Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat

         Blog Koma - Selain melibatkan perhitungan sudut-sudut istimewa pada trigonometri, ternyata juga bisa menghitung nilai beberapa sudut-sudut tidak istimewa seperti sudut 18 derajat. Bagaimana cara menghitung nilainya? Pada artikel ini akan kita bahas khusu mengenai Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat. Artikel ini saya tulis karena terinspirasi dari soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi baik tes bersama seperti SBMPTN atau seleksi mandiri. Ternyata pada soal tersebut melibatkan bentuk sudut 18 derajat. Memang untuk sudut non istimewa ini tidak lazim dibahas di sekolah, akan tetapi penting bagi kita untuk mempelajarinya sebagai pengembangan dari materi atau rumus-rumus dasar trigonometri yang ada.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari artikel Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat ini, ada beberapa rumus dasar trigonometri yang harus kita kuasai yaitu "Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda", "rumus trigonometri untuk jumlah sudut-sudut", dan satu lagi yaitu "sudut komplemen" pada kuadran I, serta "rumus ABC" pada persamaan kuadrat.

Rumus-rumus dasar yang kita butuhkan
       Berikut beberapa rumus dasar yang kita butuhkan untuk menghitung nilai sin 18 derajat.
$\spadesuit \, $ Rumus sudut ganda dan tripel :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A $
$ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
$ \cos 3A = 4\cos ^3 A - 3\cos A $
$ \clubsuit \, $ Aturan sudut komplemen :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$\spadesuit \, $ Rumus jumlah sudut :
$ \cos (A + B ) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$\clubsuit \, $ Rumus ABC :
Rumus ABC digunakan untuk menentukan penyelesaian (akar-akar) dari persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan rumus :
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

Sebelumnya kita buktikan dulu rumus $ \cos 3A = 4\cos ^3 A - 3\cos A $
Rumus identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $.
$ \begin{align} \cos 3A & = \cos (2A + A) \, \, \, \, \, \, \text{(rumus jumlah sudut)} \\ & = \cos 2A \cos A - \sin 2A \sin A \, \, \, \, \, \, \text{(rumus sudut ganda)} \\ & = (2\cos ^2 A - 1) \cos A - (2\sin A \cos A) \sin A \\ & = 2\cos ^3 A - \cos A - 2\sin ^2 A \cos A \, \, \, \, \, \, \text{(identitas trigonometri)} \\ & = 2\cos ^3 A - \cos A - 2(1-\cos ^2 A) \cos A \\ & = 2\cos ^3 A - \cos A - 2\cos A + 2\cos ^3 A \\ & = 4\cos ^3 A - 3\cos A \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \cos 3A = 4\cos ^3 A - 3\cos A $
Nilai sin 18 derajat
Nilai sin 18 derajat adalah : $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $

Cara Menghitung Nilai Sin 18 derajat :
*). Pertama kita gunakan sudut komplemen dulu :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$ \sin 36^\circ = \cos (90^\circ - 36^\circ ) \rightarrow \sin 36^\circ = \cos 54^\circ \, $ ...pers(i)
*). Kita misalkan $ A = 18^\circ \, $ , langsung kita modifikasi pers(i) dengan rumus yang ada :
$ \begin{align} \sin 36^\circ & = \cos 54^\circ \\ \sin 2 \times 18^\circ & = \cos 3 \times 18^\circ \\ \sin 2 \times A & = \cos 3 \times A \\ \sin 2 A & = \cos 3 A \, \, \, \, \, \, \text{(sudut ganda dan tripel)} \\ 2\sin A \cos A & = 4\cos ^3 A - 3\cos A \\ 2\sin A \cos A & = (4\cos ^2 A - 3) \cos A \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } \cos A) \\ 2\sin A & = 4\cos ^2 A - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan identitas trigonometri)} \\ 2\sin A & = 4( 1 - \sin ^2 A) - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan identitas trigonometri)} \\ 2\sin A & = 4 - 4\sin ^2 A - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(pindah ke ruas kiri)} \\ 4\sin ^2 A + 2\sin A - 1 & = 0 \\ 4(\sin A )^2 + 2\sin A - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(misalkan } x = \sin A ) \\ 4x^2 + 2x - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(rumus ABC)} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4.4.(-1)}}{2.4} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{4 +16}}{8} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} \\ & = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ & = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \end{align} $
Kita peroleh nilai $ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \, $ artinya $ \sin A = \sin 18^\circ = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} $
Karena $ 18^\circ \, $ ada di kuadran I, maka nilai $ \sin 18^\circ \, $ harus positif, sehingga nilai dari sin 18 derajat adalah $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $
Jadi, terbukti nilai dari $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $ .

       Demikian pembahasan Cara menghitung nilai sin 18 derajat. Perlu teman-teman ketahui, pembahasan atau penjabaran pada artikel ini adalah salah satu alternatif dalam menghitung nilai sin 18 derajat. Artinya teman-teman bisa menggunakan cara lain dengan catatan memberikan hasil yang sama seperti di artikel ini. Kalau memang ada cara yang lebih mudah untuk menentukan nilai sin 18 derajat, mohon untuk share ke blog koma ini. Artikel berikutnya yang berkaitan dengan ini adalah "Berapakah Nilai cos dan tan 18 derajat?". Semoga tulisan ini bisa bermanfaat, terima kasih.

1 komentar: