Langkah-langkah Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis
Perhatikan ilustrasi gambar di atas. Misalkan kita akan mencari jarak antara garis $ g_1 $ dan garis $ g_2 $. Garis
$ g_1 $ dan $ g_2 $ diwakili oleh masing-masing vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $. Pada garis $ g_1 $ kita pilih titik A. Berikut langkah-langkah
menentukan jarak dua garis bersilangan menggunakan konsep vektor :
1). Impitkan kedua pangkal vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $ di titik A.
2). Kita buat bidang W melalui kedua vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $.
3). Tentukan vektor normal yang tegak lurus dengan bidang W yaitu vektor $ \vec{u} $ dengan $ \vec{u} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 $.
4). Tentukan salah satu vektor dari garis $ g_1 $ ke garis $ g_2 $, misalkan vektor $ \vec{AC} $.
5). Jarak kedua garis adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor $ \vec{u} $.
Dapat kita ringkas rumus jaraknya yaitu :
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AD} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BD} $ ke $ \vec{u} $.
1). Impitkan kedua pangkal vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $ di titik A.
2). Kita buat bidang W melalui kedua vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $.
3). Tentukan vektor normal yang tegak lurus dengan bidang W yaitu vektor $ \vec{u} $ dengan $ \vec{u} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 $.
4). Tentukan salah satu vektor dari garis $ g_1 $ ke garis $ g_2 $, misalkan vektor $ \vec{AC} $.
5). Jarak kedua garis adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor $ \vec{u} $.
Dapat kita ringkas rumus jaraknya yaitu :
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AD} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BD} $ ke $ \vec{u} $.
Contoh Soal Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis
1). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak BG dan CE!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
B(12, 12, 0); G(0, 12, 12); C(0, 12, 0) dan E(12, 0, 12)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (-12, 0, 12) $
$ \vec{CE} = \vec{e} - \vec{c} = (12, -12, 12) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{BG} \times \vec{CE} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -12 & 0 & 12 \\ 12 & -12 & 12 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 144\vec{j} +144\vec{k}) - (-144\vec{i} - 144\vec{j} + 0) \\ & = 144\vec{i} + 288\vec{j} + 144\vec{k} = (144, 288 , 144 ) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{144^2 + 288^2+144^2} = 144\sqrt{6} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan BG dan CE, misalkan kita pilih vektor $ \vec{BE} $ yaitu $ \vec{BE} = \vec{e} - \vec{b} = (0, -12, 12) $
*). Jarak BG ke CE adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{BE} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{BE} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(0, -12, 12).(144, 288 , 144 ) }{144\sqrt{6}} \right| \\ & = \left| \frac{0 + (-12).288 + 12. 144 }{144\sqrt{6}} \right| \\ & = \left| \frac{-12. 144 }{144\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-12 }{ \sqrt{6}} \right| = \frac{12 }{ \sqrt{6}} = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan CE adalah $ 2 \sqrt{6} \, $ cm.
2). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak BG dan AC!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
B(6, 6, 0); G(0, 6, 6); A(6, 0, 0) dan C(0, 6, 0)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (-6, 0, 6) $
$ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-6, 6, 0) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{BG} \times \vec{AC} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 0 & 6 \\ -6 & 6 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 -36\vec{j} -36\vec{k}) - (36\vec{i} + 0 + 0) \\ & = -36\vec{i} -36\vec{j} -36\vec{k} = (-36, -36, -36) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{(-36)^2 + (-36)^2+(-36)^2} = 36\sqrt{3} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan BG dan AC, misalkan kita pilih vektor $ \vec{BA} $ yaitu $ \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (0, -6, 0) $
*). Jarak BG ke AC adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{BA} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{BA} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(0, -6, 0).(-36, -36, -36) }{36\sqrt{3} } \right| \\ & = \left| \frac{0 + 6. 36 + 0}{36\sqrt{3} } \right| \\ & = \left| \frac{6.36}{36\sqrt{3} } \right| = \left| \frac{6 }{ \sqrt{3}} \right| = \frac{6 }{ \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan AC adalah $ 2 \sqrt{3} \, $ cm.
3). Sebuah balok ABCD.EFGH memiliki panjang 6 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 3 cm. Jika titik M adalah titik tengah EF, maka tentukan jarak AG dan DM!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
A(4, 0, 0): G(0, 6, 3); D(0, 0, 0) dan M(4, 3, 3)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{AG} = \vec{g} - \vec{a} = (-4, 6, 3) $
$ \vec{DM} = \vec{m} - \vec{d} = (4, 3, 3) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{AG} \times \vec{DM} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 6 & 3 \\ 4 & 3 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = (18\vec{i} + 12\vec{j} -12\vec{k}) - (9\vec{i} - 12\vec{j} + 24\vec{k}) \\ & = 9\vec{i} + 24\vec{j} -36\vec{k} = (9, 24, -36) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{9^2 + 24^2+(-36)^2} = \sqrt{1953} = 3\sqrt{217} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan AG dan DM, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AD} $ yaitu $ \vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = (-4, 0, 0) $
*). Jarak AG ke DM adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AD} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{AD} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{AD}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-4, 0, 0).(9, 24, -36) }{ 3\sqrt{217}} \right| \\ & = \left| \frac{-36 +0 + 0}{ 3\sqrt{217} } \right| \\ & = \left| \frac{-36}{ 3\sqrt{217}} \right| = \left| \frac{12 }{ \sqrt{217}} \right| = \frac{12}{217}\sqrt{217} \end{align} $
Jadi, jarak AG dan DM adalah $ \frac{12}{217}\sqrt{217} \, $ cm.
4). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jika titik P, Q, dan R terletak ditengah-tengah rusuk AB, EH, dan CD, maka tentukan jarak PQ dan FR!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis PQ dan FR:
P(6, 3, 0); Q(3, 0, 6); F(6, 6, 6) dan R(0, 3, 0)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-3, -3, 6) $
$ \vec{FR} = \vec{r} - \vec{f} = (-6, -3, -6) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{PQ} \times \vec{FR} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & 6 \\ -6 & -3 & -6 \end{matrix} \right| \\ & = (18\vec{i} -36\vec{j} + 9\vec{k}) - (-18\vec{i} + 18\vec{j} + 18\vec{k}) \\ & = 36\vec{i} - 54\vec{j} -9\vec{k} = (36 , -54 , -9) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{36^2 + (-54)^2+(-9)^2} = 9\sqrt{53} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan PQ dan FR, misalkan kita pilih vektor $ \vec{PR} $ yaitu $ \vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = (-6, 0, 0) $
*). Jarak PQ ke FR adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{PR} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{PR} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{PR}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-6, 0, 0).(36 , -54 , -9) }{ 9\sqrt{53} } \right| \\ & = \left| \frac{-216 +0 + 0}{ 9\sqrt{53} } \right| \\ & = \left| \frac{-216}{ 9\sqrt{53} } \right| = \left| \frac{24 }{ \sqrt{53}} \right| = \frac{24}{53}\sqrt{53} \end{align} $
Jadi, jarak PQ dan FR adalah $ \frac{24}{53}\sqrt{53} \, $ cm.
5). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak AH dan CF!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
A(6, 0, 0); H(0, 0, 6); C(0, 6, 0) dan F(6, 6, 6)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{AH} = \vec{h} - \vec{a} = (-6, 0, 6) $
$ \vec{CF} = \vec{f} - \vec{c} = (6, 0, 6) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{AH} \times \vec{CF} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 0 & 6 \\ 6 & 0 & 6 \end{matrix} \right| \\ & = (0 +36\vec{j} + 0 ) - (0 -36\vec{j} + 0 ) \\ & = 72\vec{j} = (0, 72, 0 ) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{0^2 + 72^2+0^2} = 72 $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan AH dan CF, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AC} $ yaitu $ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-6, 6, 0 ) $
*). Jarak AH ke CF adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{AC} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-6, 6, 0 ).(0, 72, 0 ) }{72} \right| \\ & = \left| \frac{0 + 6. 72 + 0}{72} \right| \\ & = \left| \frac{6.72}{72 } \right| = 6 \end{align} $
Jadi, jarak AH dan CF adalah $ 6 \, $ cm.
Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi Vektor Tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : Jarak titik ke bidang".
