Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya

         Blog Koma - Materi irisan kerucut mencakup lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola, dimana yang sudah kita bahas adalah "persamaan parabola", "persamaan lingkaran", dan "persamaan elips". Pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya. Kurva Hiperbola kita peroleh dari mengiriskan bidang datar dengan bangun ruang kerucut seperti tampak pada gambar berikut ini. Hiperbola dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana selisih jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) hiperbola dan himpunan semua titik P membentuk kurva Hiperbola. Bagaimana cara menemukan persamaan Hiperbolanya?, silahkan teman-teman baca pada artikel "cara menemukan persamaan Hiperbola". Kurva Hiperbola memiliki dua bentuk tergantung dari sumbu nyatanya yaitu sejajar X dan sejajar Y. Pada artikel ini kita lebih fokus pada Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya yang disertai contoh-contoh soal dan tentu trik mudah dalam mengingat Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya.

Perhatikan ilustrasi kurva Hiperbola dan unsur-unsurnya berikut ini.
Unsur-unsur dari kurva Hiperbola di atas yaitu :
*). Titik $ P(x,y) $ adalah titik sembarang pada Hiperbola sehingga berlaku $ |F_1P| - |F_2P| = 2a $
*). Titik pusat Hiperbola : $ M(0,0) $
*). Titik fokus Hiperbola : $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $
*). Sumbu Simetri :
-). Sumbu utama, yaitu sumbu X.
-). Sumbu sekawan, yaitu sumbu Y.
*). Sumbu nyata, yaitu $ AB = 2a $ .
*). Sumbu imajiner, yaitu $ CD = 2b $ .
*). Titik puncak Hiperbola, yaitu titik $ A(-a.0) $ dan $ B(a,0) $ adalah titik potong Hiperbola dengan sumbu nyata
*). Latus rectum adalah garis melalui titik fokus $ F_1 $ dan $ F_2 $ yang tegak lurus dengan sumbu nyata. Pada gambar, garis latus rectumnya adalah garis warna birus. Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $.
*). Hubungan $ a, b$ , dan $ c $ adalah berlaku pythagoras yaitu $ c^2 = a^2 + b^2 $ pada segitiga $ DMB $.
*). Eksentrisitas $(e)$ adalah perbandingan jarak dua titik fokus dan panjang sumbu nyatanya, sehingga dapat kita tulis rumusnya : $ e = \frac{c}{a} $.
*). Direktris adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu nyata yang ditunjukkan oleh garis $ g $ dan gris $ h $. Persamaan direktris masing-masing : garis $ g $ adalah $ x = -\frac{a^2}{c} $ dan garis $ h $ adalah $ x = \frac{a^2}{c} $.
*). Adapun persamaan Hiperbola yang sesuai dengan ilustrasi di atas adalah $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $.

         Sesuai dengan sumbu nyata dan titik pusat, Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya dibagi menjadi empat bagian yaitu :
1). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(0,0) $
2). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(0,0) $
3). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(p,q) $
4). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(p,q) $
       Pada penjelasan di atas, persamaan Hiperbola jenis (1) sudah kita bahas, tinggal tiga jenis berikutnya.

Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(0,0) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 3 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
$ - \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ (0,0) $
-). Titik Fokus : $ F_1(0,-c) $ dan $ F_2(0,c) $
-). Titik puncak : titik $A(0,-a)$ dan $B(0,a)$ .
-). Sumbu Utama adalah sumbu Y.
-). Sumbu sekawan adalah sumbu X.
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} $ dan $ y = \frac{a^2}{c} $

Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(p,q) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 4 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p-c, q) $ dan $ F_2(p+c,q) $
-). Titik puncak : titik $A(p-a,q) \, $ dan $ B(p+a,q)$.
-). Sumbu Utama adalah sumbu X' (garis $ y = q $).
-). Sumbu sekawan adalah sumbu Y' (garis $ x = p $).
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ dan $ x = \frac{a^2}{c} + p $

Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(p,q) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 5 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p, q - c) $ dan $ F_2(p, q + c) $
-). Titik puncak : titik $A(p, q - a) \, $ dan $ B(p, q + a)$.
-). Sumbu Utama adalah sumbu Y' (garis $ x = p $).
-). Sumbu sekawan adalah sumbu X' (garis $ y = q $).
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} + q $ dan $ y = \frac{a^2}{c} + q $

       Ada dua hal yang akan menjadi pertanyaan pada soal yaitu pertama : diketahui persamaan Hiperbolanya dan kita diminta menentukan unsur-unsur Hiperbolanya sekaligus gambar grafiknya, dan yang kedua : diketahui unsur-unsur Hiperbolanya dan kita diminta menentukan persamaan Hiperbolanya.

$ \spadesuit \, $ Trik mudah menentukan unsur-unsur pada Hiperbola yang diketahui persamaan Hiperbolanya
Trik (I) : nilai $ a^2 $ adalah nilai yang ada dibawah bagian positif, sehingga sisanya adalah nilai $ b^2 $.
Trik (II) : Letak nilai $ a^2 $ menentukan sumbu nyatanya. Jika $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbolanya $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika $ a $ ada di bawah sumbu Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbolanya $ -\frac{x^2}{b^2} +\frac{y^2}{a^2} = 1 $ atau $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
Trik (III) : Nilai $ c $ kita tentukan dari $ c^2 = a^2 + b^2 $.
Triks (IV) : Untuk menentukan titik fokus dan titik puncak, kita tinggal menggeser titik pusat $ M(p,q) $ searah sumbu X atau searah sumbu Y. Jika searah sumbu X maka yang berubah bagian $ x $ saja yaitu kekanan ditambah dan ke kiri dikurangkan. Jika searah sumbu Y maka yang berubah bagian $ y $ saja yaitu ke atas ditambahkan dan ke bawah dikurangkan. Ditambah atau dikurangkan tergantung dari besar pergeserannya yaitu $ a $ atau $ c $. Nilai $ c $ selalu menggeser ke titik fokus, nilai $ a $ menggeser ke titik puncak.
Trik (V) : titik fokus dan titik puncak selalu ada di sumbu nyata.

Contoh Soal Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya :

1). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola berikut ini :
a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
b). $ -9x^2 + 4y^2 = 36 $
Penyelesaian :
a). Persamaan Hiperbolanya : $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
-). Karena bagian $ x $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ x $.
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 9 + 16 \rightarrow c^2 = 25 \rightarrow c = 5 $.
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 4 = 8 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.4^2}{3} = \frac{32}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = - \frac{9}{5} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{5} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{9}{5} $ atau $ x = \frac{9}{5} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus pada sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ c = 5 $:
$ F_1(0-5,0) = (-5,0) $
$ F_2(0+5,0) = (5,0) $
-). Titik Puncak pada sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0-3,0) = (-3,0) $
$ B(0+3,0) = (3,0) $

b). Persamaan Hiperbolanya : $ -9x^2 + 4y^2 = 36 $
*). Mengubah persamaannya :
$ \begin{align} -9x^2 + 4y^2 & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ -\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} & = \frac{36}{36} \\ -\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
-). Karena bagian $ y $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ y $.
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 4 \rightarrow b = 2 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 9 + 4 \rightarrow c^2 = 13 \rightarrow c = \sqrt{13} $.
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai $ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 2 = 4 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.2^2}{3} = \frac{8}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = - \frac{9}{\sqrt{13}} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{\sqrt{13}} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{9}{\sqrt{13}} $ atau $ x = \frac{9}{\sqrt{13}} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus pada sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ c = \sqrt{13} $:
$ F_1(0,0-\sqrt{13}) = (0,-\sqrt{13}) $
$ F_2(0,0+\sqrt{13}) = (0,\sqrt{13}) $
-). Titik Puncak pada sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0,0-3) = (0,-3) $
$ B(0,0+3) = (0,3) $

2). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola berikut ini :
a). $ \frac{(x+1)^2}{36} - \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
b). $ -\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1 $
Penyelesaian :
a). Persamaan Hiperbolanya : $ frac{(x+1)^2}{36} - \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
-). Karena bagian $ x $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ x $.
$ a^2 = 36 \rightarrow a = 6 $
$ b^2 = 64 \rightarrow b = 8 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 36 + 64 \rightarrow c^2 = 100 \rightarrow c = 10 $.
$ x - p = x + 1 \rightarrow p = -1 $
$ y - q = y - 2 \rightarrow q = 2 $
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 6 = 12 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 8 = 16 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.8^2}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} + p = - \frac{6^2}{10} + (-1) = - \frac{23}{5} \, $
atau $ x = \frac{a^2}{c} + p = \frac{6^2}{10} + (-1) = \frac{8}{5} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{23}{5} $ atau $ x = \frac{8}{5} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (-1,2) $
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ c = 10 $:
$ F_1(-1-10,2) = (-11,2) $
$ F_2(-1+10,2) = (9,2) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ a = 6 $:
$ A(-1-6,2) = (-7,2) $
$ B(-1+6,2) = (5,2) $

b). Persamaan Hiperbolanya : $ -\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
-). Karena bagian $ y $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ y $.
$ a^2 = 144 \rightarrow a = 12 $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 144 + 25 \rightarrow c^2 = 169 \rightarrow c = 13 $.
$ x-p = x - 1 \rightarrow p = 1 $
$ y - q = y - 3 \rightarrow q = 3 $
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 12 = 24 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 5 = 10 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.5^2}{12} = \frac{25}{6} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{13}{12} $
-). Persamaan direktris :
$ y = -\frac{a^2}{c} + q = - \frac{12^2}{13} + 3 = -\frac{105}{13} \, $
atau $ y = \frac{a^2}{c} + q = \frac{12^2}{13} + 3 = \frac{183}{13} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = -\frac{105}{13} $ atau $ x = \frac{183}{13} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (1,3) $
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ c = 13 $:
$ F_1(1, 3 - 13) = (1,-10) $
$ F_2(1,3+13) = (1,16) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ a = 12 $:
$ A(1,3-12) = (1,-9) $
$ B(1,3+12) = (1,15) $

3). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola $ 9x^2 - 16y^2 + 36x - 32y - 122 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita ubah persamaan Hiperbolanya dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna"
$ \begin{align} 9x^2 - 16y^2 + 36x - 32y - 122 & = 0 \\ 9x^2 + 36x - 16y^2 - 32y & = 122 \\ 9(x^2 + 4x) - 16(y^2 + 2y) & = 122 \\ 9[(x + \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2] - 16[(y + \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 ] & = 122 \\ 9[(x +2)^2 - 4] - 16[(y + 1)^2 - 1 ] & = 122 \\ 9(x +2)^2 - 36 - 16(y - 1)^2 + 16 & = 122 \\ 9(x +2)^2 - 16(y - 1)^2 & = 122 + 36 - 16 \\ 9(x +2)^2 - 16(y - 1)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{9(x +2)^2}{144} - \frac{16(y - 1)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ \frac{(x +2)^2}{16} - \frac{(y - 1)^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh (2) di atas bagian (a).

$ \clubsuit \, $ Trik mudah menentukan persamaan Hiperbola yang diketahui unsur-unsurnya
       Berikut ada beberapa trik mudah sehingga kita tidak perlu mengingat semua rumus persamaan Hiperbolanya jika diketahui unsur-unsur Hiperbolanya.

i). Diketahui titik fokus, perhatikan bagian $ x $ atau $ y $ kah yang berubah. Jika yang berubah $ x $ nya, maka sumbu nyata sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika yang berubah $ y $ nya, maka sumbu nyata sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ - \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
ii). Jarak duat titik fokus dan puncak :
Jarak dua titik fokus $ = 2c $
Jarak dua titik puncak = $ 2a $
iii). gunakan juga teorema pythagoras : $ c^2 = a^2 + b^2 $
iv). Untuk menentukan titik pusat $ M(p,q) $ , kita menggunakan konsep titik tengah antara dua titik. Titik tengah antara titik $ (x_1,y_1) $ dan titik $ (x_2,y_2) $ adalah $ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $ . Titik pusat selalu ditengah-tengah antara dua titik fokus dan juga ditengah-tengah antara dua titik puncak.

Contoh soal diketahui unsur-unsur Hiperbola :

4). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3) serta panjang sumbu nyata 2.
b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $ serta panjang sumbu imajiner 4.
Penyelesaian :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3), yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3+3}{2} \right) = (4,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu nyata = 2 ,
$ 2a = 2 \rightarrow a = 1 $
-). Jarak dua fokus = $ 6-2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = b^2 + 1 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-4)^2}{1} - \frac{(y-3)^2}{3} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x-4)^2}{1} - \frac{(y-3)^2}{3} = 1 $.

b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = (-1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu imajiner = 4 ,
$ 2b = 4 \rightarrow b = 2 $
-). Jarak dua fokus = $ 5 - (-3) = 8 $
$ 2 c = 8 \rightarrow c = 4 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 16 = a^2 + 4 \rightarrow a^2 = 12 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-(-1))^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} & = 1 \\ -\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} = 1 $.

5). Tentukan persamaan Hiperbola yang diketahui titik fokusnya $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $ serta titik puncaknya $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-4 + 6}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 - (-4) = 10 $
$ 2 c = 10 \rightarrow c = 5 $
-). Titik puncak $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $.
Jarak dua titik puncak = $ 4 - (-2) = 6 $
$ 2 a = 6 \rightarrow a = 3 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 25 = 9 + b^2 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1 $.

6). Tentukan persamaan Hiperbola yang diketahui titik fokusnya $ (1,1) $ dan $ (1,5) $ serta titik puncaknya $ (1,2) $ dan $ (1,4) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,1) $ dan $ (1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1 + 5}{2} \right) = (1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 5 - 1 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Titik puncak $ (1,2) $ dan $ (1,4) $.
Jarak dua titik puncak = $ 4 - 2 = 2 $
$ 2a = 2 \rightarrow a = 1 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = 1 + b^2 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-3)^2}{1} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-3)^2}{1} = 1 $.

7). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $ serta nilai eksentrisitasnya $ 2 $ !
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = (1,4) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 - 2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Eksentrisitas :
$ e = 2 \rightarrow \frac{c}{a} = 2 \rightarrow \frac{2}{a} = 2 \rightarrow a = 1 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = 1 + b^2 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-4)^2}{1} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x-1)^2}{3} + (y-4)^2 = 1 $.

8). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui titik puncak $ (-4,3) $ dan $ (2,3) $ serta salah satu persamaan direktrisnya adalah $ x = -\frac{14}{5} $ !
Penyelesaian :
*). Titik puncak $ (-4,3) $ dan $ (2,3) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik Puncak :
$ (p,q) = \left( \frac{-4+2}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = (-1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua puncak = $ 2- (-4) = 6 $
$ 2 a = 6 \rightarrow a = 3 $
-). Persamaan direktrisnya $ x = -\frac{14}{5} $ ada di sebelah kiri titik puncak, sehingga persamaan direktrisnya $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ :
$ -\frac{a^2}{c} + p = -\frac{14}{5} \rightarrow -\frac{3^2}{c} + (-1) = -\frac{9}{5} -1 \rightarrow -\frac{9}{c} = -\frac{9}{5} \rightarrow c = 5 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 25 = 9 + b^2 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-(-1))^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x+1)^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} = 1 $.

       Demikian pembahasan materi Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya serta contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "kedudukan titik dan garis terhadap Hiperbola".

2 komentar:

  1. Mas DM aq HA panjang latus rectum yg bener 2b^2/a apa b^2/a? Di buke arek2 kok pakek 2 ya?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow mas HA,

      Lama tak jumpa, bagaimana kabarnya?

      terima kasih untuk pertanyaannya yang merupakan sekaligus sebagai koreksi untuk artikel ini mas. hehehehehehehehe....

      iya, panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
      (pakai 2 didepannya mas).

      Coba amati rumus yang paling atas (berkaitan latus rectum, saya tulis $ \frac{2b^2}{a} $ , tapi di bagian yang warna orange di atas tidak pakai 2, tetapi untuk contoh soalnya saya pakai 2 lagi. itu artinya saya kurang cermat dalam mengetikkannya mas. dan sudah saya cari sendiri rumusnya, memang pakai 2.

      Akan saya perbaiki rumus di artikel ini.

      Terima kasih sudah berkunjung ke blog koma ini mas HA.

      Salam buat teman-teman di malang. ^_^

      Hapus