Kedudukan Garis terhadap Elips

         Blog Koma - Selain materi "kedudukan titik terhadap elips" yang berkaitan langsung dengan "persamaan elips" yaitu "persamaan garis singgung elips", materi Kedudukan Garis terhadap Elips juga sebagai landasan dalam mempelajari materi persamaan garis singgung elips. Kedudukan Garis terhadap Elips caranya hampir sama dengan materi sebelumnya yang sudah kita pelajari yaitu "kedudukan garis terhadap parabola". Kedudukan Garis terhadap Elips ada tiga jenis kemungkinan yaitu pertama : garis memotong kurva elips di dua titik yang berbeda, kedua : garis menyinggung elips (memotong elips di satu titik), dan ketiga : adalah garis tidak memotong kurva elips. Untuk mengetahui dari ketiga jenis kedudukan garis terhadap elips tersebut, masing-masing memiliki syarat tertentu yang tergantung dari nilai Diskriminannya ($ D$) yang biasa kita pelajari pada materi persamaan kuadrat atau fungsi kuadrat dengan rumus $ D = b^2 -4ac $ . Berikut ilustrasi ketiga jenis Kedudukan Garis terhadap Elips dalam bentuk ringkasan gambar.

         Materi-materi dasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari materi Kedudukan Garis terhadap Elips ini yaitu "persamaan elips", "persamaan garis lurus", dan "penyelesaian pertidaksamaan". Berikut penjelasan syarat-syarat Kedudukan Garis terhadap Elips.

Syarat Kedudukan Garis terhadap Elips
       Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam menentukan kedudukan garis terhadap elips yaitu :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong elips di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung elips (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong elips.

Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap elips :
1). Substitusi garis ke elips sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap elips di atas.

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Elips :

1). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 2 $ terhadap elips $ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{((x+2) -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{x^2}{4} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64 \times \frac{(x+1)^2}{16} + 64 \times\frac{x^2}{4} & = 1 \times 64 \\ 4(x+1)^2 + 16x^2 & = 64 \\ 4(x^2 + 2x + 1) + 16x^2 & = 64 \\ 4x^2 + 8x + 4 + 16x^2 & = 64 \\ 20x^2 + 8x - 60 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 5x^2 + 2x - 15 & = 0 \\ a = 5 , b = 2 , c & = -15 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4. 5. (-15) = 4 + 300 = 304 $
*). Karena nilai $ D = 304 > 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ y = x + 2 $ memotong elips $ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $ di dua titik yang berbeda.

2). Tentukan kedudukan garis $ 3x + 2y = 11 $ terhadap elips $ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} = 1 $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ 3x + 2y = 11 \rightarrow y = \frac{-3x + 11}{2} $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 11}{2}+2\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 11 + 4}{2}\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 15}{2}\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{(-3x + 15)^2}{4}\right)}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{ (-3x + 15)^2 }{4 \times 18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{ (-3x + 15)^2 }{72} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 72)} \\ 9(x-1)^2 + (-3x + 15)^2 & = 72 \\ 9(x^2 - 2x + 1) + 9x^2 - 90x + 225 & = 72 \\ 9x^2 - 18x + 9 + 9x^2 - 90x + 225 & = 72 \\ 18x^2 - 108x +162 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 18)} \\ x^2 - 6x + 9 & = 0 \\ a = 1 , b = -6 , c & = 9 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4. 1. 9 = 36 - 36 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ 3x + 2y = 11 $ menyinggung elips $ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} = 1 $.

3). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 4 $ terhadap elips $ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{((x + 4)-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(x + 3)^2}{9} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ 9(x-1)^2 + 4(x + 3)^2 & = 36 \\ 9(x^2 - 2x + 1) + 4(x^2 + 6x + 9) & = 36 \\ 9x^2 - 18x + 9 + 4x^2 + 24x + 36 & = 36 \\ 13x^2 + 6x + 9 & = 0 \\ a = 13 , b = 6 , c & = 9 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4. 13. 9 = 36 - 468 = -432 $
*). Karena nilai $ D = -432 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ y = x + 4 $ tidak memotong elips $ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $.

4). Jika garis $ x + 3y = p $ menyinggung kurva elips $ x^2 + 3y^2 = 16 $ , maka tentukan nilai $ p + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x + 3y = p \rightarrow x = -3y + p $
*). Substitusi garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} x^2 + 3y^2 & = 16 \\ (-3y + p)^2 + 3y^2 & = 16 \\ 9y^2 - 6py + p^2 + 3y^2 & = 16 \\ 12y^2 - 6py + p^2 - 16 & = 0 \\ a = 12 , b = -6p , c & = p^2 - 16 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-6p)^2 - 4.12. ( p^2 - 16) & = 0 \\ 36p^2 - 48p^2 + 768 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 12)} \\ -p^2 + 64 & = 0 \\ p^2 & = 64 \\ p & = \pm 8 \end{align} $
Sehingga nilai $ p + 1 $ :
$ p = 8 \rightarrow p + 1 = 8 + 1 = 9 $
$ p = -8 \rightarrow p + 1 = -8 + 1 = -7 $
Jadi, nilai $ p + 1 $ adalah 9 atau $ -7 $

5). Sebuah garis $ l $ memiliki gradien $ m $ dan menyinggung elips $ 2x^2 + 3y^2 + 4x = 2 $. Jika garis $ l $ melalui titik $ (0,k) $ , maka tentukan nilai $ m $!
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis $ l $ yang melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,k) $ dan gradien $ m $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - k & = m(x -0) \\ y - k & = mx \\ y & = mx + k \end{align} $
*). Substitusi garis ke elips :
$ \begin{align} 2x^2 + 3y^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3(mx+k)^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3(m^2x^2+2kmx + k^2) + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3m^2x^2+6kmx + 3k^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3m^2x^2+6kmx + 4x + 3k^2 - 2 & = 0 \\ (2 + 3m^2)x^2+(6km + 4)x + 3k^2 - 2 & = 0 \\ a = (2 + 3m^2), b =(6km + 4), c & = 3k^2 - 2 \end{align} $
*). Syarat garis bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (6km + 4)^2 - 4.(2 + 3m^2).(3k^2 - 2) & = 0 \\ 36k^2m^2 + 48km + 16 - 4.(2 + 3m^2).(3k^2 - 2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 - (2 + 3m^2).(3k^2 - 2) & = 0 \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 - (6k^2 - 4 + 6k^2m^2 - 6m^2 ) & = 0 \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 - 6k^2 + 4 - 6k^2m^2 + 6m^2 & = 0 \\ 9k^2m^2 - 6k^2m^2 + 6m^2 + 12km + 4 - 6k^2 + 4 & = 0 \\ 3k^2m^2 + 6m^2 + 12km - 6k^2 + 8 & = 0 \\ (3k^2 + 6)m^2 + 12km - 6k^2 + 8 & = 0 \\ a=(3k^2 + 6), b = 12k , c & = - 6k^2 + 8 \end{align} $
*). Dengan rumus ABC pada persamaan kuadrat, maka kita peroleh nilai $ m $ :
$ \begin{align} m & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{(12k)^2 - 4.(3k^2 + 6).(- 6k^2 + 8)}}{2(3k^2 + 6)} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{144k^2 - 4( -18k^4 -12k^2 + 48 )}}{2(3k^2 + 6)} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{144k^2 + 72k^4 + 48k^2 - 192 }}{6k^2 + 12} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{ 72k^4 + 192k^2 - 192 }}{6k^2 + 12} \end{align} $
Jadi, nilai $ m = \begin{align} \frac{-12k \pm \sqrt{ 72k^4 + 192k^2 - 192 }}{6k^2 + 12} \end{align} $ .

6). Garis $ x = -3y + d $ memotong elips $ \frac{(x+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} = 1 $ di dua titik yang berbeda. Jika nilai $ P $ adalah nilai terbesar $ d $ dan $ Q $ adalah nilai terkecil $ d $, dimana $ d $ adalah bilangan bulat yang memenuhi kondisi pada soal, maka tentukan nilai $ P - Q $!
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke elips :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \\ \frac{((-3y + d)+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \\ \frac{(-3y + d+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 54)} \\ 2(-3y + (d+1))^2 + 9(y-1)^2 & = 54 \\ 2(9y^2 -6(d+1)y + (d+1)^2) + 9(y^2 - 2y + 1) & = 54 \\ 18y^2 -12(d+1)y + 2(d+1)^2 + 9y^2 - 18y + 9 & = 54 \\ 27y^2 -12(d+1)y + 2(d+1)^2 - 18y - 45 & = 0 \\ 27y^2 -12dy -12y + 2(d+1)^2 - 18y - 45 & = 0 \\ 27y^2 -12dy -30y + 2(d+1)^2 - 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2(d+1)^2 - 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2(d^2 + 2d + 1) - 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2d^2 + 4d + 2 - 45 & = 0 \\ 27y^2 -6(2d+ 5)y + 2d^2 + 4d - 43 & = 0 \\ a = 27, b =-6(2d+ 5) , c & = 2d^2 + 4d - 43 \end{align} $
*). Syarat berpotongan : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ (-6(2d+ 5))^2 - 4.27 .(2d^2 + 4d - 43) & > 0 \\ 36.(2d+ 5)^2 - 4.27 .(2d^2 + 4d - 43) & > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ (2d+ 5)^2 - 3.(2d^2 + 4d - 43) & > 0 \\ 4d^2 + 20d + 25 - 6d^2 - 12d + 129 & > 0 \\ -2d^2 + 8d + 154 & > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ d^2 - 4d - 77 & < 0 \\ (d + 7)(d - 11) & < 0 \\ d = -7 \vee d & = 11 \end{align} $
garis bilangannya :
solusinya : $ \{ -7 < d < 11 \} $.
Karena $ d $ bilangan bulat, maka nilai $ d $ yang memenuhi adalah $ \{ -6,-5,...,0,1,2,...,9,10 \} $. Artinya $ P = 10 $ dan $ Q = -6 $. Sehingga nilai $ P - Q = 10 - (-6) = 16 $.
Jadi, nilai $ P - Q = 16 $.

       Demikian pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Elips dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Persamaan Garis Singgung ELips".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.