Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan

         Blog Koma - Misalkan kita akan membeli sesuatu dengan cara mencicil (mengangsur) melalui suatu lembaga keuangan seperti bank, berapakah besarnya cicilan yang harus kita bayarkan setiap bulannya? Setelah mencicil $ n $ kali, berapakah sisa pinjaman kita? Semua ini akan kita dibahas dalam materi Anuitas. Pada artikel ini kita akan membahas materi Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan.

         Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran. Sehingga dapat kita tuliskan :
         Anuitas = angsuran + bunga atau $ A = a_n + b_n $
dengan $ n \, $ bilangan asli.

         Dari rumus anuitas ini, artinya setiap kali pembayaran (sebesar A), kita membayarkan angsuran dan bunganya. Semakin lama pembayaran maka nilai angsuran semakin besar dan nilai bunganya semakin kecil. Ketika waktu pembayaran sudah selesai, maka kita juga sudah menutup semua hutang sebesar jumlah semua angsuran dan semua bunganya. Dari bentuk $ A = a_n + b_n \, $ , artinya $ A = a_1 + b_a = a_2 + b_2 = a_3 + b_3 = .... $

Menentukan Rumus Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
       Jika suatu pinjaman sebesar M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama n tahun dengan suku bunga i%/tahun, dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku:
$ \begin{align} A_{n+1} & = A_n \\ a_{n+1} + b_{n+1} & = a_n + b_n \\ a_{n+1} & = a_n + b_n - b_{n+1} \\ a_{n+1} & = a_n + (b_n - b_{n+1} ) \\ a_{n+1} & = a_n + (a_n.i) \\ a_{n+1} & = a_n( 1 + i) \end{align} $
Sehingga dari rumus : $ a_{n+1} = a_n( 1 + i) \, $
$ \begin{align} a_2 & = a_1(1+i) \\ a_3 & = a_2(1+i) = a_1(1+i)(1+i) = a_1(1+i)^2 \\ a_4 & = a_3(1+i) = a_1(1+i)^2(1+i) = a_1(1+i)^3 \\ ... & \text{dan seterusnya} \\ a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \end{align} $
Kita peroleh rumus penghitungan besarnya angsuran yaitu :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $.

Catatan : Untuk mencari besarnya bunga pertama bisa menggunakan rumus :
1). $ b_1 = M . i $.
2). Untuk pembuktian bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ secara mendetail, silahkan teman-teman baca artikelnya pada link "Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran"


Rumus Menghitung Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
Rumus angsuran ke-$n$ dapat dihitung dengan rumus :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $

Keterangan :
$a_n = \, $ angsuran ke-$n$
$a_k = \, $ angsuran ke-$k$
$a_1 = \, $ angsuran pertama
$i = \, $ suku bunga setiap periodenya

Contoh soal Anuitas dan Angsuran :
1). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besarnya Anuitas Rp400.000.00, tentukan:
a). Besarnya angsuran pertama jika bunga pertama = Rp250.000,00!
b). Besarnya bunga ke-5 jika angsuran ke-5 adalah Rp315.000,00!

Penyelesaian :
*). Diketahui : anuitas (A) = 400.000
*). Rumus umum anuitas : $ A = a_n + b_n $
a). Menentukan $a_1 $ dengan $ b_1 = 250.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_1 + b_1 \\ a_1 & = A - b_1 \\ & = 400.000 - 250.000 \\ & = 150.000 \end{align} $
a). Menentukan $b_5 $ dengan $ a_5 = 315.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_5 + b_5 \\ b_5 & = A - a_5 \\ & = 400.000 - 315.000 \\ & = 85.000 \end{align} $

2). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan anuitas tahunan. Tentukan besarnya anuitas jika besarnya angsuran ke-6 dan bunga ke-6 masing-masing adalah Rp415.000,00 dan Rp85.000,00!

Penyelesaian :
*). Menentukan Anuitas dengan $a_6 = 415.000 \, $ dan $ b_6 = 85.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_6 + b_6 \\ & = 415.000 + 85.000 \\ & = 500.000 \end{align} $

3). Suatu pinjaman Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan Rp500.000,00. Jika suku bunga 3%/ bulan, tentukan:
a. Besarnya bunga pertama dan angsuran pertama
b. Besarnya angsuran ke-9 dan bunga ke-9

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, A = 500.000, dan $ i = 3\% = 0,03 $ .
a). Menentukan $ b_1 \, $ dan $ a_1 $
Bunga pertama ($b_1$)
$ \begin{align} b_1 & = M . i \\ & = 10.000.000 \times 0,03 \\ & = 300.000 \end{align} $
Angsuran pertama ($a_1$)
$ \begin{align} a_1 & = A - b_1 \\ & = 500.000 - 300.000 \\ & = 200.000 \end{align} $
b). Menentukan $ a_9 \, $ dan $ b_9 $
Angsuran ke-9 ($a_9$)
$ \begin{align} a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \\ a_9 & = a_1(1 + 0,03)^{9-1} \\ & = 200.000 \times (1,03)^{8} \\ & = 200.000 \times 1,266770081 \\ & = 253.354,02 \end{align} $
Bunga ke-9 ($b_9$)
$ \begin{align} b_9 & = A - a_9 \\ & = 500.000 - 253.354,02 \\ & = 246.645,98 \end{align} $


Menentukan Rumus Anuitas (A)
       Penjabaran rumus anuitas menggunakan konsep barisn dan deret geomteri. Misalkan seseorang meminjam uang sebesar M yang akan dilunasi dengan mencicil sebesar A setiap periodenya. Besarnya suku bunga $ i \% \, $ per periode, maka besarnya Anuitas (A) dengan mencicil $ n \, $ kali dapat dihitung dengan penjabaran rumus berikut ini :


Hubungan Anuitas dan angsuran pertama :
$ \begin{align} \frac{A}{a_1} & = \frac{M.i.(a+i)^n}{(1+i)^n - 1 } : \frac{M.i}{(1+i)^n - 1} \\ \frac{A}{a_1} & = (1+i)^n \\ A & = a_1 (1+i)^n \end{align} $

Rumus Penghitungan Anuitas
       Pada Anuitas (A), dari penjabaran di atas kita peroleh :
$ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \, $ dan $ a_1 = \frac{M.i}{(1+i)^n - 1} $.

Menggunakan daftar anuitas :
$ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} = M . \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}} = M \times \text{ daftar anuitas} $
dengan $ \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}} = \, $ daftar anuitas kolom $i\%$ dan baris ke-$n$.

Hubungan Anuitas (A) dan angsuran pertama ($a_1$) :
$ A = a_1 \times (1+i)^n $

Contoh soal anuitas dan angsuran :
4). Tentukan nilai anuitas dari suatu pinjaman sebesar Rp5.000.000,00 selama 2 tahun dengan suku bunga 2%/bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $ dan $ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan.
*). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{5.000.000 \times 0,02}{1 - (1+0,02)^{-24}} \\ & = \frac{100.000}{1 - (1,02)^{-24}} \\ & = \frac{100.000}{0,378278512} \\ & = 264.355,49 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas yaitu Rp264.355,49. Artinya besar cicilan setiap bulannya adalah Rp264.355,49.

5). Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 dilunasi dengan anuitas bulanan selama 3 tahun dengan suku bunga 2,5%/bulan. Tentukan:
a. Anuitasnya
b. Bunga dan angsuran pertama

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $ i = 2,5\% = 0,025 \, $/bulan dan $ n = $ 3 tahun = 36 bulan.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,025}{1 - (1+0,025)^{-36}} \\ & = \frac{250.000}{1 - (1,025)^{-36}} \\ & = \frac{250.000}{1 - 0,411093723} \\ & = 424.515,77 \end{align} $

b). Menentukan $ b_1 \, $ dan $ a_1 $
Bunga pertama ($b_1$)
$ \begin{align} b_1 & = M . i \\ & = 10.000.000 \times 0,025 \\ & = 250.000 \end{align} $
Angsuran pertama ($a_1$)
$ \begin{align} a_1 & = A - b_1 \\ & = 424.515,77 - 250.000 \\ & = 174.515,77 \end{align} $

6). Wati bersama suaminya berencana mengambil rumah di VILLA INDAH dengan harga Rp250.000.000,00. Wati hanya memiliki uang muka Rp 100.000.000,00. Sisanya akan dicicil dengan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan:
a. Nilai anuitasnya
b. Cicilan setiap bulan

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 250.000.000 - 100.000.000 = 150.000.000,
$ i = 18\% = 0,18 \, $/tahun dan $ n = $ 10 tahun.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{150.000.000 \times 0,18}{1 - (1+0,18)^{-10}} \\ & = \frac{27.000.000}{1 - (1,18)^{-10}} \\ & = \frac{27.000.000}{0,808935533} \\ & = 33.377.196,20 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas/ciclan setiap tahunnya adalah Rp33.377.196,20.

b). Menentukan besarnya cicilan per bulan :
Cicilan perbulan $ = \frac{ 33.377.196,20}{12} = 2.781.433,02 $
Jadi, cicilan setiap bulan adalah Rp2.781.433,02.

         Demikian pembahasan materi Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan matematika keuangan yaitu  penerapan anuitas pada obligasi, anuitas yang dibulatkantabel pelunasan anuitas dan sisa pinjaman anuitas.

5 komentar:

  1. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  2. Balasan
    1. Hallow @Dian,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Semoga terus bisa membantu.
      Tetap semangat belajarnya.

      Hapus
  3. tnya dong min, knp b(n)-b(n+1)=a(n).i??
    thx

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @canNablz,

      Terimakasih untuk pertanyaanya.

      Untuk penjelasannya, silahkan baca pada artikel "Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran".

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma.

      Selamat belajar.

      Hapus