Cara Menemukan Persamaan Hiperbola

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah belajar tentang "parabola" dan "elips" yang merupakan bagian dari "irisan kerucut", sekarang kita lanjutkan lagi pembahasan untuk bentuk irisan kerucut yang ketiga yaitu Hiperbola. Pertama-tama kita akan membahas tentang Cara Menemukan Persamaan Hiperbola. Setelah itu baru kita akan membahas persamaan Hiperbola dan unsur-unsurnya yang dilengkapi dengan contoh-contoh soalnya. Kurva Hiperbola bisa kita peroleh dengan mengiriskan sebuah bangun datar dengan bangun ruang berbentuk kerucut sehingga irisannya berbentuk Hiperbola. Hiperbola dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana selisih jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) hiperbola dan himpunan semua titik P membentuk kurva Hiperbola. Lalu bagaimana cara menemukan persamaan Hiperbolanya? Untuk menemukan persamaan Hiperbola, kita akan menggunakan konsep jarak antara dua titik. Silahkan teman-teman baca pada artikel "Jarak Dua Titik".

         Untuk memudahkan penurunan rumus Cara Menemukan Persamaan Hiperbola, kita akan gambar dulu ilustrasi kurva Hiperbolanya dan titik yang diketahui sehingga kita bisa menghitung jarak-jarak yang terkait dalam penghitungan untuk menemukan persamaan Hiperbola.

$ \spadesuit \, $ Cara menemukan persamaan Hiperbola dengan titik Pusat $ M(0,0) $ :

$\heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan sumbu nyata di sumbu X :
       Misalkan titik fokusnya adalah $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $ dengan jarak $ |F_1F_2| = 2c $. Terdapat dua titik puncak yaitu $ A(-a,0) $ dan $ B(a,0) $ serta titik pusat Hiperbola adalah $ M(0,0) $. Terdapat juga sumbu nyata yaitu garis yang melaui kedua titik Fokus dan sumbu imajiner yaitu garis yang tagak lurus dengan sumbu nyata yang melalui titik pusat hiperbola. Pada sumbu imajiner terdapat dua titik yaitu $ C(0,-b) $ dan $ D(0,b) $. Kita ambil sembarang himpunan titik $ P(x,y) $ pada kurva Hiperbola. Selisih jarak titik P ke $ F_1 $ dan titik P ke $ F_2 $ adalah tetap yaitu sebesar $ 2 a $ dengan $ a > 0 $, artinya dapat kita tuliskan $ |F_1P| - |F_2P| = 2a $. Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

Perhatikan segitiga $ DMB $ adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras yaitu :
$ c^2 = a^2 + b^2 $ atau $ c^2 - a^2 = b^2 $.
atau $ a^2 - c^2 = -b^2 $

Perhitungan Cara menemukan rumus Hiperbolanya :
$ \begin{align} |F_1P| - |F_2P| & = 2a \\ \sqrt{(x - (-c))^2 + ( y -0)^2 } - \sqrt{(x - c)^2 + ( y -0)^2 } & = 2a \\ \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } - \sqrt{(x - c)^2 + y^2 } & = 2a \\ 2a + \sqrt{(x - c)^2 + y^2 } & = \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } \\ \left(2a + \sqrt{(x -c)^2 +y^2 } \right)^2 & = \left( \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } \right)^2 \\ 4a^2 + 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } + ((x -c)^2 + y^2) & = (x + c)^2 + y^2 \\ 4a^2 + 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } + x^2 - 2cx + c^2 + y^2 & = x^2 + 2cx + c^2 + y^2 \\ 4a^2 + 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } - 2cx & = 2cx \\ 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } & = 4cx - 4a^2 \\ a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } & = cx - a^2 \\ \left(a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 }\right)^2 & = \left(cx - a^2 \right)^2 \\ a^2((x -c)^2 + y^2 ) & = c^2x^2 - 2ca^2x + a^4 \\ a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2 ) & = c^2x^2 - 2ca^2x + a^4 \\ a^2x^2 - 2ca^2x + c^2a^2 + a^2y^2 & = c^2x^2 - 2ca^2x + a^4 \\ a^2x^2 + c^2a^2 + a^2y^2 & = a^4 + c^2x^2 \\ a^2x^2 + c^2a^2 + a^2y^2 & = a^4 + c^2x^2 \\ a^2x^2 - c^2x^2 + a^2y^2 & = a^4 - c^2a^2 \\ (a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 & = a^2 (a^2- c^2) \\ (-b^2)x^2 + a^2y^2 & = a^2 .(-b^2) \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ b^2x^2 - a^2y^2 & = a^2 b^2 \\ \frac{b^2x^2}{a^2 b^2 } - \frac{a^2y^2}{a^2 b^2 } & = \frac{a^2 b^2}{a^2 b^2 } \\ \frac{ x^2}{a^2 } - \frac{y^2}{b^2 } & = 1 \end{align} $
Sehingga persamaan Hiperbolanya adalah $ \frac{ x^2}{a^2 } - \frac{y^2}{b^2 } = 1 $.

       Persamaan Hiperbola dengan titik pusat di $ M(0,0) $ dan sumbu nyata sejajar sumbu X adalah $ \frac{ x^2}{a^2 } - \frac{y^2}{b^2 } = 1 $

$\heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan sumbu nyata di sumbu Y :
       Misalkan titik fokusnya adalah $ F_1(0, -c) $ dan $ F_2(0, c) $ dengan jarak $ |F_1F_2| = 2c $. Terdapat dua titik puncak yaitu $ A(0,-a) $ dan $ B(0,a) $ serta titik pusat Hiperbola adalah $ M(0,0) $. Terdapat juga sumbu nyata yaitu garis yang melaui kedua titik Fokus dan sumbu imajiner yaitu garis yang tagak lurus dengan sumbu nyata yang melalui titik pusat hiperbola. Pada sumbu imajiner terdapat dua titik yaitu $ C(-b , 0) $ dan $ D(b,0) $. Kita ambil sembarang himpunan titik $ P(x,y) $ pada kurva Hiperbola. Selisih jarak titik P ke $ F_1 $ dan titik P ke $ F_2 $ adalah tetap yaitu sebesar $ 2 a $ dengan $ a > 0 $, artinya dapat kita tuliskan $ |F_1P| - |F_2P| = 2a $. Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

Perhatikan segitiga $ DMB $ adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras yaitu :
$ c^2 = a^2 + b^2 $ atau $ c^2 - a^2 = b^2 $.
atau $ a^2 - c^2 = -b^2 $

Perhitungan Cara menemukan rumus Hiperbolanya :
$ \begin{align} |F_1P| - |F_2P| & = 2a \\ \sqrt{(x - 0)^2 + ( y -(-c))^2 } - \sqrt{(x - 0)^2 + ( y -c)^2 } & = 2a \\ \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } - \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = 2a \\ 2a + \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } \\ \left(2a + \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \right)^2 & = \left( \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } \right)^2 \\ 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + (x^2 + (y-c)^2) & = x^2 + (y+c)^2 \\ 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + x^2 +y^2 - 2cy + c^2 & = x^2 + y^2 + 2cy + c^2 \\ 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } - 2cy & = 2cy \\ 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = 4cy - 4a^2 \\ a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = cy - a^2 \\ \left( a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \right)^2 & = \left( cy - a^2 \right)^2 \\ a^2(x^2 + (y-c)^2 ) & = a^4 - 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2(x^2 + y^2 - 2cy + c^2 ) & = a^4 - 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 - 2ca^2y + a^2c^2 & = a^4 - 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 + a^2c^2 & = a^4 + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 - c^2y^2 & = a^4 - a^2c^2 \\ a^2x^2 + (a^2 - c^2)y^2 & = a^2(a^2 - c^2) \\ a^2x^2 + (-b^2)y^2 & = a^2.(-b^2) \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ -a^2x^2 + b ^2y^2 & = a^2b^2 \\ - \frac{a^2x^2}{a^2b^2 } + \frac{ b^2y^2}{a^2b^2 } & = \frac{a^2b^2}{a^2b^2 } \\ -\frac{ x^2}{ b^2 } + \frac{ y^2}{a^2 } & = 1 \end{align} $
Sehingga persamaan Hiperbolanya adalah $ - \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $.

       Persamaan Hiperbola dengan titik pusat di $ M(0,0) $ dan sumbu nyata sejajar sumbu Y adalah $ -\frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $

$ \clubsuit \, $ Cara menemukan persamaan Hiperbola dengan titik Pusat $ M(p,q) $ :
       Cara Menemukan Persamaan Hiperbola dengan Titik Puncak $M(p,q) $ yaitu dengan cara menggeser persamaan Hiperbola yang titik puncaknya $ M(0,0) $ ke titik puncak $ M(p,q) $. Untuk memudahkan, kita gunakan konsep translasi (pergeseran). Silahkan baca materi translasi pada artikel "Translasi pada Transformasi Geometri".

Sesuai dengan konsep translasi, menggeser sejauh $ p $ satuan searah sumbu X dan sejauh $ q $ satuan searah sumbu Y, matriks translasinya dapat ditulis $ T = \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) $
*). Hubungan titik awal dan bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p + x \\ q + y \end{matrix} \right) \\ x^\prime & = p + x \rightarrow x = x^\prime - p \\ y^\prime & = q + y \rightarrow y = y^\prime - q \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan titik puncak $ M(p,q) $ dan sumbu nyata sejajar sumbu X .

Persamaan awal kurva Hiperbolanya : $ \frac{ x^2}{a^2 } - \frac{y^2}{b^2 } = 1 $, sehingga persamaan baru setelah digeser yaitu :
$ \begin{align} \frac{ x^2}{a^2 } - \frac{y^2}{b^2 } & = 1 \\ \frac{ (x^\prime - p)^2}{a^2 } - \frac{(y^\prime - q)^2}{b^2 } & = 1 \\ \text{ atau dapat } & \text{ ditlis} \\ \frac{ (x-p)^2}{a^2 } - \frac{(y-q)^2}{b^2 } & = 1 \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan titik puncak $ M(p,q) $ dan sumbu nyata sejajar sumbu Y .

Persamaan awal kurva Hiperbolanya : $ - \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $, sehingga persamaan baru setelah digeser yaitu :
$ \begin{align} -\frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } & = 1 \\ -\frac{ (x^\prime - p)^2}{b^2 } + \frac{(y^\prime - q)^2}{a^2 } & = 1 \\ \text{ atau dapat } & \text{ ditlis} \\ -\frac{ (x-p)^2}{b^2 } + \frac{(y-q)^2}{a^2 } & = 1 \end{align} $

Persamaan Hiperbola dengan titik pusat di $ M(p,q) $

*). Sumbu nyata sejajar sumbu X :
$ \, \, \, \, \, \, \, \frac{ (x-p)^2}{a^2 } - \frac{(y-q)^2}{b^2 } = 1 $
*). Sumbu nyata sejajar sumbu Y :
$ \, \, \, \, \, \, \, -\frac{ (x-p)^2}{b^2 } + \frac{(y-q)^2}{a^2 } = 1 $

       Demikian pembahasan materi Cara Menemukan Persamaan Hiperbola beserta ilustrasi gambar kurva Hiperbolanya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut". Untuk memperdalam mempelajari materi Hiperbola, silahkan baca pada artikel "persamaan Hiperbola dan unsur-unsurnya".