Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) ini, sebaiknya kita harus menguasai dahulu materi "persamaan hiperbola dan unsur-unsurnya" secara mendalam dan materi "sifat-sifat eksponen" khususnya bentuk akar seperti $ A^2 = B \rightarrow A = \pm \sqrt{B} $. Langsung saja kita masuk ke bentuk Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) berikut ini.
Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH)
Bentuk atau rumus Persamaan Asimtot Hiperbola bergantung dari persamaan hiperbolanya. Berikut masing-masing
rumus Persamaan Asimtot Hiperbolanya.
1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{b}{a} x $
2). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
3). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{a}{b} x $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $
1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{b}{a} x $
2). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
3). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{a}{b} x $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $
$ \spadesuit \, $ Trik mengingat dan mengerjakan PAH
(i). Nilai $ a^2 $ selalu ada di bagian positif ($x$ atau $y$), dan sisanya adalah nilai $ b^2 $ dengan nilai $ a $ dan $ b $ selalu positif.
(ii). Bentuk umum asimtotnya $ y = \pm mx $ atau $ y-q = \pm (x-p) $ dengan
(a). Jika $ x $ positif, maka $ m = \frac{b}{a} $
(b). Jika $ y $ positif, maka $ m = \frac{a}{b} $
(iii). Jika tidak ingin menggunalan rumus di atas, maka ada cara lain yaitu mengganti angka 1 dengan 0 pada persamaan hiperbolanya, lalu selesaikan sehingga kita peroleh juga persamaan asimtot hiperbolanya.
(iv). Titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola adalah titik pusat hiperbola yaitu titik $ (p,q) $.
Contoh soal Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) :
1). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
(a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
(b). $ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1 $
Penyelesaian :
(a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
*). Karena $ x $ yang positif, maka $ m = \frac{b}{a} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{b}{a} x \\ y & = \pm \frac{4}{3} x \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y = \frac{4}{3}x $ dan $ y = -\frac{4}{3}x $.
Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 1 \\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 0 \\ \frac{y^2}{16} & = \frac{x^2}{9} \\ y^2 & = \frac{16}{9}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{\frac{16}{9}x^2 } \\ y & = \pm \frac{4}{3}x^2 \end{align} $
(b). $ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 8 \rightarrow a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
*). Karena $ y $ yang positif, maka $ m = \frac{a}{b} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{a}{b} x \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5} x \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y = \frac{2\sqrt{2}}{5}x $ dan $ y = -\frac{2\sqrt{2}}{5}x $.
Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 1 \\ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 0 \\ \frac{y^2}{8} & = \frac{x^2}{25} \\ y^2 & = \frac{8}{25}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{ \frac{8}{25}x^2 } \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5}x \end{align} $
2). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
(a). $ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} = 1 $
(b). $ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1 $
Penyelesaian :
(a). $ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 25 \rightarrow a = 5 $
$ b^2 = 7 \rightarrow b = \sqrt{7} $
*). Karena $ x $ yang positif, maka $ m = \frac{b}{a} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y+1 = \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) $ dan $ y+1 = - \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) $.
Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} & = 0 \\ \frac{(y+1)^2}{7} & = \frac{(x-2)^2}{25} \\ (y+1)^2 & = \frac{7}{25} (x-2)^2 \\ y+1 & = \pm \sqrt{ \frac{7}{25} (x-2)^2 } \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align} $
(b). $ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 64 \rightarrow a = 8 $
$ b^2 = 100 \rightarrow b = 10 $
*). Karena $ y $ yang positif, maka $ m = \frac{a}{b} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y - 3 & = \pm \frac{8}{10} (x +2) \\ y - 3 & = \pm \frac{4}{5} (x +2) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y - 15 & = \pm 4(x +2) \\ 5y - 15 & = 4(x +2) \vee 5y - 15 = - 4(x +2) \\ 5y - 15 & = 4x + 8 \vee 5y - 15 = - 4x - 8 \\ 5y -4x & = 23 \vee 5y + 4x = 7 \\ \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ 5y - 4x = 23 $ dan $ 5y + 4x = 7 $.
Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 1 \\ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 0 \\ \frac{(y-3)^2}{64} & = \frac{(x+2)^2}{100} \\ (y-3)^2 & = \frac{64}{100} (x+2)^2 \\ (y-3) & = \pm \sqrt{ \frac{64}{100} (x+2)^2 } \\ (y-3) & = \pm \frac{8}{10} (x+2) \\ (y-3) & = \pm \frac{4}{5} (x+2) \end{align} $
3). Kedua persamaan asimtot hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} = 1 $ masing-masing memotong sumbu X. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
Penyelesaian :
*). Mnenentukan PAH dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+3)^2}{9} & = \frac{(x-1)^2}{4} \\ (y+3)^2 & = \frac{9}{4} (x-1)^2 \\ (y+3) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{4} (x-1)^2 } \\ y+3 & = \pm \frac{3}{2} (x-1) \, \, \, \, \, \text{kali 2)} \\ 2y+6 & = \pm 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 (x-1) \vee 2y+6 & = - 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 x- 3 \vee 2y+6 & = - 3x + 3 \\ 3x - 2y = 9 \vee 3x + 2y & = - 3 \end{align} $
Persamaan asimtot hiperbolanya adalah $ 3x - 2y = 9 $ dan $ 3x + 2y = -3 $.
*). Menentukan titik potong sumbu X dengan substitusi $ y = 0 $ :
$ 3x - 2y = 9 \rightarrow 3x - 2.0 = 9 \rightarrow x = 3 $
$ 3x + 2y = -3 \rightarrow 3x + 2.0 = -3 \rightarrow x = -1 $
Sehingga titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu X adalah $ A(3,0) $ dan $ B(-1,0) $.
*). Menentukan jarak kedua titik potong :
Jarak $ = 3 - (-1) = 4 $.
Jadi, jarak kedua titik potong adalah 4 satuan.
4). Kedua persamaan asimtot hiperbola $ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} = 1 $ masing-masing memotong sumbu Y. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
Penyelesaian :
*). Mnenentukan PAH dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \begin{align} -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 1 \\ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+n)^2}{9} & = \frac{(x-m)^2}{16} \\ (y+n)^2 & = \frac{9}{16}(x-m)^2 \\ (y+n) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{16}(x-m)^2 } \\ (y+n) & = \pm \frac{3}{4}(x-m) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y+4n & = \pm 3(x-m) \\ 4y+4n = 3(x-m) \vee 4y+4n & = - 3(x-m) \\ 4y+4n = 3x-3m \vee 4y+4n & = - 3x + 3m \\ 4y - 3x = -3m - 4n \vee 4y + 3x & = 3m - 4n \end{align} $
Persamaan asimtot hiperbolanya adalah $ 4y - 3x = -3m - 4n $ dan $ 4y + 3x = 3m - 4n $.
*). Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $ :
$ 4y - 3x = -3m - 4n \rightarrow 4y - 3.0 = -3m - 4n \rightarrow 4y = -3m - 4n \rightarrow y = -\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n $
$ 4y + 3x = 3m - 4n \rightarrow 4y + 3.0 = 3m - 4n \rightarrow 4y = 3m - 4n \rightarrow y = \frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n $
Sehingga titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu Y adalah $ A(0,-\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n ) $ dan $ B(0, \frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) $.
*). Menentukan jarak kedua titik potong :
Jarak $ = (\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) - (-\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) = \frac{6}{4}m = \frac{3}{2}m $.
Jadi, jarak kedua titik potong adalah $ \frac{3}{2}m $ satuan.
5). Tentukan titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $ 3x^2 - 2y^2 - 12x - 4y + 4 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Mengubah persamaan dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna".
$ \begin{align} 3x^2 - 2y^2 - 12x - 4y + 4 & = 0 \\ 3x^2 - 12x - 2y^2 - 4y & = -4 \\ 3(x^2 -4x) - 2(y^2 + 2y) & = -4 \\ 3[(x-2)^2 - 2^2] - 2[(y + 1)^2 - 1^2] & = -4 \\ 3[(x-2)^2 - 4] - 2[(y + 1)^2 - 1 ] & = -4 \\ 3(x-2)^2 - 12 - 2(y + 1)^2 + 2 & = -4 \\ 3(x-2)^2 - 2(y + 1)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ \frac{3(x-2)^2 }{6} - \frac{2(y + 1)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ \frac{(x-2)^2 }{2} - \frac{(y + 1)^2}{3} & = 1 \end{align} $
Titik pusat hiperbola : $ (p,q) = ( 2, - 1 ) $
*). Titik potong kedua persamaan asimtot adalah titik pusat persamaan hiperbolanya yaitu $ (2,-1) $.
Jadi, titik potong kedua asimtot adalah $ (2,-1) $.
6). Jika titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $ -2x^2 + 3y^2 - 4mx - 6ny = 2m^2 - 3n^2 + 6 $ adalah $ (m-4, -n+2) $, maka tentukan nilai $ m^2 + n^2 $ !
Penyelesaian :
*). Mengubah persamaan :
$ \begin{align} -2x^2 + 3y^2 - 4mx - 6ny & = 2m^2 - 3n^2 + 6 \\ -2x^2 - 4mx - 2m^2 + 3y^2 - 6ny + 3n^2 & = 6 \\ -2(x^2 + 2mx +m^2) + 3(y^2 - 2ny + n^2 ) & = 6 \\ -2(x+m)^2 + 3(y-n)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ -\frac{2(x+m)^2}{6} + \frac{3(y-n)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ -\frac{(x+m)^2}{3} + \frac{(y-n)^2}{2} & = 1 \end{align} $
Titik pusatnya : $ (p,q) = (-m , n) $
*). Titik potong kedua asimtot adalah titik pusat yaitu $ (-m,n) $.
*). Pada soal juga diketahui bahwa titik potong kedua asimtot adalah $ (m-4,-n+2) $, sehingga kedua titik potong tersebut sama yaitu :
$ \begin{align} (-m , n) & = (m-4,-n+2) \\ -m & = m - 4 \rightarrow 2m = 4 \rightarrow m = 2 \\ n & = -n + 2 \rightarrow 2n = 2 \rightarrow n = 1 \end{align} $
Sehingga nilai $ m^2 + n^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 $ .
Jadi, nilai $ m^2 + n^2 = 5 $.
Demikian pembahasan materi Persamaan Asimtot Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".
