Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Kedudukan Garis terhadap Parabola ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu beberapa materi yaitu "persamaan garis lurus", "persamaan parabola", dan cara mencari nilai diskriminan seperti pada materi persamaan kuadrat, serta tentang penyelesaian pertidaksamaan.
Syarat Kedudukan Garis terhadap Parabola
Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam menentukan kedudukan garis terhadap parabola yaitu :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong parabola di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung parabola (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong parabola.
Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap parabola :
1). Substitusi garis ke parabola sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap parabola di atas.
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong parabola di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung parabola (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong parabola.
Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap parabola :
1). Substitusi garis ke parabola sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap parabola di atas.
Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Parabola :
1). Tentukan kedudukan masing-masing garis berikut terhadap parabolanya :
a). garis $ y = 2x + 3 $ terhadap parabola $ x^2 = 2(y-1) $
b). garis $ 2x - 4y - 1 = 0 $ terhadap parabola $ x^2 = 4y $
c). garis $ x - y = -5 $ terhadap parabola $ (y - 2)^2 = 3(x+1) $
Penyelesaian :
a). garis $ y = 2x + 3 $ terhadap parabola $ x^2 = 2(y-1) $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 2(y-1) \\ x^2 & = 2(2x + 3-1) \\ x^2 & = 2(2x + 2) \\ x^2 & = 4x + 4 \\ x^2 & - 4x - 4 = 0 \\ a & = 1 , b = -4 , c = -4 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4. 1. (-4) = 16 + 16 = 32 $
*). Karena nilai $ D = 32 > 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ y = 2x + 3 $ memotong parabola $ x^2 = 2(y-1) $ di dua titik yang berbeda.
b). garis $ 2x - 4y - 1 = 0 $ terhadap parabola $ x^2 = 4y $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ 2x - 4y - 1 = 0 \rightarrow 4y = 2x - 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 4y \\ x^2 & = 2x - 1 \\ x^2 & - 2x + 1 = 0 \\ a & = 1 , b = -2 , c = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4. 1. 1 = 4 - 4 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ 2x - 4y - 1 = 0 $ menyinggung parabola $ x^2 = 4y $.
c). garis $ x - y = -5 $ terhadap parabola $ (y - 2)^2 = 3(x+1) $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x - y = -5 \rightarrow x = y - 5 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} (y - 2)^2 & = 3(x+1) \\ y^2 - 4y + 4 & = 3((y-5)+1) \\ y^2 - 4y + 4 & = 3(y - 4) \\ y^2 - 4y + 4 & = 3y - 12 \\ y^2 - 7y + 16 & = 0 \\ a & = 1 , b = -7 , c = 16 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4. 1. 16 = 49 - 64 = -15 $
*). Karena nilai $ D = -15 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ x - y = -5 $ tidak memotong parabola $ (y - 2)^2 = 3(x+1) $.
2). Jika garis $ y = 2x+p $ menyinggung kurva $ x^2 = 4(y+1) $ , maka tentukan nilai $ p^2 -3p + 7 $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 4(y+1) \\ x^2 & = 4(2x+p+1) \\ x^2 & = 8x + 4(p+1) \\ x^2 & - 8x - 4(p+1) = 0 \\ a & = 1 , b = -8 , c = -4(p+1) \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-8)^2 - 4.1. (-4(p+1)) & = 0 \\ 64 + 16(p+1) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 16)} \\ 4 + p + 1 & = 0 \\ p & = -5 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ p^2 -3p + 7 = (-5)^2 -3.(-5) + 7 = 47 $
Jadi, nilai $ p^2 -3p + 7 = 47 $
3). Sebuah garis $ g $ memiliki gradien $ m $ dan menyinggung parabola $ x^2 = 3(y-2) $. Jika garis $ g $ melalui titik $ (0,q) $ , maka tentukan nilai $ m + 3 $!
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis $ g $ yang melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,q) $ dan gradien $ m $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - q & = m(x -0) \\ y - q & = mx \\ y & = mx + q \end{align} $
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 3(y-2) \\ x^2 & = 3( mx + q-2) \\ x^2 & = 3mx + 3q-6 \\ x^2 & - 3mx + 6 - 3q = 0 \\ a & = 1, b = -3m, c = 6 - 3q \end{align} $
*). Syarat garis bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-3m)^2 - 4.1.(6-3q) & = 0 \\ 9m^2 - 4(6-3q) & = 0 \\ 9m^2 & = 4(6-3q) \\ m^2 & = \frac{4}{9}(6-3q) \\ m & = \pm \sqrt{\frac{4}{9}(6-3q)} \\ & = \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 - 3q} \end{align} $
Sehingga nilai $ m + 3 = 3 \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 - 3q} $
Jadi, nilai $ m + 3 = 3 \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 - 3q} $ .
4). Tentukan semuan nilai $ d $ dengan $ d $ bilangan real sehingga garis $ x = 4dy - 2d $ tidak memotong parabola $ y^2 = \frac{1}{4}(x-3) $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} y^2 & = \frac{1}{4}(x-3) \\ y^2 & = \frac{1}{4}(4dy - 2d-3) \\ y^2 & = dy - \frac{(2d+3)}{4} \\ y^2 & - dy + \frac{2d+3}{4} = 0 \\ a & = 1, b = -d , c = \frac{2d+3}{4} \end{align} $
*). Syarat tidak berpotongan : $ D < 0 $
$ \begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (-d)^2 - 4.1 . \frac{2d+3}{4} & < 0 \\ d^2 - 2d- 3 & < 0 \\ (d + 1)(d-3) & < 0 \\ d = -1 \vee d & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :
Jadi, nilai $ d $ agar garis dan bola tidak berpotongan adalah $ \{ -1 < d < 3 \} $.
5). Garis $ y = 2x + r $ memotong parabola $ x^2 = 3y $ di dua titik yang berbeda. Jika $ r $ adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi soal, maka tentukan nilai $ r^2 - 3 $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 3y \\ x^2 & = 3(2x + r) \\ x^2 & = 6x + 3r \\ x^2 & - 6x - 3r = 0 \\ a & = 1, b = -6 , c = -3r \end{align} $
*). Syarat tidak berpotongan : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ (-6)^2 - 4.1 . (-3r) & > 0 \\ 36 + 12r & > 0 \\ 12r & > -36 \\ r & > -3 \end{align} $
*). Nilai $ r $ bulat yang memenuhi $ r > -3 $ adalah $ \{ -2,-1,0,1,2,3, ... \} $ dengan nilai $ r $ terkecil adalah $ r = -2 $.
Sehingga nilai $ r^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1 $
Jadi, nilai $ r^2 - 3 = 1 $.
Demikian pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Parabola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Garis Singgung Parabola".
