Ringkasan Fungsi Kuadrat Pertama Soshum - umptn

         Blog KoMa - Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Fungsi Kuadrat Pertama Soshum - umptn beserta soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Fungsi Kuadrat Pertama ini. Untuk soal-soal Fungsi Kuadrat kita bagi menjadi dua bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Fungsi Kuadrat Pertama Soshum - umptn ini bisa teman-teman kuasai dengan baik.

(A). Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Adapun bentuk umum fungsi kuadrat :
$ f(x) = ax^2 + bx + c $
               Atau
$ y = ax^2 + bx + c $
dengan $ a, \, b, \, c \in R \, $ dan $ a \neq 0 $
Keterangan :
$ x \, $ disebut variabel bebasnya
$ a \, $ adalah koefisien $ x^2 $
$ b \, $ adalah koefisien $ x $
$ c \, $ disebut konstanta

       Untuk contoh detail tentang bentuk umum fungsi kuadrat, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut:
Bentuk umum fungsi kuadrat

(B). Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat
       Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut :
Catatan :
-). Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola sehingga grafik fungsi kuadrat juga disebut parabola.
-). Setiap titik yang dilalui atau titik yang berada pada parabola, maka titik tersebut boleh disubstitusi ke fungsi parabola tersebut.
-). Mensubstitusi titik yang dilalui oleh sebuah grafik ke fungsinya berlaku untuk semua jenis fungsi (tidak hanya untuk fungsi kuadrat).
Karakteristik grafik fungsi kuadrat :
-). Untuk bentuk $ y = ax^2 + bx + c $ , arah kurva ada dua yaitu :
       terbuka keatas (senyum) saat $ a > 0 $
       terbuka kebawah (cemberut) saat $ a < 0 $
-). Terdapat titik balik/titik puncak $ (x_p , y_p) $.
       Rumus menentukan titik puncak yaitu :
       $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $
       $ y_p = \frac{D}{-4a} \, $ atau $ y_p = f(x_p) \, $
       dengan $ D = b^2 - 4ac $
-). Jenis-jenis titik baliknya :
       titik balik maksimum saat $ a < 0 $
       titik balik minimum saat $ a > 0 $
-). Persamaan sumbu simetri :
       $ x = x_p \rightarrow x = \frac{-b}{2a} $
-). Nilai Optimum (maksimum atau minimum) fungsi kuadrat
       Nilai maksimum atau minimum = $ y_p $

Contoh soal :
Dari fungsi kuadrat $ f(x) = 2x^2 - 4x + 5 $ , tentukan
a). Persamaan sumbu simetrinya
b). Nilai minimum fungsi
c). Titik balik/titik puncaknya

Penyelesaian :
$ f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \rightarrow a = 2, \, b = -4, \, c = 5 $

a). Persamaan sumbu simetrinya : $ x = x_p $
$ x = \frac{-b}{2a} \rightarrow x = \frac{-(-4)}{2 \times 2} \rightarrow x = 1 $
Sehingga persamaan sumbu simetrinya yaitu $ x = 1 $

b). Nilai minimum fungsi
Nilai minimum $ = y_p $
$ y_p = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} $
$ y_p = \frac{(-4)^2 - 4 \times 2 \times 5}{-4\times 2} = \frac{-24}{-8} = 3 $
atau $ y_p = f(x_p) = f(1) = 2 (1^2) - 4 \times 1 + 5 = 2 - 4 + 5 = 3 $
Sehingga nilai minimum fungsi = 3.

c). Titik balik/titik puncaknya $ (x_p, y_p) $

Pada bagian (a) dan (b) kita peroleh :
$ x_p = 1 \, $ dan $ y_p = 3 $
Sehingga titik puncaknya :
$ (x_p , y_p) = ( 1 , 3) $
Jenisnya minimum karena $ a > 0 $.


Contoh soal umptn :

1. Soal SBMPTN 2017 MatDas 224
Sumbu simetri grafik $ f(x) = ax^2 + bx + c $ adalah $ x = 1 $. Jika $ f(0)=0 $ dan $ f(4) = -16$ , maka nilai $ b - a $ adalah ....
A). $ 6 \, $
B). $ 5 \, $
C). $ 4 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ dengan sumbu simetri $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 1 \rightarrow b = -2a \, $ ....(i)
*). Substitusi $ f(0)=0 $ dan $ f(4) = -16 $ ke fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $
$\begin{align} f(0)=0 \rightarrow a.0^2 + b.0 + c & = 0 \\ c & = 0 \\ \text{sehingga fungsinya :} f(x) & = ax^2 + bx \\ f(4) = -16 \rightarrow a.4^2 + b.4 & = -16 \\ 16a + 4b & = -16 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4a + b & = -4 \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ 4a + b = -4 \rightarrow 4a + (-2a) = -4 \rightarrow 2a = -4 \rightarrow a = -2 $.
Pers(i): $ b = -2a = -2.(-2) = 4 $.
Sehingga nilai $ b - a = 4 - (-2) = 6 $.
Jadi, nilai $ b - a = 6 . \, \heartsuit $

2. Soal Selma UM 2014 MatIpa
Diketahui $ \, f(x) = -2x^2 -(p+1)x + 2p. \, $ Fungsi $ f(x) \, $ mempunyai nilai maksimum 8. Jika $ p \, $ bernilai $ p_1 \, $ atau $ p_2 . \, $ Nilai $ p_1 + p_2 \, $ adalah ....
A). $ -16 $
B). $ -17 $
C). $ -18 $
D). $ -19 $
E). $ -20 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
FK : $ f(x) = -2x^2 -(p+1)x + 2p $
$ \rightarrow a = -2, b = -(p+1), c = 2p $
$\spadesuit \, $ Nilai maksimum FK ($y_p$) dengan rumus $ y_p = \frac{D}{-4a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dengan $ \, y_p = 8 $
$\begin{align} y_p & = 8 \\ \frac{D}{-4a} & = 8 \\ \frac{b^2 - 4ac}{-4a} & = 8 \\ \frac{[-(p+1)]^2 - 4.(-2).(2p)}{-4.(-2)} & = 8 \\ \frac{ p^2 + 2p + 1 + 16p }{8} & = 8 \\ p^2 + 18p + 1 & = 64 \\ p^2 + 18p - 63 & = 0 \end{align}$
PK : $ p^2 + 18p - 63 = 0 , \, $ akar-akarnya $ p_1 \, $ dan $ \, p_2 $
Sehingga : $ p_1 + p_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-18}{1} = -18 $
Jadi, nilai $ p_1 + p_2 = - 18 . \heartsuit $

(C). Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
       Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :
1). Lihat nilai $ a $.

2). Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu X (jika ada) dengan cara mensubstitusi $ y = 0 \, $ , sehingga diperoleh akar-akar dari $ ax^2+bx+c = 0 \, $ yaitu $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Artinya tipotnya $ (x_1,0) \, $ dan $ (x_2,0) $ .

3). Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu Y dengan cara mensubstitusi $ x = 0 \, $ , sehingga diperoleh $ y = c \, $ . Artinya tipotnya $ (0,c) $

4). Menentukan titik balik/puncak $ (x_p,y_p) $
Rumus : $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $ dan $ y_p = \frac{D}{-4a} \, $ atau $ y_p = f(x_p)= f\left( \frac{-b}{2a} \right) $
Sehingga titik balik/puncaknya :
$ (x_p,y_p)= \left( \frac{-b}{2a} , \frac{D}{-4a} \right) \, $ atau $ (x_p,y_p)= \left( \frac{-b}{2a} , f\left( \frac{-b}{2a} \right) \right) $

5). Menentukan sembarang titik bantuan lainnya agar menggambar lebih mudah, dengan cara memilih beberapa nilai $ x \, $ dan disubstitusikan ke FK.

dengan $ D = b^2 - 4ac \, ( D \, $ disebut nilai Diskriminan seperti pada persamaan kuadrat).

       Untuk contoh detail tentang sketsa dan menggambar grafik fungsi kuadrat, silahkan kunjungi link berikut:
Sketsa dan Menggambar grafik fungsi kuadrat

Contoh soal :

3). Gambarla grafik fungsi kuadrat berikut:
a). $ y = x^2 - 2x - 8 $
b). $ y = x^2 - 6x + 9 $
c). $ y = 2x^2 + x + 3 $

$\clubsuit $ Pembahasan :

a). $ y = x^2 - 2x - 8 $
*). nilai $ a = 1 > 0 \, $ (gambarnya menghadap ke atas)
*). Tipot(titik potong) sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$ \begin{align} x^2 - 2x - 8 & = 0 \\ (x+2)(x-4) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 4 \end{align} $
Titik potong sumbu X nya yaitu $ (-2,0) $ dan $ (4,0) $
*). Cukup dua langkah di atas, berikut sketsa grafiknya


b). $ y = x^2 - 6x + 9 $
*). nilai $ a = 1 > 0 \, $ (gambarnya menghadap ke atas)
*). Tipot(titik potong) sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$ \begin{align} x^2 - 6x + 9 & = 0 \\ (x-3)(x-3) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = 3 \end{align} $
Titik potong sumbu X nya yaitu $ (3,0) $
(menyinggung sumbu X)
*). Cukup dua langkah di atas, berikut sketsa grafiknya


c). $ y = 2x^2 + x + 3 $
Nilai $ a = 2, \, b = 1, \, c = 3 $
*). nilai $ a = 1 > 0 \, $ (gambarnya menghadap ke atas)
*). Tipot(titik potong) sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
Nilai D :
$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.1.3 = 1 - 12 = - 11 $
Grafik fungsi $ y = 2x^2 + x + 3 $ tidak memotong sumbu X karena nilai D (Diskriminannya) negatif.
*). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$ y = 2x^2 + x + 3 \rightarrow y = 2. 0^2 + 0 + 3 = 3 $
titik potong sumbu Y nya yaitu $ (0, 3) $
*). Menentukan titik puncak $ (x_p, y_p) $
$ x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2.2} = -\frac{1}{4} $
$ y_p = \frac{D}{-4a} = \frac{-11}{-4.2} = \frac{11}{8} $
Sehingga titik puncaknya $ (x_p, y_p) = \left( -\frac{1}{4} , \frac{11}{8} \right) $
*). Berikut sketsa grafinya:

(C). Teknik Menggeser Grafik
       Misalkan ada fungsi awal : $ y = f(x) $
Mengalami pergeseran menjadi : $ y = f(x \pm b) \pm c $
Artinya :
(a). digeser searah sumbu X sejauh $ b $ dengan :
     untuk $ + b $ ke kiri
     untuk $ - b $ ke kanan
(b). digeser searah sumbu Y sejauh $ c $ dengan :
     untuk $ + c $ ke atas
     untuk $ - c $ ke bawah

Catatan :
-). Untuk searah X (kanan atau kiri) tandanya berlawanan dari tanda pada sumbu X
-). Untuk searah Y (atas atau bawah) tandanya searah dari tanda pada sumbu Y
-). Teknik menggeser ini juga bisa menggunakan konsep pergeseran (Translasi) pada transformasi geometri karena pembuktian rumus di atas menggunakan konsep translasi.
-). Teknik menggeser ini berlaku umum untuk semua jenis fungsi.

       Untuk contoh soal yang lebih mendetail tentang teknik menggeser grafik fungsi kuadrat, silahkan kunjungi link berikut :
Teknik Menggeser Grafik

Contoh soal umptn :

4. Soal SBMPTN 2015 MatDas 617
Jika grafik parabola $ y = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2 satuan sehingga melalui titik (0,0), maka nilai $ a \, $ adalah ....
A). $ -2 $
B). $ -1 $
C). 0
D). 1
E). 2

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I : Teknik Menggeser
Konsep Teknik Menggeser
Jika grafik $ y = f(x) \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh $ b , \, $ maka grafik barunya adalah $ y = f(x+b) $
$\spadesuit \, $ Grafik $ y = f(x) = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2, artinya $ b = 2 $ dan $ c = 0 $, karena digeser ke kiri maka menggunakan $ +b $ , sehingga grafik barunya :
$y = f(x+b) \rightarrow y = f(x+2) $
$\begin{align} \text{grafik awal : } y & = x^2 - 3x + a \\ \text{grafik baru : } y & = f(x+2) \\ y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $

Cara II : Transformasi Geometri (Translasi)
$\spadesuit \, $ Konsep transformasi, khususnya translasi(pergeseran)
*). Grafik digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh b, artinya matriks translasinya $ T = \left( \begin{matrix} -b \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). pada soal ini, nilai $ b = 2 , \, $ sehingga $ T = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan bayangannya
$ \begin{align} \text{byangannya } & = \text{ Matriks } + \text{ awalnya} \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 + x \\ y \end{matrix} \right) \\ x & = x^\prime + 2 \\ y & = y^\prime \end{align}$
*). awalnya : $ y = x^2 - 3x + a $
*). bayangannya : $ y^\prime = (x^\prime + 2)^2 - 3(x^\prime + 2) + a $
artinya setelah digeser terbentuk grafik yang baru yaitu : $ y = (x + 2)^2 - 3(x + 2) + a $
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $

5). Soal UTBK 2019 Soshum
jika kurva $ y = x^2 + 5x - 2p $ melalui titik $ (1,p) $ dan memotong sumbu X di $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $, maka nilai $ x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 = ... $
A). 31
B). 32
C). 33
D). 34
E). 35

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Substitusi titik $ (x,y) = (1,p) $ ke fungsi kuadratnya:
$ \begin{align} y & = x^2 + 5x - 2p \\ p & = 1^2 + 5.1 - 2p \\ 3p & = 6 \\ p & = 2 \end{align} $
Sehingga fungsi kuadratnya menjadi
$ y = x^2 + 5x - 2p \rightarrow y = x^2 + 5x - 4 $
*). Menentukan tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
-). Bentuk $ x^2 + 5x - 4 = 0 $ tidak bisa difaktorkan, sehingga kita bisa menggunakan operasi akar-akar pada persamaan kuadrat.
-). Bentuk $ x^2 + 5x - 4 = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x _2 $ , sehingga titik potong dengan sumbu X yaitu $ (x_1,0) $ dan $ (x_2, 0) $, ini artinya $ y_1 = 0 $ dan $ y_2 = 0 $.
-). Dari $ x^2 + 5x - 4 = 0 $ , maka :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-5}{1} = -5 $
$ x_1. x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{1} = -4 $
Ingat rumus bantu:
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 $
*). Menentukan hasil $ x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 $
$ \begin{align} & x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 \\ & = x_1^2 + 0^2 + x_2^2 + 0^2 \\ & = x_1^2 + x_2^2 \\ & = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 \\ & = (-5)^2 - 2(-4) \\ & = 25 + 8 \\ & = 33 \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 = 33. \heartsuit $
6). Soal SBMPTN 2018 MatDas 552
Diketahui grafik fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ memotong sumbu X di titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ untuk suatu bilangan prima $ p $. Jika $ p + 3 $ juga merupakan suatu bilangan prima, maka nilai maksimum dari $ f(x) $ adalah ...
A). $ \frac{49}{2} \, $
B). $ \frac{49}{4} \, $
C). $ 10 \, $
D). $ -\frac{49}{4} \, $
E). $ -\frac{49}{2} $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Diketahui $ p $ dan $ p + 3 $ adalah bilangan prima. Agar $ p $ dan $ p+3$ keduanya prima, maka nilai $ p = 2 $.
*). Titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ adalah titik potong fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ dengan sumbu X, artinya $ x_1 = -p-3 $ dan $ x_2 = p $ adalah akar-akar dari persamaan $ -x^2 + ax + b = 0 $.
*). Karena nilai $ p = 2 $, maka :
$ x_1 = -p-3 = -2 -3 = -5 $ dan $ x_2 = p = 2 $.
*). Operasi akar-akar pada PK $ \, -x^2 + ax + b = 0 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ (-5) + 2 & = \frac{-a}{-1} \\ -3 & = a \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ (-5). 2 & = \frac{b}{-1} \\ -10 & = -b \\ 10 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
$\begin{align} f_{maks} & = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} \\ & = \frac{(-3)^2 - 4.(-1).10}{-4.(-1)} \\ & = \frac{9 + 40}{4} = \frac{49}{4} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{49}{4} . \, \heartsuit $
7). Soal SBMPTN 2017 MatDas 213
Koordinat titik puncak grafik $ f(x) = ax^2 + bx + c $ adalah $ (4,2) $. Jika $ f(2) = 0 $, maka nilai $ 6a + b = ..... $
A). $ 5 \, $
B). $ 4 \, $
C). $ 3 \, $
D). $ 2 \, $
E). $ 1 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
*).Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $,
titik puncaknya $ (x_p,y_p) = (4,2) $, artinya :
$ x_p = 4 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 4 \rightarrow b = -8a \, $ ....(i)
*).Substitusi titik puncak ke FK :
$\begin{align} (x,y) = (4,2) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ 2 & = a.4^2 + b.4 + c \\ 2 & = 16a + 4b + c \, \, \, ....\text{(ii)} \end{align} $
*).Dari bentuk $ f(2) = 0$ :
$\begin{align} f(2) = 0 \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ 0 & = a.2^2 + b.2 + c \\ 0 & = 4a + 2b + c \, \, \, ....\text{(iii)} \end{align} $
*). Kurangkan pers(ii) dan (iii), kita peroleh :
$ 12a + 2b = 2 \rightarrow 6a + b = 1 \, $ ....(iv)
Catatan : Jika ingin menentukan nial $ a $ dan $ b $, selesaikan pers(i) dan (iv).
Jadi, nilai $ 6a + b = 1 . \, \heartsuit $
8). Soal UM UGM 2016 MatDas 571
Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2. Jika $ f(2) = f(4) = 0 \, $ maka $ a + b + c = .... $
A). $-10 \, $
B). $ -6 \, $
C). $ -4 \, $
D). $ 4 \, $
E). $ 6 $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
*). ordinat titik puncak fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ adalah 2
Artinya $ y_p = 2 $.
*). $ f(2) = f(4) = 0 $ , artinya $ x = 2 $ dan $ x = 4 $ adalah titik potong pada sumbu X, sehingga $ x_p = \frac{2 +4}{2} = \frac{6}{2} = 3 $.
Artinya titik puncaknya $ (x_p,y_p) = ( 3, 2) $.
*). Substitusi $ f(2) = 0 $ , $ f(4) = 0 $ , dan $ (x,y)=(3,2) $ :
$ a.2^2 + b.2 + c = 0 \rightarrow 4a + 2b + c = 0 $ ... (i)
$ a.4^2 + b.4 + c = 0 \rightarrow 16a + 4b + c = 0 $ ... (ii)
$ (3,2) \rightarrow a.3^2 + b.3 + c = 2 \rightarrow 9a + 3b + c = 2 $ ... (iii)
-). Eliminasi variabel $ c $ dari pers (i) dan pers (ii) :
$ 12a + 2b = 0 \rightarrow b = -6a $ ... (iv)
-). Eliminasi variabel $ c $ dari pers (i) dan pers (iii) :
$ 5a + b = 2 $ ... (v)
-). Substitusi (iv) ke (v) :
$ \begin{align} 5a + b & = 2 \\ 5a + (-6a) & = 2 \\ -a & = 2 \\ a & = -2 \end{align} $
Pers(iv) : $ b = -6a = -6 \times -2 = 12 $
Pers(i):
$ \begin{align} 4a + 2b + c = & 0 \\ 4(-2) + 2.(12) + c = & 0 \\ -8 + 24 + c = & 0 \\ c & = -16 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a + b + c $ :
$ a + b + c = (-2) + 12 + (-16) = -6 $
Jadi, nilai $ a + b + c = -6 . \, \heartsuit $

Cara II :
*). Ordinat titik puncak fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2, artinya $ y_p = 2 $.
*). Diketahui $ f(2) = f(4) = 0 \, $ , artinya $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 $
sehingga $ x_p = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 $
kita peroleh titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (3,2) $ .
*). Menyusun fungsi kuadrat dengan $ (x_p,y_p) = (3,2) \, $ dan $ f(2) = 0 $
$ \begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-3)^2 + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{[substitusi } f(2) = 0 ] \\ 0 & = a(2-3)^2 + 2 \\ 0 & = a + 2 \\ -2 & = a \\ y & = a(x-3)^2 + 2 \\ y & = -2(x^2 - 6x + 9) + 2 \\ y & = -2 x^2 +12x -18 + 2 \\ y & = -2 x^2 +12x -16 \end{align} $
dari bentuk $ f(x) = -2 x^2 +12x -16 \, $ sama dengan bentuk $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ sehingga kita peroleh nilai $ a = -2, \, b = 12, \, $ dan $ c = -16 $.
*). Menentukan hasilnya :
$ a + b + c = -2 + 12 + (-16) = -6 $
Jadi, nilai $ a + b + c = -6 . \, \heartsuit $
9). Soal SBMPTN 2015 MatDas 622
Jika grafik fungsi $ y = x^2 - 9 \, $ memotong sumbu x di titik A dan B, serta memotong sumbu y di titik C, maka luas segitiga ABC adalah ....
A). 36
B). 33
C). 30
D). 27
E). 24

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong sumbu-sumbu
*) Titik potong sumbu y : substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} y & = x^2 - 9 \\ y & = 0^2 - 9 \\ y & = - 9 \end{align}$
artinya titik C(0,-9)
*) Titik potong sumbu x : substitusi $ y = 0 $
$\begin{align} y & = x^2 - 9 \\ 0 & = x^2 - 9 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \end{align}$
artinya titik A(-3,0) dan B(3,0)
$\spadesuit \, $ gambar segitiganya
sbmptn_matdas_5_k622_2015.png
$\spadesuit \, $ Menentukan luas segitiganya
$\begin{align} L_{\Delta ABC} & = \frac{1}{2}.a.t = \frac{1}{2}.6.9= 27 \end{align}$
Jadi, luas segitiganya adalah 27. $ \heartsuit $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi soal-soal Fungsi Kuadrat seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut :
Kumpulan soal Fungsi Kuadrat seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Fungsi Kuadrat Pertama Soshum - umptn dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika. Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.