Materi-materi dasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari materi Kedudukan Garis terhadap Elips ini yaitu "persamaan elips", "persamaan garis lurus", dan "penyelesaian pertidaksamaan". Berikut penjelasan syarat-syarat Kedudukan Garis terhadap Elips.
Syarat Kedudukan Garis terhadap Elips
Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam menentukan kedudukan garis terhadap elips yaitu :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong elips di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung elips (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong elips.
Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap elips :
1). Substitusi garis ke elips sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap elips di atas.
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong elips di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung elips (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong elips.
Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap elips :
1). Substitusi garis ke elips sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap elips di atas.
Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Elips :
1). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 2 $ terhadap elips $ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{((x+2) -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{x^2}{4} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64 \times \frac{(x+1)^2}{16} + 64 \times\frac{x^2}{4} & = 1 \times 64 \\ 4(x+1)^2 + 16x^2 & = 64 \\ 4(x^2 + 2x + 1) + 16x^2 & = 64 \\ 4x^2 + 8x + 4 + 16x^2 & = 64 \\ 20x^2 + 8x - 60 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 5x^2 + 2x - 15 & = 0 \\ a = 5 , b = 2 , c & = -15 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4. 5. (-15) = 4 + 300 = 304 $
*). Karena nilai $ D = 304 > 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ y = x + 2 $ memotong elips $ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $ di dua titik yang berbeda.
2). Tentukan kedudukan garis $ 3x + 2y = 11 $ terhadap elips $ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} = 1 $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ 3x + 2y = 11 \rightarrow y = \frac{-3x + 11}{2} $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 11}{2}+2\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 11 + 4}{2}\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 15}{2}\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{(-3x + 15)^2}{4}\right)}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{ (-3x + 15)^2 }{4 \times 18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{ (-3x + 15)^2 }{72} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 72)} \\ 9(x-1)^2 + (-3x + 15)^2 & = 72 \\ 9(x^2 - 2x + 1) + 9x^2 - 90x + 225 & = 72 \\ 9x^2 - 18x + 9 + 9x^2 - 90x + 225 & = 72 \\ 18x^2 - 108x +162 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 18)} \\ x^2 - 6x + 9 & = 0 \\ a = 1 , b = -6 , c & = 9 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4. 1. 9 = 36 - 36 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ 3x + 2y = 11 $ menyinggung elips $ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} = 1 $.
3). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 4 $ terhadap elips $ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{((x + 4)-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(x + 3)^2}{9} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ 9(x-1)^2 + 4(x + 3)^2 & = 36 \\ 9(x^2 - 2x + 1) + 4(x^2 + 6x + 9) & = 36 \\ 9x^2 - 18x + 9 + 4x^2 + 24x + 36 & = 36 \\ 13x^2 + 6x + 9 & = 0 \\ a = 13 , b = 6 , c & = 9 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4. 13. 9 = 36 - 468 = -432 $
*). Karena nilai $ D = -432 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ y = x + 4 $ tidak memotong elips $ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $.
4). Jika garis $ x + 3y = p $ menyinggung kurva elips $ x^2 + 3y^2 = 16 $ , maka tentukan nilai $ p + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x + 3y = p \rightarrow x = -3y + p $
*). Substitusi garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} x^2 + 3y^2 & = 16 \\ (-3y + p)^2 + 3y^2 & = 16 \\ 9y^2 - 6py + p^2 + 3y^2 & = 16 \\ 12y^2 - 6py + p^2 - 16 & = 0 \\ a = 12 , b = -6p , c & = p^2 - 16 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-6p)^2 - 4.12. ( p^2 - 16) & = 0 \\ 36p^2 - 48p^2 + 768 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 12)} \\ -p^2 + 64 & = 0 \\ p^2 & = 64 \\ p & = \pm 8 \end{align} $
Sehingga nilai $ p + 1 $ :
$ p = 8 \rightarrow p + 1 = 8 + 1 = 9 $
$ p = -8 \rightarrow p + 1 = -8 + 1 = -7 $
Jadi, nilai $ p + 1 $ adalah 9 atau $ -7 $
5). Sebuah garis $ l $ memiliki gradien $ m $ dan menyinggung elips $ 2x^2 + 3y^2 + 4x = 2 $. Jika garis $ l $ melalui titik $ (0,k) $ , maka tentukan nilai $ m $!
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis $ l $ yang melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,k) $ dan gradien $ m $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - k & = m(x -0) \\ y - k & = mx \\ y & = mx + k \end{align} $
*). Substitusi garis ke elips :
$ \begin{align} 2x^2 + 3y^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3(mx+k)^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3(m^2x^2+2kmx + k^2) + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3m^2x^2+6kmx + 3k^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3m^2x^2+6kmx + 4x + 3k^2 - 2 & = 0 \\ (2 + 3m^2)x^2+(6km + 4)x + 3k^2 - 2 & = 0 \\ a = (2 + 3m^2), b =(6km + 4), c & = 3k^2 - 2 \end{align} $
*). Syarat garis bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (6km + 4)^2 - 4.(2 + 3m^2).(3k^2 - 2) & = 0 \\ 36k^2m^2 + 48km + 16 - 4.(2 + 3m^2).(3k^2 - 2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 - (2 + 3m^2).(3k^2 - 2) & = 0 \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 - (6k^2 - 4 + 6k^2m^2 - 6m^2 ) & = 0 \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 - 6k^2 + 4 - 6k^2m^2 + 6m^2 & = 0 \\ 9k^2m^2 - 6k^2m^2 + 6m^2 + 12km + 4 - 6k^2 + 4 & = 0 \\ 3k^2m^2 + 6m^2 + 12km - 6k^2 + 8 & = 0 \\ (3k^2 + 6)m^2 + 12km - 6k^2 + 8 & = 0 \\ a=(3k^2 + 6), b = 12k , c & = - 6k^2 + 8 \end{align} $
*). Dengan rumus ABC pada persamaan kuadrat, maka kita peroleh nilai $ m $ :
$ \begin{align} m & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{(12k)^2 - 4.(3k^2 + 6).(- 6k^2 + 8)}}{2(3k^2 + 6)} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{144k^2 - 4( -18k^4 -12k^2 + 48 )}}{2(3k^2 + 6)} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{144k^2 + 72k^4 + 48k^2 - 192 }}{6k^2 + 12} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{ 72k^4 + 192k^2 - 192 }}{6k^2 + 12} \end{align} $
Jadi, nilai $ m = \begin{align} \frac{-12k \pm \sqrt{ 72k^4 + 192k^2 - 192 }}{6k^2 + 12} \end{align} $ .
6). Garis $ x = -3y + d $ memotong elips $ \frac{(x+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} = 1 $ di dua titik yang berbeda. Jika nilai $ P $ adalah nilai terbesar $ d $ dan $ Q $ adalah nilai terkecil $ d $, dimana $ d $ adalah bilangan bulat yang memenuhi kondisi pada soal, maka tentukan nilai $ P - Q $!
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke elips :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \\ \frac{((-3y + d)+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \\ \frac{(-3y + d+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 54)} \\ 2(-3y + (d+1))^2 + 9(y-1)^2 & = 54 \\ 2(9y^2 -6(d+1)y + (d+1)^2) + 9(y^2 - 2y + 1) & = 54 \\ 18y^2 -12(d+1)y + 2(d+1)^2 + 9y^2 - 18y + 9 & = 54 \\ 27y^2 -12(d+1)y + 2(d+1)^2 - 18y - 45 & = 0 \\ 27y^2 -12dy -12y + 2(d+1)^2 - 18y - 45 & = 0 \\ 27y^2 -12dy -30y + 2(d+1)^2 - 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2(d+1)^2 - 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2(d^2 + 2d + 1) - 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2d^2 + 4d + 2 - 45 & = 0 \\ 27y^2 -6(2d+ 5)y + 2d^2 + 4d - 43 & = 0 \\ a = 27, b =-6(2d+ 5) , c & = 2d^2 + 4d - 43 \end{align} $
*). Syarat berpotongan : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ (-6(2d+ 5))^2 - 4.27 .(2d^2 + 4d - 43) & > 0 \\ 36.(2d+ 5)^2 - 4.27 .(2d^2 + 4d - 43) & > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ (2d+ 5)^2 - 3.(2d^2 + 4d - 43) & > 0 \\ 4d^2 + 20d + 25 - 6d^2 - 12d + 129 & > 0 \\ -2d^2 + 8d + 154 & > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ d^2 - 4d - 77 & < 0 \\ (d + 7)(d - 11) & < 0 \\ d = -7 \vee d & = 11 \end{align} $
garis bilangannya :
Karena $ d $ bilangan bulat, maka nilai $ d $ yang memenuhi adalah $ \{ -6,-5,...,0,1,2,...,9,10 \} $. Artinya $ P = 10 $ dan $ Q = -6 $. Sehingga nilai $ P - Q = 10 - (-6) = 16 $.
Jadi, nilai $ P - Q = 16 $.
Demikian pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Elips dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Persamaan Garis Singgung ELips".
