Solusi Soal Maraton 17 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 17 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaian persamaan $ \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} = \frac{3}{2} $ , maka $ (x_1-x_2)^2 = .... $
A). $ \frac{9}{4} \, $
B). $ \frac{25}{4} \, $
C). $ \frac{41}{4} \, $
D). $ \frac{25}{2} \, $
E). $ 25 $

Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^m} \, $ sehingga $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal dan memfaktorkan :
$\begin{align} \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} & = \frac{3}{2} \\ \left([\frac{2}{3}]^2\right)^{x^2-3}\left([\frac{2}{3}]^3\right)^{1-x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2-6}\left(\frac{2}{3} \right)^{3-3x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{(2x^2-6)+(3-3x)} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2 - 3x - 3} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ 2x^2 - 3x - 3 & = -1 \\ 2x^2 - 3x - 2 & = 0 \\ (2x + 1)(x-2) & = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
Misalkan kita pilih $ x_1 = 2 $ dan $ x_2 = -\frac{1}{2} $ .
*). Menentukan nilai $ (x_1-x_2)^2 $ :
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = \left( 2 - (-\frac{1}{2}) \right)^2 \\ & = \left( 2+\frac{1}{2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{5}{2} \right)^2 \\ & = \frac{25}{4} \end{align} $ .
Jadi, nilai $ = (x_1-x_2)^2 = \frac{25}{4} . \, \heartsuit $
Solusi II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^m} \, $ sehingga $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $.
*). Operasi Selisih akar-akar persamaan Kuadrat :
$ ax^2 + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $,
maka $ x_1-x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} \, $ dengan $ D=b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Operasi akar-akar Persaman Kuadrat
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} & = \frac{3}{2} \\ \left([\frac{2}{3}]^2\right)^{x^2-3}\left([\frac{2}{3}]^3\right)^{1-x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2-6}\left(\frac{2}{3} \right)^{3-3x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{(2x^2-6)+(3-3x)} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2 - 3x - 3} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ 2x^2 - 3x - 3 & = -1 \\ 2x^2 - 3x - 2 & = 0 \\ a = 2 , b = -3 , c & = -2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ (x_1-x_2)^2 $ :
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = \left( \frac{\sqrt{D}}{a} \right)^2 \\ & = \frac{D}{a^2} = \frac{b^2-4ac}{a^2} \\ & = \frac{(-3)^2 - 4.2.(-2)}{2^2} \\ & = \frac{9+16}{4} = \frac{25}{4} \end{align} $ .
Jadi, nilai $ = (x_1-x_2)^2 = \frac{25}{4} . \, \heartsuit $

Catatan :
Operasi akar-akar ini kita gunakan terutama jika persamaan kuadratnya tidak bisa difaktorkan.

2). Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ 4^{x-2} > \sqrt{2^{3x+1}} $ adalah ....
A). $ x > 2 \, $
B). $ x > 4 \, $
C). $ 2 < x < 4 $
D). $ x > 9 $
E). $ 2 < x < 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
2). $ \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2} $
*). Pertidaksamaan Eksponen :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian :
jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) > g(x) $
jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) < g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soalnya :
$\begin{align} 4^{x-2} & > \sqrt{2^{3x+1}} \\ (2^2)^{x-2} & > 2^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{2x-4} & > 2^\frac{3x+1}{2} \\ 2x-4 & > \frac{3x+1}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x-8 & > 3x+1 \\ 4x-3x & > 1 + 8 \\ x & > 9 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x > 9. \, \heartsuit $

3). Jika $ a = 2 + \sqrt{7} $ dan $ b = 2 - \sqrt{7} $ , maka $ a^2 + b^2 - 4ab = .... $
A). $ 36 \, $
B). $ 34 \, $
C). $ 32 \, $
D). $ 30 \, $
E). $ 28 \, $

Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat bentuk akar :
1). $ (\sqrt{a})^2 = a $
2). $ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b $
3). $ (a + \sqrt{b})^2 = a^2 + b + 2a\sqrt{b} $
4). $ (a - \sqrt{b})^2 = a^2 + b - 2a\sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} & a^2 + b^2 - 4ab \\ & = (2 + \sqrt{7})^2 + (2 - \sqrt{7})^2 - 4(2 + \sqrt{7})(2 - \sqrt{7}) \\ & = (4 + 7 + 4\sqrt{7}) + (4 + 7 - 4\sqrt{7}) - 4(4 - 7) \\ & = (11 + 4\sqrt{7}) + (11 - 4\sqrt{7}) - 4(-3) \\ & = 22 + 12 = 34 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 - 4ab = 34 . \, \heartsuit $
Solusi II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat bentuk akar :
$ (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b $
*). Bentuk pemfaktoran :
$ a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} & a^2 + b^2 - 4ab \\ & = (a^2 + b^2 - 2ab) - 2ab \\ & = (a-b)^2 - 2ab \\ & = [(2 + \sqrt{7})-(2-\sqrt{7})]^2 -2(2 + \sqrt{7})(2 - \sqrt{7}) \\ & = [2\sqrt{7}]^2 -2(4 - 7) \\ & = 4.7 -2(-3) = 28 + 6 = 34 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 - 4ab = 34 . \, \heartsuit $

4). Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $ 2^{x+2} $. Jika panjang dua sisi lainnya adalah 4 dan $ 2^{2x+1} $ , maka nilai $ x $ yang memenuhi terletak pada interval ....
A). $ -1 < x < 0 \, $
B). $ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3} \, $
C). $ 0 < x < 1 \, $
D). $ \frac{2}{3} < x < 2 \, $
E). $ 1 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras
$ \, \, \, \, \, \, a^2 + b^2 = c^2 $
dengan $ c $ sebagai sisi miringnya.
*). Sifat-sifat eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^{m +n} = a^m . a^n $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sisi miring $ c = 2^{x+2} $ dan sisi lainnya $ a = 4 , b = 2^{2x+1} $ :
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = c^2 \\ 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^{4x} .2^2 & = 2^{2x}. 2^4 \\ 16 + (2^{2x})^2 .4 & = 2^{2x}. 16 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4 + (2^{2x})^2 & = 2^{2x}. 4 \, \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } p = 2^{2x} ) \\ 4 + p^2 & = 4p \\ p^2 - 4p + 4 & = 0 \\ (p - 2)^2 & = 0 \\ (p - 2) & = 0 \\ p & = 2 \\ 2^{2x} & = 2 \\ 2^{2x} & = 2^1 \\ 2x & = 1 \\ x & = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ x = \frac{1}{2} $ yang ada pada interval $ 0 < x < 1 $.
Jadi, nilai $ x $ ada pada interval $ 0 < x < 1 . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.