Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "nilai kebenaran pernyataan majemuk" pada artikel sebelumnya, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika yang tentu masih merupakan submateri "logika matematika". Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, kita biasanya menggunakan tabel kebenaran, dari tabel tersebut kita peroleh nilai kebenaran suatu bentuk pernyataan majemuk. Nilai kebenaran pernyataan majemuk dapat kita golongkan menjadi tiga yaitu Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi. Untuk mempermudah mempelajari materi Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika ini, sebaiknya kita menguasai terlebih dahulu materi "pernyataan majemuk", "nilai kebenaran dan ingkarannya", serta "nilai kebenaran pernyataan majemuk" itu sendiri yang kita tuangkan dalam bentuk tabel. Sebagai contoh, "Budi masih perjaka atau Budi bukan perjaka", nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ini adalah BBBB, yang artinya bernilai selalu benar untuk semua kemungkinan.

 

Pengertian Tautologi

       Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai BENAR untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Contoh soal Tautologi :

1). Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $ (\sim p \Rightarrow q) \vee \sim p $ adalah tautologi!
Penyelesaian :
*). Ada dua pernyataan tunggal yaitu $ p $ dan $ q $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^2 = 4 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & \sim p \Rightarrow q & ( \sim p \Rightarrow q ) \vee \sim p \\ \hline B & B & S & B & B \\ \hline B & S & S & B & B \\ \hline S & B & B & B & B \\ \hline S & S & B & S & B \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ ( \sim p \Rightarrow q ) \vee \sim p $ adalah BBBB (semuanya BENAR), sehingga pernyataan $ ( \sim p \Rightarrow q ) \vee \sim p $ adalah tautologi.

2). Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $ (p \vee q) \vee (r \Rightarrow \sim q ) $ adalah tautologi!
Penyelesaian :
*). Ada 3 pernyataan tunggal yaitu $ p $ , $ q $, dan $ r $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^3 = 8 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
Misalkan hasil : $ X = (p \vee q) $ dan $ Y = (r \Rightarrow \sim q) $
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & r & \sim q & p \vee q & r \Rightarrow \sim q & X \vee Y \\ \hline B & B & B & S & B & S & B \\ \hline B & B & S & S & B & B & B \\ \hline B & S & B & B & B & B & B \\ \hline B & S & S & B & B & B & B \\ \hline S & B & B & S & B & S & B \\ \hline S & B & S & S & B & B & B \\ \hline S & S & B & B & S & B & B \\ \hline S & S & S & B & S & B & B \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ (p \vee q) \vee (r \Rightarrow \sim q ) $ adalah BBBBBBBB (semuanya BENAR), sehingga pernyataan $ (p \vee q) \vee (r \Rightarrow \sim q ) $ adalah tautologi.

3). Berikut contoh lain dari pernyataan majemuk yang bersifat tautologi. Silahkan cek kebenarannya lewat tabel kebenaran.
a). $ (p \Rightarrow q) \Rightarrow ( \sim p \vee q) $
b). $ p \vee \sim p $
c). $ ( p \wedge q) \Rightarrow p $
d). $ p \Rightarrow ( p \vee q ) $
e). $ (p \Rightarrow q) \vee ( q \Rightarrow p) $
f). $ (p \wedge \sim q) \Leftrightarrow \sim (p \Rightarrow q) $

Pengertian Kontradiksi

       Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai SALAH untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Catatan :
*). Kontradiksi adalah negasi atau ingkaran dari tautologi atau sebaliknya yaitu tautologi adalah ingkaran dari kontradiksi.

Contoh soal Kontradiksi :

4). Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $ \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah kontradiksi!
Penyelesaian :
*). Ada dua pernyataan tunggal yaitu $ p $ dan $ q $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^2 = 4 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & \sim p \Rightarrow q & \sim ( \sim p \Rightarrow q ) & \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p \\ \hline B & B & S & B & S & S \\ \hline B & S & S & B & S & S \\ \hline S & B & B & B & S & S \\ \hline S & S & B & S & B & S \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah SSSS (semuanya SALAH), sehingga pernyataan $ \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah kontradiksi.

5). Berikut contoh lain dari pernyataan majemuk yang bersifat tautologi. Silahkan cek kebenarannya lewat tabel kebenaran.
a). $ (\sim p \wedge \sim q) \wedge \sim ( q \Rightarrow \sim r) $
b). $ (p \Rightarrow q) \wedge ( p \wedge \sim q) $
c). $ p \wedge \sim p $
d). $ p \Leftrightarrow \sim p $
e). $ p \Leftrightarrow [(p \vee \sim q) \Rightarrow (\sim p \wedge \sim q)] $
f). $ (p \wedge q) \wedge \sim p $
g). $ q \wedge ( p \wedge \sim q ) $
h). $ ( p \wedge \sim q) \wedge ( q \wedge \sim p) $
i). $ ( p \wedge \sim q) \Leftrightarrow ( p \Rightarrow q) $ .

Pengertian Kontingensi

       Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang tidak selalu bernilai BENAR dan tidak selalu bernilai SALAH (bukan tautologi dan bukan kontradiksi) untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya. Artinya dalam kontingensi, nilai kebenarannya sekaligus memuat BENAR dan SALAH.

Contoh soal Kontingensi :

6). Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $ ( p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah koningensi!
Penyelesaian :
*). Ada dua pernyataan tunggal yaitu $ p $ dan $ q $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^2 = 4 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & p \Rightarrow q & ( p \Rightarrow q ) \wedge p \\ \hline B & B & B & B \\ \hline B & S & S & S \\ \hline S & B & B & S \\ \hline S & S & B & S \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ ( p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah BSSS (tidak semuanya BENAR dan tidak semuanya SALAH), sehingga pernyataan $ (p \Rightarrow q ) \wedge p $ adalah kontingensi.

7). Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $ adalah koningensi!
Penyelesaian :
*). Ada 3 pernyataan tunggal yaitu $ p $ , $ q $, dan $ r $, sehingga banyak baris tebel kebenarannya yaitu $ 2^3 = 8 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
Misalkan hasil : $ X = (\sim p \vee q) $ dan $ Y = (p \Rightarrow \sim r) $
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & r & \sim p & \sim r & \sim p \vee q & p \Rightarrow \sim r & X \Leftrightarrow Y \\ \hline B & B & B & S & S & B & S & S \\ \hline B & B & S & S & B & B & B & B \\ \hline B & S & B & S & S & S & S & B \\ \hline B & S & S & S & B & S & B & S \\ \hline S & B & B & B & S & B & B & B \\ \hline S & B & S & B & B & B & B & B \\ \hline S & S & B & B & S & B & B & B \\ \hline S & S & S & B & B & B & B & B \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $ adalah SBBSBBBB (tidak semuanya BENAR dan tidak semuanya SALAH), sehingga pernyataan $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $ adalah kontingensi.

Catatan :
*). Untuk contoh-contoh pernyataan majemuk sangat mudah kita temukan daripada mencari contoh tautologi atau kontradiksi. Silahkan teman-teman daftarkan sendiri contoh-contoh kontingensi, pasti sangat banyak contoh yang bisa kita dapatkan.

       Demikian pembahasan materi Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen".