Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini
berisi tentang Solusi Soal Maraton 14 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi
Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis
seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.
Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian
bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling
bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.
Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Himpunan $ S $ beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif $ x $ yang
memenuhi $ \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)}<0$. Berakah nilai $ a $ sehingga
hasil penjumlahan semua anggota $ S $ minimum?
A). $ 0 \, $
B). $ 1 \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 4 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai minimum artinya nilai terkecil.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align}
\frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} & < 0 \\
\frac{(x-a)^2}{(x+1)(x-4)} & < 0
\end{align} $
*). Karena pembilang selalu positif, maka nilai negatif hanya terjadi pada penyebut yaitu saat
$ -1 < x < 4 $ yang merupakan solusi dari pertidaksamaan tersebut tanpa melibatkan akar pembilangnya yaitu
$ a $.
*). Agar jumlah anggota himpunan $ S $ minimum, maka nilai $ a $ harus ada di antara $ -1 $ dan 4.
*). Menentukan himpunan $ S $ dan jumlahnya berdasarkan nilai $ a $ :
-). $ a = 0 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <0 \vee 0< x <4 $
$ S = \{ 1,2,3\} \, $ , jumlah $ = 1 + 2 + 3 = 6 $.
-). $ a = 1 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <1 \vee 1< x <4 $
$ S = \{ 2,3\} \, $ , jumlah $ = 2 + 3 = 5 $.
-). $ a = 2 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <2 \vee 2< x <4 $
$ S = \{ 1,3\} \, $ , jumlah $ = 1 + 3 = 4 $.
-). $ a = 3 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <3 \vee 3< x <4 $
$ S = \{ 1,2\} \, $ , jumlah $ = 1 + 2 = 3 $.
Jadi, jumlah minimum pada saat $ a = 3 . \, \heartsuit $
2). Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \sqrt{x^2 - 7x + 6 } \geq 2x \, $ adalah ....
A). $ -3 \leq x \leq \frac{1}{3} \, $
B). $ -3 \leq x \leq \frac{2}{3} \, $
C). $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq \frac{2}{3} $
D). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 6 $
E). $ x \leq \frac{2}{3} $
Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Jika ada syaratnya, kita cari syaratnya terlebih dulu.
Syarat dalam akar $ \sqrt{f(x)} $ yaitu $ f(x) \geq 0 $.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ \sqrt{x^2 - 7x + 6 } \geq 2x $, syarat dalam akar :
$ \begin{align}
x^2 - 7x + 6 \geq 0 \\
(x - 1)(x-6) \geq 0 \\
x = 1 \vee x & = 6
\end{align} $
garis bilangannya :
Sehingga syaratnya : $ x \leq 1 \vee x \geq 6 $.
*). Dari syarat $ x \leq 1 \vee x \geq 6 $, untuk $ x \leq 0 $ (negatif) akan
selalu memenuhi pertidaksamaan. Sehingga $ HP_1 = \{ x \leq 0 \} $ .
*). Untuk syarat $ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 6 $ , kita selesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan :
$\begin{align}
\sqrt{x^2 - 7x + 6 } & \geq 2x \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\
x^2 - 7x + 6 & \geq 4x^2 \\
-3x^2 - 7x + 6 & \geq 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\
3x^2 + 7x - 6 & \leq 0 \\
(3x-2)(x+3) & \leq 0 \\
x = \frac{2}{3} \vee x & - 3
\end{align} $
garis bilangannya :
Sehingga untuk $ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 6 $,
$ HP_2 = \{ 0 < x \leq \frac{2}{3} \} $.
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari kedua HP :
$\begin{align}
HP & = HP_1 \cup HP_2 \\
& = \{ x \leq \frac{2}{3} \}
\end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \leq \frac{2}{3} \} . \, \heartsuit $
Solusi II:
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka
dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 7x + 6 } & \geq 2x \\
\sqrt{0^2 - 7.0 + 6 } & \geq 2.0 \\
\sqrt{6 } & \geq 0 \, \, \text{(BENAR)}
\end{align}$
yang ada $x=0$ BENAR, opsi yang salah C.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 7x + 6 } & \geq 2x \\
\sqrt{1^2 - 7.1 + 6 } & \geq 2.1 \\
\sqrt{0} & \geq 2 \, \, \text{(SALAH)}
\end{align}$
yang ada $x=1$ SALAH, opsi yang salah D.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=-4 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 7x + 6 } & \geq 2x \\
\sqrt{(-4)^2 - 7.(-4) + 6 } & \geq 2.(-4) \\
\sqrt{48} & \geq -8 \, \, \text{(BENAR)}
\end{align}$
yang ada $x= -4$ BENAR, opsi yang salah A dan B.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi E (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \leq \frac{2}{3} \} . \, \heartsuit $
3). Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ x^2 < |2x-15| $ adalah ....
A). $ -5 < x < -3 \, $
B). $ -5 < x < 0 \, $
C). $ -5 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < 3 \, $
E). $ 0 < x < 3 \, $
Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan pembuat nol (akar-akar),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $ - $),
3). Arsir daerah yang diingikan,
Jika tandanya $ > 0 $ , maka arsir yang positif,
Jika tandanya $ < 0 $ , maka arsir yang negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc}
f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\
- f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0
\end{array} \right. $
*). Bentuk $ ax^2 + bx + c $ disebut definit positif jika memenuhi $ a > 0 $ dan $ D < 0 $ , dengan
$ D = b^2 - 4ac $. Definit positif artinya nilainya selalu positif untuk semua $ x $.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menghilangkan bentuk mutlak berdasarkan definisinya :
$ |2x-15| = \left\{ \begin{array}{cc}
2x - 15 & , \text{ untuk } x \geq \frac{15}{2} \\
- (2x - 15) & , \text{ untuk } x < \frac{15}{2}
\end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |2x - 15| $ bergantung dari batas $ x $ yaitu $ x \geq \frac{15}{2} $ atau $ x < \frac{15}{2} $.
Cara memperoleh $ x \geq \frac{15}{2} $ yaitu $ 2x - 15 \geq 0 $,
Cara memperoleh $ x < \frac{15}{2} $ yaitu $ 2x - 15 < 0 $,
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ nya :
-). Untuk $ x \geq \frac{15}{2} $, bentuk $ |2x - 15| = 2x - 15 $
$ \begin{align}
\text{soal : } x^2 & < |2x-15| \\
x^2 & < 2x-15 \\
x^2 -2x + 15 & < 0
\end{align} $
Perhatikan bentuk $ x^2 - 2x + 15 $ adalah definit positif karena $ a = 1 > 0 $ dan $ D = (-2)^2 - 4.1.15 = -54 < 0 $. Sedangkan
soalnya meminta $ < 0 $ (negatif), sehingga tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi kasus pertama ini.
-). Untuk $ x < \frac{15}{2} $, bentuk $ |2x - 15| = -(2x - 15) $
$ \begin{align}
\text{soal : } x^2 & < |2x-15| \\
x^2 & < -(2x-15) \\
x^2 + 2x - 15 & < 0 \\
(x +5)(x - 3) & < 0 \\
x = -5 \vee x & = 3
\end{align} $
garis bilangannya :
Sehingga solusinya $ -5 < x < 3 $.
Jadi, solusinya adalah $ -5 < x < 3. \, \heartsuit $
Solusi II:
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka
dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow x^2 & < |2x-15| \\
0^2 & < |2.0-15| \\
0 & < | -15| \\
0 & < 15 \, \, \text{(BENAR)}
\end{align}$
yang ada $x=0$ BENAR, opsi yang salah A, B, dan E.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x= -3 \Rightarrow x^2 & < |2x-15| \\
(-3)^2 & < |2.(-3)-15| \\
9 & < | -6 -15| \\
9 & < 21 \, \, \text{(BENAR)}
\end{align}$
yang ada $x=-3$ BENAR, opsi yang salah D.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ -5 < x < 3 . \, \heartsuit $
4). Semua nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ x^2 + 2x - 3 > 0 $ dan
$ |6-x| > 3x \, $ adalah ....
A). $ x < -3 \, $ atau $ 0 \leq x < \frac{3}{2} $
B). $ x < \frac{3}{2} \, $
C). $ x < -3 \, $ atau $ 1 < x < \frac{3}{2} $
D). $ x < -3 \, $ atau $ x > \frac{3}{2} $
E). $ 0 < x < \frac{3}{2} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk mutlak salah satu caranya menggunakan definisi bentuk mutlak.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc}
f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\
-f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align}
x^2 + 2x - 3 & > 0 \\
(x+3)(x-1) & > 0 \\
x = -3 \vee x & = 1
\end{align} $
Garis bilangan :
Sehingga solusi : $ HP_1 = \{ x < -3 \vee x > 1 \} $
*). Pertidaksamaan kedua :
$ |6 - x| = \left\{ \begin{array}{cc}
6 - x & , \text{ untuk } x ) \leq 6 \\
-(6 - x) & , \text{ untuk } x > 6 \end{array} \right. $
-). Untuk $ x \leq 6 \rightarrow | 6 - x | = 6 - x $
$ \begin{align}
|6 - x| > 3x \\
6 - x > 3x \\
-4x > -6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\
x < \frac{3}{2}
\end{align} $
Solusinya untuk $ x \leq 6 $ adalah $ x < \frac{3}{2} $
-). Untuk $ x > 6 \rightarrow | 6 - x | = -(6 - x) = x - 6 $
$ \begin{align}
|6 - x| > 3x \\
x - 6 > 3x \\
-2x > 6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\
x < 3
\end{align} $
karena $ x > 6 $ maka bentuk $ x < 3 $ tidak memenuhi, artinya untuk kasus $ x > 6 $ tidak ada solusinya.
Sehingga solusi pertidaksamaan kedua adalah $ HP_2 = \{ x < \frac{3}{2} \} $ .
*). Solusi kedua pertidaksamaan yaitu :
$ \begin{align}
HP & = HP_1 \cap HP_2 \\
& = \{ x < -3 \vee x > 1 \} \cap \{ x < \frac{3}{2} \} \\
& = \{ x < -3 \} \, \text{ atau } \{ 1 < x < \frac{3}{2} \}
\end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi $ \{ x < -3 \} \, \text{ atau } \{ 1 < x < \frac{3}{2} \} . \, \heartsuit $
Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:
