Kedudukan Garis terhadap Hiperbola

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "kedudukan titik terhadap Hiperbola" yang berkaitan langsung dengan "persamaan garis singgung Hiperbola" pada "persamaan Hiperbola", materi Kedudukan Garis terhadap Hiperbola juga sebagai landasan dalam mempelajari materi persamaan garis singgung Hiperbola. Kedudukan Garis terhadap Hiperbola caranya hampir sama dengan materi sebelumnya yang sudah kita pelajari yaitu "kedudukan garis terhadap parabola" dan "kedudukan garis terhadap elips". Kedudukan Garis terhadap Hiperbola ada tiga jenis kemungkinan yaitu pertama : garis memotong kurva Hiperbola di dua titik yang berbeda, kedua : garis menyinggung Hiperbola (memotong Hiperbola di satu titik), dan ketiga : garis tidak memotong kurva Hiperbola. Untuk mengetahui dari ketiga jenis kedudukan garis terhadap Hiperbola tersebut, masing-masing memiliki syarat tertentu yang tergantung dari nilai Diskriminannya ($ D$) yang biasa kita pelajari pada materi persamaan kuadrat atau fungsi kuadrat dengan rumus $ D = b^2 -4ac $ . Berikut ilustrasi ketiga jenis Kedudukan Garis terhadap Hiperbola dalam bentuk ringkasan gambar.

         Materi-materi dasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari materi Kedudukan Garis terhadap Hiperbola ini yaitu "persamaan Hiperbola", "persamaan garis lurus", dan "penyelesaian pertidaksamaan". Berikut penjelasan syarat-syarat Kedudukan Garis terhadap Hiperbola.

Syarat Kedudukan Garis terhadap Hiperbola
       Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam menentukan kedudukan garis terhadap Hiperbola yaitu :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong Hiperbola di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung Hiperbola (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong Hiperbola.

Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap Hiperbola :
1). Substitusi garis ke Hiperbola sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap Hiperbola di atas.

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Hiperbola :

1). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 2 $ terhadap Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{((x+2) -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{x^2}{4} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64 \times \frac{(x+1)^2}{16} - 64 \times\frac{x^2}{4} & = 1 \times 64 \\ 4(x+1)^2 - 16x^2 & = 64 \\ 4(x^2 + 2x + 1) - 16x^2 & = 64 \\ 4x^2 + 8x + 4 - 16x^2 & = 64 \\ -12x^2 + 8x - 60 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ -3x^2 + 2x - 15 & = 0 \\ a = -3 , b = 2 , c & = -15 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4. (-3). (-15) = 4 - 180 = -176 $
*). Karena nilai $ D = -176 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ y = x + 2 $ tidak memotong Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $.

2). Tentukan kedudukan garis $ x - y = 0 $ terhadap Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} = 1 $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x - y = 0 \rightarrow y = x $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(x+2)^2}{12} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 12)} \\ -4(x-1)^2 + (x+2)^2 & = 12 \\ -4(x^2 - 2x + 1) + x^2+4x + 4 & = 12 \\ -4x^2 + 8x - 4 + x^2 + 4x + 4 & = 12 \\ -3x^2 + 12x - 12 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -3)} \\ x^2 - 4x + 4 & = 0 \\ a = 1 , b = -4 , c & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4. 1. 4 = 16 - 16 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ x - y = 0 $ menyinggung Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} = 1 $.

3). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 4 $ terhadap Hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{((x + 4)-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(x + 3)^2}{9} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ 9(x-1)^2 - 4(x + 3)^2 & = 36 \\ 9(x^2 - 2x + 1) - 4(x^2 + 6x + 9) & = 36 \\ 9x^2 - 18x + 9 - 4x^2 - 24x - 36 & = 36 \\ 5x^2 - 42x -63 & = 0 \\ a = 5 , b = -42 , c & = -63 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4. 5. (-63) = 1764 + 1260 = 3024 $
*). Karena nilai $ D = 3024 >0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ y = x + 4 $ memotong Hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $ di dua titik yang berbeda.

4). Jika garis $ x - y = k $ menyinggung kurva Hiperbola $ x^2 - 2y^2 = 8 $ , maka tentukan nilai $ k + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x - y = k \rightarrow x = y + k $
*). Substitusi garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} x^2 - 2y^2 & = 8 \\ (y + k)^2 - 2y^2 & = 8 \\ y^2 + 2ky + k^2 - 2y^2 & = 8 \\ -y^2 + 2ky + k^2 - 8 & = 0 \\ a = -1 , b = 2k , c & = k^2 - 8 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (2k)^2 - 4.(-1). ( k^2 - 8) & = 0 \\ 4k^2 + 4k^2 - 32 & = 0 \\ 8k^2 - 32 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ k^2 - 4 & = 0 \\ k^2 & = 4 \\ k & = \pm 2 \end{align} $
Sehingga nilai $ k + 1 $ :
$ k = 2 \rightarrow k + 1 = 2 + 1 = 3 $
$ k = -2 \rightarrow k + 1 = -2 + 1 = -1 $
Jadi, nilai $ k + 1 $ adalah 3 atau $ -1 $

       Demikian pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Garis Singgung Hiperbola".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar