Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang sebagai kelanjutan dari artikel "Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang". Dua garis sembarang yang dimaksud yaitu pencerminan terhadap garis $ y =m_1x+c_1$ kemudian dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ y=m_2x+c_2 $ . Untuk pengerjaannya sama dengan rotasi sehingga membutuhkan titik pusat dan sudut putar sebesar $ \theta $, dan tentu ada matriks rotasinya yaitu berbentuk $ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & - \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{matrix} \right) $. Matriks rotasi inilah yang akan kita buktikan cara memperolehnya.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang, sebaiknya teman-teman memahami beberapa materi trigonometri yaitu diantaranya "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut", "kesamaan dua buah matriks", dan "Matriks Transformasi Geometri".

Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang
       Adapun matriks pencerminan dua garis sembarang yaitu $ y = m_1x + c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $
yaitu : MT $ = \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & - \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{matrix} \right) $
dengan titik pusat rotasi adalah titik perpotongan kedua garis,
Sudut perputaran ($\theta$) diperoleh dari $ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| $ ,
dimana $ m_1 $ dan $ m_2 $ adalah gradien kedua garis.

Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang
Perhatikan ilustrasi gambar berikut, terdapat titik $A(a,b)$ dicerminkan terhadap garis $ y = m_1x + c_1 $ dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ y = m_2x+c_2$ menghasilkan bayangan $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $.
Keterangan berdasarkan gambar:
Jari-jari lingkaran adalah $ r $,
Sudut antara kedua garis sebesar $ \theta $,
sudut $ \theta $ dibagi menjadi dua $ \theta _1 $ dan $ \theta _2 $ yang tidak harus sama besar,
dimana $ \theta _1 + \theta _ 2 = \theta $ ,
Sudut yang dibentuk oleh titik $A(a,b)$ terhadap sumbu X = $ \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh titik $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap sumbu X = $ 2\theta + \beta $,
Sudut BOA $ = \beta + \theta _1 + \theta _1 + \theta _2 + \theta _2 = 2(\theta _1 + \theta _2) + \beta = 2\theta + \beta $ .

*). Perhatikan segitiga OCA :
Sudut COA adalah $ \beta $ dengan panjang $ OC = a , \, OA = r $, dan $ AC = b $, sehingga :
$ \sin \beta = \frac{de}{mi} = \frac{AC}{OA} = \frac{b}{r} \rightarrow b = r \sin \beta $ .
$ \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{OC}{OA} = \frac{a}{r} \rightarrow a = r \cos \beta $ .

*). Perhatikan segitiga OBA$^\prime$ :
Sudut BOA$^\prime$ adalah $ (2\theta - \beta ) $ dengan panjang $ OB = a^\prime , \, OA^\prime = r $, dan $ BA^\prime = b^\prime $, sehingga :
$ \sin (2\theta + \beta ) = \frac{de}{mi} = \frac{BA^\prime}{OA^\prime} = \frac{b^\prime}{r} \rightarrow b^\prime = r \sin (2\theta + \beta ) $ .
$ \cos (2\theta + \beta ) = \frac{sa}{mi} = \frac{OB}{OA^\prime} = \frac{a^\prime}{r} \rightarrow a^\prime = r \cos (2\theta + \beta ) $ .

*). Rumus trigonometri jumlah atau selisih sudut :
$ \sin (A - B ) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B ) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $

*). Menentukan hubungan $ A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ dan $ A(a,b) $ :
$ \begin{align} a^\prime & = r \cos (2\theta + \beta ) \\ b^\prime & = r \sin (2\theta + \beta ) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} r \cos (2\theta + \beta ) \\ r \sin (2\theta + \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r (\cos 2\theta \cos \beta - \sin 2\theta \sin \beta ) \\ r ( \sin 2\theta \cos \beta + \cos 2\theta \sin \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r \cos 2\theta \cos \beta - r\sin 2\theta \sin \beta ) \\ r \sin 2\theta \cos \beta + r\cos 2\theta \sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . r \cos \beta - \sin 2\theta . r\sin \beta ) \\ \sin 2\theta .r\cos \beta + \cos 2\theta .r\sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . a - \sin 2\theta .b ) \\ \sin 2\theta .a + \cos 2\theta .b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & - \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya kita peroleh $ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & - \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $.
Terbukti yang kita inginkan.

       Demikian pembahasan materi Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang . Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Pembuktian Matriks Pencerminan garis $ y=mx+c $.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar