Secara garis besar, bentuk irisan dua lingkaran dibagi menjadi dua yaitu dua lingkaran yang jari-jarinya berbeda dan kedua lingkaran yang jari-jarinya sama. Untuk irisan dua lingkaran yang jari-jarinya sama sebenarnya tidak perlu digambar karena kita tinggal memperhatikan titik pusant kedua lingkaran, apakah berbeda atau sama, dan setelah itu langsung kita bisa menggunakan rumus yang tepat. Yang jadi masalah adalah untuk irisan dengan jari-jari kedua lingkaran berbeda yang bentuk irisannya ada tiga jenis. Poin inilah yang akan kita bahas dalam artikel Luas Irisan Dua Lingkaran Tanpa Menggambar.
Lanagkah-langkah Menentuka bentuk irisan dua lingkaran tanpa menggambar
Untuk irisan dua lingkaran yang jari-jarinya berbeda, dalam menentukan bentuk irisannya kita tidak perlu menggambar.
Berikut langkah-langkahnya :
i). Menentukan titik Pusat dan jari-jari kedua lingkaran,
ii). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua lingkaran (berbentuk $ax+by+c=0$) dengan cara eliminasi kedua persamaan lingkarannya,
iii). Substitusi kedua titik pusat ke persamaan garis perpotongan lingkaran, sehingga diperoleh tiga kemungkinan yaitu :
Pusat lingkaran 1 $(x_1,y_1) \rightarrow K_1 = ax_1 + by_1 + c $
Pusat lingkaran 2 $(x_2,y_2) \rightarrow K_2 = ax_2 + by_2 + c $
Kita anggap lingkaran 1 sebagai lingkaran kecil.
1). Bentuk 1 jika $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 > 0 \, $ atau $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2<0 br=""> 2). Bentuk 2 jika $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2 > 0 \, $ atau $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2<0 br=""> 3). Bentuk 3 jika $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 < 0 \, $ atau $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2<0 br="">
Jika jari-jari kedua lingkaran sama, maka langsung kita arahkan luas irisan dua lingkaran bentuk 4 yang juga tidak harus digambar daerah irisannya karena hanya dibedakan oleh dua jenis yaitu :
i). Pusat kedua lingkaran berbeda,
ii). Pusat kedua lingkaran sama.
i). Menentukan titik Pusat dan jari-jari kedua lingkaran,
ii). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua lingkaran (berbentuk $ax+by+c=0$) dengan cara eliminasi kedua persamaan lingkarannya,
iii). Substitusi kedua titik pusat ke persamaan garis perpotongan lingkaran, sehingga diperoleh tiga kemungkinan yaitu :
Pusat lingkaran 1 $(x_1,y_1) \rightarrow K_1 = ax_1 + by_1 + c $
Pusat lingkaran 2 $(x_2,y_2) \rightarrow K_2 = ax_2 + by_2 + c $
Kita anggap lingkaran 1 sebagai lingkaran kecil.
1). Bentuk 1 jika $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 > 0 \, $ atau $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2<0 br=""> 2). Bentuk 2 jika $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2 > 0 \, $ atau $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2<0 br=""> 3). Bentuk 3 jika $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 < 0 \, $ atau $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2<0 br="">
Jika jari-jari kedua lingkaran sama, maka langsung kita arahkan luas irisan dua lingkaran bentuk 4 yang juga tidak harus digambar daerah irisannya karena hanya dibedakan oleh dua jenis yaitu :
i). Pusat kedua lingkaran berbeda,
ii). Pusat kedua lingkaran sama.
Contoh soal Menentukan Luas irisan dua lingkaran tanpa menggambar.
1). Tentukan bentuk irisan dari masing-masing soal berikut ini sehingga bisa menggunakan rumus luas irisan dua lingkaran dengan tepat:
a). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 $
b). Persamaan lingkaran $ (x-1)^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x+1)^2 + y^2 = 8 $
c). Persamaan lingkaran $ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 $
Penyelesaian :
a). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 $
*). Menentukan titik pusat kedua lingkaran dan jari-jari:
$ x^2 + y^2 = 4 \rightarrow r =2 , \, P(0,0) $ (lingkaran kecil)
$ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 \rightarrow R = \sqrt{5} , \, P(1,1) $ (lingkaran besar)
*). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran 2 :
$ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y -3 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 4 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 2x - 2y -3 = 0 & - \\ \hline 2x + 2y - 1 = 0 & \end{array} $
sehingga persamaan garis perpotongannya adalah $ 2x + 2y - 1 = 0 $
artinya $ K = 2x + 2y - 1 $
*). Substitusi titik pusat ke persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
$ P(0,0) \rightarrow K_1 = 2.0 + 2.0 - 1 = -1 < 0 $
$ P(1,1) \rightarrow K_2 = 2.1 + 2.1 - 1 = 3 > 0 $
Karena kita peroleh nilai $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 > 0 $ , sehingga untuk soal bagian (a) ini irisan kedua lingkarannya adalah bentuk 1, sehingga rumus luas irisan yang digunakan :
Luas $ = [\frac{\angle CAD}{360^\circ} \pi r_1^2 - \frac{1}{2} r_1^2 \sin \angle CAD ] + [\frac{\angle CBD}{360^\circ} \pi r_2^2 - \frac{1}{2} r_2^2 \sin \angle CBD] $
b). Persamaan lingkaran $ (x-1)^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x+1)^2 + y^2 = 8 $
*). Menentukan titik pusat kedua lingkaran dan jari-jari:
$ (x-1)^2 + y^2 = 4 \rightarrow r =2 , \, P(1,0) $ (lingkaran kecil)
$ (x+1)^2 + y^2 = 8 \rightarrow R = 2\sqrt{2} , \, P(-1,0) $ (lingkaran besar)
*). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran :
$ (x-1)^2 + y^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x -3 = 0 $
$ (x+1)^2 + y^2 = 8 \rightarrow x^2 + y^2 + 2x - 7 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2x -3 = 0 & \\ x^2 + y^2 + 2x - 7 = 0 & - \\ \hline -4x + 4 = 0 & \end{array} $
sehingga persamaan garis perpotongannya adalah $ -4x + 4 = 0 $
artinya $ K = -4x + 4 $
*). Substitusi titik pusat ke persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
$ P(1,0) \rightarrow K_1 = -4 . 1 + 4 = 0 $
$ P(-1,0) \rightarrow K_2 = -4.(-1) + 4 = 8 > 0 $
Karena kita peroleh nilai $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2 > 0 $ , sehingga untuk soal bagian (b) ini irisan kedua lingkarannya adalah bentuk 2, sehingga rumus luas irisan yang digunakan :
Luas $ = \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $
c). Persamaan lingkaran $ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 $
*). Menentukan titik pusat kedua lingkaran dan jari-jari:
$ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \rightarrow r = 2 , \, P(2,1) $ (lingkaran kecil)
$ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 \rightarrow R = \sqrt{7} , \, P(1,2) $ (lingkaran besar)
*). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran :
$ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 $
$ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 4y - 2 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 2x - 4y - 2 = 0 & - \\ \hline -2x + 2y + 3 = 0 & \end{array} $
sehingga persamaan garis perpotongannya adalah $ -2x + 2y + 3 = 0 $
artinya $ K = -2x + 2y + 3 $
*). Substitusi titik pusat ke persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
$ P(2,1) \rightarrow K_1 = -2.2 + 2.1 + 3 = 1 > 0 $
$ P(1,2) \rightarrow K_2 = -2.1 + 2.2 + 3 = 5 > 0 $
Karena kita peroleh nilai $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2 > 0 $ , sehingga untuk soal bagian (c) ini irisan kedua lingkarannya adalah bentuk 3, sehingga rumus luas irisan yang digunakan :
Luas $ = r^2 \left( \frac{360^\circ - x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $
Demikian pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Tanpa Menggambar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan irisan lingkaran yaitu keliling irisan dua lingkaran bentuk 2.
