Ringkasan Pertidaksamaan - umptn

         Blog KoMa - Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Pertidaksamaan - umptn beserta soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Pertidaksamaan ini. Untuk soal-soal Pertidaksamaan kita bagi menjadi dua bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Pertidaksamaan - umptn ini bisa teman-teman kuasai dengan baik.

Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan
       Langkah - langkah berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan :

$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ - $ setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ - $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)

$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.

$\spadesuit $ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2

Cara Lain :
Metode SUKA : Substitusis Angka dari optionnya.

       Untuk penjelasan mendetail tentang pertdaksamaan secara umum dan langkah-langkah umum ini beserta contoh soalnya, silahkan kunjungi link : Pertidaksamaan secara umum Pada artikel tersebut, juga dijelaskan tentang tanda ketaksamaan, cara menentukan tanda positif atau negatif pada garis bilangan, dan juga tentang cara mengiriskan atau menggabungkan dua himpunan atau lebih.

Pertidaksamaan Linier
       Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya satu.

$\clubsuit $ Bentuk umum pertidaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $

$\clubsuit $ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )

       Untuk contoh detail pertidaksamaan linier, sahabat koma bisa kunjungi link : Pertidaksaman Linear.

Pertidaksamaan Kuadrat
       Pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya dua.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c < 0, \, ax^2 + bx + c > 0, $
$ ax^2 + bx + c \leq 0, \, ax^2 + bx + c \geq 0 $
dengan $ a \neq 0 , \, $ dan $ a,b,c \in R $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum"

$ \spadesuit $ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $

       Untuk contoh detail pertidaksamaan kuadrat, sahabat koma bisa kunjungi link : Pertidaksaman Kuadrat.

Contoh soal umptn:

1. Soal SNMPTN 2012 MatDas 122
Semua nilai $x$ yang memenuhi $(x+1)(x+2)\geq (x+2)$ adalah ....
A). $ x \leq -1 \, $ atau $ x \geq 1 $
B). $ x \leq -2 \, $ atau $ x \geq 2 $
C). $ x \leq -2 \, $ atau $ x \geq 0 $
D). $ -1 \leq x \leq 1 $
E). $ -2 \leq x \leq 0 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
Menentukan akar-akar pertidaksamaan
$\begin{align*} (x+1)(x+2) & \geq (x+2) \\ (x+1)(x+2) - (x+2) & \geq 0 \\ (x+2)[(x+1)-1] & \geq 0 \\ (x+2)x & \geq 0 \\ x=-2 \, & \vee \, x=0 \end{align*}$
snmptn_matdas_k122_3_2012.png
Sehingga solusinya : HP = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 0 \}$
Jadi, HP = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 0 \}. \heartsuit$
2. Soal SPMK UB 2013 MatIpa 21
Jika himpunan bilangan real merupakan penyelesaian pertidaksamaan $x^2-4x+a > 2 $ maka ...
A). $ a > 5 $
B). $ a > 6 $
C). $ a > 7 $
D). $ a < 5 $
E). $ a < 6 $
$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
Pertidaksamaan $x^2-4x+a > 2 \rightarrow x^2-4x+a-2 > 0 \, \, $ terpenuhi untuk semua $x$ , artinya nilainya selalu positif untuk sembarang nilai $x$ yang disebut definit positif.
Syarat definit positif : $D < 0 $ dan $ a > 0 $
$\spadesuit \, $ Bentuk $ x^2-4x+a-2 \rightarrow a = 1, b = -4 , c = a-2 $
$\begin{align*} a=1 & > 0 \, \, \, \text{(memenuhi syarat definit positif)} \\ D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac & < 0 \\ (-4)^2 - 4.1.(a-2) & < 0 \\ 16 -4a + 8 & < 0 \\ -4a & < -24 \, \, \, \text{(dibagi -4 , tanda dibalik)} \\ a & > 6 \end{align*}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a > 6 . \heartsuit $
3. Soal SPMK UB 2010 MatIpa 96
Jika pertidaksamaan $ 3x -p > \frac{x-2}{3} + px \, $ mempunyai penyelesaian $ x > 5 , \, $ maka nilai $ 3p \, $ adalah ....
A). 5
B). 6
C). 7
D). 8
E). 9

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
$\spadesuit \, $Kelompokkan pertidaksamaan
$\begin{align} 3x -p & > \frac{x-2}{3} + px \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 9x - 3p & > x-2 + 3px \\ 9x - x - 3px & > 3p - 2 \\ (8-3p)x & > 3p - 2 \\ x & > \frac{3p-2}{8-3p} \, \, \, \, \text{...pert(i)} \end{align}$
Solusi pertidaksamaan $ x > 5 \, $ , artinya bentuk $ x > \frac{3p-2}{8-3p} \, $ sama dengan $ x > 5 \, $ , sehingga diperoleh $ \frac{3p-2}{8-3p} = 5 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p $
$\begin{align} \frac{3p-2}{8-3p} & = 5 \\ 3p-2 & = 5(8-3p) \\ 3p-2 & = 40 - 15p \\ 18p & = 42 \\ p & = \frac{42}{18} = \frac{7}{3} \end{align}$
Sehingga $ 3p = 3 \times \frac{7}{3} = 7 $
Jadi, nilai $ 3p = 7 . \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Solusi pertidaksamaan $ x > 5 , \, $ artinya $ x = 5\, $ adalah akar dari pertidaksamaannya. Substitusi $ x= 5 \, $ ke pertidaksamaanya dan tanda ketaksamaanya $ ( > , \, \geq , \, \leq , \, < ) \, $ menjadi sama dengan.
$\begin{align} x=5 \rightarrow 3x -p & > \frac{x-2}{3} + px \\ 3.5 -p & = \frac{5-2}{3} + p.5 \\ 15 -p & = \frac{3}{3} + 5p \\ 15 -p & = 1 + 5p \\ 6p & = 14 \\ p & = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \end{align}$
Sehingga $ 3p = 3 \times \frac{7}{3} = 7 $
Jadi, nilai $ 3p = 7 . \heartsuit $
Pertidaksamaan Pecahan (Rasional)
       Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan dengan fungsi dalam bentuk pecahan.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan pecahan
$ \frac{ax+b}{cx+d} > 0, \, \frac{ax^2+bx+c}{dx+k} \leq 0, \, \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan pecahan menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, dilarang untuk mengalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.

$ \spadesuit $ Syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh bernilai nol, sehingga semua akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ > \, $ atau $ < \, $ maka semua akar tidak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ \geq \, $ atau $ \leq \, $ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tidak ikut sebagai solusi.

$ \spadesuit $ Kasus Definit pada pertidaksamaan pecahan
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $

Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit positif tidak perlu membalik tanda kesamaan, sedangakan untuk definit negatif, tanda ketaksamaan dibalaik.

       Untuk contoh mendetail tentang pertidaksamaan pecahan, silahkan kunjungi link:
Pertidaksamaan pecahan

Contoh soal umptn:

4. Soal UM UGM 2014 MatDas 521
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-2x-3}{x-2} < x+5$ adalah ...
A). $ x < 2 $
B). $ x > \frac{7}{5} $
C). $ \frac{7}{5} < x < 2 $
D). $ - \frac{13}{5} < x < 2 $
E). $ x < \frac{7}{5} \, $ atau $ x > 2 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\begin{align*} \frac{x^2-2x-3}{x-2} &< x+5 \\ \frac{x^2-2x-3}{x-2} - (x+5) &< 0 \\ \frac{x^2-2x-3}{x-2} - \frac{(x+5)(x-2)}{x-2} &< 0 \\ \frac{x^2-2x-3}{x-2} - \frac{x^2+3x-10}{x-2} &< 0 \\ \frac{-5x+7}{x-2} &< 0 \\ \text{akar-akarnya: } \, x=7/5 \, & \text{atau} \, x=2 \end{align*}$
um_ugm2_matdas_2014.png
Jadi, HP = $\{ x < \frac{7}{5} \, \text{atau} \, x>2 \, \}\heartsuit $
5. Soal SNMPTN 2011 MatDas 179
Semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} \leq 0 $ adalah ...
A). $ -\frac{1}{2} < x < 3 $
B). $ -3 \leq x < \frac{1}{2} $
C). $ x \leq - \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
D). $ x < - \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -3 \, $ atau $ x > \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
$\clubsuit \, $ Definit positif , Syaratnya : $a > 0 $ dan Diskriminan ($D < 0 $) .
$\clubsuit \, $ Bentuk $ x^2+1 $ :
nilai $a=1 > 0$ dan $D=b^2-4ac = 0^2 - 4.1.1 = -4 < 0 $ .
Ini artinya $ x^2+1 $ adalah definit positif (akan selalu positif untuk semua $x$) .
Karena bentuknya definit positif, maka boleh dicoret tanpa membalik tanda.
Begitu juga bentuk $ x^2-x+3 $ adalah definit positif.
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} & \leq 0 \, \, (x^2+1) \, \text{dan} \, (x^2-x+3) \, \text{dicoret} \\ \frac{1}{(2x^2-5x-3)} & \leq 0 \\ \frac{1}{(2x +1)(x - 3)} & \leq 0 \\ x = - \frac{1}{2} \, & \vee \, x=3 \end{align} $
snmptn_matdas_k179_5_2011.png
Akar penyebut tidak boleh ikut, sehingga bolong seperti pada gambar.
Jadi, solusinya adalah HP $=\{ -\frac{1}{2} < x < 3 \} . \heartsuit$

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} & \leq 0 \\ \frac{0^2-0+3}{(2.0^2-5.0-3)(0^2+1)} & \leq 0 \\ -1 & \leq 0 \, \, \text{(pasti benar)} \end{align*}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah C, D, dan E.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} & \leq 0 \\ \frac{1^2-1+3}{(2.1^2-5.1-3)(1^2+1)} & \leq 0 \\ -\frac{1}{6} & \leq 0 \, \, \text{(pasti benar)} \end{align*}$
yang ada $x=1$ benar, opsi yang salah adalah B.
Jadi, opsi yang benar adalah A yaitu HP $=\{ -\frac{1}{2} < x < 3 \} . \heartsuit$
6. Soal SBMPTN 2013 MatDas 326
Jika $-2 < a < -1 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-3x-3a}{(2-x)(x+3)}\leq 0$ adalah ...
A). $ x < -2 \, $ atau $ x > 3 $
B). $ x < -3 \, $ atau $ x > 2 $
C). $ -3 < x < -2 $
D). $ -3 < x < 2 $
E). $ -2 < x < 3 $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari pembilangnya: $x^2-3x-3a$
$D=b^2-4ac=(-3)^2-4.1.(-3a)=9+12a$
karena nilai $a$ terletak pada interval $ -2 < a < -1 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$x^2-3x-3a \left\{ \begin{array}{c} D<0 \\ a=1 > 0 \end{array} \right. $
ini artinya $x^2-3x-3a$ definit positif (nilainya akan selalu positif untuk semua $x$), sehingga $x^2-3x-3a$ bisa dicoret.
$\frac{1}{(2-x)(x+3)}\leq 0 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-3$
sbmptn_matdas_k326_3_2013.png
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -3 \vee x > 2\}. \heartsuit $

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{x^2-3x-3a}{(2-x)(x+3)} & \leq 0 \\ \frac{0^2-3.0-3a}{(2-0)(0+3)} & \leq 0 \\ \frac{-3a}{6}\leq 0 \, \, & \text{(salah krena ruas kiri nilainya positif)} \\ \end{align*}$
yang ada $x=0$ salah, opsi yang salah adalah D dan E.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \frac{x^2-3x-3a}{(2-x)(x+3)} & \leq 0 \\ \frac{3^2-3.3-3a}{(2-3)(3+3)} & \leq 0 \\ \frac{-3a}{-6} & \leq 0 \\ \frac{3a}{6}\leq 0 \, \, & \text{(benar krena ruas kiri nilainya negatif)} \\ \end{align*}$
yang ada $x=3$ benar, opsi yang salah adalah A dan C.
Jadi, opsi yang benar adalah B yaitu
$HP=\{ x < -3 \vee x > 2\} . \heartsuit$
7. Soal UM UGM 2017 MatDas 823
Jika himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{5}{1+x} < 2 $ dan $ \frac{5}{1-x} > 2 $ adalah $ \{x | x \in R , p < x < q \} $ , maka $ 2p - q = .... $
A). $ -4 \, $
B). $ -2 $
C). $ - \frac{1}{2} \, $
D). $ 2 \, $
E). $ 4 $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Pertidaksamaan pertama :
$\begin{align} \frac{5}{1+x} & < 2 \\ \frac{5}{1+x} - 2 & < 0 \\ \frac{5}{1+x} - \frac{2(1+x)}{1+x} & < 0 \\ \frac{5}{1+x} - \frac{2 + 2x}{1+x} & < 0 \\ \frac{3 - 2x}{1+x} & < 0 \\ 3 - 2x = 0 \rightarrow x & = \frac{3}{2} \\ 1 + x = 0 \rightarrow x & = -1 \end{align} $
 
Sehingga $ HP_1 = \{ x < -1 \vee x > \frac{3}{2} \} $ .
*). Pertidaksamaan kedua :
$\begin{align} \frac{5}{1-x} & > 2 \\ \frac{5}{1-x} - 2 & > 0 \\ \frac{5}{1-x} - \frac{2(1-x)}{1-x} & > 0 \\ \frac{5}{1-x} - \frac{ 2 - 2x}{1-x} & > 0 \\ \frac{3 + 2x}{1-x} & > 0 \\ 3 + 2x = 0 \rightarrow x & - \frac{3}{2} \\ 1 - x = 0 \rightarrow x & = 1 \end{align} $
 

Sehingga $ HP_2 = \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} $ .
*). Himpunan penyelesaian total :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x < -1 \vee x > \frac{3}{2} \} \cap \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} \\ & = \{ -\frac{3}{2} < x < -1 \} \end{align} $
Yang sama dengan $ \{x | x \in R , p < x < q \} $,
Artinya $ p = -\frac{3}{2} $ dan $ q = -1 $.
Nilai : $ 2p - q = 2. (-\frac{3}{2}) - (-1) = -2 $.
Jadi, nilai $ 2p - q = -2 . \, \heartsuit $

Pertidaksamaan Bentuk Akar
       Pertidaksamaan bentuk akar merupakan pertidaksamaan yang fungsinya memuat akar.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
$ \sqrt{ax+b} > 0, \, \sqrt{ax^2+bx+c} \geq 0, \, \sqrt{f(x)} \geq 0 $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Untuk memperoleh akar-akarnya, kuadratkan kedua ruas.

$ \spadesuit $ Syarat bentuk akar adalah fungsi dalam akar harus positif.
$ y = \sqrt{f(x)} \Rightarrow \, \text{syaratnya } \, f(x) \geq 0 $

$ \spadesuit $ Berikut beberapa bentuk pertidaksamaan bentuk akar dan syarat-syaratnya :
i). $ \sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) \geq 0 $
ii). $ \sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) > 0 , \, g(x) \geq 0 $
iii). $ \sqrt{f(x)} > g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 $
iv). $ \sqrt{f(x)} < g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) > 0 $

       Untuk contoh yang mendetail tentang pertidaksamaan bentuk akar, silahkan kunjungi link berikut:
Pertidaksamaan bentuk akar

Contoh soal umptn:

8. Soal SBMPTN 2014 MatDas 613
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{x^2-2x} < \sqrt{3x+6} \, $ adalah ...
A). $ -2 < x < 6 $
B). $ -2 < x \leq 0 \, $ atau $ x \geq 2 $
C). $ x \geq -2 $
D). $ -2 \leq x \leq 0 \, $ atau $ 2 \leq x < 6 $
E). $ -1 < x \leq 0 \, $ atau $ 2 \leq x < 6 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
$\clubsuit \, $ Kuadratkan pertidaksamaan :
$\begin{align*} ( \sqrt{x^2-2x} )^2 & < ( \sqrt{3x+6} )^2 \\ x^2-2x & < 3x+6 \\ x^2-5x-6 & <0 \\ (x+1)(x-6)& =0 \\ x=-1 \, & \text{atau} \, x=6 \end{align*} $
sbmptn_matdas_k611_2_2014.png
$HP_1=\{ -1 < x < 6 \} $
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akar :
$\sqrt{x^2-2x} \geq 0 \Leftrightarrow x^2-2x \geq 0 \Leftrightarrow x(x-2) \geq 0 \Leftrightarrow x=0 \, \text{atau} \, x=2 $
sbmptn_matdas_k611_3_2014.png
$HP_2=\{ x \leq 0 \, \text{atau} \, x\geq 2 \} $

$\sqrt{3x+6} \geq 0 \Leftrightarrow 3x+6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 $
$HP_3=\{ x \geq -2 \} $
sehingga solusinya :
$ HP = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 = \{ -1 < x \leq 0 \, \text{atau} \, 2 \leq x < 6 \} $
Jadi, $HP=\{ -1 < x \leq 0 \, \text{atau} \, 2 \leq x < 6 \} . \heartsuit$


Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \sqrt{x^2-2x} & < \sqrt{3x+6} \\ \sqrt{1^2-2.1} & < \sqrt{3.1+6} \\ \sqrt{-1} & < \sqrt{9} \, \, \text{(pasti salah)} \end{align*}$
yang ada $x=1$ salah, opsi yang salah adalah A dan C.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=-1 \Rightarrow \sqrt{x^2-2x} & < \sqrt{3x+6} \\ \sqrt{(-1)^2-2.(-1)} & < \sqrt{3.(-1)+6} \\ \sqrt{5} & < \sqrt{3} \, \, \text{(salah)} \end{align*}$
yang ada $x=-1$ salah, opsi yang salah adalah B dan D.
Jadi, opsi yang benar adalah E yaitu
$HP=\{ -1 < x \leq 0 \, \text{atau} \, 2 \leq x < 6 \} . \heartsuit$
9. Soal UM UGM 2014 MatIpa 531
Semua nilai $k$ agar $\sqrt{2x^2-x+14} \geq \sqrt{x^2-kx+10}$ benar untuk semua bilangan real $x$ adalah ...
A). $ |k| \leq 6 $
B). $ k \leq -3 \, $ atau $ k \geq 5 $
C). $ k \leq -5 \, $ atau $ k \geq 3 $
D). $ -3 \leq k \leq 5 $
E). $ -6 \leq k \leq -5 \, $ atau $ 3 \leq k \geq 6 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ syarat definit positif : $a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
$ax^2+bx+c > 0 \, $ akan terpenuhi untuk semua $x$ jika memenuhi syarat definit positif.
$\spadesuit \, $ Soal : $\sqrt{2x^2-x+14} \geq \sqrt{x^2-ax+10}$
syarat akar :
(i). $2x^2-x+14 \geq 0 $
$a=2>0 \, $ dan $D=b^2-4ac=(-1)^2-4.2.14<0 \, $ . Karena $a > 0 \, $ dan $ D < 0 $ , maka $2x^2-x+14$ definit positif.
(ii). $x^2-kx+10 \geq 0 \, $ harus definit positif
$a=1 > 0 \, $ (benar)
$D<0 \Leftrightarrow (-k)^2-4.1.10 <0 \Leftrightarrow k^2-40 < 0 \Leftrightarrow k=\pm 2\sqrt{10}$
um_ugm6_mat_ipa-2014.png
$HP_1=\{ -2\sqrt{10} < k < 2\sqrt{10} \}$ .
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua ruas :
$\begin{align*} \left( \sqrt{2x^2-x+14} \right)^2 & \geq \left( \sqrt{x^2-kx+10} \right)^2 \\ 2x^2-x+14 & \geq x^2-ax+10 \\ x^2+(k-1)x + 4 & \geq 0 \, \text{Definit positif}\\ a & = 1 > 0 \, \text{(benar)} \\ D \leq 0 \Leftrightarrow (k-1)^2 - 4.1.4 \leq 0 \\ (k+3)(k-5) & \leq 0 \\ k=-3 \, \text{atau} \, k=5 \end{align*}$
um_ugm7_mat_ipa-2014.png
$HP_2=\{ -3 \leq k \leq 5 \}$ .
$\spadesuit \, $ Sehingga penyelesaiannya :
$HP=Hp_1 \cap HP_2 = \{ -3 \leq k \leq 5 \} . \, \heartsuit $
10. Soal UM UGM 2015 MatDas 622
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} \leq 0 \, $ adalah ....
A). $ -1 < x \leq 3 $
B). $ x > -1 $
C). $ x > -2 $
D). $ -2 < x \leq 3 $
E). $ -2 < x \leq -1 \, $ atau $ x \geq 3 $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akar
Jika ada bentuk $ \sqrt{f(x)} , \, $ maka harus terpenuhi syarat $ f(x) \geq 0 $.
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akarnya dari pertidaksamaan
*). Bentuk $ \sqrt{x+2} \, $ , syaratnya $ x + 2 \geq 0 \rightarrow x \geq -2 $.
*). Bentuk $ \sqrt{(x+2)^2} \, $ , syaratnya $ (x+2)^2 \geq 0 \rightarrow x \in R \, $ (terpenuhi untuk semua bilangan real).
Dari kedua syarat bentuk akar di atas, yang memenuhi keduanya adalah $ HP_1 = \{ x \geq -2 \} $.
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pertidaksamaan dari $ \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} \leq 0 $
Akar pembilangnya :
$\begin{align} (x^2-9)\sqrt{x+2} & = 0 \\ x^2 - 9 & = 0 \rightarrow x^2 = 9 \rightarrow x = \pm 3 \\ \sqrt{x+2} & = 0 \rightarrow x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 \end{align}$
Akar penyebutnya :
$\begin{align} x+\sqrt{(x+2)^2} & = 0 \\ x+ (x + 2) & = 0 \\ 2x & = -2 \\ x & = -1 \end{align}$
Garis bilangan dari semua akar-akarnya.
um_ugm_matdas_2015_2.png
Akar penyebutnya tidak boleh ikut (bulatannya tidak penuh).
Dari gari bilangan, solusinya adalah daerah yang diarsir (daerah negatif karena $ \leq 0 $).
$ HP_2 = \{ -3 \leq x \leq -2 \vee -1 < x \leq 3 \} $.
$\clubsuit \, $ Solusi akhirnya adalah irisan dari HP1 dan HP2
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x \geq -2 \} \cap \{ -3 \leq x \leq -2 \vee -1 < x \leq 3 \} \\ & = \{ -1 < x \leq 3 \} \end{align}$
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ -1 < x \leq 3 \} . \, \heartsuit$

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=4 \Rightarrow \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(4^2-9)\sqrt{4+2}}{x+\sqrt{(4+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(7)\sqrt{6}}{4 + 6} & \leq 0 \\ \frac{7\sqrt{6}}{10} & \leq 0 \, \, \text{(salah)} \end{align}$
yang ada $x=4$ salah, opsi yang salah adalah B, C dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-1 \Rightarrow \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{((-1)^2-9)\sqrt{(-1)+2}}{(-1)+\sqrt{(-1+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(-8)\sqrt{1}}{-1+\sqrt{(1)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(-8)\sqrt{1}}{-1+1} & \leq 0 \\ \frac{(-8)\sqrt{1}}{0} & \leq 0 \, \, \text{(salah)} \end{align}$
yang ada $x=-1$ salah, opsi yang salah adalah D.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi A.
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ -1 < x \leq 3 \} . \, \heartsuit$
11. Soal SBMPTN 2018 MatDas 526
Himpunan penyelesaian $ x - \sqrt{6-x} \geq 0 $ adalah ...
A). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } 2 \leq x \leq 6 \} \, $
C). $ \{ x | 0 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} \, $
E). $ \{ x | x \leq 6 \} \, $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
*). Solusi syarat bentuk $ x - \sqrt{6-x} \geq 0 $ :
Soalnya bisa diubah menjadi : $ x \geq \sqrt{6-x} $
yang sama dengan bentuk : $ f(x) \geq \sqrt{g(x)} $
Sehingga solusi syaratnya :
-). Pertama : $ g(x) \geq 0 \rightarrow 6-x \geq 0 \rightarrow -x \geq -6 \rightarrow x \leq 6 $
-). Kedua : $ f(x) \geq 0 \rightarrow x \geq 0 $
-). Yang memenuhi kedua syarat ini yaitu :
$ HP_1 = \{ 0 \leq x \leq 6 \} $
*). Solusi umum dengan mengkuadratkan :
$\begin{align} x - \sqrt{6-x} & \geq 0 \\ x & \geq \sqrt{6-x} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ x^2 & \geq 6-x \\ x^2 + x - 6 & \geq 0 \\ (x+3)(x-2) & \geq 0 \\ x = -3 \vee x & = 2 \end{align} $
-). garis bilangannya :
 
-). Karena pada soal $ \geq 0 $ , solusinya daerah positif
$ HP_2 = \{ x \leq -3 \vee x \geq 2 \} $
*). Solusi Total :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ 0 \leq x \leq 6 \} \cap \{ x \leq -3 \vee x \geq 2 \} \\ & = \{ 2 \leq x \leq 6 \} \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya $ \{ 2 \leq x \leq 6 \} . \, \heartsuit $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow x - \sqrt{6-x} & \geq 0 \\ 0 - \sqrt{6-0} & \geq 0 \\ - \sqrt{6} & \geq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=0$ SALAH, opsi yang salah adalah C dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-3 \Rightarrow x - \sqrt{6-x} & \geq 0 \\ -3 - \sqrt{6-(-3)} & \geq 0 \\ -3 - \sqrt{9} & \geq 0 \\ - 6 & \geq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= -3 $ SALAH, opsi yang salah adalah A dan B.
Sehingga opsi yang benar adalah D (yang tersisa).
Jadi, solusinya $ \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} . \heartsuit$

Pertidaksamaan Bentuk Mutlak
(i). Definisi Nilai Mutlak
       Nilai mutlak dari suatu bilangan $ x \, $ dinotasikan $ |x| $ .
Definisi nilai mutlak $ x \, $ ($|x|$) :
              $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |x| = x \, $ atau $ |x| = -x \, $ tergantung nilai $ x $

Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan nilainya selalu positif.

(ii). Sifat-sifat nilai mutlak
       Berikut beberapa sifat-sifat nilai mutlak yang dapat kita gunakan untuk mengerjakan soal-soal pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
Sifat-sifat nilai mutlak :
1). $ |x| = \sqrt{x^2} $
2). $ |x|^2 = x^2 $
3). $ |x| < |y| \rightarrow (x-y)(x+y) < 0 $
(berlaku juga untuk $ |x| > |y| \rightarrow (x-y)(x+y) > 0 $ )
4). $ |x| < a \rightarrow -a < x < a $
(berlaku juga $ |x| \leq a \rightarrow -a \leq x \leq a $ )
5). $ |x| > a \rightarrow x < -a \, \text{ atau } \, x > a $
(berlaklu juga $ |x| \geq a \rightarrow x \leq -a \, \text{ atau } \, x \geq a $
6). $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $
7). $ |x.y| = |x|.|y| $

       Untuk contoh detail tentang pertidaksamaan nilai mutlak, silahkan kunjungi link :
Pertidaksamaan nilai mutlak

Contoh soal umptn:

12. Soal UTBK 2019 Saintek
Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ adalah berbentuk interval $ (a,b) $. Nilai $ a + b + 2 = .... $
A). $ -3 \, $
B). $ -2 \, $
C). $ 0 \, $
D). $ 2 \, $
E). $ 3 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Bentuk interval :
$ (a,b) \, $ sama dengan $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ sama dengan $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ sama dengan $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ sama dengan $ a \leq x \leq b $

*). Diketahui $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ dengan solusi $ (a,b) \rightarrow a < x < b $.
*). Mengubah bentuk mutlak sesuai definisi mutlak :
$ |2x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x+1 & , \text{untuk } x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x+1) & , \text{untuk } x < -\frac{1}{2} \end{array} \right. $
$ |x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x+1 & , \text{untuk } x \geq -1 \\ -(x+1) & , \text{untuk } x < -1 \end{array} \right. $
-). Dari batas kedua bentuk mutlak yaitu $ -1 $ dan $ -\frac{1}{2} $ , maka kita bagi menjadi tiga bagian yaitu :
$ x < - 1 \, $ , $ \, -1 \leq x < -\frac{1}{2} \, $ , dan $ \, x \geq -\frac{1}{2} $
*). Kita selesaikan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ berdasarkan ketiga bagian di atas :
-). Pertama : $ x < -1 $ berlaku $ | 2x + 1| = -(2x+1) $ dan $ |x+1| = -(x+1) $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ -(2x+1) & < 2 + [-(x+1)] \\ -2x - 1 & < 2 - x - 1 \\ -x & < 2 \\ x & > -2 \end{align} $
Sehingga $ HP_1 = \{ x < -1 \} \cap \{ x > -2 \} = \{ -2 < x < -1 \} $
-). Kedua : $ -1 \leq x < -\frac{1}{2} $ berlaku $ | 2x + 1| = -(2x+1) $ dan $ |x+1| = x+1 $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ -(2x+1) & < 2 + (x+1) \\ -2x - 1 & < 2 + x + 1 \\ -3x & < 4 \\ x & > -\frac{4}{3} \end{align} $
Sehingga $ HP_2 = \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} \cap \{ x > -\frac{4}{3} \} = \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} $
-). Ketiga : $ x \geq -\frac{1}{2} $ berlaku $ | 2x + 1| = 2x+1 $ dan $ |x+1| = x+1 $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ (2x+1) & < 2 + (x+1) \\ x & < 2 \end{align} $
Sehingga $ HP_3 = \{ x \geq -\frac{1}{2} \} \cap \{ x < 2 \} = \{ -\frac{1}{2} \leq x < 2 \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari ketiga himpunan di atas :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cup HP_2 \cup HP_3 \\ & = \{ -2 < x < -1 \} \cup \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} \cup \{ -\frac{1}{2} \leq x < 2 \} \\ & = \{ -2 < x < 2 \} \end{align} $
Bentuk $ -2 < x < 2 $ sama dengan $ a < x < b $ sehingga $ a = -2 $ dan $ b = 2 $.
Nilai $ a + b + 2 = -2 + 2 + 2 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b + 2 = 2 . \, \heartsuit $
13. Soal UTBK 2019 Saintek
Penyelesaian dari pertidaksamaan $ | x| < | x^2 - 2 | $ adalah .....
A). $ -2 < x < -1 \vee 1 < x < 2 \, $
B). $ -1 < x < 2 \vee x > 3 \, $
C). $ -2 < x < 1 \vee x > 2 \, $
D). $ -2 < x < 0 \vee 1 < x < 2 \, $
E). $ x < -2 \vee -1 < x < 1 \vee x > 2 \, $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
*). Berdasarkan sifat :
$ |f(x)| < | g(x)| \rightarrow [f(x) + g(x)].[f(x) - g(x)] < 0 $
*). Mengubah soal berdasarkan sifat nilai mutlak:
$ \begin{align} |x| & < | x^2 - 2 | \\ [x + (x^2 - 2)] [x - (x^2 - 2)] & < 0 \\ (x^2 + x - 2)(-x^2+x+2) & < 0 \\ -(x^2 + x - 2) ( x^2 - x - 2) & < 0 \\ -(x+2)(x-1)) ( x-2)(x+1) & < 0 \\ x = -2, \, x = 1, \, x = 2, \, x & = -1 \end{align} $
*). Garis bilangannya:

Jadi, HP yaitu $ x < -2 \vee -1 < x < 1 \vee x > 2. \heartsuit $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow |x| & < | x^2 - 2 | \\ |0| & < | 0^2 - 2 | \\ |0| & < | - 2 | \\ 0 & < 2 \, \, \text{(benar)} \end{align}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah A dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-3 \Rightarrow |x| & < | x^2 - 2 | \\ |-3| & < | (-3)^2 - 2 | \\ |-3| & < | 9 - 2 | \\ 3 & < 7 \, \, \text{(benar)} \end{align}$
yang ada $x=-3$ benar, opsi yang salah adalah B dan C.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi E (Opsi yang tersisa).
Jadi, HP yaitu $ x < -2 \vee -1 < x < 1 \vee x > 2. \heartsuit $
14. Soal SBMPTN 2016 MatDas 347
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x - 1 < \frac{2}{|x|} \, $ adalah ....
A). $ x < 1 \, $
B). $ x < 0 \, $
C). $ x > 0 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
*). Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
$\begin{align} x - 1 & < \frac{2}{|x|} \\ x - 1 - \frac{2}{|x|} & < 0 \\ \frac{|x|(x - 1)}{|x|} - \frac{2}{|x|} & < 0 \\ \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \end{align} $
*). Nilait mutlak berdasarkan definisinya :
-). Untuk $ x \geq 0 $ , maka $ |x| = x $
$\begin{align} \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \\ \frac{x(x - 1) - 2}{x} & < 0 \\ \frac{x^2 - x - 2}{x} & < 0 \\ \frac{(x+1)(x-2)}{x} & < 0 \end{align} $
Akar-akarnya : $ x = -1, \, x = 2, \, $ dan $ x = 0 $
gambar garis bilangannya 
Karena $ x \geq 0 $ , maka solusinya HP1 = $ \{ 0 < x < 2 \} $
-). Untuk $ x < 0 $ , maka $ |x| = -x $
$\begin{align} \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \\ \frac{(-x)(x - 1) - 2}{(-x)} & < 0 \\ \frac{x^2 - x + 2}{x} & < 0 \end{align} $
Bentuk $ x^2 - x + 2 \, $ adalah definit positif karena nilai $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ , sehingga bisa diabaikan, pertidaksamaan menjadi :
$\begin{align} \frac{x^2 - x + 2}{x} & < 0 \\ \frac{1}{x} & < 0 \end{align} $
HP2 = $ \{ x < 0 \} $
*). Sehingga solusi totalnya :
HP = HP1 $ \cup $ HP2 = $ \{ x < 0 \vee 0< x < 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < 0 \vee 0< x < 2 \} . \, \heartsuit $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow x - 1 & < \frac{2}{|x|} \\ 1 - 1 & < \frac{2}{|1|} \\ 0 & < 2 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=1$ BENAR, opsi yang salah adalah A dan B.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-2 \Rightarrow x - 1 & < \frac{2}{|x|} \\ -2 - 1 & < \frac{2}{|-2|} \\ -3 & < 1 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=-2$ BENAR, opsi yang salah adalah C dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah D (yang tersisa) yaitu
$ -1 < x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, . \heartsuit$
15. Soal SBMPTN 2017 MatDas 224
Jika himpunan penyelesaian $ |2x - a| < 5 $ adalah $ \{ x| -1 < x < 4 \} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ -4 \, $
B). $ -3 \, $
C). $ -1 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 4 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} |2x - a| & < 5 \, \, \, \, \, \, \text{(sifat nilai mutlak)} \\ -5 < & 2x - a < 5 \, \, \, \, \, \, \text{(tambahkan } a) \\ -5 + a < & 2x - a + a < 5 + a \\ -5 + a < & 2x < 5 + a \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \frac{-5 + a}{2} < & x < \frac{5 + a}{2} \end{align} $
Dimana bentuk terakhir di atas sama dengan $ -1 < x < 4 $, sehingga :
$ \frac{-5 + a}{2} = -1 \rightarrow -5 + a = -2 \rightarrow a = 3 $
$ \frac{5 + a}{2} = 4 \rightarrow 5 + a = 8 \rightarrow a = 3 $
Jadi, nilai $ a = 3 . \, \heartsuit $

Cara II :
*). Solusinya adalah $ -1 < x < 4 $, artinya akar-akarnya adalah $ x = -1 $ dan $ x = 4 $, kita substitusikan ke pertidaksamaannya :
$\begin{align} x = -1 \rightarrow |2x - a| & < 5 \\ |2. (-1) - a| & = 5 \\ -2 - a & = \pm 5 \\ -2 - a = 5 & \vee -2 - a = -5 \\ a = -7 & \vee a = 3 \\ x = 4 \rightarrow |2x - a| & < 5 \\ |2. 4 - a| & = 5 \\ 8 - a & = \pm 5 \\ 8 - a = 5 & \vee 8 - a = -5 \\ a = 3 & \vee a = 13 \end{align} $
Sehingga nilai $ a $ yang memenuhi keduanya adalah $ a = 3 $.
Jadi, nilai $ a = 3 . \, \heartsuit $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi soal-soal pertidaksamaan seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut :
Kumpulan soal pertidaksamaan seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Pertidaksamaan - umptn dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika. Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.