Jumat, 26 Agustus 2016

Sisa Pinjaman pada Anuitas


         Blog Koma - Setelah kita melakukan pembayaran anuitas secara terus-menerus maka besarnya pinjaman yang akan kita kembalikan pasti juga akan berkurang sampai pada akhir periode menjadi lunas. Pada artikel ini kita akan membahas materi Sisa Pinjaman pada Anuitas. Jika S$_1$, S$_2$, S$_3$ .... S$_m \, $ berturut-turut merupakan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas pertama, kedua, ketiga .... ke-$m$, maka ada beberapa cara untuk menentukan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$. Ada empat cara yang akan kita bahas dalam menentukan besarnya sisa pinjaman setelah membayarkan anuitas pada periode tertentu.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi sisa pinjaman, sebaiknya teman-teman mempelajari dulu materi sebelumnya yaitu anuitas dan angsuran. Penghitungan sisa pinjaman sangat berkaitan dengan rumus-rumus pada anuitas dan angsuran.

Cara I : Sisa pinjaman berdasarkan besar Bunga
       Sisa pinjaman dapat dihitung sebagai berikut:
$ b_1 = i . M $
$ b_2 = i . S_1 $
$ b_3 = i . S_2 $
$ b_4 = i . S_3 $
........ ....
$ b_{m+1} = i . S_m $
Sehingga : $ \begin{align} S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \end{align} $

Keterangan :
$ s_m = \, $ sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$
$ b_{m+1} = \, $ besarnya bunga ke-$(m+1)$
$ i = \, $ suku bunga anuitas
Untuk bisa menggunakan cara I ini, kita akan melibatkan beberapa rumus yaitu :
Anuitas : $ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \, $ dan $ \, A = a_n + b_n $
Angsuran : $ a_n = a_1(1 + i)^{n-1} $
bunga pertama : $ b_1 = i . M $

Contoh soal sisa pinjaman :
1). Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan:
a. Besarnya anuitas!
b. Sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $ i = 3\% = 0,003 \, $/bulan dan $ n = \, $ 2,5 tahun = 30 bulan.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,03}{1 - (1+0,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 - (1,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 - 0,411986759} \\ & = 510.192,59 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas yaitu Rp510.192,59 yang dibayarkan setiap bulannya.

b). Menentukan Sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan ($S_{10}$) :
*). berdasarkan rumus $ S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \, $ maka $ s_{10} = \frac{b_{11}}{i} $, artinya kita harus menentukan besarnya $b_{11} $ (bunga periode ke-11).
*). untuk menentukan $ b_{11} \, $ kita butuh nilai $ a_{11} $ (angsuran ke-11) dengan rumus $ b_{11} = A - a_{11} $
*). Untuk menentukan besarnya $ a_{11} $ , kita butuh nilai $ a_1 $ dengan rumus $ a_{11} = a_{1} (1 + i)^{10}$.
*). Untuk menentukan $a_1 $ kita butuh nilai $ b_1 $ dengan rumus $ a_1 = A - b_1 $ dan $ b_1 = i.M $.

Kita hitung satu persatu semuanya :
Nilai $ b_1 $ :
$ b_1 = i . M = 0,03 \times 10.000.000 = 300.000 $ .
Nilai $ a_1 $ :
$ a_1 = A - b_1 = 510.192,59 - 300.000 = 210.192,59 $
Nilai $ a_{11} $ :
$ a_{11} = a_1(1+i)^{10} = 210.192,59 \times (1 + 0,03)^{10} = 282.481,26 $
Nilai $ b_{11} $
$ b_{11} = A - a_{11} = 510.192,59 - 282.481,26 = 227.711,33 $
Menentukan sisa pinjaman ($S_{10}$) :
$ S_{10} = \frac{b_{11}}{i} = \frac{227.711,33}{0,03} = 7.590.377,67 $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,67.

Cara II : Menentukan sisa pinjaman
Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = pokok pinjaman dikurangi jumlah $m$ angsuran yang sudah dibayar.
$ \begin{align} S_m & = M - (a_1 + a_2 + a_3 + ...+ a_m) \\ & = M - (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ...+ a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = M - (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + ...+ (1+i)^{m-1}] ) \\ & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $
Sehingga besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(m-1)$.
Sebenarnya bentuk $ (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + ...+ (1+i)^{m-1}] ) \, $ bisa dihitung dengan jumlah pada deret geometri.

Contoh soal :
2). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara II :
$ \begin{align} S_m & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 10.000.000 - (210.192,59 + 210.192,59 \times 10,463879311 ) \\ & = 7.590.377,52 \end{align} $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,67 (hampir sama dengan cara I).

Cara III Menghitung sisa pinjaman
Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = jumlah semua angsuran yang masih harus dibayar yaitu dari $ a_{m+1} \, $ sampai angsuran $ a_n $ .
$ \begin{align} S_m & = (a_{m+1} + a_{m+2} + a_{m+3} + ...+ a_n) \\ & = (a_1+a_2 + ...+a_n) - (a_1 + a_2 + ... + a_m) \\ & = (a_1+a_1(1+i) + ...+a_1(1+i)^{n-1}) \\ & \, \, \, \, - (a_1 + a_1(1+i) + ... + a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] ) - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ & = a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \\ & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $
Sehingga besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(m-1)$ dan dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(n-1)$.


Contoh soal :
3). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara III dengan $ n = 30 $
$ \begin{align} S_m & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = a_1(\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(n-1)} \\ & \, \, \, \, - \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = 210.192,59 (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(30-1)} \\ & \, \, \, \, - \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 210.192,59 \times (46,575415706 - 10,463879311) \\ & = 210.192,59 \times 36,111536395 \\ & = 7.590.377,36 \end{align} $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,36 (hampir sama dengan cara I).

Cara IV Menghitung sisa pinjaman
Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = nilai dari semua anuitas yang belum dibayar dihitung pada akhir tahun ke-$m$:
$ \begin{align} S_m & = \frac{A}{(1+i)} + \frac{A}{(1+i)^2} + \frac{A}{(1+i)^3} + ... + \frac{A}{(1+i)^{m-n}} \\ & = A[(1+i)^{-1} +(1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{n-m} ] \\ & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align} $
Sehingga besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(n-m)$ .

Contoh soal :
4). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara III dengan $ n = 30 $
$ \begin{align} S_m & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(n-m)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(30 - 10)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(20)} \\ & = 510.192,59 \times 14,877474860 \\ & = 7.590.377,43 \end{align} $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,43 (hampir sama dengan cara I).

         Demikian pembahasan materi Sisa Pinjaman pada Anuitas beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan anuitas dan angsuran yaitu tabel pelunasan anuitas dan anuitas yang dibulatkan.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar