Rabu, 11 November 2015

Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda

         Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda. Sudut ganda yang dimaksud adalah $ 2\alpha \, $ dan juga bentuk $ \frac{1}{2} \alpha $ . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaik baca juga materi "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut".

Rumus Trigonometri Sudut Ganda untuk $ \sin 2\alpha , \, \cos 2\alpha , \, \tan 2\alpha $
       Berikut rumus-rumus trigonometri sudut ganda :
$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
$ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha $
$ \cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $
$ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
$ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } $
Pembuktian rumus trigonometri sudut ganda :
$\clubsuit $ Rumus $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
*). Ingat rumus sinus jumlah sudut : $ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \begin{align} \sin 2\alpha & = \sin ( \alpha + \alpha ) \\ & = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\ & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha $
*). Ingat rumus $ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$ \begin{align} \cos 2\alpha & = \cos (\alpha + \alpha ) \\ & = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \\ & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $
*). Ingat rumus identitas : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A $
$ \begin{align} \cos 2\alpha & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ & = \cos ^2 \alpha - (1 - \cos ^2 \alpha ) \\ & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
*). Ingat rumus identitas : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A $
$ \begin{align} \cos 2\alpha & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ & = ( 1 - \sin ^2 \alpha ) - \sin ^2 \alpha \\ & = 1 - 2\sin ^2 \alpha \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } $
*). Ingat rumus : $ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $
$ \begin{align} \tan 2\alpha & = \tan ( \alpha + \alpha ) \\ & = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha }{1 - \tan \alpha \tan \alpha } \\ & = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } $

Contoh :
1). Diketahui nilai $ \sin A = - \frac{3}{5} \, $ dengan A di kuadran III. Tentukan nilai $ \sin 2A, \, \cos 2A, \, $ dan $ \tan 2A $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ \cos A, \, $ dan $ \tan A $
diketahui $ \sin A = - \frac{3}{5} \rightarrow \sin A = - \frac{3}{5} = \frac{de}{mi} $
artinya sisi depan adalah 3 dan sisi miring adalah 5, berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya adalah 4.
Sehingga, nilai $ \cos A = \frac{sa}{mi} = - \frac{4}{5} \, $ dan $ \tan A = \frac{de}{sa} = \frac{3}{4} $
Catatan : di kuadran III, nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai Tan positif.
*). Menentukan hasilnya ,
$ \begin{align} \sin 2A & = 2 \sin A \cos A \\ & = 2 . (- \frac{3}{5}) . (- \frac{4}{5} ) \\ & = \frac{24}{25} \\ \cos 2A & = 2 \cos ^2 A - 1 \\ & = 2. ( - \frac{4}{5} )^2 - 1 \\ & = 2. \frac{16}{25} - 1 \\ & = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} \\ & = \frac{7}{25} \\ \tan 2A & = \frac{2\tan A}{1 - \tan ^2 A} \\ & = \frac{2. \frac{3}{4} }{1 -( \frac{3}{4} )^2 } \\ & = \frac{ \frac{6}{4} }{1 - \frac{9}{16} } \\ & = \frac{ \frac{6}{4} }{1 - \frac{9}{16} } . \frac{16}{16} \\ & = \frac{ 24}{16 - 9 } \\ & = \frac{ 24}{7 } \end{align} $
Jadi, diperoleh : $ \sin 2A = \frac{24}{25} , \, \cos 2A = \frac{7}{25}, \, $ dan $ \tan 2A = \frac{ 24}{7 } $

Rumus Trigonometri untuk $ \sin \frac{1}{2} A , \, \cos \frac{1}{2} A, \, $ dan $ \tan \frac{1}{2} A $
       Berikut rumus dasarnya untuk sudut $ \frac{1}{2}A $
$ \begin{align} \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} \\ \cos \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} \\ \tan \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } \end{align} $
Pembuktian Rumus sudut $ \frac{1}{2} A $ :
Misalkan $ 2\alpha = A \rightarrow \alpha = \frac{1}{2} A $
Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan yan digunakan.
$\spadesuit $ Rumus : $ \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} $
*). gunakan rumus : $ \cos 2 \alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
$ \begin{align} \cos 2 \alpha & = 1 - 2\sin ^2 \alpha \\ \cos A & = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} A \\ 2\sin ^2 \frac{1}{2} A & = 1 - \cos A \\ \sin ^2 \frac{1}{2} A & = \frac{1 - \cos A}{2} \\ \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2} } \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} $

$\spadesuit $ Rumus : $ \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $
*). gunakan rumus : $ \cos 2 \alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $
$ \begin{align} \cos 2 \alpha & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \\ \cos A & = 2\cos ^2 \frac{1}{2}A - 1 \\ 2\cos ^2 \frac{1}{2}A & = 1 + \cos A \\ \cos ^2 \frac{1}{2}A & = \frac{1 + \cos A}{2} \\ \cos \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $

$\spadesuit $ Rumus : $ \tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } $
*). gunakan rumus : $ \tan \frac{1}{2}A = \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A } , \, \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} , \, \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $
*). Rumus Pertama :
$ \begin{align} \tan \frac{1}{2} A & = \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A } \\ & = \frac{ \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} }{ \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \end{align} $
*). Rumus kedua :
$ \begin{align} \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 + \cos A}{1 + \cos A} } \\ & = \sqrt{ \frac{1- \cos ^2 A}{(1 + \cos A)^2} } \\ & = \sqrt{ \frac{\sin ^2 A }{(1 + \cos A)^2} } \\ & = \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \end{align} $
*). Rumus ketiga :
$ \begin{align} \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 - \cos A}{1 - \cos A} } \\ & = \sqrt{\frac{(1- \cos A)^2}{1 - \cos ^2 A} } \\ & = \sqrt{\frac{(1- \cos A)^2}{\sin ^2 A } } \\ & = \frac{1- \cos A}{\sin A } \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } $

Contoh :
2). Hitunglah nilai dari :
a). $ \sin 15^\circ $
b). $ \cos 67,5^\circ $
c). $ \tan 22,5^\circ $
Penyelesaian :
a). $ \frac{1}{2}A = 15^\circ \rightarrow A = 30^\circ $
$ \begin{align} \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2} } \\ \sin 15^\circ & = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2} \sqrt{3} }{2} } \\ & = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3} }{4} } \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{3} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{3} } $

b). $ \frac{1}{2}A = 67,5^\circ \rightarrow A = 135^\circ $
nilai $ \cos 135^\circ = \cos ( 180^\circ - 45^\circ ) = -\cos 45^\circ = -\frac{1}{2} \sqrt{2} $
Lihat materi " Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi "
$ \begin{align} \cos \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \\ \cos 67,5^\circ & = \sqrt{\frac{1 + \cos 135^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{1}{2} \sqrt{2} )}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2} }{4} } \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 67,5^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2} } $

c). $ \frac{1}{2}A = 22,5^\circ \rightarrow A = 45^\circ $
$ \begin{align} \tan \frac{1}{2} A & = \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \tan 22,5^\circ & = \frac{\sin 45^\circ}{1+ \cos 45^\circ} \\ & = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2} }{1+ \frac{1}{2} \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \times \frac{2 - \sqrt{2} }{2 - \sqrt{2} } \\ & = \frac{ 2\sqrt{2} - 2 }{4 - 2} \\ & = \frac{ 2\sqrt{2} - 2 }{2} \\ & = \sqrt{2} - 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan 22,5^\circ = \sqrt{2} - 1 $

Rumus Trigonometri Sudut rangkap tiga untuk $ \sin 3\alpha , \, \cos 3\alpha , \, \tan 3\alpha $
       Berikut rumus-rumus trigonometri sudut rangkap tiga :
$ \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4\sin ^3 \alpha $
$ \cos 3\alpha = 4\cos ^3 \alpha - 3\cos \alpha $
$ \tan 3 \alpha = \frac{3\tan \alpha - \tan ^3 \alpha}{1 - 3 \tan ^2 \alpha } $

Untuk pembuktiannya, coba sendiri dengan cara :
$ \sin 3 \alpha = \sin (2\alpha + \alpha ) $
$ \cos 3 \alpha = \cos (2\alpha + \alpha ) $
$ \tan 3 \alpha = \tan (2\alpha + \alpha ) $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar