Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis

         Blog Koma - Aplikasi vektor yang akan kita bahas pada artikel ini adalah Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis. Aplikasi vektor dalam bangun datar atau bangun ruang cukuplah banyak, diantaranya kita sudah membahas materi "aplikasi vektor : jarak titik ke garis", "aplikasi vektor : luas bangun datar", dan "aplikasi vektor : volume bangun ruang". Pada dimensi tiga, sebenarnya juga kita pelajari materi "jarak dua garis bersilangan", namun pengerjaannya menggunakan konsep keruangan pada dimensi tiga dimana menurut kami memang tidak mudah dalam aplikasi pengerjaan pada soalnya. Nah pada konsep vektor yaitu Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis ini, kita hanya terfokus pada pengerjaan soalnya menggunakan konsep vektor yaitu "proyeksi orthogonal vektor pada vektor" khususnya panjang vektor proyeksinya. Hal-hal yang harus teman-teman kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis yaitu "pengertian vektor dan penulisannya", "panjang vektor", "perkalian dot", "perkalian silang dua vektor", dan "panjang proyeksi vektor".

Langkah-langkah Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas. Misalkan kita akan mencari jarak antara garis $ g_1 $ dan garis $ g_2 $. Garis $ g_1 $ dan $ g_2 $ diwakili oleh masing-masing vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $. Pada garis $ g_1 $ kita pilih titik A. Berikut langkah-langkah menentukan jarak dua garis bersilangan menggunakan konsep vektor :
1). Impitkan kedua pangkal vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $ di titik A.
2). Kita buat bidang W melalui kedua vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $.
3). Tentukan vektor normal yang tegak lurus dengan bidang W yaitu vektor $ \vec{u} $ dengan $ \vec{u} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 $.
4). Tentukan salah satu vektor dari garis $ g_1 $ ke garis $ g_2 $, misalkan vektor $ \vec{AC} $.
5). Jarak kedua garis adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor $ \vec{u} $.

Dapat kita ringkas rumus jaraknya yaitu :
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AD} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BD} $ ke $ \vec{u} $.

Contoh Soal Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis

1). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak BG dan CE!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis BG dan CE :
B(12, 12, 0); G(0, 12, 12); C(0, 12, 0) dan E(12, 0, 12)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (-12, 0, 12) $
$ \vec{CE} = \vec{e} - \vec{c} = (12, -12, 12) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{BG} \times \vec{CE} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -12 & 0 & 12 \\ 12 & -12 & 12 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 144\vec{j} +144\vec{k}) - (-144\vec{i} - 144\vec{j} + 0) \\ & = 144\vec{i} + 288\vec{j} + 144\vec{k} = (144, 288 , 144 ) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{144^2 + 288^2+144^2} = 144\sqrt{6} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan BG dan CE, misalkan kita pilih vektor $ \vec{BE} $ yaitu $ \vec{BE} = \vec{e} - \vec{b} = (0, -12, 12) $
*). Jarak BG ke CE adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{BE} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{BE} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(0, -12, 12).(144, 288 , 144 ) }{144\sqrt{6}} \right| \\ & = \left| \frac{0 + (-12).288 + 12. 144 }{144\sqrt{6}} \right| \\ & = \left| \frac{-12. 144 }{144\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-12 }{ \sqrt{6}} \right| = \frac{12 }{ \sqrt{6}} = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan CE adalah $ 2 \sqrt{6} \, $ cm.

2). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak BG dan AC!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis BG dan AC :
B(6, 6, 0); G(0, 6, 6); A(6, 0, 0) dan C(0, 6, 0)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (-6, 0, 6) $
$ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-6, 6, 0) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{BG} \times \vec{AC} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 0 & 6 \\ -6 & 6 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 -36\vec{j} -36\vec{k}) - (36\vec{i} + 0 + 0) \\ & = -36\vec{i} -36\vec{j} -36\vec{k} = (-36, -36, -36) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{(-36)^2 + (-36)^2+(-36)^2} = 36\sqrt{3} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan BG dan AC, misalkan kita pilih vektor $ \vec{BA} $ yaitu $ \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (0, -6, 0) $
*). Jarak BG ke AC adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{BA} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{BA} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(0, -6, 0).(-36, -36, -36) }{36\sqrt{3} } \right| \\ & = \left| \frac{0 + 6. 36 + 0}{36\sqrt{3} } \right| \\ & = \left| \frac{6.36}{36\sqrt{3} } \right| = \left| \frac{6 }{ \sqrt{3}} \right| = \frac{6 }{ \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan AC adalah $ 2 \sqrt{3} \, $ cm.

3). Sebuah balok ABCD.EFGH memiliki panjang 6 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 3 cm. Jika titik M adalah titik tengah EF, maka tentukan jarak AG dan DM!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis AG dan DM :
A(4, 0, 0): G(0, 6, 3); D(0, 0, 0) dan M(4, 3, 3)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{AG} = \vec{g} - \vec{a} = (-4, 6, 3) $
$ \vec{DM} = \vec{m} - \vec{d} = (4, 3, 3) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{AG} \times \vec{DM} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 6 & 3 \\ 4 & 3 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = (18\vec{i} + 12\vec{j} -12\vec{k}) - (9\vec{i} - 12\vec{j} + 24\vec{k}) \\ & = 9\vec{i} + 24\vec{j} -36\vec{k} = (9, 24, -36) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{9^2 + 24^2+(-36)^2} = \sqrt{1953} = 3\sqrt{217} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan AG dan DM, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AD} $ yaitu $ \vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = (-4, 0, 0) $
*). Jarak AG ke DM adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AD} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{AD} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{AD}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-4, 0, 0).(9, 24, -36) }{ 3\sqrt{217}} \right| \\ & = \left| \frac{-36 +0 + 0}{ 3\sqrt{217} } \right| \\ & = \left| \frac{-36}{ 3\sqrt{217}} \right| = \left| \frac{12 }{ \sqrt{217}} \right| = \frac{12}{217}\sqrt{217} \end{align} $
Jadi, jarak AG dan DM adalah $ \frac{12}{217}\sqrt{217} \, $ cm.

4). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jika titik P, Q, dan R terletak ditengah-tengah rusuk AB, EH, dan CD, maka tentukan jarak PQ dan FR!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
 

*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis PQ dan FR:
P(6, 3, 0); Q(3, 0, 6); F(6, 6, 6) dan R(0, 3, 0)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-3, -3, 6) $
$ \vec{FR} = \vec{r} - \vec{f} = (-6, -3, -6) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{PQ} \times \vec{FR} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & 6 \\ -6 & -3 & -6 \end{matrix} \right| \\ & = (18\vec{i} -36\vec{j} + 9\vec{k}) - (-18\vec{i} + 18\vec{j} + 18\vec{k}) \\ & = 36\vec{i} - 54\vec{j} -9\vec{k} = (36 , -54 , -9) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{36^2 + (-54)^2+(-9)^2} = 9\sqrt{53} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan PQ dan FR, misalkan kita pilih vektor $ \vec{PR} $ yaitu $ \vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = (-6, 0, 0) $
*). Jarak PQ ke FR adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{PR} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{PR} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{PR}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-6, 0, 0).(36 , -54 , -9) }{ 9\sqrt{53} } \right| \\ & = \left| \frac{-216 +0 + 0}{ 9\sqrt{53} } \right| \\ & = \left| \frac{-216}{ 9\sqrt{53} } \right| = \left| \frac{24 }{ \sqrt{53}} \right| = \frac{24}{53}\sqrt{53} \end{align} $
Jadi, jarak PQ dan FR adalah $ \frac{24}{53}\sqrt{53} \, $ cm.

5). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak AH dan CF!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis AH dan CF :
A(6, 0, 0); H(0, 0, 6); C(0, 6, 0) dan F(6, 6, 6)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{AH} = \vec{h} - \vec{a} = (-6, 0, 6) $
$ \vec{CF} = \vec{f} - \vec{c} = (6, 0, 6) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{AH} \times \vec{CF} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 0 & 6 \\ 6 & 0 & 6 \end{matrix} \right| \\ & = (0 +36\vec{j} + 0 ) - (0 -36\vec{j} + 0 ) \\ & = 72\vec{j} = (0, 72, 0 ) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{0^2 + 72^2+0^2} = 72 $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan AH dan CF, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AC} $ yaitu $ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-6, 6, 0 ) $
*). Jarak AH ke CF adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{AC} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-6, 6, 0 ).(0, 72, 0 ) }{72} \right| \\ & = \left| \frac{0 + 6. 72 + 0}{72} \right| \\ & = \left| \frac{6.72}{72 } \right| = 6 \end{align} $
Jadi, jarak AH dan CF adalah $ 6 \, $ cm.

       Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi Vektor Tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : Jarak titik ke bidang".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar