Blog KoMa - Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Pertidaksamaan Soshum - umptn beserta
soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK,
UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal
pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Pertidaksamaan ini. Untuk soal-soal Pertidaksamaan kita bagi menjadi dua
bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya
dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Pertidaksamaan Soshum - umptn ini
bisa teman-teman kuasai dengan baik.
Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan
Langkah - langkah berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan :
$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ - $ setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ - $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)
$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.
$\spadesuit $ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2
Cara Lain :
Metode SUKA : Substitusis Angka dari optionnya.
$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ - $ setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ - $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)
$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.
$\spadesuit $ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2
Cara Lain :
Metode SUKA : Substitusis Angka dari optionnya.
Untuk penjelasan mendetail tentang pertdaksamaan secara umum dan langkah-langkah umum ini beserta contoh soalnya, silahkan kunjungi link : Pertidaksamaan secara umum Pada artikel tersebut, juga dijelaskan tentang tanda ketaksamaan, cara menentukan tanda positif atau negatif pada garis bilangan, dan juga tentang cara mengiriskan atau menggabungkan dua himpunan atau lebih.
Pertidaksamaan Linier
Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya satu.
$\clubsuit $ Bentuk umum pertidaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $
$\clubsuit $ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )
$\clubsuit $ Bentuk umum pertidaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $
$\clubsuit $ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )
Untuk contoh detail pertidaksamaan linier, sahabat koma bisa kunjungi link : Pertidaksaman Linear.
Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya dua.
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c < 0, \, ax^2 + bx + c > 0, $
$ ax^2 + bx + c \leq 0, \, ax^2 + bx + c \geq 0 $
dengan $ a \neq 0 , \, $ dan $ a,b,c \in R $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum"
$ \spadesuit $ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c < 0, \, ax^2 + bx + c > 0, $
$ ax^2 + bx + c \leq 0, \, ax^2 + bx + c \geq 0 $
dengan $ a \neq 0 , \, $ dan $ a,b,c \in R $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum"
$ \spadesuit $ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $
Untuk contoh detail pertidaksamaan kuadrat, sahabat koma bisa kunjungi link : Pertidaksaman Kuadrat.
Contoh soal umptn:
1. Soal SNMPTN 2012 MatDas 122
Semua nilai $x$ yang memenuhi $(x+1)(x+2)\geq (x+2)$ adalah ....
A). $ x \leq -1 \, $ atau $ x \geq 1 $
B). $ x \leq -2 \, $ atau $ x \geq 2 $
C). $ x \leq -2 \, $ atau $ x \geq 0 $
D). $ -1 \leq x \leq 1 $
E). $ -2 \leq x \leq 0 $
Jika himpunan bilangan real merupakan penyelesaian pertidaksamaan $x^2-4x+a > 2 $ maka ...
A). $ a > 5 $
B). $ a > 6 $
C). $ a > 7 $
D). $ a < 5 $
E). $ a < 6 $
Jika pertidaksamaan $ 3x -p > \frac{x-2}{3} + px \, $ mempunyai penyelesaian $ x > 5 , \, $ maka nilai $ 3p \, $ adalah ....
A). 5
B). 6
C). 7
D). 8
E). 9
Pertidaksamaan Pecahan (Rasional)
Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan dengan fungsi dalam bentuk pecahan.
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan pecahan
$ \frac{ax+b}{cx+d} > 0, \, \frac{ax^2+bx+c}{dx+k} \leq 0, \, \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan pecahan menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, dilarang untuk mengalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.
$ \spadesuit $ Syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh bernilai nol, sehingga semua akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ > \, $ atau $ < \, $ maka semua akar tidak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ \geq \, $ atau $ \leq \, $ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tidak ikut sebagai solusi.
$ \spadesuit $ Kasus Definit pada pertidaksamaan pecahan
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $
Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit positif tidak perlu membalik tanda kesamaan, sedangakan untuk definit negatif, tanda ketaksamaan dibalaik.
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan pecahan
$ \frac{ax+b}{cx+d} > 0, \, \frac{ax^2+bx+c}{dx+k} \leq 0, \, \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan pecahan menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, dilarang untuk mengalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.
$ \spadesuit $ Syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh bernilai nol, sehingga semua akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ > \, $ atau $ < \, $ maka semua akar tidak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ \geq \, $ atau $ \leq \, $ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tidak ikut sebagai solusi.
$ \spadesuit $ Kasus Definit pada pertidaksamaan pecahan
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $
Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit positif tidak perlu membalik tanda kesamaan, sedangakan untuk definit negatif, tanda ketaksamaan dibalaik.
Untuk contoh mendetail tentang pertidaksamaan pecahan, silahkan kunjungi link:
Pertidaksamaan pecahan
Contoh soal umptn:
4). Soal SNMPTN 2011 MatDas 179
Semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} \leq 0 $ adalah ...
A). $ -\frac{1}{2} < x < 3 $
B). $ -3 \leq x < \frac{1}{2} $
C). $ x \leq - \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
D). $ x < - \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -3 \, $ atau $ x > \frac{1}{2} $
Jika penyelesaian $ \frac{x^2 - 2x - 3 }{x^2 + x + 3} < 0 $ adalah $ a < x < b $ , maka nilai $ a + b = ... $
A). $ -3 \, $
B). $ -2 \, $
C). $ 0 \, $
D). $ 2 \, $
E). $ 3 $
Pertidaksamaan Bentuk Akar
Pertidaksamaan bentuk akar merupakan pertidaksamaan yang fungsinya memuat akar.
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
$ \sqrt{ax+b} > 0, \, \sqrt{ax^2+bx+c} \geq 0, \, \sqrt{f(x)} \geq 0 $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Untuk memperoleh akar-akarnya, kuadratkan kedua ruas.
$ \spadesuit $ Syarat bentuk akar adalah fungsi dalam akar harus positif.
$ y = \sqrt{f(x)} \Rightarrow \, \text{syaratnya } \, f(x) \geq 0 $
$ \spadesuit $ Berikut beberapa bentuk pertidaksamaan bentuk akar dan syarat-syaratnya :
i). $ \sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) \geq 0 $
ii). $ \sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) > 0 , \, g(x) \geq 0 $
iii). $ \sqrt{f(x)} > g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 $
iv). $ \sqrt{f(x)} < g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) > 0 $
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
$ \sqrt{ax+b} > 0, \, \sqrt{ax^2+bx+c} \geq 0, \, \sqrt{f(x)} \geq 0 $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Untuk memperoleh akar-akarnya, kuadratkan kedua ruas.
$ \spadesuit $ Syarat bentuk akar adalah fungsi dalam akar harus positif.
$ y = \sqrt{f(x)} \Rightarrow \, \text{syaratnya } \, f(x) \geq 0 $
$ \spadesuit $ Berikut beberapa bentuk pertidaksamaan bentuk akar dan syarat-syaratnya :
i). $ \sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) \geq 0 $
ii). $ \sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) > 0 , \, g(x) \geq 0 $
iii). $ \sqrt{f(x)} > g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 $
iv). $ \sqrt{f(x)} < g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) > 0 $
Untuk contoh yang mendetail tentang pertidaksamaan bentuk akar, silahkan kunjungi link berikut:
Pertidaksamaan bentuk akar
Contoh soal umptn:
6). Soal SBMPTN 2014 MatDas 613
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{x^2-2x} < \sqrt{3x+6} \, $ adalah ...
A). $ -2 < x < 6 $
B). $ -2 < x \leq 0 \, $ atau $ x \geq 2 $
C). $ x \geq -2 $
D). $ -2 \leq x \leq 0 \, $ atau $ 2 \leq x < 6 $
E). $ -1 < x \leq 0 \, $ atau $ 2 \leq x < 6 $
Himpunan penyelesaian $ x - \sqrt{6-x} \geq 0 $ adalah ...
A). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } 2 \leq x \leq 6 \} \, $
C). $ \{ x | 0 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} \, $
E). $ \{ x | x \leq 6 \} \, $
Pertidaksamaan Bentuk Mutlak
(i). Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari suatu bilangan $ x \, $ dinotasikan $ |x| $ .
Definisi nilai mutlak $ x \, $ ($|x|$) :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |x| = x \, $ atau $ |x| = -x \, $ tergantung nilai $ x $
Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan nilainya selalu positif.
(ii). Sifat-sifat nilai mutlak
Berikut beberapa sifat-sifat nilai mutlak yang dapat kita gunakan untuk mengerjakan soal-soal pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
Sifat-sifat nilai mutlak :
1). $ |x| = \sqrt{x^2} $
2). $ |x|^2 = x^2 $
3). $ |x| < |y| \rightarrow (x-y)(x+y) < 0 $
(berlaku juga untuk $ |x| > |y| \rightarrow (x-y)(x+y) > 0 $ )
4). $ |x| < a \rightarrow -a < x < a $
(berlaku juga $ |x| \leq a \rightarrow -a \leq x \leq a $ )
5). $ |x| > a \rightarrow x < -a \, \text{ atau } \, x > a $
(berlaklu juga $ |x| \geq a \rightarrow x \leq -a \, \text{ atau } \, x \geq a $
6). $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $
7). $ |x.y| = |x|.|y| $
Nilai mutlak dari suatu bilangan $ x \, $ dinotasikan $ |x| $ .
Definisi nilai mutlak $ x \, $ ($|x|$) :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |x| = x \, $ atau $ |x| = -x \, $ tergantung nilai $ x $
Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan nilainya selalu positif.
(ii). Sifat-sifat nilai mutlak
Berikut beberapa sifat-sifat nilai mutlak yang dapat kita gunakan untuk mengerjakan soal-soal pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
Sifat-sifat nilai mutlak :
1). $ |x| = \sqrt{x^2} $
2). $ |x|^2 = x^2 $
3). $ |x| < |y| \rightarrow (x-y)(x+y) < 0 $
(berlaku juga untuk $ |x| > |y| \rightarrow (x-y)(x+y) > 0 $ )
4). $ |x| < a \rightarrow -a < x < a $
(berlaku juga $ |x| \leq a \rightarrow -a \leq x \leq a $ )
5). $ |x| > a \rightarrow x < -a \, \text{ atau } \, x > a $
(berlaklu juga $ |x| \geq a \rightarrow x \leq -a \, \text{ atau } \, x \geq a $
6). $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $
7). $ |x.y| = |x|.|y| $
Untuk contoh detail tentang pertidaksamaan nilai mutlak, silahkan kunjungi link :
Pertidaksamaan nilai mutlak
Contoh soal umptn:
8). Soal UTBK 2019 Soshum
Nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+1| + 2x < 7 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $
B). $ x > 0 \, $
C). $ x > 1 \, $
D). $ x < 2 \, $
E). $ x < 7 $
Bentuk $ | 6 - 3x | < 6 $ ekuivalen dengan .....
A). $ | x - 1 | < 1 \, $
B). $ 2|x-3| < 6 \, $
C). $ |x-2| < 2 \, $
D). $ 0 < 6 - 3x < 6 \, $
E). $ -6 < x < 6 $
Jika himpunan penyelesaian $ |2x - a| < 5 $ adalah $ \{ x| -1 < x < 4 \} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ -4 \, $
B). $ -3 \, $
C). $ -1 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 4 $
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} \leq 0 \, $ adalah ....
A). $ -1 < x \leq 3 $
B). $ x > -1 $
C). $ x > -2 $
D). $ -2 < x \leq 3 $
E). $ -2 < x \leq -1 \, $ atau $ x \geq 3 $
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x - 1 < \frac{2}{|x|} \, $ adalah ....
A). $ x < 1 \, $
B). $ x < 0 \, $
C). $ x > 0 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi soal-soal pertidaksamaan seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut :
Kumpulan soal pertidaksamaan seleksi PTN .
Demikian pembahasan materi Ringkasan Pertidaksamaan Soshum - umptn dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika. Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.