Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran

         Blog Koma - Salah satu materi yang kita pelajari dalam matematika keuangan adalah materi "angsuran". Sebenarnya materi angsuran ini sudah kita bahas dalam blog koma ini, silahkan baca artikelnya di "Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan". Rumus angsurannya juga sudah ada pada artikel tersebut yang dilengkapi dengan cara menemukan rumus angsurannya. Terus, apa yang mau kita buktikan lagi pada artikel Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini? Dalam penjabaran untuk menemukan rumus angsuran, terdapat bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ yang mana belum kita berikan penjelasan kenapa hasilnya seperti itu. Akhirnya teman-teman yang senang dengan proses penemuan rumus angsurannya pasti membacanya secara detail dan hanya terkendala atau bingung bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ dapatnya darimana!. Dan kami sebagai penulis juga baru sadar dengan hal itu, terimakasih bagi teman-teman yang mau menanyakannya. Dalam Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini, akan kami jabarkan cara menemukan bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ , dimana penjabarannya cukup panjang sehingga kami buatkan dalam artikel khusus ini.

         Untuk memudahkan dalam memahami Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini, silahkan teman-teman pelajari terlebih dahulu materi "anuitas dan angsuran", dan "Sisa Pinjaman pada Anuitas ". Langsung saja kita bahas salah satu cara dalam pembuktian rumus angsuran berikut ini.

Rumus Menghitung Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
Rumus angsuran ke-$n$ dapat dihitung dengan rumus :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $

Keterangan :
$a_n = \, $ angsuran ke-$n$
$a_k = \, $ angsuran ke-$k$
$a_1 = \, $ angsuran pertama
$i = \, $ suku bunga setiap periodenya

$\spadesuit \, $ Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran
       Jika suatu pinjaman sebesar M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama n tahun dengan suku bunga i%/tahun, dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku:
$ \begin{align} A_{n+1} & = A_n \\ a_{n+1} + b_{n+1} & = a_n + b_n \\ a_{n+1} & = a_n + b_n - b_{n+1} \\ a_{n+1} & = a_n + (b_n - b_{n+1} ) \\ a_{n+1} & = a_n + (a_n.i) \\ a_{n+1} & = a_n( 1 + i) \end{align} $
Sehingga dari rumus : $ a_{n+1} = a_n( 1 + i) \, $
$ \begin{align} a_2 & = a_1(1+i) \\ a_3 & = a_2(1+i) = a_1(1+i)(1+i) = a_1(1+i)^2 \\ a_4 & = a_3(1+i) = a_1(1+i)^2(1+i) = a_1(1+i)^3 \\ ... & \text{dan seterusnya} \\ a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \end{align} $
Kita peroleh rumus penghitungan besarnya angsuran yaitu :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $.

Fokus kita sekarang adalah bagaimana cara memperoleh bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $
Berikut langkah-langkah dalam pembuktiannya :

Langkah (1). Membuktikan $ S_{n-1} - S_n = a_n $ :
       Sisa pinjaman setelah membayar angsuran beberapa kali dapat kita hitung sebagai berikut. Misalkan kita meminjam uang sebesar M yang akan kita lunasi dengan sistem anuitas, maka sisa pinjaman persekian kali mengangsur adalah :
$ \begin{align} S_1 & = M - a_1 \\ S_2 & = M - (a_1 + a_2) \\ S_3 & = M - (a_1 + a_2+a_3) \\ .. & ................ \\ S_{n-1} & = M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1}) \\ S_{n} & = M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1} + a_n) \end{align} $
Sehingga :
$ \begin{align} & S_{n-1} - S_n \\ & = [M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1})] - [M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1} + a_n)] \\ & = [M - a_1 - a_2 -a_3 - ... - a_{n-1}] - [M - a_1 - a_2-a_3 - ... - a_{n-1} - a_n] \\ & = a_n \end{align} $
Keterangan : $ S_n = \, $ sisa pinjaman setelah $ n $ kali mengangsur (membayar).
jadi, terbukti $ S_{n-1} - S_n = a_n $

Langkah (2). Membuktikan $ b_n = i.S_{n-1} $
       Besarnya bunga $(b)$ yang kita bayarkan pada setiap periode bergantung dari sisa pinjaman. Misalkan pinjaman sebesar M akan kita lunasi secara anuitas dengan persentase bunga $ i $, maka besar bunga per periode dapat kita hitung menjadi :
$ \begin{align} b_1 & = i.M \\ b_2 & = i. S_1 \\ b_3 & = i. S_2 \\ b_4 & = i. S_3 \\ .. & ...... \\ b_n & = i.S_{n-1} \\ b_{n+1} & = i.S_n \end{align} $
Kita peroleh : $ b_n = i.S_{n-1} $ dan $ b_{n+1}=i.S_n $
Keterangan : $ b_n = \, $ bunga yang kita bayarkan dalam pembayaran angsuran yang ke-$n$

Langkah (3). Membuktikan $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $
       Dari langkah (1) dan (2) kita telah memperoleh :
$ S_{n-1} - S_n = a_n , \, b_n = i.S_{n-1} , \, $ dan $ b_{n+1}=i.S_n $ ,
Sehingga :
$ \begin{align} b_n - b_{n+1} & = i.S_{n-1} - i.S_n \\ & = i. (S_{n-1} - S_n ) \\ & = i.a_n = a_n.i \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ untuk melengkapi Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran pada bagian yang paling atas di artikel ini.

         Demikian Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran . Semoga bisa bermanfaat bagi kita semua. Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini. Jika ada kritik dan saran atau mungkin ada cara lain yang lebih praktis, mohon share di blog koma ini dengan mengisi komentar di kolom komentar di setiap akhir artikel atau langsung mengirim email ke email blog koma. Terima kasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar