Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya

         Blog Koma - Materi irisan kerucut mencakup lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola, dimana yang sudah kita bahas adalah "persamaan parabola", "persamaan lingkaran", dan "persamaan elips". Pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya. Kurva Hiperbola kita peroleh dari mengiriskan bidang datar dengan bangun ruang kerucut seperti tampak pada gambar berikut ini. Hiperbola dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana selisih jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) hiperbola dan himpunan semua titik P membentuk kurva Hiperbola. Bagaimana cara menemukan persamaan Hiperbolanya?, silahkan teman-teman baca pada artikel "cara menemukan persamaan Hiperbola". Kurva Hiperbola memiliki dua bentuk tergantung dari sumbu nyatanya yaitu sejajar X dan sejajar Y. Pada artikel ini kita lebih fokus pada Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya yang disertai contoh-contoh soal dan tentu trik mudah dalam mengingat Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya.

Perhatikan ilustrasi kurva Hiperbola dan unsur-unsurnya berikut ini.

Unsur-unsur dari kurva Hiperbola di atas yaitu :
*). Titik $ P(x,y) $ adalah titik sembarang pada Hiperbola sehingga berlaku $ |F_1P| - |F_2P| = 2a $
*). Titik pusat Hiperbola : $ M(0,0) $
*). Titik fokus Hiperbola : $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $
*). Sumbu Simetri :
-). Sumbu utama, yaitu sumbu X.
-). Sumbu sekawan, yaitu sumbu Y.
*). Sumbu nyata, yaitu $ AB = 2a $ .
*). Sumbu imajiner, yaitu $ CD = 2b $ .
*). Titik puncak Hiperbola, yaitu titik $ A(-a.0) $ dan $ B(a,0) $ adalah titik potong Hiperbola dengan sumbu nyata
*). Latus rectum adalah garis melalui titik fokus $ F_1 $ dan $ F_2 $ yang tegak lurus dengan sumbu nyata. Pada gambar, garis latus rectumnya adalah garis warna birus. Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $.
*). Hubungan $ a, b$ , dan $ c $ adalah berlaku pythagoras yaitu $ c^2 = a^2 + b^2 $ pada segitiga $ DMB $.
*). Eksentrisitas $(e)$ adalah perbandingan jarak dua titik fokus dan panjang sumbu nyatanya, sehingga dapat kita tulis rumusnya : $ e = \frac{c}{a} $.
*). Direktris adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu nyata yang ditunjukkan oleh garis $ g $ dan gris $ h $. Persamaan direktris masing-masing : garis $ g $ adalah $ x = -\frac{a^2}{c} $ dan garis $ h $ adalah $ x = \frac{a^2}{c} $.
*). Adapun persamaan Hiperbola yang sesuai dengan ilustrasi di atas adalah $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $.

         Sesuai dengan sumbu nyata dan titik pusat, Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya dibagi menjadi empat bagian yaitu :
1). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(0,0) $
2). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(0,0) $
3). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(p,q) $
4). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(p,q) $
       Pada penjelasan di atas, persamaan Hiperbola jenis (1) sudah kita bahas, tinggal tiga jenis berikutnya.

Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(0,0) $

$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 3 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
$ - \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ (0,0) $
-). Titik Fokus : $ F_1(0,-c) $ dan $ F_2(0,c) $
-). Titik puncak : titik $A(0,-a)$ dan $B(0,a)$ .
-). Sumbu Utama adalah sumbu Y.
-). Sumbu sekawan adalah sumbu X.
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} $ dan $ y = \frac{a^2}{c} $

Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(p,q) $

$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 4 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p-c, q) $ dan $ F_2(p+c,q) $
-). Titik puncak : titik $A(p-a,q) \, $ dan $ B(p+a,q)$.
-). Sumbu Utama adalah sumbu X' (garis $ y = q $).
-). Sumbu sekawan adalah sumbu Y' (garis $ x = p $).
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ dan $ x = \frac{a^2}{c} + p $

Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(p,q) $

$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 5 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p, q - c) $ dan $ F_2(p, q + c) $
-). Titik puncak : titik $A(p, q - a) \, $ dan $ B(p, q + a)$.
-). Sumbu Utama adalah sumbu Y' (garis $ x = p $).
-). Sumbu sekawan adalah sumbu X' (garis $ y = q $).
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} + q $ dan $ y = \frac{a^2}{c} + q $

       Ada dua hal yang akan menjadi pertanyaan pada soal yaitu pertama : diketahui persamaan Hiperbolanya dan kita diminta menentukan unsur-unsur Hiperbolanya sekaligus gambar grafiknya, dan yang kedua : diketahui unsur-unsur Hiperbolanya dan kita diminta menentukan persamaan Hiperbolanya.

$ \spadesuit \, $ Trik mudah menentukan unsur-unsur pada Hiperbola yang diketahui persamaan Hiperbolanya
Trik (I) : nilai $ a^2 $ adalah nilai yang ada dibawah bagian positif, sehingga sisanya adalah nilai $ b^2 $.
Trik (II) : Letak nilai $ a^2 $ menentukan sumbu nyatanya. Jika $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbolanya $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika $ a $ ada di bawah sumbu Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbolanya $ -\frac{x^2}{b^2} +\frac{y^2}{a^2} = 1 $ atau $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
Trik (III) : Nilai $ c $ kita tentukan dari $ c^2 = a^2 + b^2 $.
Triks (IV) : Untuk menentukan titik fokus dan titik puncak, kita tinggal menggeser titik pusat $ M(p,q) $ searah sumbu X atau searah sumbu Y. Jika searah sumbu X maka yang berubah bagian $ x $ saja yaitu kekanan ditambah dan ke kiri dikurangkan. Jika searah sumbu Y maka yang berubah bagian $ y $ saja yaitu ke atas ditambahkan dan ke bawah dikurangkan. Ditambah atau dikurangkan tergantung dari besar pergeserannya yaitu $ a $ atau $ c $. Nilai $ c $ selalu menggeser ke titik fokus, nilai $ a $ menggeser ke titik puncak.
Trik (V) : titik fokus dan titik puncak selalu ada di sumbu nyata.

Contoh Soal Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya :

1). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola berikut ini :
a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
b). $ -9x^2 + 4y^2 = 36 $
Penyelesaian :
a). Persamaan Hiperbolanya : $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
-). Karena bagian $ x $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ x $.
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 9 + 16 \rightarrow c^2 = 25 \rightarrow c = 5 $.
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 4 = 8 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.4^2}{3} = \frac{32}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = - \frac{9}{5} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{5} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{9}{5} $ atau $ x = \frac{9}{5} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus pada sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ c = 5 $:
$ F_1(0-5,0) = (-5,0) $
$ F_2(0+5,0) = (5,0) $
-). Titik Puncak pada sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0-3,0) = (-3,0) $
$ B(0+3,0) = (3,0) $

b). Persamaan Hiperbolanya : $ -9x^2 + 4y^2 = 36 $
*). Mengubah persamaannya :
$ \begin{align} -9x^2 + 4y^2 & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ -\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} & = \frac{36}{36} \\ -\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
-). Karena bagian $ y $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ y $.
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 4 \rightarrow b = 2 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 9 + 4 \rightarrow c^2 = 13 \rightarrow c = \sqrt{13} $.
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai $ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 2 = 4 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.2^2}{3} = \frac{8}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = - \frac{9}{\sqrt{13}} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{\sqrt{13}} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{9}{\sqrt{13}} $ atau $ x = \frac{9}{\sqrt{13}} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus pada sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ c = \sqrt{13} $:
$ F_1(0,0-\sqrt{13}) = (0,-\sqrt{13}) $
$ F_2(0,0+\sqrt{13}) = (0,\sqrt{13}) $
-). Titik Puncak pada sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0,0-3) = (0,-3) $
$ B(0,0+3) = (0,3) $

2). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola berikut ini :
a). $ \frac{(x+1)^2}{36} - \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
b). $ -\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1 $
Penyelesaian :
a). Persamaan Hiperbolanya : $ frac{(x+1)^2}{36} - \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
-). Karena bagian $ x $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ x $.
$ a^2 = 36 \rightarrow a = 6 $
$ b^2 = 64 \rightarrow b = 8 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 36 + 64 \rightarrow c^2 = 100 \rightarrow c = 10 $.
$ x - p = x + 1 \rightarrow p = -1 $
$ y - q = y - 2 \rightarrow q = 2 $
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 6 = 12 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 8 = 16 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.8^2}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} + p = - \frac{6^2}{10} + (-1) = - \frac{23}{5} \, $
atau $ x = \frac{a^2}{c} + p = \frac{6^2}{10} + (-1) = \frac{8}{5} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{23}{5} $ atau $ x = \frac{8}{5} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (-1,2) $
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ c = 10 $:
$ F_1(-1-10,2) = (-11,2) $
$ F_2(-1+10,2) = (9,2) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ a = 6 $:
$ A(-1-6,2) = (-7,2) $
$ B(-1+6,2) = (5,2) $

b). Persamaan Hiperbolanya : $ -\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
-). Karena bagian $ y $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ y $.
$ a^2 = 144 \rightarrow a = 12 $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 144 + 25 \rightarrow c^2 = 169 \rightarrow c = 13 $.
$ x-p = x - 1 \rightarrow p = 1 $
$ y - q = y - 3 \rightarrow q = 3 $
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 12 = 24 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 5 = 10 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.5^2}{12} = \frac{25}{6} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{13}{12} $
-). Persamaan direktris :
$ y = -\frac{a^2}{c} + q = - \frac{12^2}{13} + 3 = -\frac{105}{13} \, $
atau $ y = \frac{a^2}{c} + q = \frac{12^2}{13} + 3 = \frac{183}{13} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = -\frac{105}{13} $ atau $ x = \frac{183}{13} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (1,3) $
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ c = 13 $:
$ F_1(1, 3 - 13) = (1,-10) $
$ F_2(1,3+13) = (1,16) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ a = 12 $:
$ A(1,3-12) = (1,-9) $
$ B(1,3+12) = (1,15) $

3). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola $ 9x^2 - 16y^2 + 36x - 32y - 122 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita ubah persamaan Hiperbolanya dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna"
$ \begin{align} 9x^2 - 16y^2 + 36x - 32y - 122 & = 0 \\ 9x^2 + 36x - 16y^2 - 32y & = 122 \\ 9(x^2 + 4x) - 16(y^2 + 2y) & = 122 \\ 9[(x + \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2] - 16[(y + \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 ] & = 122 \\ 9[(x +2)^2 - 4] - 16[(y + 1)^2 - 1 ] & = 122 \\ 9(x +2)^2 - 36 - 16(y - 1)^2 + 16 & = 122 \\ 9(x +2)^2 - 16(y - 1)^2 & = 122 + 36 - 16 \\ 9(x +2)^2 - 16(y - 1)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{9(x +2)^2}{144} - \frac{16(y - 1)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ \frac{(x +2)^2}{16} - \frac{(y - 1)^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh (2) di atas bagian (a).

$ \clubsuit \, $ Trik mudah menentukan persamaan Hiperbola yang diketahui unsur-unsurnya
       Berikut ada beberapa trik mudah sehingga kita tidak perlu mengingat semua rumus persamaan Hiperbolanya jika diketahui unsur-unsur Hiperbolanya.

i). Diketahui titik fokus, perhatikan bagian $ x $ atau $ y $ kah yang berubah. Jika yang berubah $ x $ nya, maka sumbu nyata sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika yang berubah $ y $ nya, maka sumbu nyata sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ - \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
ii). Jarak duat titik fokus dan puncak :
Jarak dua titik fokus $ = 2c $
Jarak dua titik puncak = $ 2a $
iii). gunakan juga teorema pythagoras : $ c^2 = a^2 + b^2 $
iv). Untuk menentukan titik pusat $ M(p,q) $ , kita menggunakan konsep titik tengah antara dua titik. Titik tengah antara titik $ (x_1,y_1) $ dan titik $ (x_2,y_2) $ adalah $ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $ . Titik pusat selalu ditengah-tengah antara dua titik fokus dan juga ditengah-tengah antara dua titik puncak.

Contoh soal diketahui unsur-unsur Hiperbola :

4). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3) serta panjang sumbu nyata 2.
b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $ serta panjang sumbu imajiner 4.
Penyelesaian :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3), yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3+3}{2} \right) = (4,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu nyata = 2 ,
$ 2a = 2 \rightarrow a = 1 $
-). Jarak dua fokus = $ 6-2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = b^2 + 1 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-4)^2}{1} - \frac{(y-3)^2}{3} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x-4)^2}{1} - \frac{(y-3)^2}{3} = 1 $.

b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = (-1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu imajiner = 4 ,
$ 2b = 4 \rightarrow b = 2 $
-). Jarak dua fokus = $ 5 - (-3) = 8 $
$ 2 c = 8 \rightarrow c = 4 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 16 = a^2 + 4 \rightarrow a^2 = 12 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-(-1))^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} & = 1 \\ -\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} = 1 $.

5). Tentukan persamaan Hiperbola yang diketahui titik fokusnya $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $ serta titik puncaknya $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-4 + 6}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 - (-4) = 10 $
$ 2 c = 10 \rightarrow c = 5 $
-). Titik puncak $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $.
Jarak dua titik puncak = $ 4 - (-2) = 6 $
$ 2 a = 6 \rightarrow a = 3 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 25 = 9 + b^2 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1 $.

6). Tentukan persamaan Hiperbola yang diketahui titik fokusnya $ (1,1) $ dan $ (1,5) $ serta titik puncaknya $ (1,2) $ dan $ (1,4) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,1) $ dan $ (1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1 + 5}{2} \right) = (1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 5 - 1 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Titik puncak $ (1,2) $ dan $ (1,4) $.
Jarak dua titik puncak = $ 4 - 2 = 2 $
$ 2a = 2 \rightarrow a = 1 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = 1 + b^2 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-3)^2}{1} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-3)^2}{1} = 1 $.

7). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $ serta nilai eksentrisitasnya $ 2 $ !
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = (1,4) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 - 2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Eksentrisitas :
$ e = 2 \rightarrow \frac{c}{a} = 2 \rightarrow \frac{2}{a} = 2 \rightarrow a = 1 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = 1 + b^2 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-4)^2}{1} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x-1)^2}{3} + (y-4)^2 = 1 $.

8). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui titik puncak $ (-4,3) $ dan $ (2,3) $ serta salah satu persamaan direktrisnya adalah $ x = -\frac{14}{5} $ !
Penyelesaian :
*). Titik puncak $ (-4,3) $ dan $ (2,3) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik Puncak :
$ (p,q) = \left( \frac{-4+2}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = (-1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua puncak = $ 2- (-4) = 6 $
$ 2 a = 6 \rightarrow a = 3 $
-). Persamaan direktrisnya $ x = -\frac{14}{5} $ ada di sebelah kiri titik puncak, sehingga persamaan direktrisnya $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ :
$ -\frac{a^2}{c} + p = -\frac{14}{5} \rightarrow -\frac{3^2}{c} + (-1) = -\frac{9}{5} -1 \rightarrow -\frac{9}{c} = -\frac{9}{5} \rightarrow c = 5 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 25 = 9 + b^2 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-(-1))^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x+1)^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} = 1 $.

       Demikian pembahasan materi Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya serta contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "kedudukan titik dan garis terhadap Hiperbola".

Cara Menemukan Persamaan Hiperbola

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah belajar tentang "parabola" dan "elips" yang merupakan bagian dari "irisan kerucut", sekarang kita lanjutkan lagi pembahasan untuk bentuk irisan kerucut yang ketiga yaitu Hiperbola. Pertama-tama kita akan membahas tentang Cara Menemukan Persamaan Hiperbola. Setelah itu baru kita akan membahas persamaan Hiperbola dan unsur-unsurnya yang dilengkapi dengan contoh-contoh soalnya. Kurva Hiperbola bisa kita peroleh dengan mengiriskan sebuah bangun datar dengan bangun ruang berbentuk kerucut sehingga irisannya berbentuk Hiperbola. Hiperbola dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana selisih jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) hiperbola dan himpunan semua titik P membentuk kurva Hiperbola. Lalu bagaimana cara menemukan persamaan Hiperbolanya? Untuk menemukan persamaan Hiperbola, kita akan menggunakan konsep jarak antara dua titik. Silahkan teman-teman baca pada artikel "Jarak Dua Titik".

         Untuk memudahkan penurunan rumus Cara Menemukan Persamaan Hiperbola, kita akan gambar dulu ilustrasi kurva Hiperbolanya dan titik yang diketahui sehingga kita bisa menghitung jarak-jarak yang terkait dalam penghitungan untuk menemukan persamaan Hiperbola.

$ \spadesuit \, $ Cara menemukan persamaan Hiperbola dengan titik Pusat $ M(0,0) $ :

$\heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan sumbu nyata di sumbu X :
       Misalkan titik fokusnya adalah $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $ dengan jarak $ |F_1F_2| = 2c $. Terdapat dua titik puncak yaitu $ A(-a,0) $ dan $ B(a,0) $ serta titik pusat Hiperbola adalah $ M(0,0) $. Terdapat juga sumbu nyata yaitu garis yang melaui kedua titik Fokus dan sumbu imajiner yaitu garis yang tagak lurus dengan sumbu nyata yang melalui titik pusat hiperbola. Pada sumbu imajiner terdapat dua titik yaitu $ C(0,-b) $ dan $ D(0,b) $. Kita ambil sembarang himpunan titik $ P(x,y) $ pada kurva Hiperbola. Selisih jarak titik P ke $ F_1 $ dan titik P ke $ F_2 $ adalah tetap yaitu sebesar $ 2 a $ dengan $ a > 0 $, artinya dapat kita tuliskan $ |F_1P| - |F_2P| = 2a $. Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

Perhatikan segitiga $ DMB $ adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras yaitu :
$ c^2 = a^2 + b^2 $ atau $ c^2 - a^2 = b^2 $.
atau $ a^2 - c^2 = -b^2 $

Perhitungan Cara menemukan rumus Hiperbolanya :
$ \begin{align} |F_1P| - |F_2P| & = 2a \\ \sqrt{(x - (-c))^2 + ( y -0)^2 } - \sqrt{(x - c)^2 + ( y -0)^2 } & = 2a \\ \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } - \sqrt{(x - c)^2 + y^2 } & = 2a \\ 2a + \sqrt{(x - c)^2 + y^2 } & = \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } \\ \left(2a + \sqrt{(x -c)^2 +y^2 } \right)^2 & = \left( \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } \right)^2 \\ 4a^2 + 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } + ((x -c)^2 + y^2) & = (x + c)^2 + y^2 \\ 4a^2 + 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } + x^2 - 2cx + c^2 + y^2 & = x^2 + 2cx + c^2 + y^2 \\ 4a^2 + 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } - 2cx & = 2cx \\ 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } & = 4cx - 4a^2 \\ a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } & = cx - a^2 \\ \left(a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 }\right)^2 & = \left(cx - a^2 \right)^2 \\ a^2((x -c)^2 + y^2 ) & = c^2x^2 - 2ca^2x + a^4 \\ a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2 ) & = c^2x^2 - 2ca^2x + a^4 \\ a^2x^2 - 2ca^2x + c^2a^2 + a^2y^2 & = c^2x^2 - 2ca^2x + a^4 \\ a^2x^2 + c^2a^2 + a^2y^2 & = a^4 + c^2x^2 \\ a^2x^2 + c^2a^2 + a^2y^2 & = a^4 + c^2x^2 \\ a^2x^2 - c^2x^2 + a^2y^2 & = a^4 - c^2a^2 \\ (a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 & = a^2 (a^2- c^2) \\ (-b^2)x^2 + a^2y^2 & = a^2 .(-b^2) \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ b^2x^2 - a^2y^2 & = a^2 b^2 \\ \frac{b^2x^2}{a^2 b^2 } - \frac{a^2y^2}{a^2 b^2 } & = \frac{a^2 b^2}{a^2 b^2 } \\ \frac{ x^2}{a^2 } - \frac{y^2}{b^2 } & = 1 \end{align} $
Sehingga persamaan Hiperbolanya adalah $ \frac{ x^2}{a^2 } - \frac{y^2}{b^2 } = 1 $.

       Persamaan Hiperbola dengan titik pusat di $ M(0,0) $ dan sumbu nyata sejajar sumbu X adalah $ \frac{ x^2}{a^2 } - \frac{y^2}{b^2 } = 1 $

$\heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan sumbu nyata di sumbu Y :
       Misalkan titik fokusnya adalah $ F_1(0, -c) $ dan $ F_2(0, c) $ dengan jarak $ |F_1F_2| = 2c $. Terdapat dua titik puncak yaitu $ A(0,-a) $ dan $ B(0,a) $ serta titik pusat Hiperbola adalah $ M(0,0) $. Terdapat juga sumbu nyata yaitu garis yang melaui kedua titik Fokus dan sumbu imajiner yaitu garis yang tagak lurus dengan sumbu nyata yang melalui titik pusat hiperbola. Pada sumbu imajiner terdapat dua titik yaitu $ C(-b , 0) $ dan $ D(b,0) $. Kita ambil sembarang himpunan titik $ P(x,y) $ pada kurva Hiperbola. Selisih jarak titik P ke $ F_1 $ dan titik P ke $ F_2 $ adalah tetap yaitu sebesar $ 2 a $ dengan $ a > 0 $, artinya dapat kita tuliskan $ |F_1P| - |F_2P| = 2a $. Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

Perhatikan segitiga $ DMB $ adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras yaitu :
$ c^2 = a^2 + b^2 $ atau $ c^2 - a^2 = b^2 $.
atau $ a^2 - c^2 = -b^2 $

Perhitungan Cara menemukan rumus Hiperbolanya :
$ \begin{align} |F_1P| - |F_2P| & = 2a \\ \sqrt{(x - 0)^2 + ( y -(-c))^2 } - \sqrt{(x - 0)^2 + ( y -c)^2 } & = 2a \\ \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } - \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = 2a \\ 2a + \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } \\ \left(2a + \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \right)^2 & = \left( \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } \right)^2 \\ 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + (x^2 + (y-c)^2) & = x^2 + (y+c)^2 \\ 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + x^2 +y^2 - 2cy + c^2 & = x^2 + y^2 + 2cy + c^2 \\ 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } - 2cy & = 2cy \\ 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = 4cy - 4a^2 \\ a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = cy - a^2 \\ \left( a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \right)^2 & = \left( cy - a^2 \right)^2 \\ a^2(x^2 + (y-c)^2 ) & = a^4 - 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2(x^2 + y^2 - 2cy + c^2 ) & = a^4 - 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 - 2ca^2y + a^2c^2 & = a^4 - 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 + a^2c^2 & = a^4 + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 - c^2y^2 & = a^4 - a^2c^2 \\ a^2x^2 + (a^2 - c^2)y^2 & = a^2(a^2 - c^2) \\ a^2x^2 + (-b^2)y^2 & = a^2.(-b^2) \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ -a^2x^2 + b ^2y^2 & = a^2b^2 \\ - \frac{a^2x^2}{a^2b^2 } + \frac{ b^2y^2}{a^2b^2 } & = \frac{a^2b^2}{a^2b^2 } \\ -\frac{ x^2}{ b^2 } + \frac{ y^2}{a^2 } & = 1 \end{align} $
Sehingga persamaan Hiperbolanya adalah $ - \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $.

       Persamaan Hiperbola dengan titik pusat di $ M(0,0) $ dan sumbu nyata sejajar sumbu Y adalah $ -\frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $

$ \clubsuit \, $ Cara menemukan persamaan Hiperbola dengan titik Pusat $ M(p,q) $ :
       Cara Menemukan Persamaan Hiperbola dengan Titik Puncak $M(p,q) $ yaitu dengan cara menggeser persamaan Hiperbola yang titik puncaknya $ M(0,0) $ ke titik puncak $ M(p,q) $. Untuk memudahkan, kita gunakan konsep translasi (pergeseran). Silahkan baca materi translasi pada artikel "Translasi pada Transformasi Geometri".

Sesuai dengan konsep translasi, menggeser sejauh $ p $ satuan searah sumbu X dan sejauh $ q $ satuan searah sumbu Y, matriks translasinya dapat ditulis $ T = \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) $
*). Hubungan titik awal dan bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p + x \\ q + y \end{matrix} \right) \\ x^\prime & = p + x \rightarrow x = x^\prime - p \\ y^\prime & = q + y \rightarrow y = y^\prime - q \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan titik puncak $ M(p,q) $ dan sumbu nyata sejajar sumbu X .

Persamaan awal kurva Hiperbolanya : $ \frac{ x^2}{a^2 } - \frac{y^2}{b^2 } = 1 $, sehingga persamaan baru setelah digeser yaitu :
$ \begin{align} \frac{ x^2}{a^2 } - \frac{y^2}{b^2 } & = 1 \\ \frac{ (x^\prime - p)^2}{a^2 } - \frac{(y^\prime - q)^2}{b^2 } & = 1 \\ \text{ atau dapat } & \text{ ditlis} \\ \frac{ (x-p)^2}{a^2 } - \frac{(y-q)^2}{b^2 } & = 1 \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan titik puncak $ M(p,q) $ dan sumbu nyata sejajar sumbu Y .

Persamaan awal kurva Hiperbolanya : $ - \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $, sehingga persamaan baru setelah digeser yaitu :
$ \begin{align} -\frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } & = 1 \\ -\frac{ (x^\prime - p)^2}{b^2 } + \frac{(y^\prime - q)^2}{a^2 } & = 1 \\ \text{ atau dapat } & \text{ ditlis} \\ -\frac{ (x-p)^2}{b^2 } + \frac{(y-q)^2}{a^2 } & = 1 \end{align} $

Persamaan Hiperbola dengan titik pusat di $ M(p,q) $

*). Sumbu nyata sejajar sumbu X :
$ \, \, \, \, \, \, \, \frac{ (x-p)^2}{a^2 } - \frac{(y-q)^2}{b^2 } = 1 $
*). Sumbu nyata sejajar sumbu Y :
$ \, \, \, \, \, \, \, -\frac{ (x-p)^2}{b^2 } + \frac{(y-q)^2}{a^2 } = 1 $

       Demikian pembahasan materi Cara Menemukan Persamaan Hiperbola beserta ilustrasi gambar kurva Hiperbolanya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut". Untuk memperdalam mempelajari materi Hiperbola, silahkan baca pada artikel "persamaan Hiperbola dan unsur-unsurnya".

Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah mempelajari materi "persamaan garis singgung elips" yang mana jenis-jenis persamaan garis singgungnya kita bagi menjadi tiga berdasarkan yang diketahui. Nah, pada artikel ini kita masih melanjutkan pembahasan garis singgung elips jenis ketiga yaitu Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva. Mengingatkan kembali, tiga jenis garis singgung elips yaitu pertama : persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1) $ dimana titik ini ada pada elips, kedua : persamaan garis singgung diketahui gradiennya $(m)$, dan ketiga garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini ada di luar kurva elips yang akan kita bahas pada artikel berjudul Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva ini. Pembahasan Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva sengaja kita bahas pada artikel tersendiri karena bertujuan untuk menyederhanakan cakupan pembelajaran sehingga artikelnya tidak terlalu panjang. Ada tiga cara yang akan kita gunakan untuk menentukan Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva.

         Untuk mempermudah mempelajari materi Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva ini, kita harus memahami terlebih dahulu materi "persamaan elips", "persamaan garis lurus", "kedudukan garis terhadap elips", "kedudukan titik terhadap elips", dan "persamaan garis singgung elips" tipe pertama dan tipe kedua yang sudah kita pelajari sebelumnya karena kita akan menggunakan cara-cara tersebut juga dalam menentukan persamaan garis singgung bentuk ketiga ini.

Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva

       Persamaan Garis singgung elips ketiga ini adalah garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada di luar kurva elips, sehingga akan terbentuk dua garis singgung seperti tampak pada gambar di atas. Ada tiga cara menentukan Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva, sebagai berikut :

Cara Pertama Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva

$\spadesuit \, $ Cara Pertama, Syarat garis menyinggung elips : $ D = 0 $
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sehingga kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $ ke persamaan elips, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 - mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung elipsnya.
Nilai $ D = b^2 - 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.

Silahkan baca syarat garis menyinggung elips pada artikel "Kedudukan garis terhadap elips".

Cara Kedua Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva

$\clubsuit \, $ Cara Kedua, Menggunakan PGSE Kedua
Langkah-langkah cara kedua (PGSE kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan digunakan :
-). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
-). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ adalah yang terbesar.
-). Jika titik pusat elipsnya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sehingga bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $ .

(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung elipsnya.

Silahkan baca tentang PGSE Kedua pada artikel "Persamaan garis singgung elips" sebelumnya.

Cara Ketiga Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva

$\heartsuit \, $ Cara Ketiga, Menggunakan PGSE Pertama
Langkah-langkah cara ketiga (PGSE Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan elips yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sehingga kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan elips, titik potong yang kita peroleh adalah sebagai titik singgung antara garis dan elips.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung elipsnya.

Silahkan baca tentang PGSE Pertama (CARA BAGI ADIL) pada artikel "Persamaan garis singgung elips" sebelumnya.

Contoh Soal Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva :

Contoh 1). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ di titik $ (2,2) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (2,2) $ terhadap elipsnya :
$ \begin{align} (x,y)=(2,2) \rightarrow \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(2 - 1)^2}{6} + \frac{2^2}{3} & ... 1 \\ \frac{1}{6} + \frac{4}{3} & ... 1 \\ \frac{1}{6} + \frac{8}{6} & ... 1 \\ \frac{9}{6} & ... 1 \\ \frac{9}{6} & > 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ > $ ruas kiri, maka titik $ (2,2) $ ada di luar elips $ \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ .
Silahkan baca : "Kedudukan titik terhadap elips"
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar elips, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu :

CARA PERTAMA : Cara Diskriminan
Langkah (1). Misalkan persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $,
-). Substitusi titik $ (x,y) = (2,2) $ ke garis singgung :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ 2 & = m.2 + c \\ c & = 2 - 2m \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + 2-2m $.
Langkah (2). Substitusi $ y = mx + 2 - 2m $ ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{(mx + 2 - 2m)^2}{3} & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (x - 1)^2 + 2(mx + 2 - 2m)^2 & = 6 \\ (x^2 - 2x + 1) + 2(m^2x^2 + 4(1 - m)mx + (2-2m)^2) & = 6 \\ x^2 - 2x + 1 + 2m^2x^2 + 8(1 - m)mx + 2(2-2m)^2 & = 6 \\ (1 + 2m^2)x^2 + [8(1 - m)m - 2]x + [2(2-2m)^2 - 5] & = 0 \\ a = 1 + 2m^2, b = 8(1 - m)m - 2, c & = 2(2-2m)^2 - 5 \end{align} $
Langkah (3). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [8(1 - m)m - 2]^2 - 4.(1 + 2m^2).[2(2-2m)^2 - 5] & = 0 \end{align} $
Ternyata pada langkah (3) ini sangat sulit bagi kita untuk menentukan nilai $ m $ nya, hal ini terjadi karena persamaan elips kedua variabelnya yaitu $ x $ dan $ y $ berbentuk kuadrat sehingga ketika kita substitusi persamaan garis singgunggnya maka setelah kita kuadratkan menghasikan bentuk yang agak rumit. Namun bukan berarti tidak bisa dikerjakan, silahkan coba teman-teman lanjutkan pengerjaan langkah (3) untuk mencari nilai $ m $, setelah itu lanjutkan ke langkah (4). Sebagai bantuan, nilai $ m $ nya adalah $ m = -1 $ dan $ m = \frac{1}{5} $.

SARAN : Untuk garis singgung elips titik diluar kurva, sebaiknya jangan menggunakan cara pertama ini karena sulit dalam penghitungan mencari nilai $ m $.

CARA KEDUA : Menggunakan PGSE Kedua
Langkah (1). Menentukan garis singgung yang akan digunakan :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $
-). Dari persamaan elips $ \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $
$ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 3 $.
INGAT : nilai $ a^2 $ adalah nilai yang terbesar.
*). Karena $ a $ ada di bawah $ x $, maka
PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
Karena ada titik pusat $ (p,q) $ , maka
PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
-). Substitusi $ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 3 $ ke garisnya :
$ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} \rightarrow y = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x,y) = (2,2) $ ke garisnya :
$ \begin{align} y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ 2 & = m(2-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ 2 & = m \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ \pm \sqrt{6m^2 + 3} & = m - 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 6m^2 + 3 & = m^2 - 4m + 4 \\ 5m^2 + 4m - 1 & = 0 \\ (m+1)(5m-1) & = 0 \\ m = -1 \vee m & = \frac{1}{5} \end{align} $
Langkah (3). Substitusi nilai $ m = -1 $ atau $ m = \frac{1}{5} $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = -1 \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ y & = -1(x-1) \pm \sqrt{6.(-1)^2 + 3} \\ y & = -x+1 \pm \sqrt{9} \\ y & = -x+1 \pm 3 \\ y & = -x+1 + 3 \vee y = -x + 1 - 3 \\ y & = -x+4 \vee y = -x -2 \\ m = \frac{1}{5} \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \sqrt{6.(\frac{1}{5})^2 + 3} \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{6}{25} + 3} \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{81}{25} } \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \frac{9}{5} \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y & = x-1 \pm 9 \\ 5y & = x-1 + 9 \vee 5y = x - 1 - 9\\ 5y & = x + 8 \vee 5y = x - 10 \end{align} $
Dari keempat garis singgung yang kita peroleh di atas, hanya dua saja yang memenuhi jawaban yaitu garis singgung yang melalui titik $(2,2)$. Garis singgung tersebut adalah $ y = -x + 4 $ dan $ 5y = x + 8 $.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = -x + 4 $ dan $ 5y = x + 8 $.

CARA KETIGA : Menggunakan PGSE Ketiga
Langkah (1). Menentukanpersamaa BAGI ADIL
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(x - 1)(x_1 - 1)}{6} + \frac{y.y_1}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (x - 1)(x_1 - 1) + 2y.y_1 & = 6 \end{align} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) = (2,2) $ ke persamaan bagi adil :
$ \begin{align} (x - 1)(x_1 - 1) + 2y.y_1 & = 6 \\ (x - 1)(2 - 1) + 2y.2 & = 6 \\ (x - 1) + 4y & = 6 \\ x & = -4y + 7 \end{align} $
Langkah (3). Menentukan titik potong garis $ x = -4y + 7 $ dengan elips $ \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ dengan cara substitusi garis ke elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(-4y + 7 - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(-4y + 6)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (-4y + 6)^2 + 2y^2 & = 6 \\ 16y^2 - 48y + 36 + 2y^2 & = 6 \\ 18y^2 - 48y + 30 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ 3y^2 - 8y + 5 & = 0 \\ (3y-5)(y-1) & = 0 \\ y = 1 \vee y & = \frac{5}{3} \end{align} $
Untuk $ y = 1 \rightarrow x = -4y + 7 = -4.1 + 7 = 3 $
Untuk $ y = \frac{5}{3} \rightarrow x = -4y + 7 = -4.\frac{5}{3} + 7 = \frac{1}{3} $
Titik singgungnya adalah $ (3,1 ) $ dan $ \left( \frac{1}{3}, \frac{5}{3} \right) $.
Langkah (4). Substitusi titik singgung ke persamaan Bagi Adil :
$ \begin{align} \text{untuk } (x_1,y_1) & = (3,1) \rightarrow \\ (x - 1)(x_1 - 1) + 2y.y_1 & = 6 \\ (x - 1)(3 - 1) + 2y.1 & = 6 \\ (x - 1).2 + 2y & = 6 \\ 2x - 2 + 2y & = 6 \\ 2y & = - 2x + 8 \\ y & = - x + 4 \\ \text{untuk } (x_1,y_1) & = \left( \frac{1}{3}, \frac{5}{3} \right) \rightarrow \\ (x - 1)(x_1 - 1) + 2y.y_1 & = 6 \\ (x - 1)( \frac{1}{3} - 1) + 2y. \frac{5}{3} & = 6 \\ (x - 1). \frac{-2}{3} + \frac{10}{3}y & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ (x - 1). (-2) + 10y & = 18 \\ -2x + 2 + 10y & = 18 \\ 10y & = 2x + 16 \\ 5y & = x + 8 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = -x + 4 $ atau $ 5y = x + 8 $.

Berikut ilustrasi kurva dan garis singgung untuk contoh soal nomor 1.

Contoh 2). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y - 1)^2}{20} = 1 $ di titik $ (-3,4) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (-3,4) $ terhadap elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y - 1)^2}{20} & = 1 \\ \frac{(-3+1)^2}{5} + \frac{(4 - 1)^2}{20} & ... 1 \\ \frac{4}{5} + \frac{9}{20} & ... 1 \\ \frac{16}{20} + \frac{9}{20} & ... 1 \\ \frac{25}{20} & ... 1 \\ \frac{25}{20} & > 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ > $ ruas kiri, maka titik $ (-3,4) $ ada di luar elips $ \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y - 1)^2}{20} = 1 $ .
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar elips, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya. Untuk langkah berikutnya silahkan teman-teman coba sendiri ya sebagai bahan latihan. Semoga sukses dan bisa mengerjakannya.

       Demikian pembahasan materi Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".

Persamaan Garis Singgung ELips

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "kedudukan titik terhadap elips" dan "kedudukan garis terhadap elips" dimana kedua materi ini adalah salah satu pendukung dari materi persamaan garis singgung elips. Pada artikel kali ini baru kita bahas artikel Persamaan Garis Singgung ELips yang merupakan bagian dari "persamaan elips dan unsur-unsurnya" pada "irisan kerucut". Persamaan Garis Singgung ELips kita bagi menjadi tiga berdasarkan yang diketahui pada soal yaitu pertama : garis singgung elips melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada pada elips, kedua : garis singgung elips yang diketahui gradiennya, dan ketiga : garis singgung elips yang melalui suatu titik dan titik tersebut tidak berada pada elips melainkan di luar kurva elips. Untuk ilustrasi ketiga garis singgung elips tersebut, perhatikan gambar di bawah ini. Sebagai gambaran dasar Persamaan Garis Singgung elips, teman-teman juga bisa mempelajari materi "persamaan garis singgung parabola" dulu karena cara pengerjaannya mirip, hanya saja rumusnya sedikit berbeda terutama untuk diketahui gradiennya.

         Untuk mempermudah mempelajari materi Persamaan Garis Singgung Elips ini, kita sebaiknya menguasai beberapa materi dasar yaitu "persamaan elips", "kedudukan titik terhadap elips", "kedudukan garis terhadap elips", "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus", dan "Hubungan Dua Garis Lurus".

Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE) Pertama

       Jenis pertama Persamaan Garis Singgung Elips yaitu garis singgung elips melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik tersebut ada pada elips. Titik $ (x_1,y_1) $ ini disebut sebagai titik singgungnya. Berikut bentuk persamaan garis singgung elipsnya :
1). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ \frac{x.x_1}{a^2} + \frac{y.y_1}{b^2} = 1 $
2). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ \frac{x.x_1}{b^2} + \frac{y.y_1}{a^2} = 1 $
3). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{a^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{b^2} = 1 $
4). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{b^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{a^2} = 1 $

Catatan :
-). Dalam PGSE Pertama ini, kita harus pastikan terlebih dahulu apakah titik $ (x_1,y_1) $ ada pada elips (dilalui oleh elips) atau tidak. Silahkan baca artikel lengkapnya di "Kedudukan Titik Terhadap elips".
-). Trik Mudah mengingat rumus persamaan garis singgung elips yang diketahui titik singgung $(x_1,y_1)$ : Persamaan garis singgung elips yang diketahui titik singgungnya, kita gunakan yang namanya CARA BAGI ADIL. CARA BAGI ADIL yaitu jika ada bentuk kuadrat maka kita ubah menjadi perkalian, dan jika ada pangkat satu maka kita ubah menjadi penjumlahan dan dibagi dua. Berikut penjabaran CARA BAGI ADIL Persamaan Garis Singgung elips :
$ x^2 \, $ menjadi $ x.x_1 $
$ y^2 \, $ menjadi $ y.y_1 $
$ x \, $ menjadi $ \frac{x+x_1}{2} $
$ y \, $ menjadi $ \frac{y+y_1}{2} $
$ (x-p)^2 \, $ menjadi $ (x-p)(x_1-p) $
$ (y-q)^2 \, $ menjadi $ (y-q)(y_1-q) $
Untuk lebih mudah dalam memahaminya, mari kita pelajari contoh berikut ini.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE Pertama) :

1). Tentukan Persamaan Garis singgung pada elips $ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ di titik $(2,1)$!
Penyelesaian :
*). Kita cek kedudukan titik $ (2,1)$ pada elips $ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ :
$ \begin{align} (x,y) = (2,1) \rightarrow \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{2^2}{6} + \frac{1^2}{3} & ... 1 \\ \frac{4}{6} + \frac{1}{3} & ... 1 \\ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} & ... 1 \\ \frac{3}{3} & ... 1 \\ 1 & ... 1 \\ 1 & = 1 \\ \end{align} $
Karena hasilnya ruas kiri $ = $ ruas kanan (ruas kiri = 1 dan ruas kanan = 1), maka titik $ (2,1)$ ada pada elips $ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ sehingga untuk menentukan PGSE-nya bisa menggunakan CARA BAGI ADIL.
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2,1) $
$ \begin{align} \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{x.x_1}{6} + \frac{y.y_1}{3} & = 1 \\ \frac{x.2}{6} + \frac{y.1}{3} & = 1 \\ \frac{x }{3} + \frac{y}{3} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ x + y & = 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x + y = 3 $.

Catatan :
-). Untuk contoh soal berikutnya yang terkait dengan PGSE Pertama ini, titik yang dilalui oleh elips selalu ada pada elips sehingga kita tidak perlu mengecek kedudukan titik tersebut lagi. Namun jika teman-teman ingin mengecek kedudukan titiknya, kami persilahkan untuk mencobanya secara mandiri.

2). Tentukan Persamaan Garis singgung pada elips $ \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{20} = 1 $ di titik $(0,-2)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (0,-2) $
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{20} & = 1 \\ \frac{(x+1)(x_1+1)}{5} + \frac{(y-2)(y_1-2)}{20} & = 1 \\ \frac{(x+1)(0+1)}{5} + \frac{(y-2)(-2-2)}{20} & = 1 \\ \frac{x+1}{5} + \frac{(y-2)(-4)}{20} & = 1 \\ \frac{x+1}{5} + \frac{-(y-2) }{5} & = 1 \\ \frac{x+1}{5} + \frac{-y + 2}{5} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ x+1 + (-y + 2) & = 5 \\ x- y & = 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x - y = 2 $.

3). Tentukan Persamaan Garis singgung di titik yang berabsis 2 pada elips $ 3x^2 + 2y^2 = 66$!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik singgung dengan substitusi absis yaitu $ x = 2 $ ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} 3x^2 + 2y^2 & = 66 \\ 3.2^2 + 2y^2 & = 66 \\ 12 + 2y^2 & = 66 \\ 2y^2 & = 54 \\ y^2 & = 27 \\ y & = \pm \sqrt{27} \\ y & = \pm 3\sqrt{3} \end{align} $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (2, \pm 3 \sqrt{3} ) $
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2, \pm 3 \sqrt{3} ) $
$ \begin{align} 3x^2 + 2y^2 & = 66 \\ 3x.x_1 + 2y.y_1 & = 66 \\ 3x.2 + 2y.(\pm 3\sqrt{3}) & = 66 \\ 6x \pm 6\sqrt{3}y & = 66 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ x \pm \sqrt{3}y & = 11 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x + \sqrt{3}y = 11 $ atau $ x - \sqrt{3}y = 11 $.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x \pm \sqrt{3}y = 11 $.

4). Tentukan Persamaan Garis singgung pada elips $ 4x^2 + 3y^2 - 16x + 6y + 7 = 0 $ di titik $(2,1)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2,1) $
$ \begin{align} 4x^2 + 3y^2 - 16x + 6y + 7 & = 0 \\ 4x.x_1 + 3y.y_1 - 16.\frac{x+x_1}{2} + 6.\frac{y+y_1}{2} + 7 & = 0 \\ 4x.2 + 3y.1 - 8(x+2) + 3(y+1) + 7 & = 0 \\ 8x + 3y - 8x - 16 + 3y+3 + 7 & = 0 \\ 6y - 6 & = 0 \\ 6y & = 6 \\ y & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 1 $.

Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE) Kedua

       Jenis Kedua Persamaan Garis Singgung Elips yaitu garis singgung elips yang diketahui gradiennya ($m$). Berikut bentuk persamaan garis singgung elipsnya :
1). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
2). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
3). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
4). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $

Catatan :
-). Gradien garis $ px + qy + r = 0 $ adalah $ m = \frac{-p}{q} $. Dua garis sejajar memiliki gradien sama, dan dua garis tegak lurus maka perkalian gradien kedua garis sama dengan $ - 1 $.
-). Trik mudah mengingat persamaan garis singgung diketahui gradiennya : Kita cukup mengingat dua bentuk rumusnya saja tergantung dari letak $ a $, apakah ada di bawah $ x $ atau di bawah $ y $, yaitu :
1). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
2). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ adalah yang terbesar.
-). Jika titik pusat elipsnya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sehingga bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $ .

Contoh Soal Persamaan garis singgung elips (PGSE Kedua) :

5). Tentukan persamaan garis singgung elips pada :
a). elips $ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{3} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
b). elips $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
Penyelesaian :
a). elips $ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{3} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 8 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{8.2^2 + 3} \\ y & = 2x \pm \sqrt{8.4 + 3} \\ y & = 2x \pm \sqrt{35} \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = 2x \pm \sqrt{35} $.

b). elips $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 5 $ dan $ b^2 = 4 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} \\ y & = -1.x \pm \sqrt{5 + 4.(-1)^2} \\ y & = -x \pm \sqrt{5 + 4.1} \\ y & = -x \pm \sqrt{9} \\ y & = -x \pm 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = -x \pm 3 $.

6). Tentukan persamaan garis singgung elips $ \frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{4} = 1 $ dengan gradien $ \sqrt{5} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 9 $ dan $ b^2 = 4 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSE-nya : $ (y-q) = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = \sqrt{5} \rightarrow m^2 = 5 $ :
$ \begin{align} (y-q) & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} \\ (y-3) & = \sqrt{5}(x+2) \pm \sqrt{9.5 + 4} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm \sqrt{49} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm 7 \\ y & = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 7 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 7 $.

7). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ \frac{(x-4)^2}{16} + \frac{(y+5)^2}{5} $ yang sejajar dengan garis $ x + 2y = -12 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ x + 2y = -12 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung sejajar, maka gradiennya sama yaitu $ m = -\frac{1}{2} $.
Silahkan baca artikel : "Hubungan dua garis lurus".
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 16 $ dan $ b^2 = 5 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = -\frac{1}{2} \rightarrow m^2 = \frac{1}{4} $ :
$ \begin{align} y-q & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2 } \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{16. \frac{1}{4} + 5} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{4 + 5} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm 3 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y+10 & = - (x-4) \pm 6 \\ 2y+10 & = - x+ 4 \pm 6 \\ 2y & = - x+ 4 - 10 \pm 6 \\ x + 2y & = -6 \pm 6 \end{align} $
pertama : $ x + 2y = -6 + 6 \rightarrow x + 2y = 0 $
pertama : $ x + 2y = -6 - 6 \rightarrow x + 2y = -12 $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya $ x + 2y = 0 $ atau $ x + 2y = -12 $.

8). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{6} = 1 $ yang tegak lurus dengan garis $ -x - 2y = 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ -x - 2y = 3 \rightarrow m_1 = \frac{-(-1)}{-2} = - \frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung tegak lurus, maka .
$ m_1 . m_2 = -1 \rightarrow - \frac{1}{2} . m_2 = - 1 \rightarrow m_2 = 2 $.
Artinya gradien garis singgungnya adalah $ m = 2 $.
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{6 + 3.4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{18} \\ y & = 2x \pm 3\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = 2x \pm 3\sqrt{2} $.

9). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ 4x^2 + 3y^2 + 16x - 12y + 16 = 0 $ yang tegak lurus dengan garis $ x- 3y + 1 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk mengerjakan contoh soal (9) ini, pertama kita ubah dulu bentuk $ 4x^2 + 3y^2 + 16x - 12y + 16 = 0 $ menjadi persamaan elips standar dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna".
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh soal nomor (8) di atas. Silahkan teman-teman coba sendiri ya, ^_^ , sebagai latihan saja.

Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE) Ketiga

       Jenis Ketiga Persamaan Garis Singgung ELips yaitu garis singgung elips yang melalui titik $ (x_1,y_1) $ yang terletak di luar kurva elips.

-). Untuk bentuk PGSE Ketiga ini akan kita lanjutkan pada artikel yang lainnya karena penjelasannya cukup panjang. SIlahkan baca PGSE jenis ketiga ini pada artikel "Garis Singgung ELips titik diluar".

       Demikian pembahasan materi Persamaan Garis Singgung Elips dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".

Kedudukan Garis terhadap Elips

         Blog Koma - Selain materi "kedudukan titik terhadap elips" yang berkaitan langsung dengan "persamaan elips" yaitu "persamaan garis singgung elips", materi Kedudukan Garis terhadap Elips juga sebagai landasan dalam mempelajari materi persamaan garis singgung elips. Kedudukan Garis terhadap Elips caranya hampir sama dengan materi sebelumnya yang sudah kita pelajari yaitu "kedudukan garis terhadap parabola". Kedudukan Garis terhadap Elips ada tiga jenis kemungkinan yaitu pertama : garis memotong kurva elips di dua titik yang berbeda, kedua : garis menyinggung elips (memotong elips di satu titik), dan ketiga : adalah garis tidak memotong kurva elips. Untuk mengetahui dari ketiga jenis kedudukan garis terhadap elips tersebut, masing-masing memiliki syarat tertentu yang tergantung dari nilai Diskriminannya ($ D$) yang biasa kita pelajari pada materi persamaan kuadrat atau fungsi kuadrat dengan rumus $ D = b^2 -4ac $ . Berikut ilustrasi ketiga jenis Kedudukan Garis terhadap Elips dalam bentuk ringkasan gambar.

         Materi-materi dasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari materi Kedudukan Garis terhadap Elips ini yaitu "persamaan elips", "persamaan garis lurus", dan "penyelesaian pertidaksamaan". Berikut penjelasan syarat-syarat Kedudukan Garis terhadap Elips.

Syarat Kedudukan Garis terhadap Elips

       Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam menentukan kedudukan garis terhadap elips yaitu :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong elips di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung elips (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong elips.

Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap elips :
1). Substitusi garis ke elips sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap elips di atas.

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Elips :

1). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 2 $ terhadap elips $ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{((x+2) -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{x^2}{4} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64 \times \frac{(x+1)^2}{16} + 64 \times\frac{x^2}{4} & = 1 \times 64 \\ 4(x+1)^2 + 16x^2 & = 64 \\ 4(x^2 + 2x + 1) + 16x^2 & = 64 \\ 4x^2 + 8x + 4 + 16x^2 & = 64 \\ 20x^2 + 8x - 60 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 5x^2 + 2x - 15 & = 0 \\ a = 5 , b = 2 , c & = -15 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4. 5. (-15) = 4 + 300 = 304 $
*). Karena nilai $ D = 304 > 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ y = x + 2 $ memotong elips $ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $ di dua titik yang berbeda.

2). Tentukan kedudukan garis $ 3x + 2y = 11 $ terhadap elips $ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} = 1 $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ 3x + 2y = 11 \rightarrow y = \frac{-3x + 11}{2} $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 11}{2}+2\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 11 + 4}{2}\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 15}{2}\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{(-3x + 15)^2}{4}\right)}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{ (-3x + 15)^2 }{4 \times 18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{ (-3x + 15)^2 }{72} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 72)} \\ 9(x-1)^2 + (-3x + 15)^2 & = 72 \\ 9(x^2 - 2x + 1) + 9x^2 - 90x + 225 & = 72 \\ 9x^2 - 18x + 9 + 9x^2 - 90x + 225 & = 72 \\ 18x^2 - 108x +162 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 18)} \\ x^2 - 6x + 9 & = 0 \\ a = 1 , b = -6 , c & = 9 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4. 1. 9 = 36 - 36 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ 3x + 2y = 11 $ menyinggung elips $ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} = 1 $.

3). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 4 $ terhadap elips $ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{((x + 4)-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(x + 3)^2}{9} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ 9(x-1)^2 + 4(x + 3)^2 & = 36 \\ 9(x^2 - 2x + 1) + 4(x^2 + 6x + 9) & = 36 \\ 9x^2 - 18x + 9 + 4x^2 + 24x + 36 & = 36 \\ 13x^2 + 6x + 9 & = 0 \\ a = 13 , b = 6 , c & = 9 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4. 13. 9 = 36 - 468 = -432 $
*). Karena nilai $ D = -432 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ y = x + 4 $ tidak memotong elips $ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $.

4). Jika garis $ x + 3y = p $ menyinggung kurva elips $ x^2 + 3y^2 = 16 $ , maka tentukan nilai $ p + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x + 3y = p \rightarrow x = -3y + p $
*). Substitusi garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} x^2 + 3y^2 & = 16 \\ (-3y + p)^2 + 3y^2 & = 16 \\ 9y^2 - 6py + p^2 + 3y^2 & = 16 \\ 12y^2 - 6py + p^2 - 16 & = 0 \\ a = 12 , b = -6p , c & = p^2 - 16 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-6p)^2 - 4.12. ( p^2 - 16) & = 0 \\ 36p^2 - 48p^2 + 768 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 12)} \\ -p^2 + 64 & = 0 \\ p^2 & = 64 \\ p & = \pm 8 \end{align} $
Sehingga nilai $ p + 1 $ :
$ p = 8 \rightarrow p + 1 = 8 + 1 = 9 $
$ p = -8 \rightarrow p + 1 = -8 + 1 = -7 $
Jadi, nilai $ p + 1 $ adalah 9 atau $ -7 $

5). Sebuah garis $ l $ memiliki gradien $ m $ dan menyinggung elips $ 2x^2 + 3y^2 + 4x = 2 $. Jika garis $ l $ melalui titik $ (0,k) $ , maka tentukan nilai $ m $!
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis $ l $ yang melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,k) $ dan gradien $ m $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - k & = m(x -0) \\ y - k & = mx \\ y & = mx + k \end{align} $
*). Substitusi garis ke elips :
$ \begin{align} 2x^2 + 3y^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3(mx+k)^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3(m^2x^2+2kmx + k^2) + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3m^2x^2+6kmx + 3k^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3m^2x^2+6kmx + 4x + 3k^2 - 2 & = 0 \\ (2 + 3m^2)x^2+(6km + 4)x + 3k^2 - 2 & = 0 \\ a = (2 + 3m^2), b =(6km + 4), c & = 3k^2 - 2 \end{align} $
*). Syarat garis bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (6km + 4)^2 - 4.(2 + 3m^2).(3k^2 - 2) & = 0 \\ 36k^2m^2 + 48km + 16 - 4.(2 + 3m^2).(3k^2 - 2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 - (2 + 3m^2).(3k^2 - 2) & = 0 \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 - (6k^2 - 4 + 6k^2m^2 - 6m^2 ) & = 0 \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 - 6k^2 + 4 - 6k^2m^2 + 6m^2 & = 0 \\ 9k^2m^2 - 6k^2m^2 + 6m^2 + 12km + 4 - 6k^2 + 4 & = 0 \\ 3k^2m^2 + 6m^2 + 12km - 6k^2 + 8 & = 0 \\ (3k^2 + 6)m^2 + 12km - 6k^2 + 8 & = 0 \\ a=(3k^2 + 6), b = 12k , c & = - 6k^2 + 8 \end{align} $
*). Dengan rumus ABC pada persamaan kuadrat, maka kita peroleh nilai $ m $ :
$ \begin{align} m & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{(12k)^2 - 4.(3k^2 + 6).(- 6k^2 + 8)}}{2(3k^2 + 6)} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{144k^2 - 4( -18k^4 -12k^2 + 48 )}}{2(3k^2 + 6)} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{144k^2 + 72k^4 + 48k^2 - 192 }}{6k^2 + 12} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{ 72k^4 + 192k^2 - 192 }}{6k^2 + 12} \end{align} $
Jadi, nilai $ m = \begin{align} \frac{-12k \pm \sqrt{ 72k^4 + 192k^2 - 192 }}{6k^2 + 12} \end{align} $ .

6). Garis $ x = -3y + d $ memotong elips $ \frac{(x+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} = 1 $ di dua titik yang berbeda. Jika nilai $ P $ adalah nilai terbesar $ d $ dan $ Q $ adalah nilai terkecil $ d $, dimana $ d $ adalah bilangan bulat yang memenuhi kondisi pada soal, maka tentukan nilai $ P - Q $!
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke elips :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \\ \frac{((-3y + d)+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \\ \frac{(-3y + d+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 54)} \\ 2(-3y + (d+1))^2 + 9(y-1)^2 & = 54 \\ 2(9y^2 -6(d+1)y + (d+1)^2) + 9(y^2 - 2y + 1) & = 54 \\ 18y^2 -12(d+1)y + 2(d+1)^2 + 9y^2 - 18y + 9 & = 54 \\ 27y^2 -12(d+1)y + 2(d+1)^2 - 18y - 45 & = 0 \\ 27y^2 -12dy -12y + 2(d+1)^2 - 18y - 45 & = 0 \\ 27y^2 -12dy -30y + 2(d+1)^2 - 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2(d+1)^2 - 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2(d^2 + 2d + 1) - 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2d^2 + 4d + 2 - 45 & = 0 \\ 27y^2 -6(2d+ 5)y + 2d^2 + 4d - 43 & = 0 \\ a = 27, b =-6(2d+ 5) , c & = 2d^2 + 4d - 43 \end{align} $
*). Syarat berpotongan : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ (-6(2d+ 5))^2 - 4.27 .(2d^2 + 4d - 43) & > 0 \\ 36.(2d+ 5)^2 - 4.27 .(2d^2 + 4d - 43) & > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ (2d+ 5)^2 - 3.(2d^2 + 4d - 43) & > 0 \\ 4d^2 + 20d + 25 - 6d^2 - 12d + 129 & > 0 \\ -2d^2 + 8d + 154 & > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ d^2 - 4d - 77 & < 0 \\ (d + 7)(d - 11) & < 0 \\ d = -7 \vee d & = 11 \end{align} $
garis bilangannya :

solusinya : $ \{ -7 < d < 11 \} $.
Karena $ d $ bilangan bulat, maka nilai $ d $ yang memenuhi adalah $ \{ -6,-5,...,0,1,2,...,9,10 \} $. Artinya $ P = 10 $ dan $ Q = -6 $. Sehingga nilai $ P - Q = 10 - (-6) = 16 $.
Jadi, nilai $ P - Q = 16 $.

       Demikian pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Elips dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Persamaan Garis Singgung ELips".

Kedudukan Titik terhadap Elips

         Blog Koma - Materi Kedudukan Titik terhadap Elips sangat penting kita bahas karena berkaitan langsung dengan "persamaan garis singgung elips" dimana titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar kurva elips. Sebelumnya juga kita telah membahas artikel "Kedudukan Titik terhadap Parabola" dimana hampir sama caranya dengan Kedudukan Titik terhadap Elips, hanya saja pada artikel Kedudukan Titik terhadap Elips kita akan melibatkan "persamaan elips". Ada tiga jenis Kedudukan Titik terhadap Elips yaitu pertama : titik ada di dalam kurva elips, kedua : titik ada pada elips (titik dilalui oleh elips), dan ketiga : titik ada di luar elips. Pada pembahasan di halaman ini, kita akan sedikit kembangkan soal-soalnya sehingga selain bisa menentukan kedudukan titik terhadap kurva elips, kita juga bisa menentukan hal lainnya yang berkaitan syarat kedudukan titik tersebut. Berikut ilustrasi kedudukan titik $ B(x_1,y_1) $ terhadap elips.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Kedudukan Titik terhadap Elips, kita harus menguasai beberapa materi inti seperti "persamaan elips", dan "penyelesaian pertidaksamaan". Untuk lebih lengkapnya, mari kita bahas syarat apa saja untuk mengetahui jenis masing-masing kedudukan titik terhadap elips berikut ini.

Syarat Kedudukan Titik terhadap Elips

       Untuk mengetahui Kedudukan Titik terhadap Elips, kita substitusi titik tersebut ke persamaan elipsnya sehingga akan kita peroleh tiga kemungkinan yaitu :

1). Jika nilai ruas kiri $ < $ ruas kanan (lebih kecil), maka titik ada di dalam elips,

2). Jika nilai ruas kiri $ = $ ruas kanan, maka titik ada pada elips (titik dilalui oleh elips),

3). Jika nilai ruas kiri $ > $ ruas kanan (lebih besar), maka titik ada di luar elips.

Catatan :
Bentuk persamaan elipsnya harus memenuhi bentuk umumnya, setelah itu baru bisa kita substitusi titik yang mau kita cek kedudukannya terhadap elips tersebut. Bentuk yang dimaksud adalah $ \frac{(x-p)^2}{a^2}+ \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{b^2}+ \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $ atau $ Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 $.

Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Elips :

1). Tentukan kedudukan titik $ (1,-1) $ terhadap elips $ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,-1) $ ke persamaan elips :
$ \begin{align} (x,y)=(1,-1) \rightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} & = 1 \\ \frac{1^2}{9} + \frac{(-1)^2}{4} & ... 1 \\ \frac{1}{9} + \frac{1}{4} & ... 1 \\ \frac{13}{36} & ... 1 \\ \frac{13}{36} & < 1 \end{align} $
Karena ruas kiri $ < $ ruas kanan ( $ \frac{13}{36} < 1 $) , maka titik $ (1,-1) $ ada di dalam elips. Berikut ilustrasi gambarnya,

2). Tentukan kedudukan titik $ (6,-3) $ terhadap elips $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y+3)^2}{100} = 1 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (6,-3) $ ke persamaan elips :
$ \begin{align} (x,y)=(6,-3) \rightarrow \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y+3)^2}{100} & = 1 \\ \frac{(6-1)^2}{25} + \frac{(-3+3)^2}{100} & ... 1 \\ \frac{25}{25} + \frac{0}{100} & ... 1 \\ 1 + 0 & ... 1 \\ 1 & ... 1 \\ 1 & = 1 \end{align} $
Karena ruas kiri $ = $ ruas kanan ( $ 1 = 1 $) , maka titik $ (6,-3) $ ada pada elips (titik tersebut dilalui oleh kurva elips). Berikut ilustrasi gambarnya,

3). Tentukan kedudukan titik $ (-2,1) $ terhadap elips $ 9x^2 + 4y^2 + 16y - 20 = 0 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (-2,1) $ ke persamaan elips :
$ \begin{align} (x,y)=(-2,1) \rightarrow 9x^2 + 4y^2 + 16y - 20 & = 0 \\ 9(-2)^2 + 4.1^2 + 16.1 - 20 & ... 0 \\ 36 + 4 + 16 - 20 & ... 0 \\ 36 & ... 0 \\ 36 & > 0 \end{align} $
Karena ruas kiri $ > $ ruas kanan ( $ 36 > 0 $) , maka titik $ (-2,1) $ ada di luar elips. Berikut ilustrasi gambarnya,

4). Jika titik $ (3,-1) $ ada pada elips (dilalui elips) $ \frac{(x-k)^2}{4} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1 $ , maka tentukan nilai $ k_1 + k_2 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $(3,-1) $ ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} (x,y) & = (3,-1) \\ \frac{(x-k)^2}{4} + \frac{(y+1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(3-k)^2}{4} + \frac{(-1+1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(3-k)^2}{4} + \frac{0}{9} & = 1 \\ \frac{(3-k)^2}{4} & = 1 \\ (3-k)^2 & = 4 \\ 3-k & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ 3-k = 2 \vee 3 - k & = -2 \\ k_1 = 1 \vee k_2 & = 5 \\ \end{align} $
*). Sehingga nilai :
$ k_1 + k_2 = 1 + 5 = 6 $
Jadi, nilai $ k_1 + k_2 = 6 $.

5). Jika titik $ (1,2) $ ada di luar elips $ 2x^2 + py^2 + 3x- 4y + 7 = 0 $ , maka tentukan nilai $ p $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,2) $ dan syarat ada di luar adalah $ > $ :
$ \begin{align} (x,y) & = (1,2) \\ 2x^2 + py^2 + 3x- 4y + 7 & = 0 \\ 2.1^2 + p.2^2 + 3.1- 4.1 + 7 & > 0 \\ 2 + 4p + 3 - 4 + 7 & > 0 \\ 4p + 8 & > 0 \\ 4p & > - 8 \\ p & > -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p $ yang memenuhi adalah $ p > -2 $.

6). Titik $ (1,k) $ ada di dalam elips $ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1 $. Jika $ M $ menyatakan nilai maksimum dari $ k $ dan $ N $ menyatakan nilai minimum dari $ k $ , maka tentukan nilai $ M - N $ dengan $ M $ dan $ N $ adalah bilangan bulat!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,k) $ dan syarat ada di dalam adalah $ < $ :
$ \begin{align} (x,y) & = (1,k) \\ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(1-1)^2}{4} + \frac{(k+2)^2}{9} & < 1 \\ \frac{0}{4} + \frac{k^2 + 4k + 4}{9} & < 1 \\ \frac{k^2 + 4k + 4}{9} & < 1 \\ k^2 + 4k + 4 & < 9 \\ k^2 + 4k -5 & < 0 \\ (k +5)(k-1) & < 0 \\ k = -5 \vee k & = 1 \end{align} $
Garis bilangannya :

Solusinya : $ \{ -5 < k < 1 \} $.
Artinya nilai $ M = 0 $ dan $ N = -4 $.
Sehingga nilai $ M - N = 0 - (-4) = 4 $.
Jadi, nilai $ M - N = 4 $.

       Demikian pembahasan materi Kedudukan Titik terhadap Elips dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Kedudukan Garis terhadap Elips".

Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya

         Blog Koma - Setelah membahas artikel "persamaan parabola", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya. Kurva elips kita peroleh dari mengiriskan bidang datar dengan bangun ruang kerucut. Elips dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana jumlah jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut adalah tetap. Titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) dan himpunan semua titik P membentuk kurva elips dan persamaannya kita sebut sebagai persamaan elips. Bagaimana cara menemukan persamaan elipsnya?, silahkan teman-teman baca pada artikel "cara menemukan persamaan elips". Kurva elips memiliki dua bentuk tergantung dari sumbu mayornya (sumbu terpanjang) yaitu arah X dan arah Y. Pada artikel ini kita lebih fokus pada Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya, untuk lebih menguasai materinya juga kita lengkapi dengan contoh-contoh soal dan tentu trik mudah dalam mengingat Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya.

Perhatikan ilustrasi kurva elips dan unsur-unsurnya berikut ini.

Unsur-unsur dari kurva elips di atas yaitu :
*). Titik $ P(x,y) $ adalah titik sembarang pada elips sehingga berlaku $ |F_1P| + |F_2P| = 2a $
*). Titik pusat elips : $ M(0,0) $
*). Titik fokus elips : $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $
*). Sumbu mayor dan sumbu minor :
-). Sumbu mayor (garis AB) adalah sumbu yang melalui titik fokus $ F_1 $ dan $ F_2 $. Panjang sumbu mayor $ = 2a $.
-). Sumbu minor (garis CD) adalah sumbu yang melalui titik pusat dan tegak lurus sumbu mayor. Panjang sumbu minor $ = 2b $.
*). Sumbu utama atau transvers axis adalah sumbu simetri kurva elips yang melaui titik folus $ F_1 $ dan $ F_2 $, ditunjukkan oleh sumbu X.
*). Sumbu sekawan atau cojugate axis adalah sumbu simetri kurva elips yang melaui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu utama, ditunjukkan oleh sumbu Y.
*). Titik puncak elips :
-). Titik $ A(-a.0) $ dan $ B(a,0) $ adalah titik potong elips dengan sumbu mayor
-). Titik $ C(0,-b) $ dan $ D(0,b) $ adalah titik potong elips dengan sumbu minor
*). Latus rectum adalah garis melalui titik fokus $ F_1 $ dan $ F_2 $ yang tegak lurus dengan sumbu mayor. Pada gambar, garis latus rectumnya adalah garis KL dan MN, dimana masing-masing memotong elips di titik K, L, M, dan N. Panjang latus rectum $ = |KL| = |MN| = \frac{2b^2}{a} $ dengan koordinat titik $ K\left( -c, \frac{b^2}{a} \right) $ , $ L\left( -c, \frac{-b^2}{a} \right) $ , $ M\left( c, \frac{b^2}{a} \right) $ , dan $ N\left( c, \frac{-b^2}{a} \right) $ .
*). Hubungan $ a, b$ , dan $ c $ adalah berlaku pythagoras yaitu $ a^2 = b^2 + c^2 $ pada segitiga $ DMF_2 $.
*). Eksentrisitas $(e)$ adalah perbandingan jarak dua titik fokus dan panjang sumbu mayornya, sehingga dapat kita tulis rumusnya : $ e = \frac{c}{a} $.
*). Direktris adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu mayor dan berada diluar elips yang ditunjukkan oleh garis $ g $ dan gris $ h $. Persamaan direktris masing-masing : garis $ h $ adalah $ x = -\frac{a^2}{c} $ dan garis $ h $ adalah $ x = \frac{a^2}{c} $.
*). Adapun persamaan elips yang sesuai dengan ilustrasi di atas adalah $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $.

         Sesuai dengan sumbu mayor dan titik pusat, Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya dibagi menjadi empat bagian yaitu :
1). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(0,0) $
2). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(0,0) $
3). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(p,q) $
4). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(p,q) $
       Pada penjelasan di atas, persamaan elips jenis (1) sudah kita bahas, tinggal tiga jenis berikutnya.

Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(0,0) $

$ \spadesuit \, $ Persamaan elips
       Pada gambar 3 di atas, persamaan elipsnya adalah
$ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ (0,0) $
-). Titik puncak : $ F_1(0,-c) $ dan $ F_2(0,c) $
-). Titik puncak : titik $A(0,-a)$ $B(0,a)$, $C(-b,0) $, dan $D(b,0) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} $ dan $ y = \frac{a^2}{c} $

Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(p,q) $

$ \spadesuit \, $ Persamaan elips
       Pada gambar 4 di atas, persamaan elipsnya adalah
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p-c, q) $ dan $ F_2(p+c,q) $
-). Titik puncak : titik $A(p-a,q)$ $B(p+a,q)$, $C(p, q - b) $, dan $D(p, q + b) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ dan $ x = \frac{a^2}{c} + p $

Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(p,q) $

$ \spadesuit \, $ Persamaan elips
       Pada gambar 5 di atas, persamaan elipsnya adalah
$ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p, q - c) $ dan $ F_2(p, q + c) $
-). Titik puncak : titik $A(p, q - a)$ $B(p, q + a)$, $C(p - b, q) $, dan $D(p + b, q) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} + q $ dan $ y = \frac{a^2}{c} + q $

       Ada dua hal yang akan menjadi pertanyaan pada soal yaitu pertama : diketahui persamaan elipsnya dan kita diminta menentukan unsur-unsur elipsnya sekaligus gambar grafiknya, dan yang kedua : diketahui unsur-unsur elipsnya dan kita diminta menentukan persamaan elipsnya.

$ \spadesuit \, $ Trik mudah menentukan unsur-unsur pada elips yang diketahui persamaan elipsnya
       Pertanyaan sederhana buat teman-teman, apakah teman-teman mau menghafal semua rumus unsur-unsur elips di keempat jenis persamaannya? Kalau jawaban saya TENTU TIDAK. Kita butuh triks khusus untuk mudah diingat sehingga kita bisa mencari unsur-unsur elipsnya dengan mudah.

Trik (I) : nilai $ a^2 $ adalah nilai terbesar yang ada dibagian bawah persamaan, sehingga sisanya adalah nilai $ b^2 $.
Trik (II) : Letak nilai $ a^2 $ menentukan sumbu mayornya. Jika $ a $ ada di bawah X, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X dengan persamaan elipsnya $ \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika $ a $ ada di bawah sumbu Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elipsnya $ \frac{x^2}{b^2} +\frac{y^2}{a^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
Trik (III) : Nilai $ c $ kita tentukan dari $ a^2 = b^2 + c^2 $.
Triks (IV) : Untuk menentukan titik fokus dan titik puncak, kita tinggal menggeser titik pusat $ M(p,q) $ searah sumbu X atau searah sumbu Y. Jika searah sumbu X maka yang berubah bagian $ x $ saja yaitu kekanan ditambah dan ke kiri dikurangkan. Jika searah sumbu Y maka yang berubah bagian $ y $ saja yaitu ke atas ditambahkan dan ke bawah dikurangkan. Ditambah atau dikurangkan tergantung dari besar pergeserannya yaitu $ a $ atau $ b $ atau $ c $. Nilai $ c $ selalu menggeser ke titik fokus, nilai $ a $ menggeser ke titik puncak di sumbu mayor, dan nilai $ b $ menggeser ke titik puncak di sumbu minor.
Trik (V) : titik fokus selalu ada di sumbu mayor, titik puncak A dan ada di sumbu mayor, titik puncak C dan D ada di sumbu minor.

Contoh Soal Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya :

1). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan elips berikut ini :
a). $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $
b). $ 9x^2 + 4y^2 = 36 $
Penyelesaian :
a). Persamaan elipsnya : $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
$ a^2 = 25 \rightarrow a = 5 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 25 = 16 + c^2 \rightarrow c^2 = 9 \rightarrow c = 3 $.
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 5 = 10 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 4 = 8 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.4^2}{5} = \frac{32}{5} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = - \frac{25}{3} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{25}{3} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{25}{3} $ atau $ x = \frac{25}{3} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ c = 3 $:
$ F_1(0-3,0) = (-3,0) $
$ F_2(0+3,0) = (3,0) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ a = 5 $:
$ A(0-5,0) = (-5,0) $
$ B(0+5,0) = (5,0) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu minor), $ y $ nya berubah dengan $ b = 4 $:
$ C(0,0-4) = (0,-4) $
$ D(0,0+4) = (0,4) $

b). Persamaan elipsnya : $ 9x^2 + 4y^2 = 36 $
*). Mengubah persamaannya :
$ \begin{align} 9x^2 + 4y^2 & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ \frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} & = \frac{36}{36} \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 4 \rightarrow b = 2 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 9 = 4 + c^2 \rightarrow c^2 = 5 \rightarrow c = \sqrt{5} $.
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 2 = 4 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.2^2}{3} = \frac{8}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ y = -\frac{a^2}{c} = - \frac{9}{\sqrt{5}} \, $ atau $ y = \frac{a^2}{c} =\frac{9}{\sqrt{5}} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{9}{\sqrt{5}} $ atau $ x = \frac{9}{\sqrt{5}} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ c = \sqrt{5} $:
$ F_1(0,0-\sqrt{5} ) = (0,-\sqrt{5} ) $
$ F_2(0,0 + \sqrt{5} ) = (0,\sqrt{5} ) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0,0-3) = (0,-3) $
$ B(0,0+3) = (0,3) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu minor), $ x $ nya berubah dengan $ b = 2 $:
$ C(0 - 2 , 0) = (-2,0) $
$ D(0+2 , 0) = (2,0) $

2). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan elips berikut ini :
a). $ \frac{(x+1)^2}{100} + \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
b). $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{169} = 1 $
Penyelesaian :
a). Persamaan elipsnya : $ \frac{(x+1)^2}{100} + \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
$ a^2 = 100 \rightarrow a = 10 $
$ b^2 = 64 \rightarrow b = 8 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 100 = 64 + c^2 \rightarrow c^2 = 36 \rightarrow c = 6 $.
$ x - p = x + 1 \rightarrow p = -1 $
$ y - q = y - 2 \rightarrow q = 2 $
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 10 = 20 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 8 = 16 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.8^2}{10} = \frac{64}{5} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} + p = - \frac{10^2}{6} + (-1) = - \frac{53}{3} \, $
atau $ x = \frac{a^2}{c} + p = \frac{10^2}{6} + (-1) = \frac{47}{3} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{53}{3} $ atau $ x = \frac{47}{3} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (-1,2) $
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ c = 6 $:
$ F_1(-1-6,2) = (-7,2) $
$ F_2(-1+6,2) = (5,2) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ a = 10 $:
$ A(-1-10,2) = (-11,2) $
$ B(-1+10,2) = (9,2) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu minor), $ y $ nya berubah dengan $ b = 8 $:
$ C(-1,2-8) = (-1,-6) $
$ D(-1,2+8) = (-1,10) $

b). Persamaan elipsnya : $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{169} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
$ a^2 = 169 \rightarrow a = 13 $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 169 = 25 + c^2 \rightarrow c^2 = 144 \rightarrow c = 12 $.
$ x-p = x - 1 \rightarrow p = 1 $
$ y - q = y - 3 \rightarrow q = 3 $
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 13 = 26 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 5 = 10 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.5^2}{13} = \frac{50}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{12}{13} $
-). Persamaan direktris :
$ y = -\frac{a^2}{c} + q = - \frac{13^2}{12} + 3 = -\frac{133}{12} \, $
atau $ y = \frac{a^2}{c} + q = \frac{13^2}{12} + 3 = \frac{205}{12} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = -\frac{133}{12} $ atau $ x = \frac{205}{12} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (1,3) $
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ c = 12 $:
$ F_1(1, 3 - 12) = (1,-9) $
$ F_2(1,3+12) = (1,15) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ a = 13 $:
$ A(1,3-13) = (1,-10) $
$ B(1,3+13) = (1,16) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu minor), $ x $ nya berubah dengan $ b = 5 $:
$ C(1-5,3) = (-4,3) $
$ D(1+5,3) = (6,3) $

3). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan elips $ 9x^2 + 16y^2 + 36x - 32y - 92 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita ubah persamaan elipsnya dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna"
$ \begin{align} 9x^2 + 16y^2 + 36x - 32y - 92 & = 0 \\ 9x^2 + 36x + 16y^2 - 32y & = 92 \\ 9(x^2 + 4x) + 16(y^2 - 2y) & = 92 \\ 9[(x + \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2] + 16[(y - \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 ] & = 92 \\ 9[(x +2)^2 - 4] + 16[(y - 1)^2 - 1 ] & = 92 \\ 9(x +2)^2 - 36 + 16(y - 1)^2 - 16 & = 92 \\ 9(x +2)^2 + 16(y - 1)^2 & = 92 + 36 + 16 \\ 9(x +2)^2 + 16(y - 1)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{9(x +2)^2}{144} + \frac{16(y - 1)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ \frac{(x +2)^2}{16} + \frac{(y - 1)^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh (2) di atas bagian (a).

$ \clubsuit \, $ Trik mudah menentukan persamaan elips yang diketahui unsur-unsurnya
       Berikut ada beberapa trik mudah sehingga kita tidak perlu mengingat semua rumus persamaan elipsnya jika diketahui unsur-unsur elipsnya.

i). Diketahui titik fokus, perhatikan bagian $ x $ atau $ y $ kah yang berubah. Jika yang berubah $ x $ nya, maka sumbu mayor sejajar sumbu X dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika yang berubah $ y $ nya, maka sumbu mayor sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
ii). Jarak duat titik fokus dan puncak :
Jarak dua titik fokus $ = 2c $
Jarak dua titik puncak sejajar sumbu mayor = $ 2a $
Jarak dua titik puncak sejajar sumbu minor = $ 2b $
iii). gunakan juga teorema pythagoras : $ a^2 = b^2 + c^2 $
iv). Untuk menentukan titik pusat $ M(p,q) $ , kita menggunakan konsep titik tengah antara dua titik. Titik tengah antara titik $ (x_1,y_1) $ dan titik $ (x_2,y_2) $ adalah $ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $ . Titik pusat selalu ditengah-tengah antara dua titik fokus dan juga ditengah-tengah antara dua titik puncak.

Contoh soal diketahui unsur-unsur elips :

4). Tentukan persamaan elips jika diketahui :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3) serta panjang sumbu mayor 8.
b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $ serta panjang sumbu minor 4.
Penyelesaian :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3), yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu mayornya sejajar sumbu X dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3+3}{2} \right) = (4,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu mayor = 8 ,
$ 2a = 8 \rightarrow a = 4 $
-). Jarak dua fokus = $ 6-2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 16 = b^2 + 4 \rightarrow b^2 = 12 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-4)^2}{16} + \frac{(y-3)^2}{12} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-4)^2}{16} + \frac{(y-3)^2}{12} = 1 $.

b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = (-1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu minor = 4 ,
$ 2b = 4 \rightarrow b = 2 $
-). Jarak dua fokus = $ 5 - (-3) = 8 $
$ 2 c = 8 \rightarrow c = 4 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow a^2 = 4 + 16 \rightarrow a^2 = 20 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-(-1))^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{20} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{20} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{20} = 1 $.

5). Tentukan persamaan elips yang diketahui titik fokusnya $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $ serta titik puncaknya $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu mayornya sejajar sumbu X dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 4 - (-2) = 6 $
$ 2 c = 6 \rightarrow c = 3 $
-). Titik puncak $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sejajar sumbu X yang merupakan sumbu mayornya.
Jarak dua titik puncak = $ 6 - (-4) = 10 $
$ 2 a = 10 \rightarrow a = 5 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 25 = b^2 + 9 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{16} = 1 $.

6). Tentukan persamaan elips yang diketahui titik fokusnya $ (1,1) $ dan $ (1,5) $ serta titik puncaknya $ (-2,3) $ dan $ (4,3) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,1) $ dan $ (1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1 + 5}{2} \right) = (1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 5 - 1 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Titik puncak $ (-2,3) $ dan $ (4,3) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sejajar sumbu X yang merupakan sumbu minor (karena sumbu mayornya sejajar sumbu Y dari titik fokusnya).
Jarak dua titik puncak = $ 4 - (-2) = 6 $
$ 2 b = 6 \rightarrow b = 3 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow a^2 = 9 + 4 \rightarrow a^2 = 13 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{13} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{13} = 1 $.

7). Tentukan persamaan elips jika diketahui titik puncaknya $ (-3,1) $ dan $ (5,1) $ serta panjang sumbu minornya 6 dimana sumbu minor sejajar sumbu Y!
Penyelesaian :
*). Karena sumbu minor sejajar sumbu Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X, sehingga persamaan elipsnya $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik puncak :
$ (p,q) = \left( \frac{-3+5}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu minor = 6
$ 2 b = 6 \rightarrow b = 3 $
-). Titik puncak $ (-3,1) $ dan $ (5,1) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sejajar sumbu X yang merupakan sumbu mayornya.
Jarak dua titik puncak = $ 5 - (-3) = 8 $
$ 2 a = 8 \rightarrow a = 4 $
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $.

8). Tentukan persamaan elips jika diketahui titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $ serta nilai eksentrisitasnya $ \frac{1}{3} $ !
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = (1,4) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 - 2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Eksentrisitas :
$ e = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{c}{a} = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{2}{a} = \frac{1}{3} \rightarrow a = 6 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 36 = b^2 + 4 \rightarrow b^2 = 32 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{32} + \frac{(y-4)^2}{36} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{32} + \frac{(y-4)^2}{36} = 1 $.

       Demikian pembahasan materi Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya serta contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "kedudukan titik dan garis terhadap elips".