Penyelesaian Limit Tak Hingga Fungsi Khusus
Berikut penyelesaian Limit Tak Hingga Fungsi Khusus yang sering dipakai dan bentuknya paling sederhana :
1). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 2). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^x = e^{-1} \end{align} $
3). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x = e^{n} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 4). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + x \right)^\frac{1}{x} = e \end{align} $
5). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - x \right)^\frac{1}{x} = e^{-1} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 6). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} = e^{n} \end{align} $
7). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - nx \right)^\frac{1}{x} = e^{-n} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 8). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{n}{x} \right)^x = e^{-n} \end{align} $
dengan $ e = 2,7182818..... \, $ ($ e = \, $ bilangan euler)
1). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 2). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^x = e^{-1} \end{align} $
3). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x = e^{n} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 4). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + x \right)^\frac{1}{x} = e \end{align} $
5). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - x \right)^\frac{1}{x} = e^{-1} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 6). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} = e^{n} \end{align} $
7). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - nx \right)^\frac{1}{x} = e^{-n} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 8). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{n}{x} \right)^x = e^{-n} \end{align} $
dengan $ e = 2,7182818..... \, $ ($ e = \, $ bilangan euler)
1). Tentukan hasil limit tak hingga berikut :
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x \end{align} \, \, \, \, \, \, $ b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + 3x \right)^\frac{1}{x} \end{align} $
c). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{x} \right)^x \end{align} \, \, \, \, \, \, $ d). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 4x \right)^\frac{1}{x} \end{align} $
Penyelesaian :
*). Kita langsung menggunakan bentuk dasar limit fungsi khusus di atas,
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x = e^2 \end{align} \, \, $ (rumus 3).
b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + 3x \right)^\frac{1}{x} = e^3 \end{align} \, \, $ (rumus 6).
c). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{x} \right)^x = e^{-5} \end{align} \, \, $ (rumus 8).
d). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 4x \right)^\frac{1}{x} = e^{-4} \end{align} \, \, $ (rumus 7).
2). Tentukan hasil limit tak hingga fungsi khusus berikut :
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{5x} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^\frac{7}{x} \end{align} $
Penyelesaian :
*). Kita modifikasi bentuk limitnya dan gunakan sifat dasar,
gunakan juga sifat eksponen : $ (a^{m.n}) = [(a^m)]^n $
a). Modifikasi dengan permisalan $ 3x = y \, $ dan gunakan rumus 3.
$ x $ menuju tak hingga, maka $ 3x $ menuju tak hingga.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{5x} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{5x. \frac{3}{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{3x. \frac{5}{3}} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{3x} \right]^\frac{5}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{3x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{3x} \right]^\frac{5}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{y} \right)^{y} \right]^\frac{5}{3} \\ & = \left( e^2 \right)^\frac{5}{3} \\ & = e^\frac{10}{3} \end{align} $
b). Modifikasi dan gunakan rumus 7.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^\frac{7}{x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^{\frac{1}{x} . 7} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^{\frac{1}{x} } \right]^7 \\ & = \left[ e^{-3} \right]^7 \\ & = e^{-21} \end{align} $
3). Tentukan hasil limit tak hingga fungsi khusus berikut :
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{x-2} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( x^2 + 2x - 2 \right)^\frac{5}{x^2 + 2x - 3} \end{align} $
Penyelesaian :
*). Modifikasi limitnya dan gunakan rumus dasar limit tak hingga di atas,
gunakan juga sifat eksponen : $ (a^{m.n}) = [(a^m)]^n $
a). Modifikasi dan gunakan rumus dasar 8 .
Misalkan $ 3x-6 = y \, $ . untuk $ x $ menuju tak hingga, maka $ 3x-6 $ menuju tak hingga.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{x-2} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(x-2).\frac{3}{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(3x-6).\frac{1}{3}} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(3x-6)} \right]^\frac{1}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{3x-6 \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(3x-6)} \right]^\frac{1}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{y} \right)^{y} \right]^\frac{1}{3} \\ & = \left[ e^{-5} \right]^\frac{1}{3} \\ & = e^\frac{-5}{3} \end{align} $
b). Modifikasi dan gunakan rumus dasar 4.
misalkan $ x^2 + 2x - 3 = y \, $ . untuk $ x $ menuju 1, maka $ x^2 + 2x - 3 \, $ menuju nol.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( x^2 - 2x - 2 \right)^\frac{5}{x^2 + 2x - 3} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( x^2 + 2x - 3 + 1 \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} . 5} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( 1 + (x^2 + 2x - 3) \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} . 5} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( 1 + (x^2 + 2x - 3) \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} } \right]^5 \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{(x^2 + 2x - 3) \to 0 } \left( 1 + (x^2 + 2x - 3) \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} } \right]^5 \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{y \to 0 } \left( 1 + y \right)^\frac{1}{y} \right]^5 \\ & = \left[ e \right]^5 \\ & = e^5 \end{align} $
Pembuktian Rumus Dasar Limit Tak Hingga Fungsi Khusus
*). Bentuk $ Ln \, $ . $ Ln \, $ sama dengan logaritma hanya saja basisnya $ e $.
Bentuk $ {}^e \log b \, $ sama saja dengan $ \ln b $ . Artinya bentuk $ \ln \, $ memiliki sifat yang sama dengan logaritma.
Sifat yang digunakan adalah $ \ln b^n = n . \ln b $
*). Turunan bentuk $ \ln f(x) $ :
misalkan : $ y = \ln f(x) \rightarrow y^\prime = \frac{1}{f(x)} . f^\prime (x) $ .
*). Penggunakan turunan pada limit bentuk tak tentu (Dalil L'Hospital).
*). Persamaan logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
sehingga : $ \ln b = c \rightarrow b = e^c $
$ \spadesuit $ Pembuktian rumus dasar : $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x = e^{n} \end{align} $
*). Misalkan nilai $ t = \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \end{align} $
*). Turunan fungsi :
$ y = \frac{1}{x} \rightarrow y^\prime = -x^{-2} $
$ y = \ln (1 + \frac{n}{x} ) \rightarrow y^\prime = \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } . (-n.x^{-2}) $
*). Pembuktiannya :
$ \begin{align} t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \\ \ln t & = \ln \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \ln \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } x . \ln \left( 1 + \frac{n}{x} \right) \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \ln \left( 1 + \frac{n}{x} \right) }{\frac{1}{x} } \, \, \, \, \, \text{(L'Hospital)} \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } . (-n.x^{-2}) }{ -x^{-2} } \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } . (n) }{ 1 } \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } n . \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } \\ \ln t & = n . \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } \\ \ln t & = n . \frac{1}{1 + \frac{n}{ \infty } } \\ \ln t & = n . \frac{1}{1 + 0 } \\ \ln t & = n . 1 \\ \ln t & = n \\ t & = e^n \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x & = e^{n} \end{align} $
Catatan : Untuk rumus 1, 2, dan 8, gunakan rumus dasar $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x = e^{n} \end{align} $
$ \clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} = e^{n} \end{align} $
*). Pembuktiannya bisa langsung menggunakan rumus dasar 3.
Misalkan $ x = \frac{1}{y} \, $ maka $ y = \frac{1}{x} $
untuk $ x $ menuju nol, maka $ y $ menuju tak hingga.
*). Pembuktiannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{\frac{1}{x} \to \infty } \left( 1 + n. \frac{1}{y} \right)^y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{y} \right)^y \, \, \, \, \, \text{(rumus dasar 3)} \\ \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} & = e^n \end{align} $
Catatan : untuk rumus dasar 4, 5, dan 7 , gunakan rumus dasar $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} = e^{n} \end{align} $
