE!
Penyelesaian :

*). Kita buat bidang melalui BC dan tegak lurus ADHE yaitu bidang ABCD dimana kedua bidang berpotongan di AD, sehingga jaraknya adalah BC ke AD.
*). Buat bidang yang tegak lurus BC dan AD yaitu bidang ABFE yang berpotongan dengan garis di A dan B, sehingga jaraknya adalah A ke B yaitu 5 cm.
Jadi, jarak BC dan bidang ADHE adalah 5 cm.

2). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak AH dan bidang BCGF!
Penyelesaian :

*). Kita buat bidang melalui AH dan tegak lurus BCGF yaitu bidang ABGH dimana kedua bidang berpotongan di BG, sehingga jaraknya adalah AH ke BG.
*). Buat bidang yang tegak lurus AH dan BG yaitu bidang CDEF yang berpotongan dengan garis di P dan Q, sehingga jaraknya adalah P ke Q yaitu 6 cm.
Jadi, jarak AH dan bidang BCGF adalah 6 cm.

3). Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, titik P terletak di tengah-tengah BD. Tentukan jarak PG dan bidang AFH!
Penyelesaian :

*). Kita buat bidang melalui PG dan tegak lurus AFH yaitu bidang ACGE dimana kedua bidang berpotongan di AQ, sehingga jaraknya adalah PG ke AQ.
*). Kita pilih titik P pada garis PG, sehingga jaraknya adalah dari titik P ke garis AQ yaitu panjang PM.
*). Menentukan panjang sisi segitiga APQ :
$ AP = \frac{1}{2}. AC = 3\sqrt{2} \, $ cm
PQ = CG = 6 cm
$ AQ = \sqrt{AP^2+PQ^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = 3\sqrt{6} \, $ cm.
*). Menentukan PM dengan Luas $ \Delta APQ $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AP.PQ & = \frac{1}{2}. AQ.PM \\ AP.PQ & = AQ.PM \\ 3\sqrt{2} . 6 & = 3\sqrt{6}.PM \\ \sqrt{2} . 6 & = \sqrt{2} . \sqrt{3}.PM \\ PM & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak PG dan AFH adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

4). Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, titik P, Q, dan M masing-masing terletak di tengah-tengah EF, GH, dan AB. Tentukan jarak MF dan bidang APQD!
Penyelesaian :

*). Kita buat bidang melalui MF dan tegak lurus APQD yaitu bidang ABFE dimana kedua bidang berpotongan di AP, sehingga jaraknya adalah MF ke AP.
*). Kita pilih titik M pada garis MF, sehingga jaraknya adalah dari titik M ke garis AP yaitu panjang MN.
*). Menentukan panjang sisi segitiga AMP :
$ AM = \frac{1}{2}. AB = 2 \, $ cm
MP = BF = 4 cm
$ AP = \sqrt{AM^2+MP^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5} \, $ cm.
*). Menentukan MN dengan Luas $ \Delta AMP $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AM.MP & = \frac{1}{2}. AP.MN \\ AM.MP & = AP.MN \\ 2 . 4 & = 2\sqrt{5}.MN \\ MN & = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak MF dan APQD adalah $ \frac{4}{5}\sqrt{5} \, $ cm.

5). Titik P terletak di tengah-tengah FG pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 3 cm. Tentukan jarak BP dan bidang ADH!
Penyelesaian :

*). Buat bidang melalui BP dan tegak lurus bidang ADH yaitu bidang ABPQ dimana kedua bidang hanya berpotongan di titik A, sehingga jaraknya adalah dari titik A ke garis BP yaitu AB.
Jadi, jarak BP dan ADH adalah 3 cm.

6). Titik P dan M masing-masing terletak di tengah-tengah FG dan AD pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 2 cm. Tentukan jarak BP dan bidang MDH!
Penyelesaian :

*). Buat bidang melalui BP dan tegak lurus bidang MDH yaitu bidang ABPQ. Ternyata bidang MDH dan ABPQ tidak berpotongan, sehingga jarak terdekatnya adalah jarak BP dan MH.
*). Kita pilih titik M pada garis MH, sehingga jaraknya dari titik M ke garis BP yaitu panjang MN. Untuk menentukan panjang MN, kita harus fokus pada segitiga BPM.
*). Menentukan panjang sisi segitiganya :
$ \Delta ABM , \, BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ \Delta BFP , \, BP = \sqrt{BF^2 + FP^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ \Delta MQP , \, MP = \sqrt{MQ^2 + QP^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} $
Misalkan panjang $ BN = x $ , maka $ PN = \sqrt{5} - x $
Misalkan $ MN = t $ (yang akan kita cari panjangnya).
*). Menentukan nilai $ x $ dengan bantuan teorema Pythagoras pada segitiga BNM dan PNM untuk panjang $ t $ :
$ \begin{align} t^2 \, \text{ BNM } & = t^2 \, \text{ PNM } \\ BM^2 - BN^2 & = PM^2 - PN^2 \\ (\sqrt{5})^2 - x^2 & = (\sqrt{8})^2 - (\sqrt{5} - x)^2 \\ 5 - x^2 & = 8 - (5 - 2\sqrt{5}x + x^2) \\ 5 - x^2 & = 8 - 5 + 2\sqrt{5}x - x^2 \\ 2\sqrt{5}x & = 2 \\ x & = \frac{1}{\sqrt{5}} \end{align} $
*). Menentukan panjang MN ($t$) pada segitiga BNM :
$ \begin{align} t & = \sqrt{BM ^2 - BN^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - x^2} \\ & = \sqrt{5 - \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2} \\ & = \sqrt{5 - \frac{1}{5} } = \sqrt{ \frac{24}{5} } \\ & = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\sqrt{30} \end{align} $
Jadi, jarak BP dan MDH adalah $ \frac{2}{5}\sqrt{30} $ cm.

       Demikian pembahasan materi Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "Jarak dua bidang pada dimensi tiga".