Untuk bisa memudahkan memahami materi Penyelesaian Limit Fungsi dengan L'Hospital atau Turunan , sebelumnya kita harus mempelajari materi yang berkaitan dengan turunan fungsi baik "turunan fungsi aljabar" maupun "turunan fungsi trigonometri". Berikut teori Penyelesaian Limit Fungsi dengan L'Hospital atau Turunan secara ringkas.
gambar rumus_dasar_limit_di_tak_hingga.
Penyelesaian Limit Fungsi dengan Metode L'Hospital atau Menggunakan Turunan
Misalkan ada limit fungsi : $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ ,
Maksudnya hasilnya adalah $ \frac{0}{0} \, $ , maka limit fungsi tersebut bisa diselesaikan dengan turunan, yaitu :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^{\prime \prime } (x)}{g^{\prime \prime } (x)} $
Catatan : Fungsi tersebut diturunkan sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} \, $ lagi, artinya jika hasilnya masih $ \frac{0}{0} \, $ maka diturunkan lagi.
Maksudnya hasilnya adalah $ \frac{0}{0} \, $ , maka limit fungsi tersebut bisa diselesaikan dengan turunan, yaitu :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^{\prime \prime } (x)}{g^{\prime \prime } (x)} $
Catatan : Fungsi tersebut diturunkan sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} \, $ lagi, artinya jika hasilnya masih $ \frac{0}{0} \, $ maka diturunkan lagi.
1). Tentukan hasil limit fungsi berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} - 1}{2x^2 - 2} \, \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4} \, \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} $
Penyelesaian :
*). Konsep turunan fungsi aljabar : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} - 1}{2x^2 - 2} = \frac{1^{15} - 1}{2.1^2 - 2} = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} - 1}{2x^2 - 2} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{15x^{15-1} - 0}{2.2.x^{2-1} - 0 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{15x^{14}}{4x } \\ & = \frac{15.1^{14}}{4.1 } \\ & = \frac{15}{ 4 } \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} - 1}{2x^2 - 2} = \frac{15}{4} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4} = \frac{2^3 - 2.2^2 + 3.2 - 6}{2^2 -4} = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
$ \begin{align} \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4} & = \frac{3x^2 - 4x + 3}{2x} \\ & = \frac{3.2^2 - 4.2 + 3}{2.2} \\ & = \frac{12 - 8 + 3}{4} \\ & = \frac{7}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4} = \frac{7}{4} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} = \frac{\sqrt{3.3-5} - 2}{3^3 - 27} = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
Turunan bentuka akar : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
sehingga : $ y = \sqrt{3x-5} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2\sqrt{3x-5}} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{ \frac{3}{2\sqrt{3x-5}} }{3x^2} \\ & = \frac{ \frac{3}{2\sqrt{3.3-5}} }{3.3^2} \\ & = \frac{ \frac{3}{2\sqrt{4}} }{27} \\ & = \frac{ \frac{3}{2.2} }{27} \\ & = \frac{ \frac{3}{4} }{27} \\ & = \frac{3}{4.27} \\ & = \frac{3}{108} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} = \frac{3}{108} $
2). Tentukan hasil limit fungsi berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} \, \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x} \, \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 - \sin x }{x - \frac{1}{2} \pi} $
Penyelesaian :
*). Konsep turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
$ y = \cos x \rightarrow y^\prime = \sin x $
$ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime \cos f(x) $
$ y = \cos f(x) \rightarrow y^\prime = - f^\prime \sin f(x) $
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} = \frac{ \sin 2. 0 }{ 3.0} = \frac{ \sin 0 }{ 0} = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
Turunan : $ y = \sin 2x \rightarrow y^\prime = 2 \cos 2x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2 \cos 2x }{ 3} \\ & = \frac{ 2 \cos 2.0 }{ 3} \\ & = \frac{ 2 \cos 0 }{ 3} \\ & = \frac{ 2 . 1 }{ 3} \\ & = \frac{ 2 }{ 3} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} = \frac{2}{3} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x} = \frac{ \sin 4 . \frac{1}{4} \pi }{\sin \frac{1}{4} \pi - \cos \frac{1}{4} \pi} = \frac{ \sin \pi }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2} } = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
Turunan : $ y = \sin 4x \rightarrow y^\prime = 4 \cos 4x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x} & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{4 \cos 4x }{\cos x - (-\sin x) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{4 \cos 4x }{\cos x + \sin x } \\ & = \frac{4 \cos 4. \frac{1}{4} \pi }{\cos \frac{1}{4} \pi + \sin \frac{1}{4} \pi } \\ & = \frac{4 \cos \pi }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \frac{4 .(-1) }{ \sqrt{2} } \\ & = - \frac{4 }{ \sqrt{2} } \\ & = - \frac{4 }{ \sqrt{2} } \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ & = - \frac{4 \sqrt{2}}{ 2 } \\ & = - 2\sqrt{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x} = - 2\sqrt{2} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 - \sin x }{x - \frac{1}{2} \pi} = \frac{1 - \sin \frac{1}{2} \pi }{\frac{1}{2} \pi - \frac{1}{2} \pi} = \frac{1 - 1 }{0} = \frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ , maka bisa menggunakan L'Hospital (diturunkan)
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 - \sin x }{x - \frac{1}{2} \pi} & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{ - \cos x }{1} \\ & = \frac{ - \cos \to \frac{1}{2} \pi }{1} \\ & = \frac{ - 0 }{1} \\ & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 - \sin x }{x - \frac{1}{2} \pi} = 0 $
3). Jika diketahui $ \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b - \sqrt{x}}{x-4} = \frac{3}{4}, \, $ maka nilai $ a + b = .... $
Penyelesaian :
*). Kita hitung hasil limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b - \sqrt{x}}{x-4} & = \frac{3}{4} \\ \frac{a.4+b - \sqrt{4}}{4-4} & = \frac{3}{4} \\ \frac{4a+b - 2}{0} & = \frac{3}{4} \\ \infty & \neq \frac{3}{4} \end{align} $
*). Setelah kita substitusi $ x = 4 \, $ diperoleh hasil limitnya tak hingga ($ \infty$) yang tidak sama dengan $ \frac{3}{4} \, $ , ini artinya agar limitnya mempunyai hasil $ \frac{3}{4} \, $ maka limitnya harus diproses lagi, dengan kata lain hasil limitnya harus bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ .
Sehingga $ \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b - \sqrt{x}}{x-4} = \frac{0}{0} \rightarrow \frac{4a+b - 2}{0} = \frac{0}{0} $
Artinya nilai $ 4a+b - 2 = 0 \rightarrow 4a + b = 2 \, $ .....pers(i) .
*). Kita gunakan metode turunan (L'Hospital),
Turunan : $ y = \sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b - \sqrt{x}}{x-4} & = \frac{3}{4} \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{a - \frac{1}{2\sqrt{x}} }{1} & = \frac{3}{4} \\ \displaystyle \lim_{x \to 4 } a - \frac{1}{2\sqrt{x}} & = \frac{3}{4} \\ a - \frac{1}{2\sqrt{4}} & = \frac{3}{4} \\ a - \frac{1}{4} & = \frac{3}{4} \\ a & = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \\ a & = \frac{4}{4} = 1 \end{align} $
Diperoleh : $ a = 1 \, $ , substitusi nilai $ a = 1 \, $ ke pers(i) ,
$ 4a + b = 2 \rightarrow 4.1 + b = 2 \rightarrow b = 2-4 = -2 $
Sehingga nilai $ a + b = 1 + (-2) = -1 $
Jadi, nilai $ a + b = -1 $ .
