Solusi Soal Maraton 22 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 22 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Jika $ 2^x = 2 - \sqrt{3} $ , maka $ {}^{2 + \sqrt{3}} \log 4^x = .... $
A). $ -2 \, $
B). $ -\frac{1}{2} \, $
C). $ 1 \, $
D). $ \frac{1}{2} \, $
E). $ 2 $

$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log a = 1 \, $ dan $ {}^a \log b^n = n . \, {}^a \log b $
*). Sifat Eksponen :
$ \, (a^m)^n = (a^n)^m = a^{m.n} \, $ dan $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
$\clubsuit \, $ Memodifikasi bentuk $ \, 2^x = 2 - \sqrt{3} \, $ dengan merasionalkan sehingga sama dengan basis pada logaritmanya.
$\begin{align} 2^x & = 2 - \sqrt{3} \\ 2^x & = 2 - \sqrt{3} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{4 - 3}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \\ & = (2 + \sqrt{3})^{-1} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2^2)^x \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2^x)^2 \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log [(2 + \sqrt{3})^{-1}]^2 \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3})^{-2} \\ & = -2 . \, {}^{2+\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3}) \\ & = -2 . \, 1 \\ & = -2 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x = -2 . \, \heartsuit $

2). Diketahui $ {}^a \log \frac{b}{c} = p $ dan $ {}^a \log bc^2 = q $, maka $ {}^a \log b = .... $
A). $ \frac{q-p}{3} \, $
B). $ \frac{q-2p}{3} $
C). $ \frac{q+p}{3} $
D). $ \frac{q + 2p}{3} \, $
E). $ \frac{p-2q}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
2). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
3). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita misalkan :
$ {}^a \log b = x $ dan $ {}^a \log c = y $
*). Mengubah bentuk soal :
$ \begin{align} \text{pertama : } {}^a \log \frac{b}{c} & = p \\ {}^a \log b - {}^a \log c & = p \\ x - y & = p \\ y & = x - p \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ \text{kedua : } {}^a \log bc^2 & = q \\ {}^a \log b + {}^a \log c^2 & = q \\ {}^a \log b + 2 {}^a \log c & = q \\ x + 2y & = q \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} x + 2y & = q \\ x + 2(x - p) & = q \\ x + 2x - 2p & = q \\ 3x & = q + 2p \\ x & = \frac{q + 2p}{3} \end{align} $
Kita peroleh $ x = \frac{q + 2p}{3} \rightarrow {}^a \log b = \frac{q + 2p}{3} $
Jadi, bentuk $ {}^a \log b = \frac{q + 2p}{3} . \, \heartsuit $

3). Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) = 1 + {}^2 \log x $ adalah ....
A). $ {}^5 \log 2 \, $
B). $ {}^2 \log 5 \, $
C). $ \log \frac{2}{5} \, $
D). $ -1 \, $ atau $ 5 $
E). $ -5 \, $ atau $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat eksponen :
$ a^{mn} = (a^n)^m $ dan $ a^{m+n} = a^m.a^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^x > 0 \, $ (bernilai positif) :
$ \begin{align} {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = 1 + {}^2 \log x \\ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log x \\ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = {}^2 \log 2x \\ {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = 2x \\ 2^{x+2} + 5 & = 2^{2x} \\ 2^2.2^{x } + 5 & = (2^x)^2 \\ 4p + 5 & = p^2 \\ p^2 - 4p - 5 & = 0 \\ (p + 1)(p-5) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 5 \\ p = -1 \rightarrow & \, \text{(tidak memenuhi)} \\ p = 5 \rightarrow 2^x & = 5 \\ x & = {}^2 \log 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ x = {}^2 \log 5 . \, \heartsuit $

4). Nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ {}^2 \log x - {}^\frac{1}{x} \log \left( \frac{1}{2} \right) \geq 0 $ adalah ....
A). $ \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \, $
B). $ 1 \leq x \leq 2 \, $
C). $ 1 < x \leq 2 \, $
D). $ \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \, $ atau $ x > 2 $
E). $ \frac{1}{2} \leq x < 1 \, $ atau $ x \geq 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Syarat logaritma :
$ {}^a \log b = c $ , syaratnya : $ b > 0 , a > 0 , a \neq 1 $
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b \, $ dan $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log x = b \rightarrow x = a^b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Syarat logaritmanya : $ {}^2 \log x - {}^\frac{1}{x} \log \left( \frac{1}{2} \right) \geq 0 $
$ x > 0 $ dan $ \frac{1}{x} \neq 1 \rightarrow x \neq 1 $
*). Menentukan akar-akar :
$ \begin{align} {}^2 \log x - {}^\frac{1}{x} \log \left( \frac{1}{2} \right) & \geq 0 \\ {}^2 \log x - {}^{x^{-1}} \log 2^{-1} & \geq 0 \\ {}^2 \log x - \frac{-1}{-1} . {}^x \log 2 & \geq 0 \\ {}^2 \log x - {}^x \log 2 & \geq 0 \\ {}^2 \log x - \frac{1}{ {}^2 \log x } & \geq 0 \\ \frac{({}^2 \log x)^2 - 1 }{ {}^2 \log x } & \geq 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
Pembilang :
$({}^2 \log x)^2 - 1 = 0 \rightarrow ({}^2 \log x)^2 = 1 \rightarrow {}^2 \log x = \pm 1 $
$ {}^2 \log x = 1 \rightarrow x = 2^1 = 2 $
$ {}^2 \log x = -1 \rightarrow x = 2^{-1} = \frac{1}{2} $
Penyebutnya :
$ {}^2 \log x = 0 \rightarrow x = 2^0 = 1 $.
Garis bilangannya :
 
*). Karena yang diminta $ \geq 0 $ , maka solusinya adalah daerah positif dan memenuhi syarat $ x > 0 , x \neq 1 $ .
HP $ = \{ \frac{1}{2} \leq x < 1 \vee x \geq 2 \} $ .
Jadi, HP $ = \{ \frac{1}{2} \leq x < 1 \vee x \geq 2 \} . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.