Penjelasan Penerapan Limit pada Laju Perubahan
Misalkan $ y $ adalah suatu besaran yang bergantung pada besaran lain $ x $ . Sehingga, $ y $ adalah fungsi
dari $ x $ dan dapat kita tuliskan $ y = f(x) . \, $ Jika $ x $ berubah dari $ x = c $ sampai $ x = c + h , \, $ maka perubahan $ x $ adalah
$ \Delta x = (c+h) - c = h \, \, $ ($ \Delta x \, $ dibaca "delta $ x $ " )
dan perubahan $ y $ adalah $ \Delta y = f(c+h) - f(c) $ .
Hasil bagi perubahannya : $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \, $ disebut rerata laju perubahan $ y $ terhadap $ x $ sepanjang interval $[c, c+h] $ , dan ditafsirkan sebagai kemiringan tali busur PQ pada gambar berikut,
Kita tinjau laju perubahan rerata pada interval yang semakin kecil $[c, c+h] $ , sehingga $ h \, $ mendekati 0. Limit laju perubahan rerata ini disebut laju perubahan sesaat $ y $ terhadap $ x $ saat $ x = c , \, $ yang ditafsirkan sebagai kemiringan garis singgung pada kurva $ y = f(x) $ di $ P(c,f(c)) $ :
Laju perubahan sesaat $ = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} $
$ \Delta x = (c+h) - c = h \, \, $ ($ \Delta x \, $ dibaca "delta $ x $ " )
dan perubahan $ y $ adalah $ \Delta y = f(c+h) - f(c) $ .
Hasil bagi perubahannya : $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \, $ disebut rerata laju perubahan $ y $ terhadap $ x $ sepanjang interval $[c, c+h] $ , dan ditafsirkan sebagai kemiringan tali busur PQ pada gambar berikut,
Kita tinjau laju perubahan rerata pada interval yang semakin kecil $[c, c+h] $ , sehingga $ h \, $ mendekati 0. Limit laju perubahan rerata ini disebut laju perubahan sesaat $ y $ terhadap $ x $ saat $ x = c , \, $ yang ditafsirkan sebagai kemiringan garis singgung pada kurva $ y = f(x) $ di $ P(c,f(c)) $ :
Laju perubahan sesaat $ = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} $
Suhu sebuah tungku pembuatan kristal dipergunakan dalam penelitian untuk menentukan bagaimana cara terbaik untuk membuat kristal yang dipergunakan dalam komponen elektronik untuk pesawat ulang-alik. Untuk pembuatan kristal yang baik, suhu harus dikendalikan secara akurat dengan menyesuaikan daya masukan. Hubungan suhu dan daya masukan mengikuti fungsi $ T(w) = 0,1w^2 + 2,155w + 20 \, $ dengan $ T $ adalah suhu dalam $ ^\circ $C, dan $ w $ adalah daya masukan dalam watt.
a). Berapakah laju perubahan suhu terhadap daya masukan $ w $ ? Apa satuannya?
b). Jika daya yang tersedia adalah 1000 watt, kapan laju perubahan terbesar dan kapan laju perubahan terkecil?
Penyelesaian :
*). Diketahui fungsi : $ T(w) = 0,1w^2 + 2,155w + 20 $
*). Menentukan $ T(w+h) $
$ \begin{align} T(w+h) & = 0,1(w+h)^2 + 2,155(w+h) + 20 \\ & = 0,1(w^2 + 2wh+h^2) + 2,155w + 2,155h + 20 \\ & = 0,1w^2 + 0,2wh + 0,1h^2 + 2,155w + 2,155h + 20 \end{align} $
*). Menentukan $ \frac{T(w+h) - T(w)}{h} $
$ \begin{align} \frac{T(w+h) - T(w)}{h} & = \frac{( 0,1(w+h)^2 + 2,155(w+h) + 20 ) - (0,1w^2 + 2,155w + 20)}{h} \\ & = \frac{ 0,2wh + 2,155h + 0,1h^2 }{h} \\ & = 0,2w + 2,155 + 0,1h \end{align} $
*). Menentukan laju perubahan : $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} $
$ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} = \displaystyle \lim_{h \to 0 } 0,2w + 2,155 + 0,1h = 0,2w + 2,155 $
Jadi, laju perubahannya adalah $ 0,2w + 2,155 \, $ dengan satuan $ ^\circ $C/watt.
b). Daya yang tersedia 1000 watt. Dari fungsi laju perubahan ( Laju $ = 0,2w + 2,155$), maka laju perubahan terbesar terjadi ketika $ w = 1000 \, $ dan terkecil pada saat $ w = 0 . \, $
Laju perubahan terbesar $ = 0,2w + 2,155 = 0,2.(1000) + 2,155 = 202,155 \, ^\circ $C/watt.
Laju perubahan terkecil $ = 0,2w + 2,155 = 0,2.(0) + 2,155 = 2,155 \, ^\circ $C/watt.
