Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini
berisi tentang Solusi Soal Maraton 35 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi
Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis
seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.
Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian
bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling
bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.
Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 4 $ dan $ g(x) = x^2 + ax + b $. Jika
$ (g \circ f)(2) = 2 $ dan $ (g\circ f)(3) = 8 $ , maka nilai
$ a + b $ adalah ....
$\spadesuit $ Konsep Dasar Komposisi Fungsi
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $ dan $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
(Fungsi kanan masuk ke fungsi kiri).
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan komposisi fungsinya :
$\begin{align}
(g\circ f)(x) & = g(f(x)) \\
& = g(2x - 4) \\
& = (2x - 4)^2 + a(2x - 4) + b
\end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$\begin{align}
\text{Pertama : } (g \circ f)(2) & = 2 \\
(2.2 - 4)^2 + a(2.2 - 4) + b & = 2 \\
0 + a.0 + b & = 2 \\
b & = 2 \\
\text{Kedua : } (g\circ f)(3) & = 8 \\
(2.3 - 4)^2 + a(2.3 - 4) + b & = 8 \\
(2)^2 + a(2) + 2 & = 8 \\
2a + 6 & = 8 \\
a & = 1
\end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 1 + 2 = 3 $.
Jadi, nilai $ a + b = 3 . \, \heartsuit $
2). Jika $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \, $ dan $ g(x) = 10 - x^2 $, maka himpunan
bilangan real yang memenuhi $ (f \circ g)(x) > -2 $ adalah ....
A). $ \{ x | x < - 3 \} \cup \{ x | x > 3 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq - 3 \} \cup \{ x | x \geq 3 \} \, $
C). $ \{ x | -3 \leq x \leq 3 \} \, $
D). $ \{ x | -3 < x \leq 3 \} \, $
E). $ \{ x | -3 \leq x < 3 \} \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi fungsi :
$ (f \circ g )(x) = f(g(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)
*). Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan yaitu :
i). Nolkan ruas kanan,
ii). Samakan penyebut dan operasikan kedua pecahan,
iii). Carilah akar-akar pembilang dan penyebutnya,
iv). Buat garis bilangan, dan tentukan tanda setiap daerah (+ atau -),
v). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat bentuk pecahan adalah akar penyebutnya tidak boleh menjadi solusi (tidak ikut) karena penyebut pecahan
tidak boleh bernilai nol.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan komposisi fungsi $ (f \circ g )(x) $
$ \begin{align}
(f \circ g )(x) & = f( g(x)) \\
& = f(10 - x^2) \\
& = \frac{1}{\sqrt{1-(10 - x^2)}} \\
& = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}
\end{align} $
*). Menentukan akar-akar pertidaksamaannya
$ \begin{align}
(f \circ g )(x) & > -2 \\
\frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} & > -2 \\
\frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} + 2 & > 0 \\
\frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} + \frac{2\sqrt{x^2 - 9}}{\sqrt{x^2 - 9}} & > 0 \\
\frac{2\sqrt{x^2 - 9} + 1}{\sqrt{x^2 - 9}} & > 0
\end{align} $
*). Perhatikan bentuk $ \frac{2\sqrt{x^2 - 9} + 1}{\sqrt{x^2 - 9}} $, nilainya selalu positif sehingga selalu memenuhi
pertidaksamaan. Tinggal kita cari syarat bentuk akar dan syarat penyebutnya saja.
*). Syarat-syarat bentuk akar dan penyebutnya :
$ \sqrt{x^2 - 9} \geq 0 \rightarrow x^2 - 9\geq 0 \rightarrow (x-3)(x+3) \geq 0 \rightarrow x = 3 \vee x = -3 $
penyebutnya : $ \sqrt{x^2 - 9} \neq 0 \rightarrow x^2 - 9 \neq 0 \rightarrow x \neq -3 \vee x \neq 3 $.
garis bilangannya :
Himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ x < -3 \vee x > 3 \} $.
Jadi, himpunannya adalah $ \{ x | x < - 3 \} \cup \{ x | x > 3 \} . \, \heartsuit $
3). Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers. Jika $ g(2f(x)) = 2x -1 $
dan $ f(x-2) = x+ 3 $ , maka nilai $ f^{-1}(-1). g^{-1}(-1) $ adalah ...
A). $ -60 \, $
B). $ -50 \, $
C). $ -40 \, $
D). $ -30 \, $
E). $ -20 $
Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Untuk mengubah fungsi menjadi $ f(x) $ atau $ g(x) $, bisa menggunakan permisalan.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x-2) = x + 3 $ :
-). Mengubah menjadi $ f(x) $
Misalkan $ x - 2 = p \rightarrow x = p + 2 $
$\begin{align}
f(x-2) & = x + 3 \\
f(p) & = (p+2) + 3 \\
f(p) & = p + 5 \\
f(x) & = x + 5
\end{align} $
-). Menentukan invers dari $ f(x) = x + 5 $ :
$\begin{align}
f(x) & = x + 5 \\
y & = x + 5 \\
x & = y - 5 \\
f^{-1}(x) & = x - 5
\end{align} $
Nilai $ f^{-1}(-1) = -1 - 5 = -6 $
*). Menentukan fungsi $ g(x) $ :
$\begin{align}
g(2f(x)) & = 2x -1 \\
g(2(x+5)) & = 2x -1 \\
g(2x+10) & = 2x -1
\end{align} $
Misalkan $ 2x+10 = q \rightarrow 2x = q - 10 $
$\begin{align}
g(2x+10) & = 2x -1 \\
g(q) & = (q-10) -1 \\
g(q) & = q - 11 \\
g(x) & = x - 11 \\
\end{align} $
-). Menentukan invers dari $ g(x) = x - 11 $ :
$\begin{align}
g(x) & = x - 11 \\
y & = x - 11 \\
x & = y + 11 \\
g^{-1}(x) & = x + 11
\end{align} $
Nilai $ g^{-1}(-1) = -1 + 11 = 10 $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) $ :
$\begin{align}
f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) & = (-6) \times 10 = -60
\end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) = -60 . \, \heartsuit $
Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 - 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x-2) = x + 3 $ :
$\begin{align}
f(x-2) & = x + 3 \\
f^{-1}(x+3) & = x - 2
\end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(-1) $ , maka $ x + 3 = -1 \rightarrow x = -4 $ :
$\begin{align}
x = -4 \rightarrow f^{-1}(x+3) & = x - 2 \\
f^{-1}(-4+3) & = -4 - 2 \\
f^{-1}(-1) & = -6
\end{align} $
*). Fungsi $ g(2f(x)) = 2x -1 $ :
$\begin{align}
g(2f(x)) & = 2x -1 \\
g^{-1}(2x - 1) & = 2f(x)
\end{align} $
-). Agar dapat nilai $ g^{-1}(-1) $ , maka $ 2x-1 = -1 \rightarrow x = 0 $ :
-). Dari bentuk $ f(x-2) = x + 3 $, agar memperoleh nilai $ f(0) $ , maka $ x - 2 = 0 \rightarrow x = 2 $
$ f(x-2) = x + 3 \rightarrow f(2-2) = 2 + 3 \rightarrow f(0) = 5 $
$\begin{align}
x = 0 \rightarrow g^{-1}(2x - 1) & = 2f(x) \\
g^{-1}(2.0 - 1) & = 2f(0) \\
g^{-1}( - 1) & = 2\times 5 \\
g^{-1}( - 1) & = 10
\end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) $ :
$\begin{align}
f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) & = (-6) \times 10 = -60
\end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) = -60 . \, \heartsuit $
4). Domain fungsi $ f(x) = \frac{2x+1+a}{x+a} $ adalah $ \{ x \in R, x \neq -a \} $ . Jika
domain $ f^{-1} $ sama dengan domain $ f $ , maka $ a = ...$
A). $ 3 \, $
B). $ 2 \, $
C). $ 1 \, $
D). $ -1 \, $
E). $ -2 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Domain suatu fungsi $ f(x) $ adalah nilai $ x $ yang bisa kita substitusikan ke fungsi $ f(x) $ dimana nilai fungsinya ada
(bisa dihitung).
*). Misalkan ada fungsi $ h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $, maka domain fungsi $ h(x) $ ditulis $ D_h $ adalah $ x $
dimana $ x $ memenuhi $ g(x) \neq 0 $.
*). Invers Fungsi :
$ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx + b}{cx - a} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahu fungsi $ f(x) = \frac{2x+1+a}{x+a} $.
Domain $ f(x) $ yaitu $ D_f =\{ x \neq -a , \, x \in R \} $
Artinya domain $ f(x) $ adalah semua $ x $ kecuali $ x = a $.
*).Mnentukan invers dari fungsi $ f(x) = \frac{2x+1+a}{x+a} $ :
$\begin{align}
f(x) & = \frac{2x+(1+a)}{x+a} \\
f^{-1} (x) & = \frac{-ax + 1 + a}{x - 2 }
\end{align} $
*). Fungsi $ f^{-1} (x) = \frac{-ax + 1 + a}{x - 2 } $
memiliki domain : $ D_{f^{-1}} =\{ x \neq 2 , \, x \in R \} $
*). Karena domain $ f(x) $ sama dengan domain $ f^{-1} (x) $ , maka :
$\begin{align}
-a & = 2 \rightarrow a = -2
\end{align} $
Jadi, nilai $ a = -2 . \, \heartsuit $
Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:
