Aturan Rantai Turunan Fungsi

         Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Aturan Rantai Turunan Fungsi. Sebelumnya kita telah membahas materi "Turunan Fungsi Aljabar", dan rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar menggunakan aturan rantai turunan fungsi. Aturan rantai turunan fungsi kita gunakan untuk fungsi yang bergantung dari fungsi lainnya.

Penjelasan Aturan Rantai Turunan Fungsi
       Misalkan ada fungsi $ y = f[g(x)] \, $ , kita akan menentukan turunannya dengan aturan rantai.
Misalkan $ z = g(x) , \, $ maka fungsinya menjadi : $ y = f[g(x)] \rightarrow y = f[z] $ .
Untuk $ z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
Untuk $ y = f[z] \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = f^\prime [z] = f^\prime [g(x)] $
Sehingga turunan dari $ y = f[g(x)] \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) \end{align} $

       Turunan $ y = [g(x)]^n \, $ dengan aturan rantai :
Misalkan $ z = g(x), \, $ maka fungsinya menjadi $ y = [z]^n $
$ z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
$ y = z^n \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = n.z^{n-1} = n[g(x)]^{n-1} $
Sehingga turunan dari $ y = [g(x)]^n \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = n[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \end{align} $
Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi $ y = (x^3 - 2x + 2)^{2015} \, $ dan nilai $ f^\prime (1) $
Penyelesaian :
*). Misalkan $ z = x^3 - 2x + 2 \rightarrow \frac{dz}{dx} = 3x^2 - 2 $
Sehingga fungsinya : $ y = z^{2015} \rightarrow \frac{dy}{dz} = 2015z^{2014} = 2015(x^3-2x+2)^{2014} $
*). Turunan fungsi $ y = (x^3 - 2x + 2)^{2015} \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = 2015(x^3-2x+2)^{2014} . (3x^2 - 2) \end{align} $
Artinya $ f^\prime (x) = 2015(x^3-2x+2)^{2014} . (3x^2 - 2) $
*). Menentukan nilai $ f^\prime (1) $
$ f^\prime (1) = 2015(1^3-2.1+2)^{2014} . (3.1^2 - 2) = 2015(1)^{2014}.1 = 2015 $
Jadi, nilai $ f^\prime (1) = 2015 $

2). Tentukan nilai $ g^\prime (1) \, $ dari fungsi $ g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \, $ jika diketahui $ f(3) = -2 \, $ dan $ f^\prime (3) = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Kita turunkan bentuk $ g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \, $ dari kedua ruas,
Turunan ruas kiri : $ y = g(2x-3) \rightarrow y^\prime = g^\prime (2x-3) . 2 = 2g^\prime (2x-3) $
Turunan ruas kanan : $ y = 2x^2 . f(x^2 - 1) = U.V $
Misalkan :
$ U = 2x^2 \rightarrow U^\prime = 4x $
$ V = f(x^2 - 1) \rightarrow V^\prime = f^\prime (x^2 -1) . 2x = 2xf^\prime (x^2 -1 ) $
Sehingga turunan ruas kanan :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) $
*). Yang ditanyakan $ g^\prime (1) \, $ dari $ g^\prime (2x-3 ) \, $ artinya $ 2x - 3 = 1 \rightarrow x = 2 $ .
*). Substitusi $ x = 2 \, $ ke turunan kedua ruasnya :
$ \begin{align} g(2x-3) & = 2x^2.f(x^2-1) \, \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2g^\prime (2x-3) & = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) \\ 2g^\prime (2x-3) & = 4x.f(x^2 -1) + 4x^3.f^\prime (x^2 -1 ) \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } x = 2 ) \\ 2g^\prime (2.2-3) & = 4.2.f(2^2 -1) + 4.2^3.f^\prime (2^2 -1 ) \\ 2g^\prime (1) & = 8f(3) + 32f^\prime (3 ) \\ 2g^\prime (1) & = 8.(-2) + 32. 1 \\ 2g^\prime (1) & = -16 + 32 \\ 2g^\prime (1) & = 16 \\ g^\prime (1) & = \frac{16}{2} = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (1) = 8 $

3). Diketahui $ f(1) = 1 \, $ dan $ f^\prime (1) = 2 \, $ ,
tentukan nilai $ g^\prime (1) \, $ dari fungsi $ g(x) = (f(f(f(f(f(f(x))))))) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan $ g(x) \, $ dengan aturan rantai,
Misalkan :
$ z = f(x) \rightarrow \frac{dz}{dx} = f^\prime (x) $
Nilai $ f^\prime (1) = 2 $
$ m = f(f(x)) = f(z) \rightarrow \frac{dm}{dz} = f^\prime (z) = f^\prime (f(x)) $
Nilai $ f^\prime (f(1 )) = f^\prime (1) = 2 $
$ n = f(f(f(x))) = f(m) \rightarrow \frac{dn}{dm} = f^\prime (m) = f^\prime (f(f(x))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ p = f(f(f(f(x)))) = f(n) \rightarrow \frac{dp}{dn} = f^\prime (n) = f^\prime (f(f(f(x)))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(1)))) = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f( 1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ q = f(f(f(f(f(x))))) = f(p) \rightarrow \frac{dq}{dp} = f^\prime (p) = f^\prime (f(f(f(f(x))))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(f(1))))) = f^\prime (f(f(f(1)))) = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ y = f(f(f(f(f(f(x)))))) = f(q) \rightarrow \frac{dy}{dq} = f^\prime (q) = f^\prime (f(f(f(f(f(x)))))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(f(f(1)))))) = f^\prime (f(f(f(f(1))))) = f^\prime (f(f(f(1)))) $
$ = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
*). Sehingga turunanan fungsi $ g(x) = (f(f(f(f(f(f(x))))))) \, $ adalah
$ \begin{align} g^\prime (x) & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dq} . \frac{dq}{dp}.\frac{dp}{dn} . \frac{dn}{dm}.\frac{dm}{dz}.\frac{dz}{dx} \\ g^\prime (x) & = f^\prime (f(f(f(f(f(x)))))) \times f^\prime (f(f(f(f(x))))) \times f^\prime (f(f(f(x)))) \\ & \times f^\prime (f(f(x))) \times f^\prime (f(x)) \times f^\prime (x) \\ g^\prime (1) & = f^\prime (f(f(f(f(f(1)))))) \times f^\prime (f(f(f(f(1)))))\times f^\prime (f(f(f(1)))) \\ & \times f^\prime (f(f(1))) \times f^\prime (f(1)) \times f^\prime (1) \\ & = 2 . 2. 2.2.2.2 \\ & = 2^6 = 64 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (1) = 64 $ .

Catatan : Aturan rantai turunan fungsi bisa digunakan untuk semua jenis fungsi baik itu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, maupun fungsi lainnya.

Turunan Fungsi Aljabar

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah pelajari "Definisi Turunan Fungsi Secara Umum", dimana untuk menentukan turunan suatu fungsi $ f(x) \, $ yang disimbolkan $ \, f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime \, $ dapat menggunakan definisi turunannya yaitu :
Namun untuk menyelesaikan limit fungsinya khususnya fungsi aljabarnya kita tidak perlu menggunakan definisi turunan secara umum, karena akan rumit dan lebih lama dalam penyelesaiannya. Nah untuk mempermudah, kali ini kita akan membahas khusus Turunan Fungsi Aljabar. Pada materi turunan fungsi aljabar ini kita akan langsung menggunakan rumus dasarnya, tentu rumus-rumus dasar ini kita peroleh dari definisi turunan secara umum untuk pembuktiannya.

Rumus Dasar Turunan Fungsi Aljabar
       Berikut daftar rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar :
i). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ k \, $ adalah konstanta dan setiap kostanta turunannya adalah nol.
ii). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimanan $ n \, $ adalah bilangan real.
iii). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
iv). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
v). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
dimana $ U \, $ dan $ V \, $ adalah dua buah fungsi yang berbeda.
vi). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $
vii). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $

Catatan :
*). Untuk pembuktian keenam rumus dasar turunan fungsi aljabar dari rumus i sampai v, bisa kita lihat pembuktiannya setelah contoh-contoh soalnya.
*). Sedangkan pembuktian rumus dasar vi dan vii, kita menggunakan aturan rantai yang bisa kita baca pada artikel "aturan rantai turunan fungsi".
Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi aljabar berikut :
a). $ y = 3 $
b). $ y = x^5 $
c). $ y = \frac{5}{x^2} $
d). $ y = 3\sqrt{x} $
e). $ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } $
f). $ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} $
Penyelesaian :
a). Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar i).
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b). Rumus dasar ii) dengan $ n = 5 $
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
c). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{5}{x^2} = 5 x^{-2} \rightarrow y^\prime = n . a . x^{n-1} = (-2). 5. x^{(-2) - 1} = -10x^{-3} = \frac{-10}{x^3} $
d). Gunakan rumus dasar ii, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
e). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } = \frac{2}{3x^1. x^\frac{1}{2} } = \frac{2}{3x^\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} $
$ y^\prime = n.a.x^{n-1} = -\frac{3}{2} . \frac{2}{3} . x^{-\frac{3}{2} - 1 } = - x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^2.x^\frac{1}{2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{x}} $
f). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} = \frac{3}{2}x^\frac{3}{5} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{3}{5}. \frac{3}{2}.x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{9}{10} x^{-\frac{2}{5}} = \frac{9}{10} \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}} } = \frac{9}{10 \sqrt[5]{x^2}} $

2). Tentukan turunan ($ f^\prime (x) $) dari setiap fungsi berikut.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan turunan fungsi-fungsinya, kita gunakan rumus dasar iii. Rumus dasar iii itu maksudnya setiap suku masing-masing diturunkan.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
Misalkan :
$ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x $
$ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 $
Untuk fungsi yang variabelnya pangkat satu : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
Turunan fungsinya adalah :
$ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $

b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $

c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $

3). Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar iv). Sebenarnya setiap fungsi bisa dikalikan terlebih dahulu kemudian diturunkan menggunakan rumus dasar iii dan ii.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ & = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ & = 10x^4 - 3x^2 - 1 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 10x^4 - 3x^2 - 1 $

4). Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar v).
Misalkan :
Misalkan :
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ & = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ & = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $

5). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = 2x^2 - 3x + 8 \rightarrow g^\prime (x) = 4x - 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = [g(x)]^n = (2x^2 - 3x + 8)^{10} \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = 10.(2x^2 - 3x + 8)^{10-1} . (4x - 3) \\ & = 10.(4x - 3) . (2x^2 - 3x + 8)^{10-1} \\ & = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $

6). Diketahui fungsi $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 \, , $ tentukan nilai $ f^\prime (3) $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar vii.
Misalkan : $ g(x) = 2x - 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2 - 0 = 2 $
Sehingga :
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$ y = f[2x-1] \rightarrow y^\prime = f^\prime [ 2x-1] . 2 $
$ y = f(2x-1) \rightarrow y^\prime = 2f^\prime [ 2x-1] $
*). Kedua ruas fungsi kita turunkan dari fungsi $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 $
$ \begin{align} f(2x - 1) & = 3x^2 + 2x + 5 \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2f^\prime (2x - 1) & = 6x + 2 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \end{align} $
*). Agar diperoleh nilai $ f^\prime (3) \, $ maka bentuk $ f^\prime (2x - 1) = f^\prime (3) \, $
artinya $ 2x-1 = 3 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
*). Substitusi nilai $ x = 2 \, $ ke bentuk turunannya :
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \\ f^\prime (2.2 - 1) & = 3.2 + 1 \\ f^\prime (4 - 1) & = 6 + 1 \\ f^\prime (3) & = 7 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ f^\prime (3) = 7 $ .

7). Tentukan nilai $ f^\prime (1) \, $ dari masing-masing fungsi berikut,
a). $ y = x^5 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
d). $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $
e). $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $
Penyelesaian :
*). Turunan dari setiap fungsi sudah ada pada soal-soal sebelumnya. nilai $ f^\prime (1) \, $ artinya $ f^\prime (x) \, $ untuk $ x = 1 $ .
a). $ y = x^5 \rightarrow f^\prime (x) = 5x^4 $
Sehingga : $ f^\prime (1) = 5.1^4 = 5. 1 = 5 $

b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
Sehingga $ f^\prime (1) = \frac{1}{\sqrt{1} } + 15.1^2 = 1 + 15 = 16 $

c). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
$ f^\prime (x) = 10x^4 - 3x^2 - 1 $
Sehingga : $ f^\prime (1) = 10.1^4 - 3.1^2 - 1 = 10 - 3 - 1 = 6 $

d). $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $
$ f^\prime (x) = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $
Sehingga : $ f^\prime (1) = \frac{3.1^2 - 10.1 - 6}{9.1^2 -30.1 + 25} = \frac{3 - 10 - 6}{9 - 30 + 25} = \frac{-13}{4} $

e). $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $
$ f^\prime (x) = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $
Sehingga :
$ f^\prime (1) = (40.1 - 30) (2.1^2 - 3.1 + 8)^9 = (40 - 30).(2 - 3 + 8)^9 = 10. (7)^9 = 10.7^9 $

8). Diketahui fungsi $ f(x) \, $ berikut,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 & , \text{ untuk } x < 1 \\ ax+b & , \text{ untuk } x \geq 1 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ a $ dan $ b $ agar fungsi $ f(x) \, $ mempunyai turunan di $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Dari fungsi di atas, kita peroleh :
sebelah kiri 1 berlaku $ f(x) = x^2 \, $ dan sebelah kanan 1 berlaku $ f(x) = ax+b $ .
*). Syarat fungsi $ f(x) \, $ mempunyai turunan di $ x = 1 \, $ syaratnya fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = 1 $ .
Syarat kontinu di $ x = 1 \, $ adalah $ \, \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = f(1) $
Khususnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^- } f(x) = f(1) $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1^- } f(x) & = f(1) \\ \displaystyle \lim_{x \to 1^- } x^2 & = a.1 + b \\ 1^2 & = a + b \\ a + b & = 1 \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari kiri dan kanan $ x = 1 $ ,
Untuk $ x = 1^- \rightarrow f(x) = x^2 \rightarrow f^\prime (x) = 2x \rightarrow f^\prime (1^-) = 2.1 = 2 $
Untuk $ x = 1^+ \rightarrow f(x) = ax + b \rightarrow f^\prime (x) = a \rightarrow f^\prime (1^+) = a $
*). Agar fungsi mempunyai turunan di $ x = 1 \, $ , maka haruslah $ f^\prime (1^+) = f^\prime (1^-) $
$ \begin{align} f^\prime (1^+) & = f^\prime (1^-) \\ a & = 2 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ a = 2 \, $ ke pers(i) :
$ a + b = 1 \rightarrow 2 + b = 1 \rightarrow b = 1 - 2 = -1 $
Jadi, nilai $ a = 2 \, $ dan $ b = -1 $ .

9). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} $ ?
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} \, $ dan $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
Sehingga bentuk : $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{1}{2} $
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x^3 + 2x -1} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{1}{2} \\ y & = [g(x)]^n \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = \frac{1}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}-1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.(x^3 + 2x -1)^{-\frac{1}{2}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x^3 + 2x -1 }} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1 }} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1 }} $

Cara II :
Untuk turunan dalam bentuk akar, kita langsung menggunakan :
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
Turunan : $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} $
Misalkan : $ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x^3 + 2x -1} \\ y & = \sqrt{g(x)} \\ y^\prime & = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} \\ y^\prime & = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1}} \end{align} $

10). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} $ ?
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ \sqrt{a^m} = a^\frac{m}{2} \, $
Sehingga bentuk : $ y = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{3}{2} $
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{3}{2} \\ y & = [g(x)]^n \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = \frac{3}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{3}{2}-1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2}. \sqrt{x^3 + 2x - 1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2} (3x^2 + 2) \sqrt{x^3 + 2x - 1} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3}{2} (3x^2 + 2) \sqrt{x^3 + 2x - 1} $

Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Aljabar
       Untuk membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar di atas, kita menggunakan definisi turunan, yaitu :
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Dibawah ini adalah pembuktian rumus dasar dari rumus i sampai v.
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = k \rightarrow f(x) = k $
$ f(x+h) = k $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ k - k}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ 0}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = k \rightarrow f^\prime (x) = 0 $
>
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
*). Bentuk Binomial Newton:
$ (x + h)^n = x^n + C_1^n x^{n-1}h^1 + C_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ C_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + h^n $
*). Kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!r!} $
Sehingga : $ C_1^n = \frac{n!}{(n-1)!.1!} = \frac{n.n(n-1)!}{(n-1)!} = n $
Dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)....3.2.1 \, $ . Misalkan : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = ax^n \rightarrow f(x) = ax^n $
$ f(x+h) = a(x+h)^n = a(x^n + C_1^n x^{n-1}h^1 + C_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ C_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + h^n) $
$ f(x+h) = ax^n + aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ (ax^n + aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n) - ax^n}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } aC_1^n x^{n-1} + aC_2^n x^{n-2}h^1 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-2} + ah^{n-1} \\ & = aC_1^n x^{n-1} + aC_2^n x^{n-2}.0 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}.0^{n-2} + a.0^{n-1} \\ & = aC_1^n x^{n-1} + 0 + ...+ 0 + 0 \\ & = aC_1^n x^{n-1} \\ & = an x^{n-1} \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = ax^n \rightarrow f^\prime (x) = n.a.x^{n-1} = nax^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
Pertama : $ f(x) = U(x) + V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) + V^\prime (x) $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ f(x) = U(x) + V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h) + V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [U(x+h) + V(x+h)] - [U(hx) + V(x)] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) + V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = U^\prime (x) + V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = U(x) + V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) + V^\prime (x) $

Kedua : $ f(x) = U(x) - V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) - V^\prime (x) $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ f(x) = U(x) - V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h) - V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [U(x+h) - V(x+h)] - [U(x) - V(x)] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - V(x+h) - U(x) + V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) - V(x+h) + V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) - [V(x+h) - V(x) ]}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} - \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = U^\prime (x) - V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = U(x) - V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) - V^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = U.V \rightarrow f(x) = U(x).V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h).V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h).V(x+h) - U(x).V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h).V(x+h) - U(x).V(x) + [U(x+h).V(x) - U(x+h).V(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [ U(x+h).V(x+h) - U(x+h).V(x) ] + [ U(x+h).V(x) - U(x).V(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] + V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] }{h} + \frac{ V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \frac{V(x+h) - V(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \frac{V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = V(x) . U^\prime (x) + U(x+0) . V^\prime (x) \\ & = V(x) . U^\prime (x) + U(x) . V^\prime (x) \\ & = U^\prime (x) . V(x) + U(x) . V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $

$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow f(x) = \frac{U(x)}{V(x)} $
$ f(x+h) = \frac{U(x+h)}{V(x+h)} $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{U(x+h)}{V(x+h)} - \frac{U(x)}{V(x)} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{V(x).U(x+h) - U(x). V(x+h) }{V(x).V(x+h)} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x).U(x+h) - U(x). V(x+h) }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x).U(x+h) + [ - V(x).U(x) + U(x).V(x) ] - U(x). V(x+h) }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [V(x).U(x+h) - V(x).U(x) ] + [ U(x).V(x) - U(x). V(x+h) ] }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x)[U(x+h) - U(x) ] + U(x)[ V(x) - V(x+h) ] }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{V(x)[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \frac{U(x)[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{V(x)[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{U(x)[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ V(x) U^\prime (x) - U(x) V^\prime (x) }{ V(x).V(x+0) } \\ & = \frac{ U^\prime (x) . V(x) - U(x) . V^\prime (x) }{ V(x).V(x) } \\ & = \frac{ U^\prime (x) . V(x) - U(x) . V^\prime (x) }{ [V(x)]^2 } \end{align} $
Jadi, terbukti : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $

Definisi Turunan Fungsi Secara Umum

         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja. Kali ini kita akan membahas materi turunan, namun secara umum saja dengan judul Definisi Turunan Fungsi Secara Umum. Untuk memperoleh dan mengetahui Definisi Turunan Fungsi Secara Umum, kita pelajari dua penjelasan berikut yaitu tentang garis singgung dan kecepatan sesaat.

Garis Singgung(garis tangen), Garis Sekan (garis tali busur), dan Garis Normal
       Untuk membedakan ketika garis yaitu garis singgung, garis secan dan garis normal, perhatikan gambar berikut ini.


Gradien Garis Sekan dan Garis Singgung
       Perhatikan gambar garis sekan dan garis singgung berikut.

Perhatikan gambar A, garis sekan (tali busur) yang melalui titik A($a, f(a)$) dan titik B($a+\Delta x , f(a+\Delta x)$) memiliki gradien (kemiringan garis) yang disimbolkan dengan $ m \, $ yaitu :
$ m_{AB} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{(a+\Delta x) - a} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{ \Delta x } $
Jika $ \Delta x \, $ nilainya semakin kecil, maka garis sekan (gambar A) akan membentuk garis singgung seperti gambar B, sehingga diperoleh gradien garis singgungnya :
gradien garis singgung di titik A($a,f(a)$) : $ m = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{ \Delta x } $
dengan syarat nilai limitnya ada. Untuk persyaratan suatu limit ada atau tidak, silahkan baca materi "Pengertian Limit Fungsi", dan untuk cara menghitung hasil limit fungsi aljabar silahkan baca materi "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar ".
Kecepatan Sesaat
       Untuk materi kecepatan sesaat, lebih lengkapnya silahkan baca langsung materinya pada artikel "Penerapan Limit pada Laju Perubahan".
Kecepatan sesaat dirumuskan : $ v = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} $ .
Definisi atau pengertian Turunan Fungsi
       Turunan fungsi $ f(x) \, $ di $ x = a \, $ dinotasikan dengan $ f^\prime (a) \, $ , didefinisikan sebagai :
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} \, \, $ jika limitnya ada.
atau bisa ditulis : $ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
Bentuk $ f^\prime (a) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, a $ ".

       Jika kita tuliskan $ x = a + h \, $ , maka $ h = x - a \, $ dan untuk $ h \to 0 \, $ maka $ x \to a $ . Sehingga definisi limit diatas bisa juga ditulis :
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} $

Notasi turunan yang digunakan adalah :
*). Notasi Newton,
Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^{\prime \prime} (x) \, $ atau $ y^{\prime \prime} $
dan seterusnya .
*). Notasi Newton,
Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ \frac{dy}{dx} $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} \, $ atau $ \frac{d^2y}{(dx)^2} $
dan seterusnya.
Definisi atau pengertian Turunan Fungsi Secara Umum
       Turunan fungsi $ f(x) \, $ untuk semua $ x \, $ dinotasikan dengan $ f^\prime (x) \, $ , didefinisikan sebagai :
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
Bentuk $ f^\prime (x) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, x $ ".

Dari dfinisi ini, bisa dikatakan bahwa turunan adalah sama dengan gradien garis singgung pada suatu kurva tertentu.
Contoh :
1). Tentukan gradien garis singgung pada kurva $ f(x) = x^2 \, $ di titik (2,5)? Penyelesaian :
*). Menentukan fungsinya :
$ f(x) = x^2 \rightarrow f(2) = 2^2 = 4 $
$ f(2 + h) = (2 + h)^2 = 4 + 4h + h^2 $
*). Menentukan gradien pada saat $ x = 2 $
$ \begin{align} m & = f^\prime (2) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(2+ h ) - f(2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ (4 + 4h + h^2) - (4)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ 4h + h^2 }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 4 + h \\ & = 4 + 0 \\ m & = 4 \end{align} $
Jadi, gradien garis singgunya adalah 4.

2). Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah $ x $ detik memenuhi persamaan $ f (x) = 6x^3 + x^2 , \, $ dengan $ f(x) $ dinyatakan dalam meter.
a). Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu $ 2 \leq x \leq 3 $ ?
b). Berapa kecepatan sesaat benda pada $ x = 2 \, $ detik?
Penyelesaian :
a). Kecepatan sesaat untuk $ 2 \leq x \leq 3 \, $ artinya $ \Delta x = 3 - 2 = 1 $
$ a = 2 \rightarrow f(2) = 6.2^3 + 2^2 $
$ f(2 + \Delta x ) = f(2 + 1 ) = f(3) = 6.3^3 + 3^2 $
*). Menentukan kecepatan rata-rata (kelajuan rata-rata) :
keceptan rata-rata nya
$ \begin{align} = \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} = \frac{f(3) - f(2)}{3-2} = \frac{(6.3^3 + 3^2) - ( 6.2^3 + 2^2 )}{1} = 119 \end{align} $
Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.

b). Kecepatan sesaat $ x = 2 $
$ \begin{align} v & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(2+\Delta x ) - f(2)}{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{[ 6(2+\Delta x)^3 + (2+\Delta x)^2] - [6.2^3 + 2^2] }{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ 6(8 + 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) + (4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2) - 52 }{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ 6(\Delta x)^3 + 37(\Delta x)^2 + 76\Delta x }{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } 6(\Delta x)^2 + 37\Delta x + 76 \\ & = 6(0)^2 + 37. 0 + 76 \\ & = 76 \end{align} $
Jadi, kecepatan pada saat $ x = 2 $ atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik.

3). Tentukan nilai dari $ f^\prime (-2) \, $ dari fungsi $ f(x) = x^2 - 3x $ ?
Penyelesaian :
*). Nilai $ f^\prime (-2) \, $ artinya turunan fungsi $ f(x) \, $ pada saat $ x = -2 $ .
*). Menentukan nilai fungsinya :
$ f(-2) = (-2)^2 - 3.(-2) = 4 + 6 = 10 $
$ f(-2 + h) = (-2 + h)^2 - 3(-2+h) = (4 - 4h + h^2) + 6 - 3h = h^2 - 7h +10 $
*). Menentukan nilai $ f^\prime (-2) \, $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ f^\prime (-2) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(-2+ h ) - f(-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(h^2 - 7h +10) - 10}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{h^2 - 7h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h - 7 \\ & = 0 - 7 \\ & = -7 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime (-2) = -7 \, $ untuk $ f(x) = x^2 - 3x $

4). Tentukan turunan dari $ f(x) \, $ atau $ f^\prime (x) \, $ dari masing-masing fungsi berikut,
a). $ f(x) = 5x - 2 $
b). $ f(x) = x^2 + 2x $
c). $ f(x) = \sin x $
Penyelesaian :
*). Bentuk $ f^\prime (x) \, $ artinya turunan dari fungsi $ f(x) $
a). $ f(x) = 5x - 2 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5(x+ h) - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5x + 5h - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{5h}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 5 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 5 $

b). $ f(x) = x^2 + 2x $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [(x+ h)^2 +2(x+ h)] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ h^2 + 2xh + 2h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h + 2x + 2 \\ & = 0 + 2x + 2 \\ & = 2x + 2 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 2x + 2 $

c). $ f(x) = \sin x $
*). Ingat bentuk : $ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
Sehingga : $ f(x+h) = \sin (x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga : $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h - 1 = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \sin x ) - \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $
Untuk limit trigonometri, baca pada artikel "penyelesaian limit trigonometri", dan untuk materi jumlah sudut pada trigonometri silahkan baca pada artikel "rumus jumlah trigonometri untuk jumlah dan selisih sudut".
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = \cos x \, $ untuk $ f(x) = \sin x $

Syarat fungsi $ f(x) \, $ tidak punya turunan di $ x = a $
       Dari definisi turunan fungsi, turunan fungsi $ f(x) \, $ di $ x = a \, $ tidak mempunyai turunan jika
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} \, \, $
tidak ada limitnya.

Suatu limit tidak ada nilai limitnya jika limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanannya.
Contoh :
5). DIketahui fungsi $ f(x) = |x| , \, $ . Tunjukkan bahwa fungsi $ f(x) \, $ tidak mempunyai turunan di $ x = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (a) & = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} \\ f^\prime (0) & = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f( x ) - f(0)}{x-0} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| - |0|}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| }{x} \end{align} $
*). Cek nilai limit kiri dan limit kanannya.
Definisi fungsi mutlak (modulus),
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. $
Artinya berlaku :
untuk $ x \geq 0 , \, $ maka $ |x| = x \, $ dan $ x < 0 , \, $ maka $ |x| = -x $
*). Menentukan limit kiri dari 0 ( untuk $ x < 0 $).
berlaku $ |x| = - x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0^- } \frac{|x| }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0^- } \frac{-x }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } -1 = -1 \end{align} $
*). Menentukan limit kanan dari 0 ( untuk $ x \geq 0 $).
berlaku $ |x| = x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0^+ } \frac{|x| }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0^+ } \frac{x }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } 1 = 1 \end{align} $
Karena nilai limit kiri dan limit kanannya tidak sama, maka nilai limit $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| }{x} \, $ tidak ada. Karena nilai limitnya tidak ada, maka turunan fungsi $ f^\prime (0) \, $ tidak ada.
Jadi terbukti fungsi $ f(x) \, $ tidak mempunyai turunan di $ x = 0 \, $ untuk fungsi $ f(x) = |x| $ .

Syarat fungsi kontinu yang ada kaitannya dengan turunan fungsi
       Jika fungsi $ f(x) \, $ mempunyai turunan di $ x = a \, $ , maka fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = a $ .
Pembuktian :
*). Proses turunannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to a } [ f( x ) - f(a) ] & = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} . (x-a) \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} . \, \displaystyle \lim_{ x \to a } (x-a) \\ & = f^\prime (a) . \, \displaystyle \lim_{ x \to a } (x-a) \\ & = f^\prime (a) . \, (a-a) \\ & = f^\prime (a) . \, 0 \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } [ f( x ) - f(a) ] & = 0 \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) - \displaystyle \lim_{ x \to a } f(a) & = 0 \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) & = \displaystyle \lim_{ x \to a } f(a) \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) & = f(a) \end{align} $
Sesuai dengan syarat kekontinuan fungsi yaitu $ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) = f(a) \, $ , maka fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = a $ . Silahkan baca materi syarat kekontinuan pada artikel "Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi".

Catatan: Untuk menentukan turunan suatu fungsi, kita tidak perlu menggunakan definisi turunan seperti di atas, karena akan rumit dan sulit. Kita akan langsung menggunakan turunan masi-masing seperti turunan fungsi aljabar, fungsi trigonometri, dan turunan fungsi lainnya.

Limit Tak Hingga Fungsi Khusus

         Blog Koma - Sebelumnya telah kita bahas materi "Penyelesaian Limit Tak Hingga", kali ini kita akan belajar materi yang lebih menantang yaitu Limit Tak Hingga Fungsi Khusus. Limit Tak Hingga Fungsi Khusus merupakan limit di tak hingga ( $ x \rightarrow \infty $) dengan fungsi yang lebih menarik atau menantang lagi. Konsep limit yang akan kita libatkan adalah "Penyelesaian Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital atau Turunan"

Penyelesaian Limit Tak Hingga Fungsi Khusus
       Berikut penyelesaian Limit Tak Hingga Fungsi Khusus yang sering dipakai dan bentuknya paling sederhana :
1). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 2). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^x = e^{-1} \end{align} $
3). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x = e^{n} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 4). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + x \right)^\frac{1}{x} = e \end{align} $
5). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - x \right)^\frac{1}{x} = e^{-1} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 6). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} = e^{n} \end{align} $
7). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - nx \right)^\frac{1}{x} = e^{-n} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 8). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{n}{x} \right)^x = e^{-n} \end{align} $

dengan $ e = 2,7182818..... \, $ ($ e = \, $ bilangan euler)
Contoh :
1). Tentukan hasil limit tak hingga berikut :
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x \end{align} \, \, \, \, \, \, $ b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + 3x \right)^\frac{1}{x} \end{align} $
c). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{x} \right)^x \end{align} \, \, \, \, \, \, $ d). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 4x \right)^\frac{1}{x} \end{align} $
Penyelesaian :
*). Kita langsung menggunakan bentuk dasar limit fungsi khusus di atas,
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x = e^2 \end{align} \, \, $ (rumus 3).
b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + 3x \right)^\frac{1}{x} = e^3 \end{align} \, \, $ (rumus 6).
c). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{x} \right)^x = e^{-5} \end{align} \, \, $ (rumus 8).
d). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 4x \right)^\frac{1}{x} = e^{-4} \end{align} \, \, $ (rumus 7).

2). Tentukan hasil limit tak hingga fungsi khusus berikut :
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{5x} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^\frac{7}{x} \end{align} $
Penyelesaian :
*). Kita modifikasi bentuk limitnya dan gunakan sifat dasar,
gunakan juga sifat eksponen : $ (a^{m.n}) = [(a^m)]^n $
a). Modifikasi dengan permisalan $ 3x = y \, $ dan gunakan rumus 3.
$ x $ menuju tak hingga, maka $ 3x $ menuju tak hingga.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{5x} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{5x. \frac{3}{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{3x. \frac{5}{3}} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{3x} \right]^\frac{5}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{3x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{3x} \right]^\frac{5}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{y} \right)^{y} \right]^\frac{5}{3} \\ & = \left( e^2 \right)^\frac{5}{3} \\ & = e^\frac{10}{3} \end{align} $

b). Modifikasi dan gunakan rumus 7.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^\frac{7}{x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^{\frac{1}{x} . 7} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^{\frac{1}{x} } \right]^7 \\ & = \left[ e^{-3} \right]^7 \\ & = e^{-21} \end{align} $


3). Tentukan hasil limit tak hingga fungsi khusus berikut :
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{x-2} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( x^2 + 2x - 2 \right)^\frac{5}{x^2 + 2x - 3} \end{align} $
Penyelesaian :
*). Modifikasi limitnya dan gunakan rumus dasar limit tak hingga di atas,
gunakan juga sifat eksponen : $ (a^{m.n}) = [(a^m)]^n $
a). Modifikasi dan gunakan rumus dasar 8 .
Misalkan $ 3x-6 = y \, $ . untuk $ x $ menuju tak hingga, maka $ 3x-6 $ menuju tak hingga.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{x-2} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(x-2).\frac{3}{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(3x-6).\frac{1}{3}} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(3x-6)} \right]^\frac{1}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{3x-6 \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(3x-6)} \right]^\frac{1}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{y} \right)^{y} \right]^\frac{1}{3} \\ & = \left[ e^{-5} \right]^\frac{1}{3} \\ & = e^\frac{-5}{3} \end{align} $

b). Modifikasi dan gunakan rumus dasar 4.
misalkan $ x^2 + 2x - 3 = y \, $ . untuk $ x $ menuju 1, maka $ x^2 + 2x - 3 \, $ menuju nol.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( x^2 - 2x - 2 \right)^\frac{5}{x^2 + 2x - 3} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( x^2 + 2x - 3 + 1 \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} . 5} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( 1 + (x^2 + 2x - 3) \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} . 5} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( 1 + (x^2 + 2x - 3) \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} } \right]^5 \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{(x^2 + 2x - 3) \to 0 } \left( 1 + (x^2 + 2x - 3) \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} } \right]^5 \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{y \to 0 } \left( 1 + y \right)^\frac{1}{y} \right]^5 \\ & = \left[ e \right]^5 \\ & = e^5 \end{align} $

Pembuktian Rumus Dasar Limit Tak Hingga Fungsi Khusus
*). Untuk membuktikan rumus dasar limit tak hingga fungsi khusus, ada beberapa konsep dasar yang kita gunakan.
*). Bentuk $ Ln \, $ . $ Ln \, $ sama dengan logaritma hanya saja basisnya $ e $.
Bentuk $ {}^e \log b \, $ sama saja dengan $ \ln b $ . Artinya bentuk $ \ln \, $ memiliki sifat yang sama dengan logaritma.
Sifat yang digunakan adalah $ \ln b^n = n . \ln b $
*). Turunan bentuk $ \ln f(x) $ :
misalkan : $ y = \ln f(x) \rightarrow y^\prime = \frac{1}{f(x)} . f^\prime (x) $ .
*). Penggunakan turunan pada limit bentuk tak tentu (Dalil L'Hospital).
*). Persamaan logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
sehingga : $ \ln b = c \rightarrow b = e^c $

$ \spadesuit $ Pembuktian rumus dasar : $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x = e^{n} \end{align} $
*). Misalkan nilai $ t = \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \end{align} $
*). Turunan fungsi :
$ y = \frac{1}{x} \rightarrow y^\prime = -x^{-2} $
$ y = \ln (1 + \frac{n}{x} ) \rightarrow y^\prime = \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } . (-n.x^{-2}) $
*). Pembuktiannya :
$ \begin{align} t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \\ \ln t & = \ln \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \ln \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } x . \ln \left( 1 + \frac{n}{x} \right) \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \ln \left( 1 + \frac{n}{x} \right) }{\frac{1}{x} } \, \, \, \, \, \text{(L'Hospital)} \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } . (-n.x^{-2}) }{ -x^{-2} } \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } . (n) }{ 1 } \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } n . \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } \\ \ln t & = n . \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } \\ \ln t & = n . \frac{1}{1 + \frac{n}{ \infty } } \\ \ln t & = n . \frac{1}{1 + 0 } \\ \ln t & = n . 1 \\ \ln t & = n \\ t & = e^n \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x & = e^{n} \end{align} $

Catatan : Untuk rumus 1, 2, dan 8, gunakan rumus dasar $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x = e^{n} \end{align} $

$ \clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} = e^{n} \end{align} $
*). Pembuktiannya bisa langsung menggunakan rumus dasar 3.
Misalkan $ x = \frac{1}{y} \, $ maka $ y = \frac{1}{x} $
untuk $ x $ menuju nol, maka $ y $ menuju tak hingga.
*). Pembuktiannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{\frac{1}{x} \to \infty } \left( 1 + n. \frac{1}{y} \right)^y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{y} \right)^y \, \, \, \, \, \text{(rumus dasar 3)} \\ \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} & = e^n \end{align} $

Catatan : untuk rumus dasar 4, 5, dan 7 , gunakan rumus dasar $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} = e^{n} \end{align} $

Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah mempelajari "Penerapan Limit pada Laju Perubahan". Kali ini kita akan mempelajari penerapan limit lainnya yaitu Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi. Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik tertentu (misalkan $ x = a$) jika grafik fungsinya tidak terputus di titik tersebut.

Perhatikan grafik fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ berikut,
Dari grafik terlihat bahwa untuk titik $ x = 1 \, $ grafiknya terputus, ini artinya fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ tidak kontinu di titik $ x = 1 . \, $ Dilain pihak, selain titik $ x = 1 \, $ , grafik $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ tidak terputus, sehingga fungsi tersebut dikatakan kontinu di semua titik selain titik $ x = 1 $ .

Penjelasan Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi
       Untuk menentukan suatu fungsi apakah kontinu atau tidak kontinu di suatu titik tertentu, kita tidak mungkin selalu menggunakan grafiknya secara langsung, karena akan sulit dalam menggambarnya. Nah, untuk memudahkan dalam mengecek kekontinuan fungsi, kita akan menggunakan limit.

Fungsi $ f(x) \, $ dikatakan kontinu di titik $ x = a , \, $ jika memenuhi ketiga syarat berikut,
i). $ f(a) \, $ ada,
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada,
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $

Keterangan :
i). $ f(a) \, $ ada, maksudnya nilai fungsinya terdefinisi di $ x = a \, $ (bisa dihitung).
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada, maksudnya besar limit kiri dan limit kananya adalah sama.
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $ , maksudnya nilai limit dan fungsinya sama.
Untuk limit kiri dan limit kanan, lihat materi "Pengertian Limit Fungsi".
Contoh :
1). Tunjukkan fungsi $ f(x) = 2x - 1 \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Cek ketiga syarat :
i). Nilai fungsi : $ f(1) = 2.1 - 1 = 1 $
Nilai limit kiri : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{-} } 2x - 1 = 1 $
Nilai limit kanan : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{+} } 2x - 1 = 1 $
ii). Artnya nilai limitnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } 2x - 1 = 1 $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } 2x - 1 = 1 = f(1) $
Karena ketika syarat terpenuhi, maka fungsi $ f(x) = 2x - 1 \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ .

2). Apakah fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Cek ketiga syarat :
i). Nilai fungsi : $ f(1) = \frac{1^2 - 1}{1-1} = \frac{0}{0} \, $ . Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ maka nilai fungsinya tidak ada atau tidak terdefinisi.
Satu syarat tidak terpenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ tidak kontinu (diskontinu) di titik $ x = 1 $ .

3). Tentukan titik dimana fungsi $ f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6 } \, $ tidak kontinu. ?
Penyelesaian :
*). Suatu fungsi dikatakan kontinu harus memenuhi ketiga syarat yang ada, jika salah satu saja tidak terpenuhi maka fungsi tersebut sudah dipastikan tidak kontinu. Karena fungsinya dalam bentuk pecahan, maka fungsi pecahan tidak ada nilai atau tidak terdefinisi jika penyebutnya bernilai 0.
*). Penyebut bernilai 0.
$ x^2 - x - 6 = 0 \rightarrow (x - 3)(x+2) = 0 \rightarrow x = 3 \vee x = -2 $ .
Jadi, fungsi $ f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6 } \, $ tidak kontinu pada titik $ x = 3 \, $ dan $ x = -2 $ .

4). Misalkan terdapat fungsi ,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 3x+7 & , \text{ untuk } x \leq 4 \\ kx - 1 & , \text{ untuk } x > 4 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ k \, $ sehingga $ f(x) \, $ kontinu di $ x = 4 $ . ?
Penyelesaian :
*). Syarat agar fungsi kontinu di $ x = 4 \, $ adalah $ \displaystyle \lim_{x \to 4 } f(x) = f(4) \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) = f(4) $ .
*). Nilai fungsi : $ f(4) $
Untuk $ x = 4, \, $ maka fungsinya adalah $ f(x) = 3x+7 $
Sehingga nilai fungsinya : $ f(4) = 3.4 + 7 = 19 $
*). Limit kiri : untuk $ x = 4 \, $ mendekati dari kiri, maka fungsi $ f(x) = 3x + 7 \, $ yang digunakan,
$ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } 3x + 7 = 3.4 + 7 = 19 $
*). Limit kanan : untuk $ x = 4 \, $ mendekati dari kanan, maka fungsi $ f(x) = kx - 1 \, $ yang digunakan,
$ \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } kx - 1 = k.4 - 1 = 4k - 1 $
*). Menentukan nilai $ k $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) \\ 19 & = 4k-1 \\ 4k & = 20 \\ k & = 5 \end{align} $
Jadi, agar fungsi $ f(x) \, $ kontinu, maka nilai $ k \, $ adalah 5.

5). Diketahui fungsi berikut adalah kontinu,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} ax+3 & , \text{ untuk } x \leq 2 \\ x^2 + 1 & , \text{ untuk } 2 < x \leq 4 \\ 5 - bx & , \text{ untuk } x > 4 \\ \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ a + b \, $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f(x) \, $ tidak kontinu di titik $ x = 2 \, $ dan $ x = 4 $
*). penyelesaian di titik $ x = 2 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 2^+ } f(x) \\ \displaystyle \lim_{x \to 2^- } ax+3 & = \displaystyle \lim_{x \to 2^+ } x^2 + 1 \\ a.2+3 & = 2^2 + 1 \\ 2a+3 & = 5 \\ 2a & = 2 \\ a & = 1 \end{align} $
*). penyelesaian di titik $ x = 4 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) \\ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } x^2 + 1 & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } 5 - bx \\ 4^2 + 1 & = 5-b.4 \\ 17 & = 5-4b \\ 4b & = 5 - 17 \\ 4b & = -12 \\ b & = -3 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 1 + (-3) = -2 $ .
Jadi, nilai $ a + b = -2 $.

Penerapan Limit pada Laju Perubahan

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan pelajari Penerapan Limit pada Laju Perubahan. Fungsi yang digunakan biasanya fungsi aljabar, sehingga untuk memudahkan silahkan baca materi "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar".

Penjelasan Penerapan Limit pada Laju Perubahan
       Misalkan $ y $ adalah suatu besaran yang bergantung pada besaran lain $ x $ . Sehingga, $ y $ adalah fungsi dari $ x $ dan dapat kita tuliskan $ y = f(x) . \, $ Jika $ x $ berubah dari $ x = c $ sampai $ x = c + h , \, $ maka perubahan $ x $ adalah
$ \Delta x = (c+h) - c = h \, \, $ ($ \Delta x \, $ dibaca "delta $ x $ " )
dan perubahan $ y $ adalah $ \Delta y = f(c+h) - f(c) $ .

       Hasil bagi perubahannya : $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \, $ disebut rerata laju perubahan $ y $ terhadap $ x $ sepanjang interval $[c, c+h] $ , dan ditafsirkan sebagai kemiringan tali busur PQ pada gambar berikut,

       Kita tinjau laju perubahan rerata pada interval yang semakin kecil $[c, c+h] $ , sehingga $ h \, $ mendekati 0. Limit laju perubahan rerata ini disebut laju perubahan sesaat $ y $ terhadap $ x $ saat $ x = c , \, $ yang ditafsirkan sebagai kemiringan garis singgung pada kurva $ y = f(x) $ di $ P(c,f(c)) $ :
Laju perubahan sesaat $ = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} $
Contoh :
Suhu sebuah tungku pembuatan kristal dipergunakan dalam penelitian untuk menentukan bagaimana cara terbaik untuk membuat kristal yang dipergunakan dalam komponen elektronik untuk pesawat ulang-alik. Untuk pembuatan kristal yang baik, suhu harus dikendalikan secara akurat dengan menyesuaikan daya masukan. Hubungan suhu dan daya masukan mengikuti fungsi $ T(w) = 0,1w^2 + 2,155w + 20 \, $ dengan $ T $ adalah suhu dalam $ ^\circ $C, dan $ w $ adalah daya masukan dalam watt.
a). Berapakah laju perubahan suhu terhadap daya masukan $ w $ ? Apa satuannya?
b). Jika daya yang tersedia adalah 1000 watt, kapan laju perubahan terbesar dan kapan laju perubahan terkecil?
Penyelesaian :
*). Diketahui fungsi : $ T(w) = 0,1w^2 + 2,155w + 20 $
*). Menentukan $ T(w+h) $
$ \begin{align} T(w+h) & = 0,1(w+h)^2 + 2,155(w+h) + 20 \\ & = 0,1(w^2 + 2wh+h^2) + 2,155w + 2,155h + 20 \\ & = 0,1w^2 + 0,2wh + 0,1h^2 + 2,155w + 2,155h + 20 \end{align} $
*). Menentukan $ \frac{T(w+h) - T(w)}{h} $
$ \begin{align} \frac{T(w+h) - T(w)}{h} & = \frac{( 0,1(w+h)^2 + 2,155(w+h) + 20 ) - (0,1w^2 + 2,155w + 20)}{h} \\ & = \frac{ 0,2wh + 2,155h + 0,1h^2 }{h} \\ & = 0,2w + 2,155 + 0,1h \end{align} $
*). Menentukan laju perubahan : $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} $
$ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} = \displaystyle \lim_{h \to 0 } 0,2w + 2,155 + 0,1h = 0,2w + 2,155 $
Jadi, laju perubahannya adalah $ 0,2w + 2,155 \, $ dengan satuan $ ^\circ $C/watt.

b). Daya yang tersedia 1000 watt. Dari fungsi laju perubahan ( Laju $ = 0,2w + 2,155$), maka laju perubahan terbesar terjadi ketika $ w = 1000 \, $ dan terkecil pada saat $ w = 0 . \, $
Laju perubahan terbesar $ = 0,2w + 2,155 = 0,2.(1000) + 2,155 = 202,155 \, ^\circ $C/watt.
Laju perubahan terkecil $ = 0,2w + 2,155 = 0,2.(0) + 2,155 = 2,155 \, ^\circ $C/watt.

Penyelesaian Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital atau Turunan

         Blog Koma - Untuk menyelesaikan limit suatu fungsi yang hasilnya bentuk tak tentu (khususnya $ \frac{0}{0} \, $ ), dapat menggunakan turunan yang dikenal dengan metode L'Hospital. Sebelumnya kita telah belajar "limit fungsi aljabar" dan "limit fungsi trigonometri" yang penyelesaiannya dengan cara pemfaktoran, kali sekawan (merasionalkan), dan menggunakan sifa-sifat limit fungsi trigonometri. Metode L'Hospital ini biasanya lebih mudah digunakan pada limit fungsi aljabar dengan pangkat variabelnya lebih dari 2, namun bisa juga diterapkan pada limit fungsi trigonometri.

         Untuk bisa memudahkan memahami materi Penyelesaian Limit Fungsi dengan L'Hospital atau Turunan , sebelumnya kita harus mempelajari materi yang berkaitan dengan turunan fungsi baik "turunan fungsi aljabar" maupun "turunan fungsi trigonometri". Berikut teori Penyelesaian Limit Fungsi dengan L'Hospital atau Turunan secara ringkas.
gambar rumus_dasar_limit_di_tak_hingga.

Penyelesaian Limit Fungsi dengan Metode L'Hospital atau Menggunakan Turunan
Misalkan ada limit fungsi : $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ ,
Maksudnya hasilnya adalah $ \frac{0}{0} \, $ , maka limit fungsi tersebut bisa diselesaikan dengan turunan, yaitu :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^{\prime \prime } (x)}{g^{\prime \prime } (x)} $

Catatan : Fungsi tersebut diturunkan sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} \, $ lagi, artinya jika hasilnya masih $ \frac{0}{0} \, $ maka diturunkan lagi.
Contoh :
1). Tentukan hasil limit fungsi berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} - 1}{2x^2 - 2} \, \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4} \, \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} $
Penyelesaian :
*). Konsep turunan fungsi aljabar : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} - 1}{2x^2 - 2} = \frac{1^{15} - 1}{2.1^2 - 2} = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} - 1}{2x^2 - 2} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{15x^{15-1} - 0}{2.2.x^{2-1} - 0 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{15x^{14}}{4x } \\ & = \frac{15.1^{14}}{4.1 } \\ & = \frac{15}{ 4 } \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} - 1}{2x^2 - 2} = \frac{15}{4} $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4} = \frac{2^3 - 2.2^2 + 3.2 - 6}{2^2 -4} = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
$ \begin{align} \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4} & = \frac{3x^2 - 4x + 3}{2x} \\ & = \frac{3.2^2 - 4.2 + 3}{2.2} \\ & = \frac{12 - 8 + 3}{4} \\ & = \frac{7}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4} = \frac{7}{4} $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} = \frac{\sqrt{3.3-5} - 2}{3^3 - 27} = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
Turunan bentuka akar : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
sehingga : $ y = \sqrt{3x-5} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2\sqrt{3x-5}} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{ \frac{3}{2\sqrt{3x-5}} }{3x^2} \\ & = \frac{ \frac{3}{2\sqrt{3.3-5}} }{3.3^2} \\ & = \frac{ \frac{3}{2\sqrt{4}} }{27} \\ & = \frac{ \frac{3}{2.2} }{27} \\ & = \frac{ \frac{3}{4} }{27} \\ & = \frac{3}{4.27} \\ & = \frac{3}{108} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} = \frac{3}{108} $

2). Tentukan hasil limit fungsi berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} \, \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x} \, \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 - \sin x }{x - \frac{1}{2} \pi} $
Penyelesaian :
*). Konsep turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
$ y = \cos x \rightarrow y^\prime = \sin x $
$ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime \cos f(x) $
$ y = \cos f(x) \rightarrow y^\prime = - f^\prime \sin f(x) $

a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} = \frac{ \sin 2. 0 }{ 3.0} = \frac{ \sin 0 }{ 0} = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
Turunan : $ y = \sin 2x \rightarrow y^\prime = 2 \cos 2x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2 \cos 2x }{ 3} \\ & = \frac{ 2 \cos 2.0 }{ 3} \\ & = \frac{ 2 \cos 0 }{ 3} \\ & = \frac{ 2 . 1 }{ 3} \\ & = \frac{ 2 }{ 3} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} = \frac{2}{3} $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x} = \frac{ \sin 4 . \frac{1}{4} \pi }{\sin \frac{1}{4} \pi - \cos \frac{1}{4} \pi} = \frac{ \sin \pi }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2} } = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
Turunan : $ y = \sin 4x \rightarrow y^\prime = 4 \cos 4x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x} & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{4 \cos 4x }{\cos x - (-\sin x) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{4 \cos 4x }{\cos x + \sin x } \\ & = \frac{4 \cos 4. \frac{1}{4} \pi }{\cos \frac{1}{4} \pi + \sin \frac{1}{4} \pi } \\ & = \frac{4 \cos \pi }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \frac{4 .(-1) }{ \sqrt{2} } \\ & = - \frac{4 }{ \sqrt{2} } \\ & = - \frac{4 }{ \sqrt{2} } \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ & = - \frac{4 \sqrt{2}}{ 2 } \\ & = - 2\sqrt{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x} = - 2\sqrt{2} $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 - \sin x }{x - \frac{1}{2} \pi} = \frac{1 - \sin \frac{1}{2} \pi }{\frac{1}{2} \pi - \frac{1}{2} \pi} = \frac{1 - 1 }{0} = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 - \sin x }{x - \frac{1}{2} \pi} & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{ - \cos x }{1} \\ & = \frac{ - \cos \to \frac{1}{2} \pi }{1} \\ & = \frac{ - 0 }{1} \\ & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 - \sin x }{x - \frac{1}{2} \pi} = 0 $

3). Jika diketahui $ \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b - \sqrt{x}}{x-4} = \frac{3}{4}, \, $ maka nilai $ a + b = .... $
Penyelesaian :
*). Kita hitung hasil limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b - \sqrt{x}}{x-4} & = \frac{3}{4} \\ \frac{a.4+b - \sqrt{4}}{4-4} & = \frac{3}{4} \\ \frac{4a+b - 2}{0} & = \frac{3}{4} \\ \infty & \neq \frac{3}{4} \end{align} $
*). Setelah kita substitusi $ x = 4 \, $ diperoleh hasil limitnya tak hingga ($ \infty$) yang tidak sama dengan $ \frac{3}{4} \, $ , ini artinya agar limitnya mempunyai hasil $ \frac{3}{4} \, $ maka limitnya harus diproses lagi, dengan kata lain hasil limitnya harus bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ .
Sehingga $ \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b - \sqrt{x}}{x-4} = \frac{0}{0} \rightarrow \frac{4a+b - 2}{0} = \frac{0}{0} $
Artinya nilai $ 4a+b - 2 = 0 \rightarrow 4a + b = 2 \, $ .....pers(i) .
*). Kita gunakan metode turunan (L'Hospital),
Turunan : $ y = \sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b - \sqrt{x}}{x-4} & = \frac{3}{4} \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{a - \frac{1}{2\sqrt{x}} }{1} & = \frac{3}{4} \\ \displaystyle \lim_{x \to 4 } a - \frac{1}{2\sqrt{x}} & = \frac{3}{4} \\ a - \frac{1}{2\sqrt{4}} & = \frac{3}{4} \\ a - \frac{1}{4} & = \frac{3}{4} \\ a & = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \\ a & = \frac{4}{4} = 1 \end{align} $
Diperoleh : $ a = 1 \, $ , substitusi nilai $ a = 1 \, $ ke pers(i) ,
$ 4a + b = 2 \rightarrow 4.1 + b = 2 \rightarrow b = 2-4 = -2 $
Sehingga nilai $ a + b = 1 + (-2) = -1 $
Jadi, nilai $ a + b = -1 $ .

Soal-soal Latihan Limit Fungsi Tak Hingga

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan belajar mengerjakan Soal-soal Latihan Limit Fungsi Tak Hingga sebagai bahan untuk memantapkan materi "Penyelesaian Limit Tak Hingga". Sebelumnya juga telah dibahas materi "Pengertian Limit Fungsi" dan "Sifat-sifat Limit Fungsi". Berikut soal-soal latihan limit fungsi tak hingga yang bisa kita kerjakan untuk bahan latihan.
         Soal-soal Latihan Limit Fungsi Tak Hingga yang kita sajikan pada artikel ini dari tipe soal yang paling mudah sampai paling sulit. Dengan banyak latihan dan memahami konsep dasar dari limit fungsi tak hingga. Bentuk limit fungsi tak hingga biasanya dibagi menjadi dua yaitu limit dengan fungsi pecahan dan limit pengurangan akar. Masing-masing memiliki cara yang sama, hanya saja yang paling umum adalah bentuk pecahannya.

         Salah satu cara memperdalam konsep limit fungsi tak hingga dengan cara mengerjakan soal-soal latihan limit fungsi tak hingga sebanyak-banyaknya. Mudah-mudahan soal-soal pada artikel ini bisa membantu kita dalam mempelajari limit tak hingga.

Berikut soal-soal latihan limit fungsi tak hingga :
1). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( \frac{3x}{x-1} - \frac{2x}{x+1} \right) $

2). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2x^3 - 4x + 1 }{ 3x^2 + 5x - 2 } $

3). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ -5x^5 - 2x^3 + 5 }{ 3x^9 + 5x^5 - 5 } $

4). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \sqrt{3x^2 + 2x + 2} }{ 2x - 5 } $

5). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \sqrt{3x^2 + 2x + 2} }{ 2x - 5 } $

6). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 + 3} - 2x + 1 $

7). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 3x - 2 - \sqrt{9x^2 + x + 3} $

8). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3^x + 2 }{ 2.3^x - 5 } $

9). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3^{x+2} - 5 }{ 3^{x-1} + 4 } $

10). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 5^{2x} - 5^{x-2} + 1 }{ 5^{2x + 1} + 5^{x+1} - 3 } $

11). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 1 + 2+ 3 + 4+ .... + x }{ 3x^2 - 4x + 1} $

12). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ x + \sqrt{4x^2 + \sqrt{x^3 + 2 \sqrt{5x^5}} } }{ 2x - \sqrt[5]{x^5 - x^2 + \sqrt{3x^8} } } $

13). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 + 4x -1} - \sqrt{x^2 -2x + 5} $

14). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x+5} - \sqrt{x- 1} $

15). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x\sqrt{x} - x - 5}{\sqrt{4x^3} + 4x} $

16). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 + x(2a+2b) + 4ab} - x $

17). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{16x^4 - 5x^3 - 3x + 2}}{x^2 - x + 7} $

18). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{(x-p)(x+q)} - x $

       Demikian artikel Soal-soal Latihan Limit Tak Hingga dengan berbagai variasi soalnya. Jika ada masukkan atau pertanyaan tentang soal-soal di atas, silahkan beri komentar di kotak komentar di bawah ini. Terima kasih.

Soal-soal Latihan Limit Fungsi Trigonometri

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan belajar mengerjakan Soal-soal Latihan Limit Fungsi Trigonometri sebagai bahan untuk memantapkan materi "Penyelesaian Limit Fungsi Trigonometri". Sebelumnya juga telah dibahas materi "Pengertian Limit Fungsi" dan "Sifat-sifat Limit Fungsi". Berikut soal-soal latihan limit fungsi trigonometri yang bisa kita kerjakan untuk bahan latihan.
         Soal-soal Latihan Limit Fungsi Trigonometri ini bertujuan agar kita lebih mantap dan lebih mendalam dalam menguasai materi limit fungsi trigonometri. Yang perlu diingat adalah untuk mengerjakan soal-soal limit fungsi trigonometri kita sebaiknya menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri agar lebih mudah dalam penyelesaiannya.

         Soal-soal Latihan Limit Fungsi Trigonometri terdiri dari berbagai tipe soal dari yang paling mudah sampai yang paling sulit. Mudah-mudahan dengan bisa mengerjakan semua soal yang ada kita akan lebih memahami dan mampu mengerjakan soal-soalnya dengan baik dan benar. Suatu saat akan kita sajikan pembahasan dari soal-soal limit fungsi trigonometri yang ada pada artikel ini.

Berikut soal-soal latihan limit fungsi trigonometri :
1). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin \frac{4}{3}x}{\frac{1}{2}x} $

2). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sin 3x}{5\sin 2x} $

3). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3\tan 4x }{4\tan 6x} $

4). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\tan \frac{1}{2}x}{3 \sin \frac{1}{6}} $

5). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{4\sin 2x }{ 3\tan 8x } $

6). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x \sin 2x }{\tan ^2 3x} $

7). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2}\pi } \frac{ 1 + \cos 2x }{ \cos x } $

8). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi } \frac{ \tan x - 1 }{ \cos 2x } $

9). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 1 - \cos 3x }{ 3x \tan \frac{1}{4}x } $

10). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2}\pi } \frac{ 1 - \sin x }{ x - \frac{1}{2}\pi } $

11). $ \displaystyle \lim_{x \to 45^\circ } \frac{ \cos 2x }{ \cos x - \sin x } $

12). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 3x . \tan \frac{1}{5x} $

13). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \, $ untuk fungsi $ f(x) = \sin x $

14). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2}\pi } (\csc ^2 x - \csc x \cot x ) $

15). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ 1 - \tan x }{ \cot 2x } $

16). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ 2(\sin x - \cos x) }{ 1 - \sin 2x } $

17). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \cos 2x }{ \sqrt{2\cos x - 1 } } $

18). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 1 - \cos x }{ 1 - \cos 2x } $

19). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin ^2 3x + 2x \tan x }{ 55x^2 } $

20). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin ^2 x - \tan ^2 3 x }{ x^2 + \sin 3x \tan x } $

21). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x^2 (1 - \cos \frac{2}{x} ) $

22). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x\sin x + \tan ^2 x }{ 1 - \cos 2x } $

23). $ \displaystyle \lim_{x \to 5 } (x-5) \cot \pi x $

24). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x^2 + 5x}{\sin 3x} $

25). $ \displaystyle \lim_{x \to -2 } \frac{1 - \cos (x+2)}{x^2 + 4x + 4} $

26). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan 3x \sin ^2 4x}{x^2 \sin 8x} $

27). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x(\cos ^2 6x - 1 )}{\sin 2x \tan ^2 3x } $

28). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{ \sin (1 - \frac{1}{x}) \cos (1 - \frac{1}{x}) }{ x-1 } $

29). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{x} \left( \frac{\sin ^3 2x}{\cos 2x} + \sin 2x \cos 2x \right) $

30). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 3x^2 (\sec \frac{2}{x} - 1 ) $

       Demikian artikel Soal-soal Latihan Limit Fungsi Trigonometri dengan berbagai variasi soalnya. Jika ada masukkan atau pertanyaan tentang soal-soal di atas, silahkan beri komentar di kotak komentar di bawah ini. Terima kasih.

Penyelesaian Limit Tak Hingga

         Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Penyelesaian Limit Tak Hingga. Limit tak hingga ini maksudnya bisa hasil limitnya adalah tak hingga ($ \infty $) atau limit dimana variabelnya menuju tak hingga ($ x \to \infty $). Untuk memudahkan, silahkan juga baca materi "Pengertian Limit Fungsi" dan "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar". Khusus pada limit tak hingga pada artikel ini kita akan lebih menitik beratkan pada fungsi aljabar saja. Untuk limit tak hingga fungsi trigonometri akan kita bahas pada artikel lain secara khusus dan lebih mendalam.

Hasil Limitnya Tak hingga
       Suatu limit hasilnya tak hingga ($\infty$) jika hasil limitnya semakin membesar menuju tak hingga, bisanya terjadi ketika pembaginya adalah 0 ($ \frac{1}{0} = \infty $ ) .

Berikut teorinya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \, (+0) } \frac{1}{x^n} = + \infty \, $ dan $ \, \displaystyle \lim_{x \to \, (-0) } \frac{1}{x^n} = \left\{ \begin{array}{cc} +\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ genap} \\ -\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ ganjil} \end{array} \right. $
dengan $ n \, $ bilangan asli.

Catatan : Jika pangkatnya genap ($n \, $ genap) maka hasilnya selalu positif.
Contoh :
1). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{(x-2)^2} \, $ ?
Penyelesaian :
*). Berikut grafik dari fungsi $ f(x) = \frac{1}{(x-2)^2} $
Dari tabel terlihat bahwa untuk $ x \, $ mendekati 2, maka hasil fungsinya (nilai $y $ ) semakin besar menuju tak hingga.
Jadi, hasil dari $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{(x-2)^2} = \infty $

2). Tentukan nilai limit bentuk berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{(x-5)^5} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^8} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^7} $
Penyelesaian :
a). Karena $ x \to 5^+ \, $ (artinya $ x \, $ mendekati 5 dari kanan, sehingga nilai $ x - 5 \, $ positif.
$ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{(x-5)^5} = \frac{5+2}{(5^+ - 5)^5} = \frac{7}{(+0)^5} = + \infty $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^8} = \frac{3}{(3^- - 3)^8 } = \frac{3}{(-0)^8} = \frac{3}{0} = +\infty $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^7} =\frac{3}{(3^- - 3)^7 } = \frac{3}{(-0)^7} = \frac{3}{-0} = -\infty $

Penyelesaian Limit di Tak Hingga
       Untuk menyelesaikan limit menuju tak hingga ($ x \to \infty $ ), kita gunakan limit dasarnya yaitu : $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{a}{x^n} = 0 $
dengan $ a \, $ bilangan real dan $ n \, $ bilangan asli.

       Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara :
i). Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, jika bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya (merasionalkan).
ii). Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi.
Contoh :
3). Tentukan hasil limit di tak hingga berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $
Penyelesaian :
a). Bagi dengan $ x^3 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{x^3}}{\frac{5x^3 - 4x + 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{3x^2}{x^3} + \frac{5}{x^3} }{\frac{5x^3 }{x^3} - \frac{ 4x }{x^3} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^3} }{5 - \frac{ 4 }{x^2} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \frac{ 2 + \frac{3}{\infty} + \frac{5}{\infty ^3} }{5 - \frac{ 4 }{\infty ^2} + \frac{ 1}{\infty ^3} } \\ & = \frac{ 2 + 0 + 0 }{5 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 2 }{5 } \\ \end{align} $
Sehingga hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{ 2 }{5 } $

b). Bagi dengan $ x^8 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{-2x^2 - 5}{x^8}}{\frac{5x^8 - 4x + 3}{x^8} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{-2}{x^6} - \frac{5}{x^8} }{ 5 - \frac{4}{x^7} + \frac{3}{x^8} } \\ & = \frac{ \frac{-2}{\infty ^6} - \frac{5}{\infty ^8} }{ 5 - \frac{4}{\infty ^7} + \frac{3}{\infty^8} } \\ & = \frac{ 0 - 0 }{ 5 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 0 }{ 5 } \\ & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = 0 $

c). Bagi dengan $ x^5 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{x^5}}{\frac{3x^2 - 4x + 1 }{x^5}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 1 - \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x^4} - \frac{1}{x^5} }{ \frac{3}{x^3} - \frac{4}{x^4} + \frac{1}{x^5} } \\ & = \frac{ 1 - \frac{2}{\infty ^2} + \frac{5}{\infty ^4} - \frac{1}{\infty ^5} }{ \frac{3}{\infty ^3} - \frac{4}{\infty ^4} + \frac{1}{\infty ^5} } \\ & = \frac{ 1 - 0 + 0 - 0 }{ 0 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ 0} \\ & = \infty \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \infty $


d). Bagi dengan $ x \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x + 1}{x}}{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 7}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 7}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{\frac{9x^2 + 2x - 7}{x^2} } } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{x} - \frac{7}{x^2} } } \\ & = \frac{ 2 + \frac{1}{\infty} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{\infty} - \frac{7}{\infty ^2} } } \\ & = \frac{ 2 + 0 }{ \sqrt{ 9 + 0 - 0 } } \\ & = \frac{ 2 }{ \sqrt{ 9 } } \\ & = \frac{ 2 }{3} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \frac{ 2 }{3} $

e). Kali sekawan agar terbentuk pecahan dan bagi $ x $
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} \times \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ (4x^2 +2x-3) - (4x^2 - x + 3) }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3x - 6 }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{ 3x - 6 }{x}}{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} }{\sqrt{x^2}} + \frac{ \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} } + \sqrt{4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} } \\ & = \frac{ 3 - \frac{6}{\infty} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{\infty} - \frac{3}{\infty ^2} } + \sqrt{4 - \frac{1}{\infty} + \frac{3}{\infty ^2}} } \\ & = \frac{ 3 - 0}{ \sqrt{4 + 0 - 0 } + \sqrt{4 - 0 + 0 } } \\ & = \frac{ 3 }{ \sqrt{4 } + \sqrt{4 } } \\ & = \frac{ 3 }{ 2 + 2 } \\ & = \frac{ 3 }{ 4 } \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{ 3 }{ 4 } $

Penyelesaian Limit di Tak Hingga Yang lebih praktis
       Berikut cara menyelesaikan limit di tak hingga yang lebih mudah :

$\clubsuit $ Limit tak hingga pecahan :
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + ... \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + .... $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingganya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.

$\clubsuit $ Limit tak hingga bentuk akar
*). Bentuk pertama,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2 + bx + c } - \sqrt{ax^2 + px + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $

*). Bentuk kedua,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^n + bx^\frac{n}{2} + c } - \sqrt{ax^n + px^\frac{n}{2} + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
Pangkat didepan adalah dua kali pangkat kedua dan nilai $ a \, $ sama pada kedua akar.
Contoh :
4). Tentukan hasil limit di tak hingga dari soal nomor 3 di atas,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} $
Penyelesaian :
a). Pangkat tertingginya $ x ^3 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^3 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{2}{5} $

b). Pangkat tertingginya $ x^8 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^8 \, $,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{0x^8-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \frac{0}{5} = 0 $
c). Pangkat tertingginya $ x^5 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^5 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{0x^5 + 3x^2 - 4x + 1 } = \frac{1}{0} = \infty $
d). Pangkat tertingginya $ x \, $ , artinya ambil koefisien $ x $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 } } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ 3x } = \frac{2}{3} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{2-(-1)}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4} $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{3-5}{2\sqrt{9}} = \frac{-2}{6} = - \frac{1}{3} $

5). Tentukan hasil limit tak hingga berikut ini,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} $
Penyelesaian :
a). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{(x + 2)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{x^2 + 4x + 4} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-5-4}{2\sqrt{1}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) & = \frac{-9}{2} \end{align} $

b). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } (2x - 3) - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{(2x - 3)^2} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2-12x + 9} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-12-1}{2\sqrt{4}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \frac{-13}{4} \end{align} $

c). Misalkan $ y = 5^x , \, $ untuk $ x \, $ menuju tak hingga, maka $ y \, $ juga menuju tak hingga, kemudian ambil koefisien pangkat tertingginya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^x . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{y . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{25y - 7} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \frac{1}{25} \end{align} $

   Silahkan teman-teman juga simak dan pelajari materi limit tak hingga dengan fungsi trigonometri yaitu pada artkel "Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri".Selain itu, ada juga kegunaan dari limit fungsi tak hingga adalah untuk menentukan persamaan asimtot mendatar suatu fungsi.