Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah mempelajari materi "Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang. Pencerminan dua garis sembarang yang dimaksud adalah pencerminan terhadap garis $ y = m_1x + c_1 $ dan dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y = m_2x + c_2 $. Perlu diperhatikan bahwa, pengerjaan transformasinya bukan satu demi satu melainkan sekaligus menggunakan bentuk komposisi transformasinya.

         Untuk pengerjaan bentuk Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang ini ternyata menggunakan konsep "rotasi pada transformasi geometri". Ini artinya kita membutuhkan titik pusat rotasi dan besarnya sudut putar $ \theta $, serta matriks transformasinya. Komposisi pencerminan dua garis sembarang yaitu garis $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $ ditunjukkan oleh ilustrasi gambar seperti berikut dimana titik $A(x,y)$ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime } ,y^{\prime \prime } ) $.

         Hal-hal mendasar yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $ yaitu operasi hitung pada matriks, rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, sudut rangkap pada trigonometri, nilai trigonometri sudut-sudut istimewa, invers dan determinan matriks, dan juga materi menentukan gradien suatu garis lurus. Berikut penjelasan cara penghitungannya.

Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $
       Perhatikan gambar di atas, titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $ y = m_1x+c $, kemudian dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y=m_2x+c_2$ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime } ,y^{\prime \prime } ) $, dimana pengerjaannya menggunakan konsep rotasi yaitu :
Pusatnya $(a,b)$ diperoleh dari perpotongan kedua garis,
Sudut putaran : $ 2\theta $
dengan $ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| $
dimana $ m_1 $ adalah gradien garis pertama dan $ m_2$ adalah gradien garis kedua.
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $

*). Pengerjaan menggunakan rumus umum transformasi geometri :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Untuk pembuktian matriks rotasinya, silahkan teman-teman baca artikel :
Pembuktian matriks pencerminan dua garis sembarang.

Contoh soal Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang :

1). Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ y = 3x - 3 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = -\frac{1}{3}x + 7 $. Tentukan titik pusat komposisi transformasinya dan tentukan matriks komposisinya!

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ y = 3x - 3 \rightarrow m_1 = 3 $.
Garis kedua : $ y = -\frac{1}{3}x + 7 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{3} $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 3 \times -\frac{1}{3} = -1 $.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
Karena hasil kali gradien kedua garis adalah $ - 1 $ , maka sudut yang dibentuk oleh kedua garis adalah $ 90^\circ $ (siku-siku / tegak lurus). Sehingga besarnya $ \theta = 90^\circ $ .
Silahkan baca : "Hubungan Dua Garis Lurus".
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2(90^\circ) & -\sin 2(90^\circ) \\ \sin 2(90^\circ) & \cos 2(90^\circ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x - 3 & = -\frac{1}{3}x + 7 \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 9x - 9 & = -x + 21 \\ 9x + x & = 9 + 21 \\ 10x & = 30 \\ x & = \frac{30}{10} = 3 \end{align} $
Persamaan 1 : $ y = 3x - 3 \rightarrow y = 3.3 - 3 = 9 - 3 = 6 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (3,6) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (3,6) $.
Jadi, titik pusatnya $ (3,6) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \, \heartsuit $

2). Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ 2x-y = 4 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ x + y = -1 $. Tentukan titik pusat komposisi transformasinya dan tentukan matriks komposisinya!

Penyelesaian :
*). Gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ 2x - y = 4 \rightarrow m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 $.
Garis kedua : $ x + y = -1 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{1} = - 1 $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 2 \times -1 = -2 $.
artinya kedua garis tidak tegak lurus.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + 2.(-1)} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = | -3| = 3 $
Karena hasil dari $ \tan \theta = 3 $ yang bukan dari hasil sudut istimewa, maka kita gunakan rumus sudut rangkap saja untuk menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $.
Diketahui $ \tan \theta = 3 = \frac{3}{1} = \frac{de}{sa} $
sehingga $ de = 3 $ dan $ sa = 1 $.
Dengan pythagoras untuk menentukan sisi miring segitiga siku-sikunya (mi) :
$ mi = \sqrt{de^2 + sa^2 } = \sqrt{3^2 + 1^2 } = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $.
Sehingga nilai : $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{3}{\sqrt{10}} $ dan $ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
Silahkan baca : "Perbandingan trigonometri segitiga siku-siku".
*). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ :
$ \cos 2\theta = 2\cos ^2 \theta - 1 = 2 (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 - 1 = \frac{2}{10} - 1 = \frac{1}{5} - 1 = - \frac{4}{5} $
$ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 . \frac{3}{\sqrt{10}} . \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
silahkan baca : "Sudut rangkap (ganda) pada trignometri".
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{array}{cc} 2x - y = 4 & \\ x + y = -1 & + \\ \hline 3x = 3 & \\ x = 1 & \end{array} $
Persamaan 2 : $ x + y = -1 \rightarrow 1 + y = -1 \rightarrow y = -2 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (1,-2) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (1,-2) $.
Jadi, titik pusatnya $ (1,-2) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right). \, \heartsuit $

3). Tentukan bayangan titik A(3,5) jika dicerminkan terhadap garis $ 2x-y = 4 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ x + y = -1 $!

Penyelesaian :
*). Untuk titik pusat dan matriks gabungannya sama dengan contoh soal nomor (2) di atas, sehingga tinggal kita pakai pada soal nomor (3) ini.
Titik pusat : $ (a,b) = (1,-2) $
Matriks : $ MT \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik A(3,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 - 1 \\ 5- (-2) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{8}{5} + -\frac{21}{5} \\ \frac{6}{5} + - \frac{28}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{29}{5} \\ - \frac{22}{5} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{29}{5} + 1 \\ - \frac{22}{5} - 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{24}{5} \\ - \frac{32}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
Silahkan baca : "Operasi hitung pada matriks".
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime \left( - \frac{24}{5} , - \frac{32}{5} \right) . \, \heartsuit $.

4). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^2 - 2 $ jika dicerminkan terhadap garis $ 2x - y = 3 $ kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ 3x + y = 7 $!

Penyelesaian :
*). Gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ 2x - y = 3 \rightarrow m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 $.
Garis kedua : $ 3x + y = 7 \rightarrow m_2 = -\frac{3}{1} = - 3 $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 2 \times -3 = -6 $.
artinya kedua garis tidak tegak lurus.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + 2.(-3)} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = | -1| = 1 $
Karena hasil dari $ \tan \theta = 1 $, maka sudut $ \theta $ yang memenuhi adalah $ \theta = 45^\circ $
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2(45^\circ ) & -\sin 2(45^\circ ) \\ \sin 2(45^\circ ) & \cos 2(45^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{array}{cc} 2x - y = 3 & \\ 3x + y = 7 & + \\ \hline 5x = 10 & \\ x = 2 & \end{array} $
Persamaan 2 : $ 3x + y = 7 \rightarrow 3 . 2 + y = 7 \rightarrow 6 + y = 7 \rightarrow y = 1 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (2,1) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (2,1) $.
sehingga, titik pusatnya $ (2,1) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \, \heartsuit $
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - 2 \\ y-1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -y + 1 \\ x - 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime - 2 = -y + 1 \rightarrow y = -x^\prime + 3 $
$ y^\prime - 1 = x - 2 \rightarrow x = y^\prime + 1 $
*). Kita substitusi bentuk $ x = y^\prime + 1 $ dan $ y = -x^\prime + 3 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 - 2 \\ -x^\prime + 3 & = (y^\prime + 1 )^2 - 2 \\ -x^\prime & = (y^\prime + 1 )^2 - 2 - 3 \\ -x^\prime & = (y^\prime + 1 )^2 - 5 \\ x^\prime & = -(y^\prime + 1 )^2 + 5 \end{align} $
Sehingga bayangannya : $ x^\prime = -(y^\prime + 1 )^2 + 5 $ atau $ x = -(y+1)^2 + 5 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x = -(y+1)^2 + 5 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi Dilatasi.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar