Sebelum kita mempelajari materi Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva ini, kita harus memahami terlebih dahulu materi "persamaan Hiperbola", "persamaan garis lurus", "kedudukan garis terhadap Hiperbola", "kedudukan titik terhadap Hiperbola", dan "persamaan garis singgung Hiperbola" tipe pertama dan tipe kedua yang sudah kita pelajari sebelumnya karena kita akan menggunakan cara-cara tersebut juga dalam menentukan persamaan garis singgung bentuk ketiga ini.
Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
Persamaan Garis singgung Hiperbola ketiga ini adalah garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini
berada di luar kurva Hiperbola, sehingga akan terbentuk dua garis singgung seperti tampak pada gambar di atas. Ada tiga cara menentukan
Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva, sebagai berikut :
Cara Pertama Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
$\spadesuit \, $ Cara Pertama, Syarat garis menyinggung Hiperbola : $ D = 0 $
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sehingga kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $ ke persamaan Hiperbola, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 - mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung Hiperbolanya.
Nilai $ D = b^2 - 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sehingga kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $ ke persamaan Hiperbola, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 - mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung Hiperbolanya.
Nilai $ D = b^2 - 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.
Cara Kedua Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
$\clubsuit \, $ Cara Kedua, Menggunakan PGSH Kedua
Langkah-langkah cara kedua (PGSH kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan digunakan :
-). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
-). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ adalah yang ada dibagian positif.
-). Jika titik pusat Hiperbolanya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sehingga bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $ .
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung Hiperbolanya.
Langkah-langkah cara kedua (PGSH kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan digunakan :
-). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
-). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ adalah yang ada dibagian positif.
-). Jika titik pusat Hiperbolanya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sehingga bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $ .
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung Hiperbolanya.
Cara Ketiga Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
$\heartsuit \, $ Cara Ketiga, Menggunakan PGSH Pertama
Langkah-langkah cara ketiga (PGSH Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan Hiperbola yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sehingga kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan Hiperbola, titik potong yang kita peroleh adalah sebagai titik singgung antara garis dan Hiperbola.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung Hiperbolanya.
Langkah-langkah cara ketiga (PGSH Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan Hiperbola yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sehingga kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan Hiperbola, titik potong yang kita peroleh adalah sebagai titik singgung antara garis dan Hiperbola.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung Hiperbolanya.
Contoh Soal Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva :
Contoh 1). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} = 1 $ di titik $ (2,-2) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (2,-2) $ terhadap Hiperbolanya :
$ \begin{align} (x,y)=(2,-2) \rightarrow \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(2 - 1)^2}{6} - \frac{(-2)^2}{8} & ... 1 \\ \frac{1}{6} - \frac{4}{8} & ... 1 \\ \frac{1}{6} - \frac{1}{2} & ... 1 \\ \frac{1}{6} - \frac{3}{6} & ... 1 \\ -\frac{2}{6} & ... 1 \\ -\frac{1}{3} & < 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ < $ ruas kiri, maka titik $ (2,-2) $ ada di luar Hiperbola $ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} = 1 $ .
Silahkan baca : "Kedudukan titik terhadap Hiperbola"
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar Hiperbola, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu :
CARA PERTAMA : Cara Diskriminan
Langkah (1). Misalkan persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $,
-). Substitusi titik $ (x,y) = (2,-2) $ ke garis singgung :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ -2 & = m.2 + c \\ c & = -2 - 2m \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx - 2-2m $.
Langkah (2). Substitusi $ y = mx - 2 - 2m $ ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{(mx - 2 - 2m)^2}{8} & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 24)} \\ 4(x - 1)^2 - 3(mx - 2 - 2m)^2 & = 24 \\ 4(x^2 - 2x + 1) - 3(m^2x^2 - 4(1 + m)mx + (2+2m)^2) & = 24 \\ 4x^2 - 8x + 4 - 3m^2x^2 + 12(1 + m)mx - 3(2+2m)^2 & = 24 \\ (4 - 3m^2)x^2 + [12(1 + m)m - 8]x - [3(2+2m)^2 + 20] & = 0 \\ a = 4 - 3m^2, b = 12(1 + m)m - 8, c & = - [3(2+2m)^2 + 20] \end{align} $
Langkah (3). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [12(1 + m)m - 8]^2 - 4.(4 - 3m^2).(- [3(2+2m)^2 + 20]) & = 0 \end{align} $
Ternyata pada langkah (3) ini sangat sulit bagi kita untuk menentukan nilai $ m $ nya, hal ini terjadi karena persamaan Hiperbola kedua variabelnya yaitu $ x $ dan $ y $ berbentuk kuadrat sehingga ketika kita substitusi persamaan garis singgunggnya maka setelah kita kuadratkan menghasikan bentuk yang agak rumit. Namun bukan berarti tidak bisa dikerjakan, silahkan coba teman-teman lanjutkan pengerjaan langkah (3) untuk mencari nilai $ m $, setelah itu lanjutkan ke langkah (4). Sebagai bantuan, nilai $ m $ nya adalah $ m = 2 $ dan $ m = -\frac{6}{5} $.
SARAN : Untuk garis singgung Hiperbola titik diluar kurva, sebaiknya jangan menggunakan cara pertama ini karena sulit dalam penghitungan mencari nilai $ m $.
CARA KEDUA : Menggunakan PGSH Kedua
Langkah (1). Menentukan garis singgung yang akan digunakan :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $
-). Dari persamaan Hiperbola $ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} = 1 $
$ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 8 $.
INGAT : nilai $ a^2 $ adalah nilai yang ada dibagian positif.
*). Karena $ a $ ada di bawah $ x $, maka
PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
Karena ada titik pusat $ (p,q) $ , maka
PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
-). Substitusi $ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 8 $ ke garisnya :
$ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} \rightarrow y = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 - 8} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x,y) = (2,-2) $ ke garisnya :
$ \begin{align} y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 - 8} \\ -2 & = m(2-1) \pm \sqrt{6m^2 - 8} \\ -2 & = m \pm \sqrt{6m^2 - 8} \\ \pm \sqrt{6m^2 - 8} & = m + 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 6m^2 - 8 & = m^2 + 4m + 4 \\ 5m^2 - 4m - 12 & = 0 \\ (5m + 6 )(m-2) & = 0 \\ m = -\frac{6}{5} \vee m & = 2 \end{align} $
Langkah (3). Substitusi nilai $ m = -\frac{6}{5} $ atau $ m = 2 $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = 2 \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 - 8} \\ y & = 2(x-1) \pm \sqrt{6.(2)^2 - 8} \\ y & = 2x - 2 \pm \sqrt{16} \\ y & = 2x-2 \pm 4 \\ y & = 2x-2 + 4 \vee y = 2x-2 - 4 \\ y & = 2x + 2 \vee y = 2x-6 \\ m = -\frac{6}{5} \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 - 8} \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \sqrt{6.(-\frac{6}{5})^2 - 8} \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{216}{25} - 8} \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{16}{25} } \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \frac{4}{5} \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y & = -6(x-1) \pm 4 \\ 5y & = -6x + 6 \pm 4 \\ 5y & = -6x + 6 + 4 \vee 5y = -6x + 6 - 4 \\ 5y & = -6x + 10 \vee 5y = -6x + 2 \end{align} $
Dari keempat garis singgung yang kita peroleh di atas, hanya dua saja yang memenuhi jawaban yaitu garis singgung yang melalui titik $(2,-2)$. Garis singgung tersebut adalah $ y = 2x - 6 $ dan $ 5y = -6x + 2 $.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2x - 6 $ dan $ 5y = -6x + 2 $.
CARA KETIGA : Menggunakan PGSH Ketiga
Langkah (1). Menentukanpersamaa BAGI ADIL
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x - 1)(x_1 - 1)}{6} - \frac{y.y_1}{8} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 24)} \\ 4(x - 1)(x_1 - 1) - 3y.y_1 & = 24 \end{align} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) = (2,-2) $ ke persamaan bagi adil :
$ \begin{align} 4(x - 1)(x_1 - 1) - 3y.y_1 & = 24 \\ 4(x - 1)(2 - 1) - 3y.(-2) & = 24 \\ 4(x - 1) + 6y & = 24 \\ 4x - 4 + 6y & = 24 \\ 4x + 6y & = 28 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2x + 3y & = 14 \\ y & = \frac{14 - 2x}{3} \end{align} $
Langkah (3). Menentukan titik potong garis $ y = \frac{14 - 2x}{3} $ dengan Hiperbola $ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} = 1 $ dengan cara substitusi garis ke Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{(\frac{14 - 2x}{3} )^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{ \frac{(14 - 2x)^2}{9} }{8} & = 1 \\ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{(14 - 2x)^2}{72} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 72)} \\ 12(x - 1)^2 - (14 - 2x)^2 & = 72 \\ 12(x^2 - 2x + 1) - (4x^2 - 56x + 196) & = 72 \\ 12x^2 - 24x + 12 - 4x^2 + 56x - 196 & = 72 \\ 8x^2 + 32x - 256 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ x^2 + 4x - 32 & = 0 \\ (x +8)(x - 4) & = 0 \\ x = -8 \vee x & = 4 \end{align} $
Untuk $ x = -8 \rightarrow y = \frac{14 - 2x}{3} = \frac{14 - 2(-8)}{3} = \frac{30}{3} = 10 $
Untuk $ x = 4 \rightarrow y = \frac{14 - 2x}{3} = \frac{14 - 2.4}{3} = \frac{6}{3} = 2 $
Titik singgungnya adalah $ (-8,10 ) $ dan $ (4,2) $.
Langkah (4). Substitusi titik singgung ke persamaan Bagi Adil :
$ \begin{align} \text{untuk } (x_1,y_1) & = (-8,10) \rightarrow \\ 4(x - 1)(x_1 - 1) - 3y.y_1 & = 24 \\ 4(x - 1)(-8 - 1) - 3y.10 & = 24 \\ 4(x - 1)(-9) - 30y & = 24 \\ -36(x - 1) - 30y & = 24 \\ -36x + 36 - 30y & = 24 \\ -36x - 30y & = -12 \, \, \, \, \text{(bagi -6)} \\ 6x + 5y & = 2 \\ 5y & = -6x + 2 \\ \text{untuk } (x_1,y_1) & = (4,2) \rightarrow \\ 4(x - 1)(x_1 - 1) - 3y.y_1 & = 24 \\ 4(x - 1)(4 - 1) - 3y.2 & = 24 \\ 12(x - 1) - 6y & = 24 \\ 12x - 12 - 6y & = 24 \\ 12x - 6y & = 36 \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ 2x - y & = 6 \\ y & = 2x - 6 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2x - 6 $ dan $ 5y = -6x + 2 $.
Berikut ilustrasi kurva dan garis singgung untuk contoh soal nomor 1.
Contoh 2). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{12} - \frac{(y - 2)^2}{3} = 1 $ di titik $ (1,4) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (1,4) $ terhadap Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{12} - \frac{(y - 2)^2}{3} & = 1 \\ \frac{(1+1)^2}{12} - \frac{(4 - 2)^2}{3} & ... 1 \\ \frac{4}{12} - \frac{4}{3} & ... 1 \\ \frac{1}{3} - \frac{4}{3} & ... 1 \\ - \frac{3}{3} & ... 1 \\ - 1 & ... 1 \\ - 1 & < 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ < $ ruas kiri, maka titik $ (1,4) $ ada di luar Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{12} - \frac{(y - 2)^2}{3} = 1 $ .
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar Hiperbola, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya. Untuk langkah berikutnya silahkan teman-teman coba sendiri ya sebagai bahan latihan. Semoga sukses dan bisa mengerjakannya.
Demikian pembahasan materi Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".
