Solusi Soal Maraton 30 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 30 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Anton membuat setigia sama-sisi dari segitiga-segitiga sama-sisi satuan (panjang sisi 1 satuan). Pada langkah pertama diperlukan 1 buah segitiga sama-sisi satuan. Pada langkah ke-2, dia menambahkan 3 buah segitiga satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 2 satuan. Pada langkah ke-3 ditambahkan 5 segitiga sama-sisi satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 3 satuan. Sampai dengan langkah ke-9, diperoleh segitiga sama-sisi satuan sebanyak ....
A). $ 13 \, $
B). $ 25 \, $
C). $ 36 \, $
D). $ 75 \, $
E). $ 81 \, $

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus suku ke-$n $ barisan tingkat dua adalah :
$ U_n = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2).c}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berikut adalah gambar segitiga yang terbentuk pada langkah-langkah awal dan banyaknya jumlah segitiga satuan pada setiap langkah.
 
*). Dari gambar tersebut, banyaknya segitiga satuan membentuk barisan 1, 4, 9, 16, ..... Barisan ini membentuk pola bertingkat yaitu tingkat dua dengan penjabaran seperti berikut ini.
 
dari penjabaran ini, kita peroleh nilai $ a = 1, b = 3, c = 2 $.
*). Menentukan banyak segitiga satuan pada langkah ke-9 (suku ke-9) :
$ \begin{align} U_n & = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2).c}{2} \\ U_9 & = 1 + (9-1).3 + \frac{(9-1)(9-2).2}{2} \\ & = 1 + 8.3 + \frac{8.7.2}{2} \\ & = 1 + 24 + 56 = 81 \end{align} $
Jadi, banyaknya segitiga satuan pada langkah ke-9 ada 81 segitiga satuan $ . \, \heartsuit $


Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus suku ke-$n $ bentuk kuadrat :
$ U_n = n^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berikut adalah gambar segitiga yang terbentuk pada langkah-langkah awal dan banyaknya jumlah segitiga satuan pada setiap langkah.
 
*). Dari gambar tersebut, banyaknya segitiga satuan membentuk barisan 1, 4, 9, 16, ..... Barisan ini membentuk pola persegi (kuadrat).
*). Menentukan banyak segitiga satuan pada langkah ke-9 $( U_9 ) $ :
$ \begin{align} U_n & = n^2 \\ U_9 & = 9^2 = 81 \end{align} $
Jadi, banyaknya segitiga satuan pada langkah ke-9 ada 81 segitiga satuan $ . \, \heartsuit $

2). Jika $ p , q , \, $ dan $ r $ membentuk suku-suku deret aritmetika, maka $ p^2 + q^2 + r^2 = .... $
A). $ \frac{5p^2 + 2pr + 5r^2}{4} \, $
B). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{5} \, $
C). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{3} \, $
D). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{2} \, $
E). $ 5p^2 + 2pr + 5r^2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika yaitu selisih dua suku berurutan sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ p , q, r $ membentuk barisan aritmetika, selisih dua suku sama :
$ \begin{align} q - p & = r - q \\ 2q & = p + r \\ q & = \frac{p+r}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p^2 + q^2 + r^2 $ :
$ \begin{align} p^2 + q^2 + r^2 & = p^2 + \left( \frac{p+r}{2} \right)^2 + r^2 \\ & = p^2 + \left( \frac{p+r}{2} \right)^2 + r^2 \\ & = p^2 + \frac{(p+r)^2}{2^2} + r^2 \\ & = p^2 + \frac{p^2 + 2pr + r^2}{4} + r^2 \\ & = \frac{4p^2}{4} + \frac{p^2 + 2pr + r^2}{4} + \frac{4r^2}{4} \\ & = \frac{4p^2 + p^2 + 2pr + r^2 + 4r^2}{4} \\ & = \frac{5p^2 + 2pr + 5r^2}{4} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{5p^2 + 2pr + 5r^2}{4} . \, \heartsuit $

3). Parabola $ y = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 $ memotong sumbu Y di titik $ (0,p) $ serta memotong sumbu X di titik $ (q,0) $ dan $ (r,0) $. Jika $ p, q, $ dan $ r $ membentuk barisan geometri yang jumlahnya 13, maka nilai $ k = .... $
A). $ 3^{-3} \, $
B). $ 3^{-2} \, $
C). $ 3^{-1} \, $
D). $ 3^0 \, $
E). $ 3^1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Parabola $ y = ax^2 + bx + c $ memotong sumbu X di titik $ (q,0) $ dan $ (r,0) $ , artinya $ q $ dan $ r $ adalah akar-akar dari persamaan parabola tersebut, sehingga berlaku operasi akar yaitu $ q.r = \frac{c}{a} $.
*). $ p, q, r $ membentuk barisan geometri, maka perbandingannya sama yaitu :
$ \frac{q}{p} = \frac{r}{q} \rightarrow pr = q^2 $.
*). Suatu kurva melalui titik tertentu, maka titik tersebut bisa kita substitusi ke persamaan kurvanya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (x,y) = (0,p) $ ke parabolanya :
$ \begin{align} y & = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 \\ p & = k.0^2 - \frac{4}{9}.0 + 1 \\ p & = 1 \end{align} $
*). $ q $ dan $ r $ adalah akar-akar dari $ y = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 $ , sehingga :
$ q.r = \frac{c}{a} = \frac{1}{k} \rightarrow k = \frac{1}{qr} \, $ ....(i)
*). $ p, q, r $ membentuk barisan geometri, sehingga :
$ \begin{align} pr & = q^2 \\ 1.r & = q^2 \\ r & = q^2 \end{align} $
Karena $ r = q^2 $ , pers(i): $ k = \frac{1}{qr} = \frac{1}{q.q^2} = q^{-3} $
*). Jumlah $ p,q,r $ adalah 13 :
$ \begin{align} p + q + r & = 13 \\ 1 + q + q^2 & = 13 \\ q^2 + q - 12 & = 0 \\ (q + 4)(q - 3) & = 0 \\ q = -4 \vee q & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ k $ dari pers(i) :
$ \begin{align} q = -4 \rightarrow k & = q^{-3} \\ & = (-4)^{-3} = -(4)^{-3} \\ q = 3 \rightarrow k & = q^{-3} \\ & = 3^{-3} \end{align} $
Sehingga nilai $ k = -(4)^{-3} $ atau $ k = 3^{-3} $
Yang ada di pilihannya adalah $ k = 3^{-3} $.
Jadi, nilai $ k = 3^{-3} . \, \heartsuit $

4). Jika $ {}^a \log (b), {}^a \log ( b + 2) , $ dan $ {}^a \log (2b + 4) $ adalah tiga suku berurutan suatu barisan aritmetika dan jumlah tiga suku tersebut adalah 3, maka $ a + b = .... $
A). $ 6 \, $
B). $ 7 \, $
C). $ 8 \, $
D). $ 9 \, $
E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih dua suku berdekatan sama.
*). Sifat logaritma :
1). $ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
2). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
*). Persamaan logaritma : $ \log A = \log B \rightarrow A = B $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow a^c = b $
dengan syarat : $ a > 0 , a \neq 1, b > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ {}^a \log (b), {}^a \log ( b + 2) , $ dan $ {}^a \log (2b + 4) $ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, sehigga selisih dua suku berdekatan sama :
$ \begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ {}^a \log ( b + 2) - {}^a \log (b) & = {}^a \log (2b + 4) - {}^a \log ( b + 2) \\ {}^a \log \frac{ b + 2}{b} & = {}^a \log \frac{2b + 4}{ b + 2} \\ \frac{ b + 2}{b} & = \frac{2b + 4}{ b + 2} \\ (2b + 4)(b) & = (b + 2)(b+2) \\ 2b^2 + 4b & = b^2 + 4b + 4 \\ b^2 & = 4 \\ b & = \pm 2 \end{align} $
Karena bentuk $ {}^a \log b $ memiliki syarat $ b > 0 $ , maka $ b = 2 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nila $ a $ dengan jumlah tiga suku tersebut adalah 3 dan $ b = 2 $ :
$ \begin{align} {}^a \log (b) + {}^a \log ( b + 2) + {}^a \log (2b + 4) & = 3 \\ {}^a \log 2 + {}^a \log 4 + {}^a \log 8 & = 3 \\ {}^a \log 2. 4. 8 & = 3 \\ {}^a \log 64 & = 3 \\ a^3 & = 64 \\ a^3 & = 4^3 \\ a & = 4 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 4 + 2 = 6 $.
Jadi, nilai $ a + b = 6 . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.