Perhatikan ilustrasi kurva elips dan unsur-unsurnya berikut ini.
*). Titik $ P(x,y) $ adalah titik sembarang pada elips sehingga berlaku $ |F_1P| + |F_2P| = 2a $
*). Titik pusat elips : $ M(0,0) $
*). Titik fokus elips : $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $
*). Sumbu mayor dan sumbu minor :
-). Sumbu mayor (garis AB) adalah sumbu yang melalui titik fokus $ F_1 $ dan $ F_2 $. Panjang sumbu mayor $ = 2a $.
-). Sumbu minor (garis CD) adalah sumbu yang melalui titik pusat dan tegak lurus sumbu mayor. Panjang sumbu minor $ = 2b $.
*). Sumbu utama atau transvers axis adalah sumbu simetri kurva elips yang melaui titik folus $ F_1 $ dan $ F_2 $, ditunjukkan oleh sumbu X.
*). Sumbu sekawan atau cojugate axis adalah sumbu simetri kurva elips yang melaui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu utama, ditunjukkan oleh sumbu Y.
*). Titik puncak elips :
-). Titik $ A(-a.0) $ dan $ B(a,0) $ adalah titik potong elips dengan sumbu mayor
-). Titik $ C(0,-b) $ dan $ D(0,b) $ adalah titik potong elips dengan sumbu minor
*). Latus rectum adalah garis melalui titik fokus $ F_1 $ dan $ F_2 $ yang tegak lurus dengan sumbu mayor. Pada gambar, garis latus rectumnya adalah garis KL dan MN, dimana masing-masing memotong elips di titik K, L, M, dan N. Panjang latus rectum $ = |KL| = |MN| = \frac{2b^2}{a} $ dengan koordinat titik $ K\left( -c, \frac{b^2}{a} \right) $ , $ L\left( -c, \frac{-b^2}{a} \right) $ , $ M\left( c, \frac{b^2}{a} \right) $ , dan $ N\left( c, \frac{-b^2}{a} \right) $ .
*). Hubungan $ a, b$ , dan $ c $ adalah berlaku pythagoras yaitu $ a^2 = b^2 + c^2 $ pada segitiga $ DMF_2 $.
*). Eksentrisitas $(e)$ adalah perbandingan jarak dua titik fokus dan panjang sumbu mayornya, sehingga dapat kita tulis rumusnya : $ e = \frac{c}{a} $.
*). Direktris adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu mayor dan berada diluar elips yang ditunjukkan oleh garis $ g $ dan gris $ h $. Persamaan direktris masing-masing : garis $ h $ adalah $ x = -\frac{a^2}{c} $ dan garis $ h $ adalah $ x = \frac{a^2}{c} $.
*). Adapun persamaan elips yang sesuai dengan ilustrasi di atas adalah $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
Sesuai dengan sumbu mayor dan titik pusat, Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya dibagi menjadi empat bagian yaitu :
1). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(0,0) $
2). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(0,0) $
3). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(p,q) $
4). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(p,q) $
Pada penjelasan di atas, persamaan elips jenis (1) sudah kita bahas, tinggal tiga jenis berikutnya.
Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(0,0) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan elips
Pada gambar 3 di atas, persamaan elipsnya adalah
$ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ (0,0) $
-). Titik puncak : $ F_1(0,-c) $ dan $ F_2(0,c) $
-). Titik puncak : titik $A(0,-a)$ $B(0,a)$, $C(-b,0) $, dan $D(b,0) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} $ dan $ y = \frac{a^2}{c} $
Pada gambar 3 di atas, persamaan elipsnya adalah
$ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ (0,0) $
-). Titik puncak : $ F_1(0,-c) $ dan $ F_2(0,c) $
-). Titik puncak : titik $A(0,-a)$ $B(0,a)$, $C(-b,0) $, dan $D(b,0) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} $ dan $ y = \frac{a^2}{c} $
Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(p,q) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan elips
Pada gambar 4 di atas, persamaan elipsnya adalah
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p-c, q) $ dan $ F_2(p+c,q) $
-). Titik puncak : titik $A(p-a,q)$ $B(p+a,q)$, $C(p, q - b) $, dan $D(p, q + b) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ dan $ x = \frac{a^2}{c} + p $
Pada gambar 4 di atas, persamaan elipsnya adalah
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p-c, q) $ dan $ F_2(p+c,q) $
-). Titik puncak : titik $A(p-a,q)$ $B(p+a,q)$, $C(p, q - b) $, dan $D(p, q + b) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ dan $ x = \frac{a^2}{c} + p $
Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(p,q) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan elips
Pada gambar 5 di atas, persamaan elipsnya adalah
$ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p, q - c) $ dan $ F_2(p, q + c) $
-). Titik puncak : titik $A(p, q - a)$ $B(p, q + a)$, $C(p - b, q) $, dan $D(p + b, q) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} + q $ dan $ y = \frac{a^2}{c} + q $
Pada gambar 5 di atas, persamaan elipsnya adalah
$ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p, q - c) $ dan $ F_2(p, q + c) $
-). Titik puncak : titik $A(p, q - a)$ $B(p, q + a)$, $C(p - b, q) $, dan $D(p + b, q) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} + q $ dan $ y = \frac{a^2}{c} + q $
Ada dua hal yang akan menjadi pertanyaan pada soal yaitu pertama : diketahui persamaan elipsnya dan kita diminta menentukan unsur-unsur elipsnya sekaligus gambar grafiknya, dan yang kedua : diketahui unsur-unsur elipsnya dan kita diminta menentukan persamaan elipsnya.
$ \spadesuit \, $ Trik mudah menentukan unsur-unsur pada elips yang diketahui persamaan elipsnya
Pertanyaan sederhana buat teman-teman, apakah teman-teman mau menghafal semua rumus unsur-unsur elips di keempat jenis persamaannya? Kalau jawaban saya TENTU TIDAK. Kita butuh triks khusus untuk mudah diingat sehingga kita bisa mencari unsur-unsur elipsnya dengan mudah.
Trik (I) : nilai $ a^2 $ adalah nilai terbesar yang ada dibagian bawah persamaan, sehingga sisanya adalah nilai $ b^2 $.
Trik (II) : Letak nilai $ a^2 $ menentukan sumbu mayornya. Jika $ a $ ada di bawah X, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X dengan persamaan elipsnya $ \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika $ a $ ada di bawah sumbu Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elipsnya $ \frac{x^2}{b^2} +\frac{y^2}{a^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
Trik (III) : Nilai $ c $ kita tentukan dari $ a^2 = b^2 + c^2 $.
Triks (IV) : Untuk menentukan titik fokus dan titik puncak, kita tinggal menggeser titik pusat $ M(p,q) $ searah sumbu X atau searah sumbu Y. Jika searah sumbu X maka yang berubah bagian $ x $ saja yaitu kekanan ditambah dan ke kiri dikurangkan. Jika searah sumbu Y maka yang berubah bagian $ y $ saja yaitu ke atas ditambahkan dan ke bawah dikurangkan. Ditambah atau dikurangkan tergantung dari besar pergeserannya yaitu $ a $ atau $ b $ atau $ c $. Nilai $ c $ selalu menggeser ke titik fokus, nilai $ a $ menggeser ke titik puncak di sumbu mayor, dan nilai $ b $ menggeser ke titik puncak di sumbu minor.
Trik (V) : titik fokus selalu ada di sumbu mayor, titik puncak A dan ada di sumbu mayor, titik puncak C dan D ada di sumbu minor.
Contoh Soal Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya :
1). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan elips berikut ini :
a). $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $
b). $ 9x^2 + 4y^2 = 36 $
Penyelesaian :
a). Persamaan elipsnya : $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
$ a^2 = 25 \rightarrow a = 5 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 25 = 16 + c^2 \rightarrow c^2 = 9 \rightarrow c = 3 $.
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 5 = 10 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 4 = 8 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.4^2}{5} = \frac{32}{5} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = - \frac{25}{3} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{25}{3} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{25}{3} $ atau $ x = \frac{25}{3} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ c = 3 $:
$ F_1(0-3,0) = (-3,0) $
$ F_2(0+3,0) = (3,0) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ a = 5 $:
$ A(0-5,0) = (-5,0) $
$ B(0+5,0) = (5,0) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu minor), $ y $ nya berubah dengan $ b = 4 $:
$ C(0,0-4) = (0,-4) $
$ D(0,0+4) = (0,4) $
b). Persamaan elipsnya : $ 9x^2 + 4y^2 = 36 $
*). Mengubah persamaannya :
$ \begin{align} 9x^2 + 4y^2 & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ \frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} & = \frac{36}{36} \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 4 \rightarrow b = 2 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 9 = 4 + c^2 \rightarrow c^2 = 5 \rightarrow c = \sqrt{5} $.
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 2 = 4 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.2^2}{3} = \frac{8}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ y = -\frac{a^2}{c} = - \frac{9}{\sqrt{5}} \, $ atau $ y = \frac{a^2}{c} =\frac{9}{\sqrt{5}} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{9}{\sqrt{5}} $ atau $ x = \frac{9}{\sqrt{5}} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ c = \sqrt{5} $:
$ F_1(0,0-\sqrt{5} ) = (0,-\sqrt{5} ) $
$ F_2(0,0 + \sqrt{5} ) = (0,\sqrt{5} ) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0,0-3) = (0,-3) $
$ B(0,0+3) = (0,3) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu minor), $ x $ nya berubah dengan $ b = 2 $:
$ C(0 - 2 , 0) = (-2,0) $
$ D(0+2 , 0) = (2,0) $
2). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan elips berikut ini :
a). $ \frac{(x+1)^2}{100} + \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
b). $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{169} = 1 $
Penyelesaian :
a). Persamaan elipsnya : $ \frac{(x+1)^2}{100} + \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
$ a^2 = 100 \rightarrow a = 10 $
$ b^2 = 64 \rightarrow b = 8 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 100 = 64 + c^2 \rightarrow c^2 = 36 \rightarrow c = 6 $.
$ x - p = x + 1 \rightarrow p = -1 $
$ y - q = y - 2 \rightarrow q = 2 $
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 10 = 20 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 8 = 16 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.8^2}{10} = \frac{64}{5} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} + p = - \frac{10^2}{6} + (-1) = - \frac{53}{3} \, $
atau $ x = \frac{a^2}{c} + p = \frac{10^2}{6} + (-1) = \frac{47}{3} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{53}{3} $ atau $ x = \frac{47}{3} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (-1,2) $
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ c = 6 $:
$ F_1(-1-6,2) = (-7,2) $
$ F_2(-1+6,2) = (5,2) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ a = 10 $:
$ A(-1-10,2) = (-11,2) $
$ B(-1+10,2) = (9,2) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu minor), $ y $ nya berubah dengan $ b = 8 $:
$ C(-1,2-8) = (-1,-6) $
$ D(-1,2+8) = (-1,10) $
b). Persamaan elipsnya : $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{169} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
$ a^2 = 169 \rightarrow a = 13 $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 169 = 25 + c^2 \rightarrow c^2 = 144 \rightarrow c = 12 $.
$ x-p = x - 1 \rightarrow p = 1 $
$ y - q = y - 3 \rightarrow q = 3 $
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 13 = 26 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 5 = 10 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.5^2}{13} = \frac{50}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{12}{13} $
-). Persamaan direktris :
$ y = -\frac{a^2}{c} + q = - \frac{13^2}{12} + 3 = -\frac{133}{12} \, $
atau $ y = \frac{a^2}{c} + q = \frac{13^2}{12} + 3 = \frac{205}{12} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = -\frac{133}{12} $ atau $ x = \frac{205}{12} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (1,3) $
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ c = 12 $:
$ F_1(1, 3 - 12) = (1,-9) $
$ F_2(1,3+12) = (1,15) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ a = 13 $:
$ A(1,3-13) = (1,-10) $
$ B(1,3+13) = (1,16) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu minor), $ x $ nya berubah dengan $ b = 5 $:
$ C(1-5,3) = (-4,3) $
$ D(1+5,3) = (6,3) $
3). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan elips $ 9x^2 + 16y^2 + 36x - 32y - 92 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita ubah persamaan elipsnya dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna"
$ \begin{align} 9x^2 + 16y^2 + 36x - 32y - 92 & = 0 \\ 9x^2 + 36x + 16y^2 - 32y & = 92 \\ 9(x^2 + 4x) + 16(y^2 - 2y) & = 92 \\ 9[(x + \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2] + 16[(y - \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 ] & = 92 \\ 9[(x +2)^2 - 4] + 16[(y - 1)^2 - 1 ] & = 92 \\ 9(x +2)^2 - 36 + 16(y - 1)^2 - 16 & = 92 \\ 9(x +2)^2 + 16(y - 1)^2 & = 92 + 36 + 16 \\ 9(x +2)^2 + 16(y - 1)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{9(x +2)^2}{144} + \frac{16(y - 1)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ \frac{(x +2)^2}{16} + \frac{(y - 1)^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh (2) di atas bagian (a).
$ \clubsuit \, $ Trik mudah menentukan persamaan elips yang diketahui unsur-unsurnya
Berikut ada beberapa trik mudah sehingga kita tidak perlu mengingat semua rumus persamaan elipsnya jika diketahui unsur-unsur elipsnya.
i). Diketahui titik fokus, perhatikan bagian $ x $ atau $ y $ kah yang berubah. Jika yang berubah $ x $ nya, maka sumbu mayor sejajar sumbu X dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika yang berubah $ y $ nya, maka sumbu mayor sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
ii). Jarak duat titik fokus dan puncak :
Jarak dua titik fokus $ = 2c $
Jarak dua titik puncak sejajar sumbu mayor = $ 2a $
Jarak dua titik puncak sejajar sumbu minor = $ 2b $
iii). gunakan juga teorema pythagoras : $ a^2 = b^2 + c^2 $
iv). Untuk menentukan titik pusat $ M(p,q) $ , kita menggunakan konsep titik tengah antara dua titik. Titik tengah antara titik $ (x_1,y_1) $ dan titik $ (x_2,y_2) $ adalah $ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $ . Titik pusat selalu ditengah-tengah antara dua titik fokus dan juga ditengah-tengah antara dua titik puncak.
Contoh soal diketahui unsur-unsur elips :
4). Tentukan persamaan elips jika diketahui :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3) serta panjang sumbu mayor 8.
b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $ serta panjang sumbu minor 4.
Penyelesaian :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3), yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu mayornya sejajar sumbu X dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3+3}{2} \right) = (4,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu mayor = 8 ,
$ 2a = 8 \rightarrow a = 4 $
-). Jarak dua fokus = $ 6-2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 16 = b^2 + 4 \rightarrow b^2 = 12 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-4)^2}{16} + \frac{(y-3)^2}{12} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-4)^2}{16} + \frac{(y-3)^2}{12} = 1 $.
b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = (-1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu minor = 4 ,
$ 2b = 4 \rightarrow b = 2 $
-). Jarak dua fokus = $ 5 - (-3) = 8 $
$ 2 c = 8 \rightarrow c = 4 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow a^2 = 4 + 16 \rightarrow a^2 = 20 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-(-1))^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{20} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{20} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{20} = 1 $.
5). Tentukan persamaan elips yang diketahui titik fokusnya $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $ serta titik puncaknya $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu mayornya sejajar sumbu X dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 4 - (-2) = 6 $
$ 2 c = 6 \rightarrow c = 3 $
-). Titik puncak $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sejajar sumbu X yang merupakan sumbu mayornya.
Jarak dua titik puncak = $ 6 - (-4) = 10 $
$ 2 a = 10 \rightarrow a = 5 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 25 = b^2 + 9 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{16} = 1 $.
6). Tentukan persamaan elips yang diketahui titik fokusnya $ (1,1) $ dan $ (1,5) $ serta titik puncaknya $ (-2,3) $ dan $ (4,3) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,1) $ dan $ (1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1 + 5}{2} \right) = (1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 5 - 1 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Titik puncak $ (-2,3) $ dan $ (4,3) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sejajar sumbu X yang merupakan sumbu minor (karena sumbu mayornya sejajar sumbu Y dari titik fokusnya).
Jarak dua titik puncak = $ 4 - (-2) = 6 $
$ 2 b = 6 \rightarrow b = 3 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow a^2 = 9 + 4 \rightarrow a^2 = 13 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{13} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{13} = 1 $.
7). Tentukan persamaan elips jika diketahui titik puncaknya $ (-3,1) $ dan $ (5,1) $ serta panjang sumbu minornya 6 dimana sumbu minor sejajar sumbu Y!
Penyelesaian :
*). Karena sumbu minor sejajar sumbu Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X, sehingga persamaan elipsnya $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik puncak :
$ (p,q) = \left( \frac{-3+5}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu minor = 6
$ 2 b = 6 \rightarrow b = 3 $
-). Titik puncak $ (-3,1) $ dan $ (5,1) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sejajar sumbu X yang merupakan sumbu mayornya.
Jarak dua titik puncak = $ 5 - (-3) = 8 $
$ 2 a = 8 \rightarrow a = 4 $
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $.
8). Tentukan persamaan elips jika diketahui titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $ serta nilai eksentrisitasnya $ \frac{1}{3} $ !
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = (1,4) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 - 2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Eksentrisitas :
$ e = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{c}{a} = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{2}{a} = \frac{1}{3} \rightarrow a = 6 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 36 = b^2 + 4 \rightarrow b^2 = 32 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{32} + \frac{(y-4)^2}{36} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{32} + \frac{(y-4)^2}{36} = 1 $.
Demikian pembahasan materi Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya serta contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "kedudukan titik dan garis terhadap elips".
