Kamis, 28 April 2016

Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat

         Blog Koma - Sebelumnya telah kita bahas cara menghitung nilai sin 18 derajat dan nilai cos serta tangen 18 derajat. Kita lanjutkan lagi membahas trigonometri sudut-sudut bukan istimewa yaitu sudut derajat dan sudut 9 derajat. Pada pembahasan Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat ini akan melibatkan nilai dari sin 18 derajat, cos 18 derajat, sin 15 derajat, dan nilai dari cos 15 derajat. Tentu sebelumnya ada beberapa materi atau rumus dasar trigonometri yang harus kita kuasai yaitu trigonometri sudut ganda dan rumus trigonometri pengurangan sudut.

         Setelah bisa Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat, pada artikel berikutnya akan saya share nilai sin untuk sudut-sudut lain seperti sin 6 derajat, 21 derajat, 24 derajat, 27 derajat, 33 derajat, 36 derajat, 39 derajat, dan 42 derajat. Jika diperhatikan semua sudut-sudutnya, yang kita hitung adalah sudut-sudut dengan kelipatan 3 derajat.
Rumus dasar Trigonometri yang digunakan
*). Sudut ganda :
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}} $
$ \cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} $
*). Rumus trigonometri pengurangan sudut :
$ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
Nilai sin 3 derajat dan sin 9 derajat
$ \sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
$ \sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2-\frac{1}{2} \sqrt{10+2\sqrt{5}} } $
Pada artikel sebelumnya telah kita peroleh :
$ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $
$ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} $
Dari rumus sudut ganda kita peroleh nilai :
$ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} $
$ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} $

Cara Menentukan Nilai sin 3 derajat dan 9 derajat :
*). Nilai sin 9 derajat, dengan sudut ganda :
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}} \\ \sin 9^\circ & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2. 9^\circ }{2}} \\ \sin 9^\circ & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 18^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1 - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{8} } \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{2}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 - \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} \end{align} $
Jadi, kita peroleh nilai $ \sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 - \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} $

Sementara dari bentuk rumus $ \cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} \, $ , maka kita peroleh nilai $ \cos 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} $

*). Menentukan nilai $ \sin 3^\circ \, $ dengan rumus selisih sudut
$ \begin{align} \sin (A - B) & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \sin 3^\circ & = \sin (18^\circ - 15^\circ) \\ \sin (18^\circ - 15^\circ) & = \sin 18^\circ \cos 15^\circ - \cos 18^\circ \sin 15^\circ \\ & = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ \sin 3^\circ & = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $

*). Menentukan nilai $ \cos 3^\circ \, $ dengan rumus selisih sudut
$ \begin{align} \cos (A - B) & = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos 3^\circ & = \cos (18^\circ - 15^\circ) \\ \cos (18^\circ - 15^\circ) & = \cos 18^\circ \cos 15^\circ + \sin 18^\circ \sin 15^\circ \\ & = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4}. \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ \cos 3^\circ & = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 3^\circ = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $

       Demikian cara Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat sekaligus nilai cos 3 dan 9 derajat. Semoga pembahasan pada materi ini bermanfaat untuk kita semua terutama bagi yang membutuhkan, terutama untuk pengembangan dalam materi trigonometri.

Berapakah Nilai cos dan tangen 18 derajat?

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita telah mempelajari "cara menghitung nilai sin 18 derajat", pada artikel ini kita lanjutkan lagi menghitung nilai cos dan tangen 18 derajat yang berjudul Berapakah Nilai cos dan tangen 18 derajat?. Sebenarnya ketika salah satu nilai trigonometrinya (khusus sudut 18 derajat) itu kita temukan nilainya, maka nilai trigonometri yang lainnya secara otomatis pasti bisa kita carai nilainya seperti untuk cos dan tangennya. Nilai cos dan tangen ini sengaja kita bahas guna melengkapi nilai-nilai trigonometri dari sudut-sudut tidak istimewa.

         Untuk mempermudah menghitung Berapakah Nilai cos dan tangen 18 derajat? , rumus dasar trigonometri yang kita butuhkan adalah rumus identitas trigonometri dan rumus tangen itu sendiri. Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita kepembahasannya berikut ini.
Rumus dasar yang digunakan
       Rumus-rumus dasar trigonometri yang dibutuhkan dalam menghitung nilai cos dan tan 18 derajat :
$\clubsuit \, $ Rumus identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos A = \pm \sqrt{1 - \sin ^2 A} $

$ \spadesuit \, $ Rumus tangen : $ \tan A = \frac{\sin A }{\cos A} $
Nilai cos dan tan 18 derajat
*). Nilai cos 18 derajat : $ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} $
*). Nilai tangen 18 derajat : $ \tan 18^\circ = \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } } $

Menghitung nilai cos dan tangen 18 derajat :
*). Nilai $ \cos 18^\circ $ :
sebelumnya telah kita peroleh nilai $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $
Kuadratkan nilai sin nya :
$ \sin ^2 18^\circ = \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right)^2 = \frac{1 + 5 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} $
Menghitung nilai cos 18 derajat dengan identitas trigonometri :
$ \begin{align} \cos A & = \pm \sqrt{1 - \sin ^2 A} \\ \cos 18^\circ & = \pm \sqrt{1 - \sin ^2 18^\circ } \\ & = \pm \sqrt{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} } \\ & = \pm \sqrt{ \frac{16}{16} - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} } \\ & = \pm \sqrt{ \frac{16-(6 - 2\sqrt{5})}{16} } \\ & = \pm \sqrt{ \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16} } \\ & = \pm \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} \end{align} $
Karena nilai $ \cos 18^\circ \, $ positif dikuadran I, maka hasilnya :
$ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} $

*). Nilai $ \tan 18^\circ \, $ :
$ \begin{align} \tan 18^\circ & = \frac{\sin 18^\circ }{\cos 18^\circ } \\ & = \frac{\frac{-1 + \sqrt{5}}{4} }{ \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} } \\ & = \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan 18^\circ = \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } } $ .

       Bagaimana dengan penjelasan dari Berapakah Nilai cos dan tangen 18 derajat? . Setelah dihitung hasilnya, ternyata bentuknya atau hasilnya agak rumit yaitu masih dalam bentuk akar-akar. Tapi tidak apa-apa, yang terpenting kita sudah menemukan hasil eksak dari nilai cos dan tangen 18 derajat. Untuk lebih mendalami wawasan tentang sudut-sudut tidak istimewa, silahkan baca artikel "Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat".

Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat

         Blog Koma - Selain melibatkan perhitungan sudut-sudut istimewa pada trigonometri, ternyata juga bisa menghitung nilai beberapa sudut-sudut tidak istimewa seperti sudut 18 derajat. Bagaimana cara menghitung nilainya? Pada artikel ini akan kita bahas khusu mengenai Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat. Artikel ini saya tulis karena terinspirasi dari soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi baik tes bersama seperti SBMPTN atau seleksi mandiri. Ternyata pada soal tersebut melibatkan bentuk sudut 18 derajat. Memang untuk sudut non istimewa ini tidak lazim dibahas di sekolah, akan tetapi penting bagi kita untuk mempelajarinya sebagai pengembangan dari materi atau rumus-rumus dasar trigonometri yang ada.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari artikel Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat ini, ada beberapa rumus dasar trigonometri yang harus kita kuasai yaitu "Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda", "rumus trigonometri untuk jumlah sudut-sudut", dan satu lagi yaitu "sudut komplemen" pada kuadran I, serta "rumus ABC" pada persamaan kuadrat.

Rumus-rumus dasar yang kita butuhkan
       Berikut beberapa rumus dasar yang kita butuhkan untuk menghitung nilai sin 18 derajat.
$\spadesuit \, $ Rumus sudut ganda dan tripel :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A $
$ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
$ \cos 3A = 4\cos ^3 A - 3\cos A $
$ \clubsuit \, $ Aturan sudut komplemen :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$\spadesuit \, $ Rumus jumlah sudut :
$ \cos (A + B ) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$\clubsuit \, $ Rumus ABC :
Rumus ABC digunakan untuk menentukan penyelesaian (akar-akar) dari persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan rumus :
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

Sebelumnya kita buktikan dulu rumus $ \cos 3A = 4\cos ^3 A - 3\cos A $
Rumus identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $.
$ \begin{align} \cos 3A & = \cos (2A + A) \, \, \, \, \, \, \text{(rumus jumlah sudut)} \\ & = \cos 2A \cos A - \sin 2A \sin A \, \, \, \, \, \, \text{(rumus sudut ganda)} \\ & = (2\cos ^2 A - 1) \cos A - (2\sin A \cos A) \sin A \\ & = 2\cos ^3 A - \cos A - 2\sin ^2 A \cos A \, \, \, \, \, \, \text{(identitas trigonometri)} \\ & = 2\cos ^3 A - \cos A - 2(1-\cos ^2 A) \cos A \\ & = 2\cos ^3 A - \cos A - 2\cos A + 2\cos ^3 A \\ & = 4\cos ^3 A - 3\cos A \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \cos 3A = 4\cos ^3 A - 3\cos A $

Nilai sin 18 derajat
Nilai sin 18 derajat adalah : $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $

Cara Menghitung Nilai Sin 18 derajat :
*). Pertama kita gunakan sudut komplemen dulu :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$ \sin 36^\circ = \cos (90^\circ - 36^\circ ) \rightarrow \sin 36^\circ = \cos 54^\circ \, $ ...pers(i)
*). Kita misalkan $ A = 18^\circ \, $ , langsung kita modifikasi pers(i) dengan rumus yang ada :
$ \begin{align} \sin 36^\circ & = \cos 54^\circ \\ \sin 2 \times 18^\circ & = \cos 3 \times 18^\circ \\ \sin 2 \times A & = \cos 3 \times A \\ \sin 2 A & = \cos 3 A \, \, \, \, \, \, \text{(sudut ganda dan tripel)} \\ 2\sin A \cos A & = 4\cos ^3 A - 3\cos A \\ 2\sin A \cos A & = (4\cos ^2 A - 3) \cos A \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } \cos A) \\ 2\sin A & = 4\cos ^2 A - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan identitas trigonometri)} \\ 2\sin A & = 4( 1 - \sin ^2 A) - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan identitas trigonometri)} \\ 2\sin A & = 4 - 4\sin ^2 A - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(pindah ke ruas kiri)} \\ 4\sin ^2 A + 2\sin A - 1 & = 0 \\ 4(\sin A )^2 + 2\sin A - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(misalkan } x = \sin A ) \\ 4x^2 + 2x - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(rumus ABC)} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4.4.(-1)}}{2.4} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{4 +16}}{8} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} \\ & = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ & = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \end{align} $
Kita peroleh nilai $ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \, $ artinya $ \sin A = \sin 18^\circ = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} $
Karena $ 18^\circ \, $ ada di kuadran I, maka nilai $ \sin 18^\circ \, $ harus positif, sehingga nilai dari sin 18 derajat adalah $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $
Jadi, terbukti nilai dari $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $ .

       Demikian pembahasan Cara menghitung nilai sin 18 derajat. Perlu teman-teman ketahui, pembahasan atau penjabaran pada artikel ini adalah salah satu alternatif dalam menghitung nilai sin 18 derajat. Artinya teman-teman bisa menggunakan cara lain dengan catatan memberikan hasil yang sama seperti di artikel ini. Kalau memang ada cara yang lebih mudah untuk menentukan nilai sin 18 derajat, mohon untuk share ke blog koma ini. Artikel berikutnya yang berkaitan dengan ini adalah "Berapakah Nilai cos dan tan 18 derajat?". Semoga tulisan ini bisa bermanfaat, terima kasih.

Rabu, 13 April 2016

Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita mempelajari materi sistem persamaan yaitu sistem persamaan linear dan kuadrat. Kita lanjutkan salah satu materi matematika peminatan untuk kelas X yaitu sistem pertidaksamaan yaitu linear dan kuadrat. Pada artikel ini kita akan membahas Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat. Untuk sistem persamaan linear dan linear dua variabel tidak kita bahas karena sudah dibahas pada materi program linear beserta dengan soal ceritanya.

         Pada pembahasan materi Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat ini akan lebih kita tekankan pada penyelesaiannya dimana yang melibatkan dua varibel saja. Penyelesaian yang dibahas terutama dalam bentuk grafik dan daerah arsiran yang menandakan sebagai solusinya. Daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) kita buat dalam bentuk daerah arsiran karena solusi untuk setiap varabelnya ada lebih dari satu dan biasanya dalam semesta bilangan real. Sistem pertidaksamaan melibatkan lebih dari satu pertidaksamaan yang khusu pada artikel ini melibatkan pertidaksamaan linear dua variabel dan pertidaksamaan kuadrat dua variabel.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat, sebaiknya teman-teman ingat kembali materi persamaan garis lurus dan grafiknya serta fungsi kuadrat dan cara menggambar grafiknya. Karena kita lebih menekankan solusi sistem pertidaksamaan dalam bentuk grafik dan daerah arsiran, maka kita harus terbiasa dulu dalam menggambar grafiknya. Mari kita simak langsung penjelasannya berikut ini.

Menentukan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat
*). Grafik fungsi linear dan grafik fungsi kuadrat
       Syarat utama dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat adalah mampu membuat grafiknya terlebih dahulu. Untuk grafik fungsi linear (garis lurus) silahkan baca materi "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya" dan grafik fungsi kuadrat bisa kita baca pada artikel "Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat" dan "Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat dengan Teknik Menggeser".

*). Penyelesaian Sistem Pertidaksamaannya
       Misalkan ada sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat :
$ \left\{ \begin{array}{c} ax+by \geq c \\ dx^2 + ex + fy \leq g \end{array} \right. $
Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan $(x,y) \, $ yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang diminta adalah bilangan real, maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya.

Langkah-langkah Menentukan daerah arsiran :
i). Gambar dulu grafik masing-masing fungsi.
ii). Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminataan soal dengan cara uji sembarang titik.
iii). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan atau carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak.
Contoh soal :
1). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 2x + 3y \geq 12 $?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu persamaan garis $ 2x + 3y = 12 \, $
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 2x + 3.0 = 12 \rightarrow 2x = 12 \rightarrow x = 6 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow 2.0 + 3y = 12 \rightarrow 3y = 12 \rightarrow y = 4 $.
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow 2x + 3y & \geq 12 \\ 2.0 + 3.0 &\geq 12 \\ 0 & \geq 12 \, \, \, \, \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) salah (bukan solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah lawannya yang tidak memuat titik (0,0) atau daerah di atas garis.
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :
Keterangan gambar daerah himpunan penyelesaiannya :
Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian $ 2x + 3y \geq 12 \, $, artinya semua himpunan titik $(x,y) \, $ yang ada didaerah arsiran sebagai solusinya. Daerah yang diarsir sebenarnya semua daerah yang ada di atas garis $ 2x + 3y = 12 \, $ , hanya saja yang diarsir sedikit untuk mewakili bahwa daerah himpunan panyelesaiannya adalah semua daerah di atas garisnya.

Catatan :
Teman-teman bisa mempelajari cara menentukan daerah arsiran lebih lengkap pada materi : "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan".

2). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \leq -x^2 + 5x + 6 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = -x^2 + 5x + 6 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = -x^2 + 5x + 6 \rightarrow -(x + 1)(x-6) = 0 \rightarrow x = 6 \vee x = -1 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = -0^2 + 5.0 + 6 \rightarrow y = 0 $.
Nilai $ a = -1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = -x^2 + 5x + 6 \, $ maka grafik hadap ke bawah.
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \leq -x^2 + 5x + 6 \\ 0 & \leq -0^2 + 5.0 + 6 \\ 0 & \leq 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :


3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \geq 12 \\ y \leq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Karena ada dua pertidaksamaannya, maka kita harus menentukan daerah arsiran yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan pada soal nomor 3 ini.
*). Berdasarkan jawaban soal nomor 1 dan nomor 2 di atas, maka daerah arisan yang diminta yang memenuhi keduanya yaitu :

4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \geq 12 \\ y \geq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.

5). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \leq 12 \\ y \geq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.

6). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \leq 12 \\ y \leq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.

Dari contoh soal nomor 3 sampai 6 sengaja kita ubah tanda ketaksamaannya saja agar teman-teman mahir dalam mengerjakan soal-soal yang ada dengan berbagai tipe tanda ketaksamaan.

7). Tentukan sistem pertidaksamaan yang ditunjukan oleh daerah himpunan penyelesaian yang ditunjukkan seperti gambar berikut ini.
Penyelesaian :
*). Kita substitusi sembarang titik dari masing-masing kurva :
Kurva $ 2x - 3y = 12 \, $ , kita substitusi $(0,-6) \, $ yang berada pada daerah penyelesaian,
$ \begin{align} (x,y)=(0,-6) \rightarrow 2x - 3y & = 12 \\ 2.0 - 3.(-6) & = 12 \\ 0 + 18 & = 12 \\ 18 & \geq 12 \end{align} $
Artinya pertidaksamaannya adalah $ 2x - 3y \geq 12 $
Kurva $ y = x^2 - 2x - 8 \, $ , kita substitusi $(0,0) \, $ yang berada pada daerah penyelesaian,
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & = x^2 - 2x - 8 \\ 0 & = 0^2 - 2.0 - 8 \\ 0 & = - 8 \\ 0 & \geq - 8 \end{align} $
Artinya pertidaksamaannya adalah $ y \geq x^2 - 2x - 8 $
Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah
              $ \left\{ \begin{array}{c} 2x - 3y \geq 12 \\ y \geq x^2 - 2x - 8 \end{array} \right. $

       Untuk materi selanjutnya, silahkan baca tentang "sistem pertidaksamaan kuadrat dan kuadrat".

Sabtu, 09 April 2016

Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi integral secara mendalam dari rumus umum untuk integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri serta belajar beberapa teknik integral yang sangat membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal integral, maka pada artikel ini kita akan membahas integral fungsi khusus yaitu Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak. Dari judulnya ini, tentu pengintegralan akan berkaitan langsung dengan berbagai fungsi yang berbentuk harga mutlak baik mutlak fungsi aljabar maupun mutlak fungsi trigonometri. Harga mutlak fungsi $ f(x) \, $ disimbolkan dengan $ |f(x)| \, $ yang nilainya selalu positif untuk semua $ x $.

         Untuk mempermudah mempelajari Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak ini, sebaiknya teman-teman menguasai kembali materi integral fungsi aljabar dan integral fungsi trigonometri serta teknik integral yang ada. Disamping itu pula, kita harus mempelajari kembali definisi dari harga mutlak (atau nilai mutlak) salah satunya bisa dibaca pada artikel "Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak". Namun pada artikel ini akan kita ulas kembali pengertian dan sifat penting yang berkaitan dengan harga mutlak.

         Secara umum langkah-langkah dalam Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak yaitu kita ubah dulu fungsi mutlaknya berdasarkan definisinya untuk menentukan batasan kapan fungsi tersebut bernilai positif dan bernilai negatif. Artinya fungsi mutlak tersebut akan dibagi menjadi beberapa batasan integral tergantung ada berapa banyaknya fungsi mutlak yang mau kita integralkan. Untuk lebih jelasnya, kita pelajari saja langsung berikut ini.

Definisi Harga Multak suatu Fungsi
       Nilai mutlak dari suatu fungsi $ f(x) \, $ dinotasikan $ |f(x)| $ .
Definisi nilai mutlaknya :
              $ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |f(x)| = f(x) \, $ atau $ |f(x)| = -f(x) \, $ tergantung nilai $ f(x) $
Sifat Harga Mutlak :
$ |f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} \, $ dengan kuadrat dan akar tidak boleh dihilangkan.

Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan atau fungsi nilainya selalu positif.
Contoh soal fungsi harga mutlak :
1). Pecahlah bentuk fungsi harga mutlak berikut ini berdasarkan definisi harga mutlak (menghilangkan bentuk mutlaknya).
a). $ | x - 1| $
b). $ | 2x + 5| $
c). $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} $
d). $ |x^2 - x - 6 | $

Penyelesaian :
a). $ | x - 1| $
Syarat Positif : $ x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 $,
Syarat negatif : $ x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x - 1| \, $ tanpa mutlaknya :
$ | x - 1| = \left\{ \begin{array}{cc} x - 1 & , x \geq 1 \\ -(x-1) & , x < 1 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x-1| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x-1| = (x-1) \, $ untuk batas $ x \geq 1 , \, $ atau
$ |x-1| = -(x-1) \, $ untuk batas $ x < 1 , \, $

b). $ | 2x + 5| $
Syarat Positif : $ 2x + 5 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{5}{2} $,
Syarat negatif : $ 2x + 5 < 0 \rightarrow x < -\frac{5}{2} $,
Sehingga bentuk fungsi $ | 2x + 5 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ | 2x + 5 | = \left\{ \begin{array}{cc} 2x + 5 & , x \geq -\frac{5}{2} \\ -(2x + 5 ) & , x < -\frac{5}{2} \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |2x + 5| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $

c). $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} $
Bentuk : $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \, $ (berdasarkan sifatnya).
Syarat Positif : $ x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 $,
Syarat negatif : $ x-2 < 0 \rightarrow x < 2 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x-2 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = | x-2 | = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , x \geq 2 \\ -(x-2 ) & , x < 2 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x-2| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = (x-2) \, $ untuk batas $ x \geq 2 , \, $ atau
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = -(x-2) \, $ untuk batas $ x < 2 , \, $

d). $ |x^2 - x - 6 | $
Syarat Positif : $ x^2 - x - 6 \geq 0 \rightarrow (x+2)(x-3) \geq 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 3 $,
sehingga syarat positifnya adalah $ x \leq -2 \vee x \geq 3 $
SIlahkan baca penyelesaian pertidaksamaan pada : Pertidaksamaan Kuadrat .
Syarat negatif : $ x^2 - x - 6 < 0 \rightarrow -2 < x < 3 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x^2 - x - 6 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ | x^2 - x - 6 | = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - x - 6 & , x \leq -2 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 - x - 6 ) & , -2 < x < 3 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x^2 - x - 6 | \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $

Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak
       Misalkan kita akan menentukan integral fungsi harga mutlak $ |f(x)| \, $ dari batas $ a \leq b \leq c \, $ dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi :
       $ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x < b \end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan cara :
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
Contoh soal integral fungsi harga mutlak :
2). Tentukan hasil integral dari fungsi harga mutlak berikut ini,
a). $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx $
b). $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
c). $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx $
d). $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $

Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan contoh soal 2 ini, kita harus menghilangkan bentuk mutlaknya dengan definisi harga mutlak. Namun tenang saja, cara memecahnya sudah kita bahas pada contoh soal 1 sebelumnya. Jadi untuk batasnya, silahkan baca contoh soal 1 di atas.
a). $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx $
$ |x-1| = (x-1) \, $ untuk batas $ x \geq 1 , \, $ atau
$ |x-1| = -(x-1) \, $ untuk batas $ x < 1 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx & = \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx + \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 | x - 1| dx + \int \limits_{1}^3 | x - 1| dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 -(x-1) dx + \int \limits_{1}^3 (x-1) dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 (1-x) dx + \int \limits_{1}^3 (x-1) dx \\ & = [x - \frac{1}{2}x^2 ]_{-1}^1 + [\frac{1}{2}x^2 - x]_{1}^3 \\ & = [(1 - \frac{1}{2}.1^2) - ((-1) - \frac{1}{2}(-1)^2 ) ] + [( \frac{1}{2}.3^2 - 3) - ( \frac{1}{2}.1^2 - 1) ] \\ & = [(1 - \frac{1}{2} ) - (-1 - \frac{1}{2} ) ] + [( \frac{9}{2} - 3 ) - ( \frac{1}{2} - 1) ] \\ & = [(\frac{1}{2} ) - (-\frac{3}{2}) ] + [( \frac{3}{2} ) - ( - \frac{1}{2} ) ] \\ & = [ \frac{4}{2} ] + [ \frac{4}{2} ] \\ & = [ 2 ] + [ 2 ] \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx = 4 $.

b). $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
Karena batas integral yang diminta dari 0 sampai 2 sesuai dengan batas positif $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ maka yang dipakai hanya bagian pertama saja yaitu : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx & = \int \limits_0^2 ( 2x + 5) dx \\ & = [ x^2 + 5x]_0^2 \\ & = [ (2^2 + 5.2) - (0^2 + 5.0)] \\ & = [ (14) - ( 0)] \\ & = 14 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx = 14 $.

c). $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx $
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = (x-2) \, $ untuk batas $ x \geq 2 , \, $ atau
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = -(x-2) \, $ untuk batas $ x < 2 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx & = \int \limits_0^2 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx + \int \limits_2^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx \\ & = \int \limits_0^2 -(x-2) dx + \int \limits_2^5 (x-2) dx \\ & = \int \limits_0^2 (2-x) dx + \int \limits_2^5 (x-2) dx \\ & = [2x - \frac{1}{2}x^2]_0^2 + [\frac{1}{2}x^2 - 2x]_2^5 \\ & = [(2.2 - \frac{1}{2}.2^2) - (2.0 - \frac{1}{2}.0^2) ] + [(\frac{1}{2}.5^2 - 2.5) - (\frac{1}{2}.2^2 - 2.2)] \\ & = [(4 - 2) - (0) ] + [(\frac{25}{2} - 10) - (2 - 4)] \\ & = [2 ] + [(\frac{5}{2} ) - (-2)] \\ & = [2 ] + [(2,5 ) + 2] \\ & = 6,5 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx = 6,5 $.

d). $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
Karena batas integral yang diminta dari -3 sampai 5, sesuai dengan batas nilai mutlak maka batasnya kita bagi menjadi tiga yaitu $ -3 < x < -2, \, -2 < x < 3 , \, $ dan $ 3 < x < 5 $.
yang dipakai hanya bagian pertama saja yaitu : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx & = \int \limits_{-3}^{-2} |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{-2}^3 |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 -(x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + x + 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \, $ dapat dihitung dari bentuk terakhir di atas yang bisa teman-teman integralkan sendiri.^_^

3). Tentukan hasil dari integral $ \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx $ ?
Penyelesaian :
*). Yang dimutlakan hanya $ |x| \, $ , sehingga yang kita hilangkan mutlaknya bentuk $ |x| \, $ saja dengan definisi harga mutlak :
$ | x | = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x| = x \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ |x| = -x \, $ untuk batas $ x < 0 $
Sehingga fungsi $ 3x^2 - 2|x| + 5 \, $ dapat diubah menjadi :
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(x) + 5 = 3x^2 - 2x + 5 \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(-x) + 5 = 3x^2 + 2x + 5 \, $ untuk batas $ x < 0 $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 - 2|x| + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx \\ & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 + 2x + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2x + 5 dx \\ & = [x^3 + x^2 + 5x]_{-1}^0 + [x^3 - x^2 + 5x]_{0}^2 \\ & = [(0^3 + 0^2 + 5.0) - ((-1)^3 + (-1)^2 + 5.(-1))] \\ & + [(2^3 - 2^2 + 5.2) - (0^3 - 0^2 + 5.0)] \\ & = [(0) - (-5)] + [(14) - ( 0)] \\ & = 5 + 14 \\ & = 19 \end{align} $
Jadi, hasil dari $\int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx = 19 $.

4). Tentukan hasil dari integral $ \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx $ ?
Penyelesaian :
Bentuk : $ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = \sqrt{(3x^2 - 2x)^2 } = |3x^2 - 2x| \, $ (sifat mutlak).
Syarat Positif : $ 3x^2 - 2x \geq 0 \rightarrow x(3x - 2) \geq 0 \rightarrow x = 0 \vee x = \frac{2}{3} $,
sehingga syarat positifnya adalah $ x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} $
SIlahkan baca penyelesaian pertidaksamaan pada : Pertidaksamaan Kuadrat .
Syarat negatif : $ 3x^2 - 2x < 0 \rightarrow 0 < x < \frac{2}{3} $,
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = |3x^2 - 2x| = \left\{ \begin{array}{cc} 3x^2 - 2x & , x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} \\ -(3x^2 - 2x) & , 0 < x < \frac{2}{3} \end{array} \right. $
Sehingga fungsi $ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = |3x^2 - 2x| \, $ dapat diubah menjadi :
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = (3x^2 - 2x) \, $ untuk batas $ x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} , \, $ atau
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = -(3x^2 - 2x) \, $ untuk batas $ 0 < x < \frac{2}{3} $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx & = \int \limits_{-2}^0 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \\ & + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \\ & = \int \limits_{-2}^0 (3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} -(3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 (3x^2 - 2x) dx \\ & = \int \limits_{-2}^0 (3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} (-3x^2 + 2x) dx + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 (3x^2 - 2x) dx \\ & = [x^3- x^2]_{-2}^0 + [-x^3+ x^2]_{0}^\frac{2}{3} + [x^3- x^2]_{\frac{2}{3}}^1 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \, $ bisa teman-teman hitung sendiri dari bentuk integral yang terakhirnya. ^_^.

       Demikian pembahasan materi Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan integral. Semoga materi ini bisa membantu teman-teman yang lagi membutuhkannya.

Jumat, 08 April 2016

Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari Konsep Jarak pada Dimensi Tiga dimana yang dibahas adalah jarak antara dua titik dan jarak titik ke garis. Pada artikel ini kita lanjutkan pembahasan konsep jarak yaitu Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga. Sebenarnya kami ingin membahas materi ini menjadi satu dengan materi konsep jarak sebelumnya, akan tetapi artikelnya menjadi sangat panjang lagi, hal ini akan membuat pembaca cepat bosan. Maka dari itu kita pilah-pilah setiap penghitungan jaraknya dengan menyertakan contoh soalnya yang lebih banyak.

         Materi Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga lebih sulit dari pada jarak titik dan garis. Prinsip kerja secara umumnya adalah kita proyeksikan titik ke bidang yang akan kita cari jaraknya, kemudian kita hitung jaraknya dengan bantuan garis pada bidang tersebut. Artinya setelah itu kita harus mengingat kembali konsep jarak titik ke garis yang sudah dibahas sebelumnya pada artikel konsep jarak pada dimensi tiga. Penting bagi kita juga untuk menguasai materi Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang agar memperlancar dalam pengerjaan soal nantinya dan pemahaman materinya.

Jarak Titik ke Bidang pada Dimensi Tiga
       Misalkan X adalah suatu bidang datar dan titik P merupakan sebuah titik yang berada di luar bidang X. Jarak titik P terhadap bidang X merupakan panjang garis tegak lurus dari titik P ke bidang X. Panjang garis tegak lurus inilah merupakan jarak terpendeknya dari titik P ke bidang X. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini,
Jarak dari titik P ke bidang X diwakili oleh panjang garis PA, dimana garis PA tegak lurus dengan bidang X dan titik A terletak pada garis k.

Langkah-langkah mengubah jarak titik P ke bidang X menjadi jarak titik P ke garis k :
1). Lukis bidang W yang melalui titik P dan tegak lurus bidang X.
2). Lukis garis k yang merupakan perpotongan antara bidang W dan X.
3). jarak titik P ke bidang X adalah jarak titik P ke garis k.

Catatan :
       Meskipun yang mau kita cari adalah jarak titik ke bidang, tetapi kita tidak langsung bisa mencari jaraknya karena akan sulit. Untuk memudahkan, kita harus membuat garis bantuan yang ada pada bidang, selanjutnya kita akan menghitung jarak titik ke garis tersebut yang merupakan perwakilan dari jarak titik ke bidang yang dicari dan hasilnya sama.
Contoh soal jarak titik ke bidang :
1). Sebuah kubus KLMN.OPQR memiliki panjang rusuk 6 cm. Perhatikan segitiga KMR, tentukanlah jarak titik N ke bidang KMR ?
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik N dan tegak lurus dengan bidang KMR yaitu bidang NTR seperti gambar berikut ini.
*). Dari gambar di atas, jarak titik N ke bidang KMR sama dengan panjang NS dimana NS ada pada garis TR yang merupakan perpotongan kedua bidang KMR dan NTR. dengan kata lain juga, kita cukup mencari jarak titik N ke garis TR. Salah satu cara yang kita gunakan untuk menentukan panjang NS dari titik N ke garis TR yaitu perbandingan luas segitiga.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga NTR :
NR = 6 cm,
$ NT = \frac{1}{2} NL = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
$ RT = \sqrt{NT^2 + NR^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{18 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} $
*). Menentukan panjang NS dengan luas segitiga :
$ \begin{align} \text{Luas NTR } & = \text{Luas NTR } \\ \frac{1}{2}. RT . NS & = \frac{1}{2}. NT . NR \\ RT . NS & = NT . NR \\ 3\sqrt{6} . NS & = 3\sqrt{2} . 6 \\ NS & = \frac{3\sqrt{2} . 6}{3\sqrt{6} } \\ & = \frac{\sqrt{2} . 6}{\sqrt{6} } \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak titik N ke bidang KMR adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

2). Tentukan jarak titik A ke bidang CDHG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm?
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik A dan tegak lurus dengan bidang CDHG, bidang tersebut adalah bidang ADHE. Kedua bidang berpotongan pada garis DH, sehingga jarak A ke bidang CDHG sama dengan jarak titik A ke garis DH.
*). Jarak A ke garis DH = panjang garis AD karena AD tegak lurus dengan DH, sehingga jarak titik A ke garis DH adalah 6 cm.
Jadi, jarak titik A ke bidang CDHG adalah 6 cm.

3). Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah $ \sqrt{5} \, $ cm. Titik P terletak pada garis AD dengan AP = 2 cm, dan titik Q terletak pada garis EH dengan EQ = 2 cm seperti gambar berikut ini.
Tentukan jarak titik A ke bidang PQFB?
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik A dan tegak lurus dengan bidang PQFB. Bidang tersebut adalah bidang PAB yang berpetongan di garis BP dengan bidang PQFB. Sehingga jarak titik A ke bidang PQFB sama saja dengan jarak titik A ke garis BP yaitu panjang garis AN. Perhatikan gambarnya berikut ini,

*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga PAB,
$ PB = \sqrt{AP^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 $
*). Menentukan panjang AN dengan luas segitiga PAB :
$ \begin{align} \text{Luas PAB } & = \text{Luas PAB } \\ \frac{1}{2}. PB. AN & = \frac{1}{2}. PA.PB \\ PB. AN & = PA.PB \\ 3. AN & = 2.\sqrt{5} \\ AN & = \frac{2}{3}\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik A ke bidang PQFB adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{5} \, $ cm.

4). Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik perpotongan EG dan FH. Tentukan arak titik R ke bidang EPQH ?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dulu kubus dan titik yang diketahui :
*). Kita buat bidang melalui titik R dan tegak lurus dengan bidang EPQH yaitu bidang PQTS seperti gambar berikut ini,
Kedua bidang berpotongan di garis TN, sehingga jarak titik R ke bidang EPQH sama dengan jarak titik R ke garis TN yaitu panjang garis RM.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga TNR,
NR = 8 cm, TR = 4,
$ TN = \sqrt{TR^2 + NR^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $
*). Menentukan panjang RM dengan luas segitiga TNR,
$ \begin{align} \text{Luas TNR } & = \text{Luas TNR } \\ \frac{1}{2}. TN. RM & = \frac{1}{2}. NR.TR \\ TN. RM & = NR.TR \\ 4\sqrt{5}. RM & = 8 . 4 \\ \sqrt{5}. RM & = 8 \\ RM & = \frac{8}{5} \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik R ke bidang EPQH adalah $ \frac{8}{5} \sqrt{5} \, $ cm.

5). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P adalah titik tengah rusuk CG. Tentukan jarak titik E ke bidang BPD?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dulu kubus dan titik yang diketahui :
*). Kita buat bidang melalui titik E dan tegak lurus dengan bidang BPD yaitu bidang ACGE seperti gambar berikut ini,
Kedua bidang berpotongan di garis PM, sehingga jarak titik E ke bidang BPD sama dengan jarak titik E ke garis PM yaitu panjang garis EN.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga EPM,
$ EM = \sqrt{EA^2 + AM^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} $
$ EP = \sqrt{EG^2 + GP^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{128 + 16} = \sqrt{144} = 12 $
$ MP = \sqrt{MC^2 + CP^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{32 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $
Menggunakan Aturan cosinus,
*). Perhatikan segitiga EMP, kita terapkan aturan cosinus pada sudut M.
$ EP^2 = ME^2 + MP^2 - 2 . ME. MP \cos M \rightarrow \cos M = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} $.
Menentukan nilai cos M :
$ \begin{align} \cos M & = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} \\ & = \frac{(4\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{3})^2- 12^2}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{96 + 48- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{144- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{0}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ \cos M & = 0 \rightarrow M = 90^\circ \end{align} $
Karena sudut M $ \, = 90^\circ \, $ , maka segitga EMP siku-siku di M sehingga panjang EN sama dengan panjang EM yaitu $ \, 4\sqrt{6} $ .
Jadi, jarak titik E ke bidang MPD adalah $ 4\sqrt{6} \, $ cm.

       Menghitung Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga memanglah tidak mudah dibandingkan dengan menghitung jarak antara dua titik atau menghitung jarak titik ke garis. Kita harus menentukan terlebih dahulu garis yang mewakili bidang sehingga kita bisa mencari jarak antara titik ke garis yang mewakili jarak titik ke bidang. Tentu kemampuan menggambar dan mengimajinasikan bidang-bidang dan garis yang terbentuk itulah yang cukup sulit bagi kita. Kuncinya sabar dan terus berlatih dan jangan malu untuk bertanya kepada suapapun yang lebih bisa daripada kita.OK!

Kamis, 07 April 2016

Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi kedudukan titik, garis, dan bidang pada bangun ruang, kita lanjutkan lagi materi berikutnya yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu materi Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang. Menentukan atau penghitungan jarak pada dimensi tiga merupakan salah satu materi yang pasti wajib soal-soalnya ada pada ujian nasional maupun ujian masuk perguruan tinggi. Ini artinya konsep jarak harus benar-benar kita kuasai dengan baik dan banyak berlatih.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang, hal mendasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu adalah teorema phytagoras, aturan cosinus pada segitiga, serta Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang. Memang tidak semudah mempelajari teorinya dari pada menyelesaikan soal yang berkaitan jarak, karena pada dimensi tiga ini kita harus bisa membayangkan dan menggambarkan jarak yang akan dicari terutama menggunakan proyeksinya. Namun kami yakin, dengan banyak berlatih, pasti kita akan terbiasa dalam menyelesaikan soal yang berkaitan dengan jarak pada dimensi tiga.

         Konsep jarak pada dimensi tiga atau bangun ruang yang akan kita bahas di sini adalah jarak antara dua titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak dua garis bersilangan, jarak garis dan bidang yang sejajar, dan jarak dua bidang yang sejajar. Diantara semua jenis konsep jarak yang akan kita pelajari, jarak titik ke titik dan jarak titik ke garis lah yang paling mudah, sementara konsep jarak yang lainnya akan lebih sulit. Makanya teman-teman harus berlatih lebih giat lagi ya, OK !!!^_^!!!

Konsep Jarak pada Dimensi Tiga Secara Umum
       Secara umum, yang dimaksud jarak pada dimensi tiga adalah jarak terdekat yang bisa kita peroleh dari konsep jarak yang akan kita hitung. Jarak terdekat akan kita peroleh ketika terbentuk saling tegak lurus sehingga penghitungannya bisa menggunakan teorema phytagoras.
Contoh soal :
1). Perhatikan gambar kubus berikut ini,
*). Jarak titik E ke garis AF adalah jarak terdekatnya yaitu jaraknya = panjang EM, dimana terdekat ketika EM tegak lurus dengan garis AF seperti gambar (a).
*). Jarak titik E ke NF adalah jarak terdekatnya yaitu jaraknya = panjang EN. Kenapa jaraknya adalah panjang EN ? kok bukan panjang EM? ini disebabkan karena yang ditanyakan adalah jarak titik E ke NF (NF yang dimaksud adalah segmen garis NF saja) bukan jarak E ke garis NF sehingga NF tidak bisa diperpanjang. Artinya jika ditanya jarak terhadap segmen garis tertentu, maka yang kita hitung adalah jarak terdekatnya meskipun tidak membentuk siku-siku seperti gambar (b).
*). Jarak titik E ke garis NF adalah jarak terdekatnya dengan memperpanjang garis FN sehingga menjadi FM, ini artinya jarak terdekatnya membentuk siku-siku. Jarak titik E ke garis NF = panjang EM seperti gambar (c).

Konsep Jarak antara dua titik
       Jarak antara dua titik dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras biasa, hanya saja kita harus jeli dan pintar dalam memilih segitiga siku-siku yang melibatkan kedua titik tersebut.
Contoh soal jarak dua titik :
2). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Hitunglah :
a). Jarak titik A ke F,
b). Jarak titik A ke P dengan titik P adalah titik tengah HF,
c). Jarak titik A ke N dengan titik N adalah titik tengah EC,
d). Jarak titik B ke Q , titik Q berada di garis EH dengan EQ = 2QH.
Penyelesaian :
a). Jarak titik A ke F,
untuk menghitung jarak A ke F kita gunakan segitiga siku-siku AEF.
$ \begin{align} \text{panjang AF } & = \sqrt{AE^2 + EF^2} \\ & = \sqrt{6^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{36 + 36} \\ & = \sqrt{36\times 2} \\ & = 6 \sqrt{ 2} \end{align} $
Jadi, jarak A ke F adalah $ 6\sqrt{2} \, $ cm.

b). Jarak titik A ke P dengan titik P adalah titik tengah HF,
untuk menghitung jarak A ke P kita gunakan segitiga siku-siku AEP.
EG adalah diagonal bidang sehingga $ EG = 6 \sqrt{ 2} $
Panjang EP $ \, = \frac{1}{2} EG = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{ 2} = 3 \sqrt{ 2} $
$ \begin{align} \text{panjang AP } & = \sqrt{AE^2 + EP^2} \\ & = \sqrt{6^2 + (3 \sqrt{ 2})^2} \\ & = \sqrt{36 + 18} \\ & = \sqrt{54} \\ & = \sqrt{9\times 6} \\ & = 3 \sqrt{ 6} \end{align} $
Jadi, jarak A ke P adalah $ 3\sqrt{6} \, $ cm.

c). Jarak titik A ke N dengan titik N adalah titik tengah EC,
untuk menghitung jarak A ke N kita gunakan segitiga siku-siku AXN.
XY adalah diagonal bidang sehingga $ XY = 6 \sqrt{ 2} $
Panjang XN $ \, = \frac{1}{2} XY = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{ 2} = 3 \sqrt{ 2} $
Panjang AX $ \, = \frac{1}{2} AE = \frac{1}{2} \times 6 = 3 $
$ \begin{align} \text{panjang AN } & = \sqrt{AX^2 + XN^2} \\ & = \sqrt{3^2 + (3 \sqrt{ 2})^2} \\ & = \sqrt{9 + 18} \\ & = \sqrt{27} \\ & = \sqrt{9\times 3} \\ & = 3 \sqrt{ 3} \end{align} $
Jadi, jarak A ke N adalah $ 3\sqrt{3} \, $ cm.

d). Jarak titik B ke Q , titik Q berada di garis EH dengan EQ = 2QH.
untuk menghitung jarak B ke Q kita gunakan segitiga siku-siku BEQ.
BE adalah diagonal bidang sehingga panjang $ BE = 6\sqrt{2} $
*). Menentukan panjang EQ :
$ \begin{align} EQ & = 2QH \\ \frac{EQ}{QH} & = \frac{2}{1} \\ EQ & = \frac{2}{3} EH \\ & = \frac{2}{3} \times 6 \\ & = 4 \end{align} $
*). Menentukan panjang BQ :
$ \begin{align} \text{panjang BQ } & = \sqrt{BE^2 + EQ^2} \\ & = \sqrt{(6 \sqrt{ 2})^2 + 4^2} \\ & = \sqrt{72 + 16} \\ & = \sqrt{88} \\ & = \sqrt{4\times 22} \\ & = 2 \sqrt{22} \end{align} $
Jadi, jarak B ke Q adalah $ 2\sqrt{22} \, $ cm.

Catatan : Segitiga siku-siku yang digunakan untuk masing-masing jawaban adalah salah satu alternatif, artinya teman-teman bisa menggunakan segitiga siku-siku yang lainnya tentu dengan hasil yang sama pula.

Konsep Jarak Titik ke Garis
Misalkan kita mau menghitung jarak titik A ke garis BC, perhatikan gambar berikut ini.
*). gambar (a), Jarak A ke garis BC.
*). gambar (b), Jarak A ke garis BC = panjang AD, dengan AD tegak lurus garis BC. Titik D diperoleh dengan memproyeksikan titik A pada garis BC.
*). gambar (c), untuk menghitung panjang AD, kita buat segitiga bantuan dengan menghubungkan AB dan AC sehingga terbentuk segitiga ABC.

Ada beberapa cara dalam menyelesaikan konsep jarak titik ke garis, diantaranya menggunakan :
i). perbandingan luas segitiga.
       Cara ini digunakan jika segitiga yang terbentuk siku-siku di A atau panjang semua segitiganya adalah bilangan bulat.
ii). teorema phytagoras.
       Cara ini bida digunakan untuk semua tipe soal jarak titik ke garis.
iii). aturan cosinus.
       Cara ini digunakan sebagai alternatif lain dari dua cara sebelumnya. Kita akan mencari nilai cos dari sudut B atau C, kemudian kita cari lagi nilai sin sudut B atau C dengan segitiga baru.
Contoh soal :
3). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik E ke garis AG?
Penyelesaian :
*). Jarak E ke garis AG diwakili oleh garis EP karena EP tegak lurus dengan AG. Segitiga bantuan adalah segitiga EAG siku-siku di E.
Cara I : Menggunakan luas segitiga,
Luas segitiga AEG dapat dihitung dari dua cara yaitu dengan alasnya AG dan tingginya EP, serta alasnya EA dan tingginya EG yang keduanya memiliki luas yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas AEG (alas AG) } & = \text{Luas AEG (alas EA) } \\ \frac{1}{2} \times AG \times EP & = \frac{1}{2} \times EA \times AG \\ AG \times EP & = EA \times AG \\ 8\sqrt{3} \times EP & = 8 \times 8\sqrt{2} \\ EP & = \frac{8 \times 8\sqrt{2}}{8\sqrt{3} } \\ & = \frac{ 8\sqrt{2}}{\sqrt{3} } \\ & = \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG adalah $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Cara II : Menggunakan teorema phytagoras,
Misalkan panjang $ AP = x , \, $ maka panjang $ PG = AG - AP = 8\sqrt{3} - x $
Perhatikan segitiga EAP, $ EP^2 = EA^2 - AP^2 $
Perhatikan segitiga EGP, $ EP^2 = EG^2 - GP^2 $
Kedua panjang EP adalah sama, sehingga kita peroleh :
$ \begin{align} \text{ (segitiga EAP) } EP^2 & = \text{ (segitiga EGP) } EP^2 \\ EA^2 - AP^2 & = EG^2 - GP^2 \\ 8^2 - x^2 & = (8\sqrt{2})^2 - (8\sqrt{3} - x)^2 \\ 64 - x^2 & = 128 - (192 - 16\sqrt{3}x + x^2) \\ 64 - x^2 & = 128 - 192 + 16\sqrt{3}x - x^2 \\ 64 & = -64 + 16\sqrt{3}x \\ 16\sqrt{3}x & = 128 \\ x & = \frac{128}{16\sqrt{3}} \\ x & = \frac{8}{3}\sqrt{3} \end{align} $
Menentukan panjang EP :
$ \begin{align} EP^2 & = EA^2 - AP^2 \\ & = 8^2 - (\frac{8}{3}\sqrt{3})^2 \\ & = 64 - (\frac{64}{3} ) \\ EP^2 & = \frac{128}{3} \\ EP & = \sqrt{ \frac{128}{3} } = \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8 }{3} \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG adalah $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Cara III : Menggunakan Aturan cosinus,
*). Perhatikan segitiga EAG, kita terapkan aturan cosinus pada sudut A.
$ EG^2 = AE^2 + AG^2 - 2 . AE. AG \cos A \rightarrow \cos A = \frac{AE^2 + AG^2- EG^2}{2 . AE. AG} $.
Menentukan nilai cos A :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{AE^2 + AG^2- EG^2}{2 . AE. AG} \\ & = \frac{8^2 + (8\sqrt{3})^2- (8\sqrt{2})^2}{2 . 8. (8\sqrt{3})} \\ & = \frac{64 + 192- 128}{2 . 8. (8\sqrt{3})} \\ & = \frac{128}{2 . 8.8\sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{3}} \end{align} $
Menentukan nilai sin A , menggunakan identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A + (\frac{1}{ \sqrt{3}})^2 = 1 \rightarrow \sin ^2 A + \frac{1}{ 3} = 1 $
$ \rightarrow \sin ^2 A = \frac{2}{ 3} \rightarrow \sin A = \sqrt{\frac{2}{ 3} } = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Menentukan panjang EP, perhatikan segitiga EAP :
$ \begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} & = \frac{EP}{EA} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} & = \frac{EP}{8} \\ \frac{8}{3}\sqrt{6} & = EP \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG adalah $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Catatan : Tidak semua soal bisa dikerjakan dengan ketiga cara diatas. Namun untuk cara II dan Cara III bisa diterapkan kesemua tipe soal konsep jarak titik ke garis.

4). Diketahui titik P ada ditengah-tengah garis EA pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik P ke garis BH?
Penyelesaian :
*). Jarak P ke garis BH diwakili oleh garis PN karena PN tegak lurus dengan BH.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiganya :
panjang PB = PH = $ \sqrt{PA^2 + PB^2} = \sqrt{5^2 + 100^2} = 5\sqrt{5} $
Karena segitiga PBH samakaki, maka letak N terletak ditengah BH.
Panjang $ BN = \frac{1}{2} BH = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2} $
Menentukan panjang PN, menggunakan segitiga PBN
$ \begin{align} PN & = \sqrt{PB^2 - BN^2} \\ & = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 - (5\sqrt{2})^2} \\ & = 5\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak P ke garis BH adalah $ 5\sqrt{3} \, $ cm.

5). Pada limas segiempat beraturan T.ABCD memiliki rusuk alas $ 3\sqrt{2} \, $ cm dan rusuk tegaknya 8 cm. Tentukan jarak titik A ke TC?
Penyelesaian :
*). Melengkapkan panjang sisi-sisi segitiga.
Jarak A ke garis TC, kita gunakan segitiga ATC sebagai bantuannya.
Panjang AC pada segitiga ABC :
$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 } = \sqrt{ (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 } = \sqrt{36} = 6 $
Untuk menghitung jarak A ke TC = panjang AE, banyak metode yang bisa kita terapkan, misalnya metode phytagoras seperti contoh 3 dengan memisalkan $ CE = x \, $. Bisa juga menggunakan metode aturan cosinus pada sudut C atau T. Pada pembahasan ini kita akan menggunakan metode luas segitiga karena sisi-sisi segitiganya berupa bilangan bulat dengan luasan rumus Heron dan metode luasan biasa.
Cara I : Luas segitiga rumus Heron,
Luas segitiga $ \, = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \, $ dengan $ s = \frac{1}{2}(a+b+c) $.
Segitiga ATC dengan sisi-sisi 6, 8, 8.
$ s = \frac{1}{2}(6 + 8 + 8) = \frac{1}{2}(22) = 11 $
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{11(11-6)(11-8)(11-8)} = \sqrt{11.5.3.3} = 3\sqrt{55} \end{align} $
Luas segitiga ATC juga dapat dihitung dengan rumus :
$ \text{Luas ATC } = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2}.TC . AE = \frac{1}{2}.8 . AE = 4AE $
*). Menentukan panjang AE dengan kedua luas ATC yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \text{Luas ATC } \\ \frac{1}{2}.TC . AE & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ 4AE & = 3\sqrt{55} \\ AE & = \frac{3}{4} \sqrt{55} \end{align} $
Jadi, jarak A ke garis TC adalah $ \frac{3}{4} \sqrt{55} \, $ cm.

Cara II : Luas segitiga rumus biasa,
Perhatikan gambar (c),
Panjang TF dari segitiga TFC,
$ TF = \sqrt{TC^2 - FC^2 } = \sqrt{8^2 - 3^2 } = \sqrt{64 - 9 } = \sqrt{ 55} $
Luas segitiga ATC,
$ \text{Luas ATC } = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2}.AC . TF = \frac{1}{2}. 6 . \sqrt{ 55} = 3\sqrt{ 55} $
*). Menentukan panjang AE dengan kedua luas ATC yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \text{Luas ATC } \\ \frac{1}{2}.TC . AE & = \frac{1}{2}.AC . TF \\ 4AE & = 3\sqrt{55} \\ AE & = \frac{3}{4} \sqrt{55} \end{align} $
Jadi, jarak A ke garis TC adalah $ \frac{3}{4} \sqrt{55} \, $ cm.

6). Tentukan jarak titik A ke garis EF pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 10 cm?
Penyelesaian :
Jika titik A kita proyeksi ke garis EF, maka hasilnya adalah titik E karena AE tegak lurus dengan EF. Sehingga jarak titik A ke garis EF adalah 10 cm.

Untuk konsep jarak lainnya pada dimensi tiga, silahkan baca pada artikel : jarak titik dan bidang pada dimensi tiga, jarak dua garis bersilangan pada dimensi tiga, jarak antara garis dan bidang pada dimensi tiga.

       Bagaimana dengan materi Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang ini, pasti seru ya!!!. Memang tidak mudah untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan jarak pada dimensi tiga. Semuanya butuh latihan dan berlatih terus secara kontinu untuk mempelajarinya. Percayalah, semuanya pasti bisa, tidak ada yang tidak mungkin di dunia ini. (sok menghibur diri saya sebagai penulis, karena menurut saya juga sulit kok mempelajari dimensi tiga, apalagi berkaitan dengan soal-soal seleksi masuk PTN. ^_^). Semoga bermanfaat materi pada artikel ini untuk kita semua.

Rabu, 06 April 2016

Dimensi Tiga : Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang

         Blog Koma - Sebelumnya pada artikel konsep titik, garis, dan bidang telah dibahas pengertian titik, garis dan bidang. Pada artikel Dimensi Tiga : Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang ini akan kita cuplik sedikit pengertiannya, namun kita lebih menekankan pada kedudukan dari masing-masing titik, garis dan bidang. Sangat penting bagi kita untuk memahami arti dan konsep dari ketiganya satu persatu secara jelas dan setelah itu pasti akan mudah bagi kita untuk mempelajari materi selanjutnya.

         Titik tidak memiliki ukuran dan biasanya dideskripsikan menggunakan tanda noktah. Penamaan titik menggunakan huruf kapital, seperti titik A, titik B, titik C, dan sebagainya. Berikut contoh titik,
         Suatu garis memiliki panjang tak terbatas, sehingga tidak mungkin kita gambar semuanya, yang digambar hanya sebagian dari garis tersebut yang disebut segmen garis. Suatu segmen garis dapat diperpanjang sesuai keperluan dalam soal yang kita kerjakan. Berikut contoh garis AB.
         Bidang memiliki luas yang tak terbatas sehingga yang digambar hanya sebagian saja. Bidang direpresentasikan oleh permukaan meja atau dinding.

Kedudukan Titik terhadap Garis dan Bidang
       Secara umum, kedudukan titik terhadap garis dibagi menjadi dua yaitu terletak pada garis dan tidak terletak pada garis, begitu juga kedudukan titik terhadap bidang. Perhatikan ilustrasi di bawah ini.

Definisi :
*). Jika suatu titik dilalui garis, maka dikatakan titik terletak pada garis tersebut.
*). Jika suatu titik tidak dilalui garis, maka dikatakan titik tersebut berada di luar garis.
*). Jika suatu titik dilewati suatu bidang, maka dikatakan titik itu terletak pada bidang.
*). Jika titik tidak dilewati suatu bidang, maka titik itu berada di luar bidang.
       Perhatikan Gambar 9.1a dan Gambar 9.1b. Apa yang dapat kamu lihat? Misalkan kabel listrik adalah suatu garis dan burung adalah titik, maka dapat dikatakan bahwa tempat hinggap burung pada kabel listrik merupakan sebuah titik yang terletak pada suatu garis, yang dapat dilihat pada Gambar 9.1b.
Gambar berikut akan mencoba pemahaman kita terhadap kedudukan titik dengan garis.
       Jika dimisalkan jembatan penyeberangan merupakan suatu garis dan lokomotif kereta adalah suatu titik. Kita dapat melihat bahwa lokomotif tidak terletak atau melalui jembatan penyeberangan. Artinya jika dihubungkan dengan garis dan titik maka dapat dikatakan bahwa contoh di atas merupakan suatu titik yang tidak terletak pada garis.
Untuk lebih melengkapi pemahaman kedudukan titik terhadap garis, perhatikan pula Gambar 9.3a dan Gambar 9.3b.
       Gambar di atas merupakan ilustrasi contoh kedudukan titik terhadap bidang, dengan bola sebagai titik dan lapangan sebagai bidang. Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah bidang jika titik itu dapat dilalui bidang seperti terlihat pada titik A pada gambar dan sebuah titik dikatakan terletak di luar bidang jika titik itu tidak dapat dilalui bidang.

Contoh soal kedudukan titik :
1). Pada kubus ABCD.EFGH, Terhadap bidang DCGH, tentukanlah:
a. titik sudut kubus apa saja yang terletak pada bidang DCGH!
b. titik sudut kubus apa saja yang berada di luar bidang DCGH!
Penyelesaian :
Pandang kubus ABCD.EFGH, pada bidang DCGH dapat diperoleh:
a). Titik sudut yang berada di bidang DCGH adalah D, C, G, dan H.
b). Titik sudut yang berada di luar bidang DCGH adalah A, B, E, dan F.

Kedudukan Garis terhadap Garis dan Bidang
       Kemungkinan kedudukan garis terhadap garis adalah berimpit, berpotongan, sejajar, dan bersilangan. Sedangakan kedudukan garis terhadap bidang adalah berpotongan atau sejajar.
Contoh soal :
2). Perhatikan kubus ABCD.EFGH di bawah ini,
Pada gambar kubus di atas, garis AB :
*). berimpit dengan garis AB,
*). berpotongan dengan garis AD, BC, BF, AE
*). sejajar dengan garis DC, HG, EF
*). bersilangan dengan garis FC, CG, FG, EH, dan lainnya
*). terletak pada bidang ABCD, ABFE
*). memotong bidang BCGF, ADHE,
*). sejajar dengan bidang CDHG, EFGH

Kedudukan Bidang terhadap Bidang
       Kedudukan bidang terhadap bidang yaitu berimpit, berpotongan, dan sejajar.
Contoh soal :
3). Perhatikan kubus ABCD.EFGH di bawah ini,
Pada gambar kubus di atas, bidang ABCD :
*). berimpit dengan bidang ABC,
*). berpotongan dengan bidang BCGF, ABFE, ADHE, CDHG
*). sejajar dengan bidang EFGH

4). Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut ini,
Beberapa hal akan kita peroleh dari kedudukan titik, garis, dan bidang yaitu :
*). AH dan GE bersilangan,
*). EC tegak lurus bidang BDG,
*). BE tegak lurus bidang ADGF,
*). AC bersilangan tegak lurus dengan DH,
*). AC bersilangan tidak tegak lurus dengan EB,
*). BG adalah titik potong antara bidang ABGH dan bidang BDG
*). EF tegak lurus dengan bidang BCGF, artinya semua garis yang ada pada bidang BCGF akan tegak lurus dengan garis EF, seperti garis EF tegak lurus dengan garis FG, garis EF tegak lurus dengan garis FB, garis EF tegak lurus dengan garis BC, garis EF tegak lurus dengan garis CG, garis EF tegak lurus dengan garis BG, garis EF tegak lurus dengan garis FC, dan EF tegak lurus dengan semua garis lain yang ada pada bidang BCGF.

5). Berikut beberapa pernyataan yang terkait dengan kedudukan titik, garis, dan bidang :
i). Jika bidang V tegak lurus dengan bidang W, maka
*). semua garis yang ada pada bidang V tegak lurus dengan bidang W,
*). semua garis yang ada pada bidang W tegak lurus dengan bidang V.

ii). Jika bidang V sejajar dengan bidang W, maka
*). semua garis yang ada pada bidang V sejajar dengan bidang W,
*). semua garis yang ada pada bidang W sejajar dengan bidang V.

iii). Bidang V dan bidang W berpotongan sepanjang garis $ s $, jika garis $ g $ tegak lurus bidang V maka garis $ g $ juga tegak lurus dengan garis $ s $.

       Demikian pembahasan materi Dimensi Tiga : Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dan contoh-contohnya. Sebenarnya materi ini tidaklah sulit, hanya saja butuh ketelitian dan konsentrasi lebih untuk memudahkan dalam mempelajarinya terutama berkaitan dengan dimensi tiga yang memuat banyak titik, garis dan bidang. Semoga materi ini bisa bermanfaat untuk kita semua.

Senin, 04 April 2016

Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang

         Blog Koma - Pada materi yang terkait dimensi tiga (bangun ruang), hal utama yang dibahas adalah jarak dan sudut. Untuk memudahkan menentukan jarak dan sudut, salah satu materi dasar yang sangat penting sebelumnya kita kuasai adalah materi proyeksi. Oleh karena itu, pada artikel ini kita akan mempelajari materi Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang secara mendasar. Proyeksi titik, garis dan bidang sangat penting kita kuasai karena dalam konsep jarak dan sudut akan secara langsung melibatkan titik, garis, dan bidang.

         Hal yang kita pelajari dalam Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang yaitu proyeksi titik ke garis, proyeksi titik ke bidang, proyeksi garis ke garis, proyeksi garis ke bidang, dan proyeksi bidang ke bidang. Semua jenis proyeksi ini penting bagi teman-teman yang belajar tentang dimensi tiga. Secara teori sebenarnya tidaklah mudah dalam mempelajari dan menguasai teknik proyeksi ini, apalagi hanya dengan membayangkan saja, akan lebih mudah bagi kita jika langsung ada alat peraganya. Hanya saja, kita harus tetap terbiasa untuk belajar tanpa alat peraga langsung karena ketika mengerjakan soal tidak akan disediakan alat peraga. Jadi, teman-teman harus banyak berlatih dalam memproyeksikan titik, garis, dan bidang.

         Untuk memudahkan dalam memahami materi cara proyeksi titik, garis, dan bidang, sebaiknya kita harus memahami dulu pengertian dan konsep titik itu apa, pengertian garis, dan pengertian bidang pada artikel Konsep Titik, Garis, dan Bidang.

Pengertian Proyeksi
Permisalan :
Proyeksian mewakili benda yang mau diproyeksikan (titik, garis, atau bidang), Hasil Proyeksian mewakili hasil proyeksinya, dan Proyeksitor mewakili benda sebagai tempat proyeksinya (titik, garis, atau bidang)

       Secara sederhana Proyeksi dapat kita artikan sebagai pencerminan proyeksian pada proyeksitor yang hasil proyeksiannya ada pada proyeksitor, dimana jika proyeksian dan hasil proyeksian kita hubungkan dengan garis maka garis tersebut tegak lurus dengan proyeksitornya. Adapun hasil proyeksiannya sesuai dengan proyeksiannya yaitu jika titik yang diproyeksikan maka hasilnya titik, begitu juga garis dan bidang.

Proyeksi Titik ke Garis
       Untuk proyeksi titik ke garis, titik sebagai proyeksian dan garis sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :
Dari gambar, proyeksi titik P ke segmen garis AB yang hasil proyeksinya adalah titik R yang ada pada garis AB. Titik R tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis PR (putus-putus) tegak lurus dengan garis AB.

Proyeksi Titik ke Bidang
       Untuk proyeksi titik ke bidang, titik sebagai proyeksian dan bidang sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :
Dari gambar, proyeksi titik P ke bidang W yang hasil proyeksinya adalah titik R yang ada pada bidang W. Titik R tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis PR (putus-putus) tegak lurus dengan bidang W. Proyeksian = titik P, hasil proyeksian = titik R, dan proyeksitor = bidang W.

Proyeksi garis ke Garis
       Untuk proyeksi garis ke garis, garis pertama sebagai proyeksian dan garis keuad sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :
Dari gambar, proyeksi segmen garis AB ke garis g yang hasil proyeksinya adalah segmen garis PR yang ada pada garis g. Segmen garis PR tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis putus-putus tegak lurus dengan garis g. Proyeksian = segmen garis AB, hasil proyeksian = segmen garis PR, dan proyeksitor = garis g.

Proyeksi Garis ke Bidang
       Untuk proyeksi garis ke bidang, garis sebagai proyeksian dan bidang sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :
Dari gambar, proyeksi segmen garis AB ke bidang W yang hasil proyeksinya adalah segmen garis PR yang ada pada bidang W. Segmen garis PR tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis putus-putus tegak lurus dengan bidang W. Proyeksian = segmen garis AB, hasil proyeksian = segmen garis PR, dan proyeksitor = bidang W.

Proyeksi Bidang ke Bidang
       Untuk proyeksi bidang ke bidang, bidang pertama sebagai proyeksian dan bidang kedua sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :
Dari gambar, proyeksi bidang V ke bidang W yang hasil proyeksinya adalah bidang Y. Bidang Y tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis putus-putus warna merah tegak lurus dengan bidang W. Proyeksian = bidang V, hasil proyeksian = bidang Y, dan proyeksitor = bidang W.

Contoh soal proyeksi titik, garis, dan bidang :
1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi titik A ke garis HF?
Penyelesaian :
Perhatikan kubus berikut ini,
dari gambar, hasil proyeksinya adalah titik R karena garis AR tegak lurus dengan garis HF.

2). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi titik A ke bidang HDC?
Penyelesaian :
Perhatikan kubus berikut ini,
dari gambar, hasil proyeksinya adalah titik D karena garis AD tegak lurus dengan bidang HDC.

3). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi garis AH ke garis AD?
Penyelesaian :
Perhatikan kubus berikut ini,
dari gambar, hasil proyeksinya adalah garis AD karena garis putus-putus warna merah tegak lurus dengan garis AD.

4). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi garis AE ke bidang AFH?
Penyelesaian :
Perhatikan kubus berikut ini,
dari gambar, hasil proyeksinya adalah garis AP karena garis putus-putus warna merah tegak lurus dengan garis AP.

5). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi bidang AFH ke bidang ABCD?
Penyelesaian :
Perhatikan kubus berikut ini,
dari gambar, hasil proyeksinya adalah bidang ABD karena garis putus-putus warna merah tegak lurus dengan ABD.