Ringkasan Eksponen - umptn

         Blog KoMa - Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Eksponen - umptn beserta soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Eksponen ini. Untuk soal-soal Eksponen kita bagi menjadi dua bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Eksponen - umptn ini bisa teman-teman kuasai dengan baik.

(A). Definisi Eksponen
Adapun bentuk umum Eksponen :
$ a^n = \underbrace{ a \times a \times a \times ... \times a}_{\text{sebanyak } \, n \, \text{ faktor}} $
dengan $ a \, $ bilangan real ($ R $) dan $ n \, $ bilangan asli
Keterangan :
$ a^n \, $ dibaca $ a \, $ pangkat $ n $
$ a \, $ disebut bilangan pokok atau basis
$ n \, $ disebut pangkat(eksponennya)

       Untuk contoh mendetail tentang bentuk umum eksponen, silahkan teman-teman kunjungi link berikutya:
Bentuk umum eksponen.

(B). Sifat-sifat Eksponen
       Berikut sifat-sifat eksponen:

(i). Pangkat bulat positif ($m \, $ dan $ n \, $ bulat positif)
1). $ a^m.a^n = a^{m+n} $
2). $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
3). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
4). $ (ab)^m = a^m.b^m $
5). $ \left( \frac{a}{b} \right)^m = \frac{a^m}{b^m} $

(ii). Pangkat nol
$ a^0 = 1, \, $ dengan syarat $ a \neq 0 $

(iii). Pangkat bulat negatif ($ n \, $ positif)
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \, $ atau $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n $

(iv). Pangkat bilangan pecahan
1). $ a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a} $
2). $ a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m $
       Untuk contoh yang mewakili masing-masing sifat eksponen di atas, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut:
Sifat-sifat eksponen.

Contoh Soal umptn:

1). Soal SBMPTN 2013 MatDas 326
Jika $9^{m+1}-2.9^m = 14$ , maka $27^m = ...$
A). $ \sqrt{2} $
B). 2
C). $ 2\sqrt{2} $
D). 4
E). 6

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan: Sifat $a^{m+n}=a^m.a^n$
$\begin{align} 9^{m+1}-2.9^m &= 14 \\ 9^1.9^m-2.9^m &= 14 \\ 9.9^m-2.9^m &= 14 \\ 9^m \left(9-2\right) &= 14 \\ 9^m . 7 &= 14 \\ 9^m &= \frac{14}{7} \\ (3^2)^m & = 2 \\ (3^m)^2 & = 2 \\ 3^m & = \sqrt{2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $27^m$
$\begin{align} 27^m & = (3^3)^m \\ &= (3^m)^3 \\ &= (\sqrt{2})^3 \\ &= \sqrt{2} .\sqrt{2} .\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, $27^m = 2\sqrt{2}. \, \heartsuit $
2). Soal SNMPTN 2012 MatDas 122
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b=2^{20}-2^{19}$ , maka nilai $a+b$ adalah ...
A). 3
B). 7
C). 19
D). 21
E). 23

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $a^{m+n} = a^m.a^n$
$\begin{align} a^b & =2^{20}-2^{19} \\ & = 2^{1+19} - 2^{19} \\ & = 2^1.2^{19} - 2^{19} \\ & = 2^{19} [2-1] \\ a^b & = 2^{19} \end{align}$
Sehingga, $a=2 \, $ dan $\, b=19$
Jadi, $a+b=2+19 = 21 . \, \heartsuit $
3). Soal SBMPTN 2016 MatDas 347
Jika $ A^{2x} = 2 $, maka $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = .... $
A). $\frac{31}{18} \, $
B). $\frac{31}{9} \, $
C). $ \frac{32}{18} \, $
D). $ \frac{33}{9} \, $
E). $ \frac{33}{18} $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
*). Kita kuadratkan soalnya dan gunakan $ A^{2x} = 2 $ :
$ \begin{align} \left( \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } \right)^2 & = \frac{(A^{5x} - A^{-5x})^2}{(A^{3x} + A^{-3x} )^2} \\ & = \frac{(A^{5x})^2 + (A^{-5x})^2 - 2 . A^{5x} . A^{-5x}}{(A^{3x})^2 + (A^{-3x})^2 + 2 . A^{3x} . A^{-3x}} \\ & = \frac{(A^{2x})^5 + (A^{2x})^{-5} - 2 . A^{5x + (-5x)}}{(A^{2x})^3 + (A^{2x})^{-3} + 2 . A^{3x + (-3x)} } \\ & = \frac{(2)^5 + (2)^{-5} - 2 . A^{0}}{(2)^3 + (2)^{-3} + 2 . A^{0} } \\ & = \frac{32 + \frac{1}{2^5} - 2 . 1}{8 + \frac{1}{2^3} + 2 . 1} \\ & = \frac{32 + \frac{1}{32} - 2 }{8 + \frac{1}{8} + 2 } \\ & = \frac{32 + \frac{1}{32} - 2 }{8 + \frac{1}{8} + 2 } \times \frac{32}{32} \\ & = \frac{32 \times 32 + 1 - 2 \times 32 }{32 \times 8 + 4 + 2 \times 32 } \\ \left( \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } \right)^2 & = \frac{ 961 }{324} \\ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } & = \sqrt{ \frac{ 961 }{324} } \\ & = \frac{ 31 }{18} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = \frac{ 31 }{18} . \, \heartsuit $

Cara II:
*). Untuk Cara 2 ini, kita akan langsung mengalikan bentuk soal untuk pembilang dan penyebutnya sehingga pangkatnya berbentuk bilangan genap. Kita kalikan pembilang penyebutnya dengan bentuk $ A^{kx} \, $ dengan $ k $ ganjil sehingga dijumlahkan akan menjadi genap. Bentuk yang paling sederhana adalah $ A^x $
*). Mengalikan soal dengan $ A^x $ dan menggunakan $ A^{2x} = 2 $ :
$ \begin{align} \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } & = \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } \times \frac{A^x}{A^x} \\ & = \frac{A^{5x} . A^x - A^{-5x}. A^x}{A^{3x}. A^x + A^{-3x} . A^x} \\ & = \frac{A^{5x + x} - A^{-5x + x} }{A^{3x + x} + A^{-3x + x} } \\ & = \frac{A^{6x} - A^{-4x} }{A^{4x} + A^{-2x} } \\ & = \frac{(A^{2x})^3 - (A^{2x})^{-2} }{(A^{2x})^2 + (A^{2x})^{-1} } \\ & = \frac{(2)^3 - (2)^{-2} }{(2)^2 + (2)^{-1} } \\ & = \frac{8 - \frac{1}{4} }{4 + \frac{1}{2} } \\ & = \frac{8 - \frac{1}{4} }{4 + \frac{1}{2} } \times \frac{4}{4} \\ & = \frac{32 - 1 }{16 + 2 } \\ & = \frac{31 }{18} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = \frac{ 31 }{18} . \, \heartsuit $

Cara III:
*). Untuk cara 3 ini kita langsung kerjakan soalnya dengan sifat eksponen :
$ \begin{align} \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } & = \frac{A^{5x} - \frac{1}{A^{5x}}}{A^{3x} + \frac{1}{A^{3x}} } \\ & = \frac{\frac{A^{5x}. A^{5x}}{A^{5x}} - \frac{1}{A^{5x}}}{ \frac{A^{3x} . A^{3x}}{A^{3x}} + \frac{1}{A^{3x}} } \\ & = \frac{\frac{A^{10x} }{A^{5x}} - \frac{1}{A^{5x}}}{ \frac{A^{6x}}{A^{3x}} + \frac{1}{A^{3x}} } \\ & = \frac{\frac{A^{10x} - 1}{A^{5x}} }{ \frac{A^{6x} + 1 }{A^{3x}} } \\ & = \frac{A^{10x} - 1}{A^{5x}} \times \frac{A^{3x} }{A^{6x} + 1 } \\ & = \frac{(A^{10x} - 1) \times A^{3x} }{A^{5x} \times (A^{6x} + 1) } \\ & = \frac{A^{10x} - 1}{A^{5x - 3x} \times (A^{6x} + 1 )} \\ & = \frac{(A^{2x})^5 - 1}{A^{2x} \times [ (A^{2x})^3 + 1 ]} \\ & = \frac{(2)^5 - 1}{2 \times [ (2)^3 + 1 ]} \\ & = \frac{32 - 1}{2 \times [ 8 + 1 ]} \\ & = \frac{3 1}{2 \times 9} \\ & = \frac{ 31 }{18} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = \frac{ 31 }{18} . \, \heartsuit $

Cara IV:
*). Untuk cara 4 ini kita ubah dalam bentuk akar dan merasionalkannya
$ A^{2x} = 2 \rightarrow (A^x)^2 = 2 \rightarrow A^x = \sqrt{2} $
Nilai dari :
$ (\sqrt{2})^5 = \sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2} = 2.2.\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
$ (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2} = 2.\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } & = \frac{A^{5x} - \frac{1}{A^{5x}}}{A^{3x} + \frac{1}{A^{3x}} } \\ & = \frac{(A^x)^5 - \frac{1}{(A^x)^5}}{(A^x)^3 + \frac{1}{(A^x)^3} } \\ & = \frac{(\sqrt{2})^5 - \frac{1}{(\sqrt{2})^5}}{(\sqrt{2})^3 + \frac{1}{(\sqrt{2})^3} } \\ & = \frac{4\sqrt{2} - \frac{1}{ 4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} } \\ & = \frac{4\sqrt{2} - \frac{1}{ 4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} } \times \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \\ & = \frac{32 - 1}{16 + 2 } \\ & = \frac{ 31 }{18} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = \frac{ 31 }{18} . \, \heartsuit $
(C). Bentuk Akar
(i). Pengertian Bentuk Akar
       Bentuk akar adalah akar dari sebuah bilangan real positif yang hasilnya bukan bilangan rasional yang memenuhi sifat :
Jika $ \sqrt{a} = b, \, $ maka $ b^2 = a \, $ dengan $ a \geq 0 $
Catatan :
*). $ b \, $ adalah hasil dari $ \sqrt{a} $
*). $ \sqrt{a} \, $ disebut bentuk akar jika hasilnya ($b$) adalah bilangan irrasional.

       Untuk contoh mendetail tentang bentuk akar, silahkan kunjungi link berikut:
Bentuk Akar pada Eksponen

(ii). Operasi Aljabar bentuk akar
1). $ a\sqrt{p} + b\sqrt{p} = (a+b)\sqrt{p} $
2). $ a\sqrt{p} - b\sqrt{p} = (a-b)\sqrt{p} $
3). $ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $
4). $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $
5). $ (a\sqrt{p}).(b\sqrt{q}) = (a.b)\sqrt{p.q} $
6). $ \sqrt{a} . \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a $
7). $ \frac{a\sqrt{p}}{b\sqrt{q}} = \left( \frac{a}{b} \right) \sqrt{\frac{p}{q}} $

(iii). Merasionalkan Bentuk Akar
         Merasionalkan bentuk akar adalah mengubah bentuk akar (iirasional) menjadi bilangan rasional (menghilangkan akarnya) dengan mengalikan bentuk sekawannya.
Untuk $ a, \, b, \, c, \, $ dan $ d \, $ bilangan rasional positif, maka :
*). $ \sqrt{a} \, $ sekawannya $ \sqrt{a} $
*). $ (a + \sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (a - \sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (a + p\sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (a - p\sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (\sqrt{a} + \sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (\sqrt{a} - \sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (p\sqrt{a} + q\sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (p\sqrt{a} - q\sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
Catatan :
*). Sekawannya positif (+) adalah negatif (-) , dan sebaliknya sekawannya negatif (-) adalah positif (+) .
*). Untuk perkaliannya, gunakan $ (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 $

Contoh soal umptn:

4). Soal SPMB 2003 MatDas
Jika $a=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \, \, $ dan $ b = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}, \, \, $ maka $ a + b = .... $
A). $ 4 \sqrt{3} $
B). 4
C). 1
D). $ -4 $
E). $ -4 \sqrt{3} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Jumlahkan dan samakan penyebutnya
$\begin{align*} a+ b & = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} + \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} \\ & = \frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} \\ & = \frac{(1-2\sqrt{3}+3) + (1+2\sqrt{3}+3)}{1-3} \\ & = \frac{8}{-2} = -4 \end{align*}$
Jadi, hasilnya adalah -4. $ \heartsuit $
5). Soal SNMPTN 2008 MatDas 201
Jika $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}} = a + b\sqrt{5}$ , maka $a+b = ...$
A). 1
B). 2
C). 3
D). 4
E). 5

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} a + b\sqrt{5} & = \frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}} \\ & = \frac{\frac{\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} \\ & = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} \times \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} \\ & = \frac{5-4\sqrt{5}+4}{5-4} = \frac{9 - 4\sqrt{5}}{1} \\ a + b\sqrt{5} & = 9 - 4\sqrt{5} \end{align}$
Sehingga : $a = 9 $ dan $ b = -4 $
Jadi, nilai $a+b=9+(-4)=5 . \heartsuit $
(iv). Akar dalam akar
         Untuk $ a \, $ dan $ b \, $ bilangan raasional positif, berlaku sifat :
*). $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (a+b) + 2\sqrt{ab} \, $ atau
$ \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $

*). $(\sqrt{a} +- \sqrt{b})^2 = (a+b) - 2\sqrt{ab} \, $ atau
$ \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ \sqrt{a} \geq \sqrt{b} $

       Untuk contoh mendetail tentang akar dalam akar, silahkan kunjungi link berikut:
Bentuk Akar pada Eksponen

Contoh Soal umptn:

6). Soal UM UGM 2006 MatDas
Bentuk sederhana dari $ \sqrt{ 7 + \sqrt{48}} \, $ adalah ....
A). $ \sqrt{8} + \sqrt{7} \, $
B). $ \sqrt{7} + \sqrt{6} \, $
C). $ \sqrt{6} + 1 \, $
D). $ \sqrt{5} + \sqrt{2} \, $
E). $ \sqrt{4} + \sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sqrt{ 7 + \sqrt{48}} & = \sqrt{ 7 + \sqrt{4 \times 12}} \\ & = \sqrt{ 7 + 2 \sqrt{ 12}} \\ & = \sqrt{ (4+3) + 2 \sqrt{4 \times 3}} \\ & = \sqrt{4} + \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{ 7 + \sqrt{48}} = \sqrt{4} + \sqrt{3} \, \heartsuit $
7). Soal UM UGM 2005 MatDas
Jika $ \sqrt{0,3 + \sqrt{0,08}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $ , maka $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} = ....$
A). $ 25 \, $
B). $ 20 \, $
C). $ 15 $
D). $ 10 $
E). $ 5 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$\begin{align} \sqrt{a} + \sqrt{b} & = \sqrt{0,3 + \sqrt{0,08}} \\ & = \sqrt{0,3 + \sqrt{4 \times 0,02}} \\ & = \sqrt{0,3 + 2\sqrt{ 0,02}} \\ & = \sqrt{(0,2 + 0,1) + 2\sqrt{0,2 \times 0,1}} \\ \sqrt{a} + \sqrt{b} & = \sqrt{0,2} + \sqrt{0,1} \end{align} $
Artinya nilai :
$ a = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $ dan $ b = 0,1 = \frac{1}{10} $
*). Menentukan nilai $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ :
$\begin{align} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} & = \frac{1}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{\frac{1}{10}} \\ & = \frac{5}{1} + \frac{10}{1} \\ & = 5 + 10 = 15 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 15 . \, \heartsuit $
(D). Persamaan Eksponen
       Bentuk-bentuk persamaan eksponen dan penyelesaiannya:
(i). $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian untuk $ f(x) = g(x) $
(ii). $ p^{f(x)} = q^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0 $
(iii). $ p^{f(x)} = q^{g(x)} \Rightarrow f(x) . \log p = g(x) . \log q $
(iv). $ g(x)^{f(x)} = g(x)^{h(x)} \Rightarrow \, $ Solusinya adalah semua :
       a). $ f(x) = h(x) $
       b). $ g(x) = 1 $
       c). $ g(x) = -1 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ dan $ g(x) $
           sama-sama genap atau sama-sama ganjil
       d). $ g(x) = 0 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ dan $ g(x) $
           sama-sama positif atau sama-sama negatif
(v). $ f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)} \Rightarrow \, $ Solusinya adalah semua :
       a). $ f(x) = g(x) $
       b). $ h(x) = 0 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ atau $ g(x) $
           tidak bernilai nol.
(vi). $ a \left( m^{f(x)} \right)^2 + b \left( m^{f(x)} \right) + c = 0 $
       dengan memisalkan $ m^{f(x)} = p $
       Sehingga bentuknya: $ ap^2 + bp + c = 0 $

       Untuk contoh mendetail tentang masing-masing bentuk persamaan eksponen di atas, silahkan kunjungi link:
Persamaan Eksponen

Contoh soal umptn:

8). Soal SNMPTN 2010 MatDas 336
Jika $n$ memenuhi $\underbrace{25^{0,25}\times 25^{0,25}\times ...\times 25^{0,25}}_{n \text{ faktor}}=125,$
maka $(n-3)(n+2)= ...$
A). 24
B). 26
C). 28
D). 32
E). 36

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Rumus Dasar :
$(a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $\, a^m.a^n = a^{m+n}$
$a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $n$
$\begin{align} \underbrace{25^{0,25}\times 25^{0,25}\times ...\times 25^{0,25}}_{n \text{ faktor}} & =125 \\ \underbrace{(5^2)^{\frac{1}{4}}\times (5^2)^{\frac{1}{4}}\times ...\times (5^2)^{\frac{1}{4}}}_{n \text{ faktor}} & =125 \\ \underbrace{5^{\frac{1}{2}}\times 5^{\frac{1}{2}}\times ...\times 5^{\frac{1}{2}}}_{n \text{ faktor}} & =125 \\ 5^ {\underbrace{{\frac{1}{2}} + {\frac{1}{2}} + ...+ {\frac{1}{2}}}_{n \text{ faktor}} } & = 5^3 \\ 5^{\frac{1}{2}n} & = 5^3 \\ \frac{1}{2}n & = 3 \\ n & = 6 \end{align}$
Sehingga : $(n-3)(n+2) = (6-3)(6+2) = 3 . 8 = 24$
Jadi, nilai $(n-3)(n+2) = 24 . \heartsuit $
9). Soal UTBK 2019 Saintek
Jika $ x $ memenuhi persamaan $ 3^{x+2} - 3^x = 32 $ , maka nilai $ \frac{45^x}{5^{x-1}} = .... $
A). $ 9 \, $
B). $ 20 \, $
C). $ 45 \, $
D). $ 60 \, $
E). $ 80 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menyederhanakan persamaan:
$ \begin{align} 3^{x+2} - 3^x & = 32 \\ 3^{x} . 3^2 - 3^x & = 32 \\ 3^{x} . (3^2 - 1) & = 32 \\ 3^{x} . 8 & = 32 \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ 3^{x} & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \frac{45^x}{5^{x-1}} $ :
$ \begin{align} \frac{45^x}{5^{x-1}} & = \frac{(3.3.5)^x}{\frac{5^x}{5^1} } \\ & = 3^x.3^x.5^x. \frac{5^1}{5^x} \\ & = 3^x.3^x.5^1 \\ & = 4.4.5 \\ & = 80 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{45^x}{5^{x-1}} = 80. \heartsuit $
10). Soal SPMB 2006 MatDas
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ solusi persamaan $ 3.9^x +9^{1-x} = 28 $ , maka $x_1 + x_2 = .... $
A). $ -\frac{1}{2} $
B). 0
C). $ \frac{1}{2} $
D). 1
E). $ 1 \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \,$ Misalkan : $ p = 9^x $
$\begin{align} 3.9^x +9^{1-x} & = 28 \\ 3.9^x +\frac{9^1}{9^x} & = 28 \\ 3p +\frac{9}{p} & = 28 \, \, \, \text{(kali } \, p ) \\ 3p^2 - 28p + 9 & = 0 \\ (3p-1)(p-9) & = 0 \\ p = \frac{1}{3} \rightarrow & \, \, 9^ x = 3^{-1} \rightarrow 3^{2x} = 3^{-1} \rightarrow x_1 = \frac{-1}{2} \\ p = 9 \rightarrow & \, \, 9^x = 9 \rightarrow x_2 = 1 \end{align}$
sehingga : $x_1 + x_2 = \frac{-1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $

Cara II: Operasi akar jika tidak bisa difaktorkan
$\clubsuit \,$ Misalkan : $ p = 9^x $ sehingga $ p_1 = 9^{x_1} $ dan $ p_2 = 9^{x_2} $
$\begin{align} 3.9^x +9^{1-x} & = 28 \\ 3.9^x +\frac{9^1}{9^x} & = 28 \\ 3p +\frac{9}{p} & = 28 \, \, \, \text{(kali } \, p ) \\ 3p^2 - 28p + 9 & = 0 \\ p_1. p_2 & = \frac{c}{a} \\ 9^{x_1}. 9^{x_2} & = \frac{9}{3} \\ 9^{x_1 + x_2} & = 3 \\ 3^{2(x_1 + x_2)} & = 3^1 \\ 2(x_1 + x_2) & = 1 \\ x_1 + x_2 & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $
(E). Pertidaksamaan Eksponen
       Untuk $ a \in R, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ , dapat dibentuk pertidaksamaan :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} $
Bentuk pertidaksamaan tersebut dapat diselesaikan bergantung dari nilai $ a \, $ (basisnya) :

(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $

(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $

       Untuk contoh detail tentang pertidaksamaan eksponen, silahkan kunjungi link:
Pertidaksamaan Eksponen.

Contoh soal umptn:

11). Soal SBMPTN 2014 MatDas 631
Himpunan penyelesaian dari $ \left( \frac{1}{8} \right)^{8+2x-x^2} \geq \left( \frac{1}{16} \right)^{x+2} \, $ adalah ....
A). $ x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 $
B). $ x \leq -3 \text{ atau } x \geq \frac{3}{8} $
C). $ x \leq -2 \text{ atau } x \geq \frac{8}{3} $
D). $ x \leq \frac{3}{8} \text{ atau } x \geq \frac{8}{3} $
E). $ x \leq 2 \text{ atau } x \geq \frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Konsep pertidaksamaan eksponen (perpangkatan)
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, \text{solusinya} \, \left\{ \begin{array}{cc} f(x) \geq g(x) , & \text{untuk} \, a > 1 \\ f(x) \leq g(x), & \text{untuk} \, 0 < a < 1 \end{array} \right. $
Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\clubsuit \, $ Menyamakan basis
$\begin{align} \left( \frac{1}{8} \right)^{8+2x-x^2} & \geq \left( \frac{1}{16} \right)^{x+2} \\ \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^{8+2x-x^2} & \geq \left( \left( \frac{1}{2} \right)^4 \right)^{x+2} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{24+6x-3x^2} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{4x+8} \\ 24+6x-3x^2 & \leq 4x+8 \, \, \, \text{(dibalik karena basis kurang dari 1)} \\ -3x^2 + 2x + 16 & \leq 0 \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 3x^2 - 2x - 16 & \geq 0 \\ (3x-8)(x+2) & \geq 0 \\ x = \frac{8}{3} \vee x & = -2 \end{align} $
sbmptn_matdas_k631_5_2014.png
Jadi, $HP = \{ x \leq -2 \vee x \geq \frac{8}{3} \} . \heartsuit $
12). Soal UTBK 2019 Saintek
Jika $ x < a $ atau $ x > b $ adalah penyelesaian dari pertidaksamaan $ 3^{2x} - 36. 3^x + 243 > 0 $ , maka nilai $ |a-b| = .... $
A). $ 1 \, $
B). $ 2 \, $
C). $ 3 \, $
D). $ 4 \, $
E). $ 5 $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Misalkan $ 3^x = p $
*). Menentukan akar-akar:
$ \begin{align} 3^{2x} - 36. 3^x + 243 & > 0 \\ (3^x)^2 - 36. 3^x + 243 & > 0 \\ p^2 - 36p + 243 & > 0 \\ (p - 9)(p-27) & > 0 \\ p = 9 \vee p & = 27 \\ 3^x = 9 \vee 3^x & = 27 \\ 3^x = 3^2 \vee 3^x & = 3^3 \\ x = 2 \vee x & = 3 \end{align} $
garis bilangannya

Sehingga penyelesaiannya : $ x < 2 \vee x > 3 $
yang sama dengan bentuk $ x < a \vee x > b $
ini artinya $ a = 2 $ dan $ b = 3 $
Nilai $ |a - b | = | 2 - 3 | = | -1| = 1 $
Jadi, nilai $ |a - b | = 1 . \heartsuit $
13. Soal SBMPTN 2018 MatIPA 450
Jika grafik $ y = 3^{2x^2 + cx + \frac{c^2}{2}} $ dan $ y = 3^{x^2 + c - 1 } $ bersinggungan, maka nilai $ c^2 + 4c $ adalah ...
A). 12
B). 5
C). 0
D). $ - 3 $
E). $ -4 $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Menyusun persamaan:
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3^{2x^2 + cx + \frac{c^2}{2}} & = 3^{x^2 + c - 1 } \\ 2x^2 + cx + \frac{c^2}{2} & = x^2 + c - 1 \\ x^2 + cx + \frac{c^2}{2} - c + 1 & = 0 \\ \end{align} $
*). Syarat $ D = 0 $ :
$ \begin{align} b^2 - 4ac & = 0 \\ c^2 - 4.1. \left( \frac{c^2}{2} - c + 1 \right) & = 0 \\ c^2 - 2c^2 + 4c - 4 & = 0 \\ - c^2 + 4c - 4 & = 0 \\ c^2 - 4c + 4 & = 0 \\ (c-2)(c-2) & = 0 \\ c = 2 \vee c & = 2 \end{align} $
*). Menentukan hasil $ c^2 + 4c $ :
$ \begin{align} c^2 + 4c & = 2^2 + 4.2 \\ & = 4 + 8 \\ & = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ c^2 + 4c = 12. \heartsuit $
14). Soal Simak UI 2018 MatDas 641
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $ \sqrt[3]{x} = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} $ adalah ...
A). $ -8 \, $
B). $ -6 \, $
C). $ 4 \, $
D). $ 6 \, $
E). $ 8 $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
*).Misalkan $ \sqrt[3]{x} = p $
*).Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sqrt[3]{x} & = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} \\ p & = \frac{2}{1 + p} \\ p(1+p) & = 2 \\ p^2 + p - 2 & = 0 \\ (p+2)(p-1) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = 1 \end{align} $
*).Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} p = -2 \rightarrow \sqrt[3]{x} & = -2 \\ x & = (-2)^3 \\ x_1 & = -8 \\ p = 1 \rightarrow \sqrt[3]{x} & = 1 \\ x & = 1^3 \\ x_2 & = 1 \end{align} $
*). Menentukan hasil perkaliannya :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = -8 . 1 = -8 \end{align} $
Jadi, hasil perkaliannya adalah $ -8 . \, \heartsuit $

Cara II:
*). Bagaimana jika persamaan yang terbentuk tidak bisa difaktorkan seperti cara pertama? Nah, sebagai alternatif penyelesain kita menggunakan cara 2 ini baik bisa difaktorkan atau tidak.
*).Misalkan $ \sqrt[3]{x} = p $
artinya $ p_1 = \sqrt[3]{x_1} \, $ dan $ p_2 = \sqrt[3]{x_2} $
*).Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sqrt[3]{x} & = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} \\ p & = \frac{2}{1 + p} \\ p(1+p) & = 2 \\ p^2 + p - 2 & = 0 \\ p_1 . p_2 & = \frac{c}{a} \\ \sqrt[3]{x_1} . \sqrt[3]{x_2} & = \frac{-2}{1} \\ \sqrt[3]{x_1.x_2} & = -2 \\ x_1.x_2 & = (-2)^3 \\ x_1.x_2 & = -8 \end{align} $
Jadi, hasil perkaliannya adalah $ -8 . \, \heartsuit $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi soal-soal eksponen seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut :
Kumpulan soal eksponen seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Eksponen - umptn dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika. Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.