Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi kedudukan titik, garis, dan bidang pada bangun ruang, kita lanjutkan lagi materi berikutnya yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu materi Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang. Menentukan atau penghitungan jarak pada dimensi tiga merupakan salah satu materi yang pasti wajib soal-soalnya ada pada ujian nasional maupun ujian masuk perguruan tinggi. Ini artinya konsep jarak harus benar-benar kita kuasai dengan baik dan banyak berlatih.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang, hal mendasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu adalah teorema phytagoras, aturan cosinus pada segitiga, serta Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang. Memang tidak semudah mempelajari teorinya dari pada menyelesaikan soal yang berkaitan jarak, karena pada dimensi tiga ini kita harus bisa membayangkan dan menggambarkan jarak yang akan dicari terutama menggunakan proyeksinya. Namun kami yakin, dengan banyak berlatih, pasti kita akan terbiasa dalam menyelesaikan soal yang berkaitan dengan jarak pada dimensi tiga.

         Konsep jarak pada dimensi tiga atau bangun ruang yang akan kita bahas di sini adalah jarak antara dua titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak dua garis bersilangan, jarak garis dan bidang yang sejajar, dan jarak dua bidang yang sejajar. Diantara semua jenis konsep jarak yang akan kita pelajari, jarak titik ke titik dan jarak titik ke garis lah yang paling mudah, sementara konsep jarak yang lainnya akan lebih sulit. Makanya teman-teman harus berlatih lebih giat lagi ya, OK !!!^_^!!!

Konsep Jarak pada Dimensi Tiga Secara Umum
       Secara umum, yang dimaksud jarak pada dimensi tiga adalah jarak terdekat yang bisa kita peroleh dari konsep jarak yang akan kita hitung. Jarak terdekat akan kita peroleh ketika terbentuk saling tegak lurus sehingga penghitungannya bisa menggunakan teorema phytagoras.
Contoh soal :
1). Perhatikan gambar kubus berikut ini,
*). Jarak titik E ke garis AF adalah jarak terdekatnya yaitu jaraknya = panjang EM, dimana terdekat ketika EM tegak lurus dengan garis AF seperti gambar (a).
*). Jarak titik E ke NF adalah jarak terdekatnya yaitu jaraknya = panjang EN. Kenapa jaraknya adalah panjang EN ? kok bukan panjang EM? ini disebabkan karena yang ditanyakan adalah jarak titik E ke NF (NF yang dimaksud adalah segmen garis NF saja) bukan jarak E ke garis NF sehingga NF tidak bisa diperpanjang. Artinya jika ditanya jarak terhadap segmen garis tertentu, maka yang kita hitung adalah jarak terdekatnya meskipun tidak membentuk siku-siku seperti gambar (b).
*). Jarak titik E ke garis NF adalah jarak terdekatnya dengan memperpanjang garis FN sehingga menjadi FM, ini artinya jarak terdekatnya membentuk siku-siku. Jarak titik E ke garis NF = panjang EM seperti gambar (c).

Konsep Jarak antara dua titik
       Jarak antara dua titik dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras biasa, hanya saja kita harus jeli dan pintar dalam memilih segitiga siku-siku yang melibatkan kedua titik tersebut.
Contoh soal jarak dua titik :
2). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Hitunglah :
a). Jarak titik A ke F,
b). Jarak titik A ke P dengan titik P adalah titik tengah HF,
c). Jarak titik A ke N dengan titik N adalah titik tengah EC,
d). Jarak titik B ke Q , titik Q berada di garis EH dengan EQ = 2QH.
Penyelesaian :
a). Jarak titik A ke F,
untuk menghitung jarak A ke F kita gunakan segitiga siku-siku AEF.
$ \begin{align} \text{panjang AF } & = \sqrt{AE^2 + EF^2} \\ & = \sqrt{6^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{36 + 36} \\ & = \sqrt{36\times 2} \\ & = 6 \sqrt{ 2} \end{align} $
Jadi, jarak A ke F adalah $ 6\sqrt{2} \, $ cm.

b). Jarak titik A ke P dengan titik P adalah titik tengah HF,
untuk menghitung jarak A ke P kita gunakan segitiga siku-siku AEP.
EG adalah diagonal bidang sehingga $ EG = 6 \sqrt{ 2} $
Panjang EP $ \, = \frac{1}{2} EG = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{ 2} = 3 \sqrt{ 2} $
$ \begin{align} \text{panjang AP } & = \sqrt{AE^2 + EP^2} \\ & = \sqrt{6^2 + (3 \sqrt{ 2})^2} \\ & = \sqrt{36 + 18} \\ & = \sqrt{54} \\ & = \sqrt{9\times 6} \\ & = 3 \sqrt{ 6} \end{align} $
Jadi, jarak A ke P adalah $ 3\sqrt{6} \, $ cm.

c). Jarak titik A ke N dengan titik N adalah titik tengah EC,
untuk menghitung jarak A ke N kita gunakan segitiga siku-siku AXN.
XY adalah diagonal bidang sehingga $ XY = 6 \sqrt{ 2} $
Panjang XN $ \, = \frac{1}{2} XY = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{ 2} = 3 \sqrt{ 2} $
Panjang AX $ \, = \frac{1}{2} AE = \frac{1}{2} \times 6 = 3 $
$ \begin{align} \text{panjang AN } & = \sqrt{AX^2 + XN^2} \\ & = \sqrt{3^2 + (3 \sqrt{ 2})^2} \\ & = \sqrt{9 + 18} \\ & = \sqrt{27} \\ & = \sqrt{9\times 3} \\ & = 3 \sqrt{ 3} \end{align} $
Jadi, jarak A ke N adalah $ 3\sqrt{3} \, $ cm.

d). Jarak titik B ke Q , titik Q berada di garis EH dengan EQ = 2QH.
untuk menghitung jarak B ke Q kita gunakan segitiga siku-siku BEQ.
BE adalah diagonal bidang sehingga panjang $ BE = 6\sqrt{2} $
*). Menentukan panjang EQ :
$ \begin{align} EQ & = 2QH \\ \frac{EQ}{QH} & = \frac{2}{1} \\ EQ & = \frac{2}{3} EH \\ & = \frac{2}{3} \times 6 \\ & = 4 \end{align} $
*). Menentukan panjang BQ :
$ \begin{align} \text{panjang BQ } & = \sqrt{BE^2 + EQ^2} \\ & = \sqrt{(6 \sqrt{ 2})^2 + 4^2} \\ & = \sqrt{72 + 16} \\ & = \sqrt{88} \\ & = \sqrt{4\times 22} \\ & = 2 \sqrt{22} \end{align} $
Jadi, jarak B ke Q adalah $ 2\sqrt{22} \, $ cm.

Catatan : Segitiga siku-siku yang digunakan untuk masing-masing jawaban adalah salah satu alternatif, artinya teman-teman bisa menggunakan segitiga siku-siku yang lainnya tentu dengan hasil yang sama pula.

Konsep Jarak Titik ke Garis
Misalkan kita mau menghitung jarak titik A ke garis BC, perhatikan gambar berikut ini.
*). gambar (a), Jarak A ke garis BC.
*). gambar (b), Jarak A ke garis BC = panjang AD, dengan AD tegak lurus garis BC. Titik D diperoleh dengan memproyeksikan titik A pada garis BC.
*). gambar (c), untuk menghitung panjang AD, kita buat segitiga bantuan dengan menghubungkan AB dan AC sehingga terbentuk segitiga ABC.

Ada beberapa cara dalam menyelesaikan konsep jarak titik ke garis, diantaranya menggunakan :
i). perbandingan luas segitiga.
       Cara ini digunakan jika segitiga yang terbentuk siku-siku di A atau panjang semua segitiganya adalah bilangan bulat.
ii). teorema phytagoras.
       Cara ini bida digunakan untuk semua tipe soal jarak titik ke garis.
iii). aturan cosinus.
       Cara ini digunakan sebagai alternatif lain dari dua cara sebelumnya. Kita akan mencari nilai cos dari sudut B atau C, kemudian kita cari lagi nilai sin sudut B atau C dengan segitiga baru.
Contoh soal :
3). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik E ke garis AG?
Penyelesaian :
*). Jarak E ke garis AG diwakili oleh garis EP karena EP tegak lurus dengan AG. Segitiga bantuan adalah segitiga EAG siku-siku di E.
Cara I : Menggunakan luas segitiga,
Luas segitiga AEG dapat dihitung dari dua cara yaitu dengan alasnya AG dan tingginya EP, serta alasnya EA dan tingginya EG yang keduanya memiliki luas yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas AEG (alas AG) } & = \text{Luas AEG (alas EA) } \\ \frac{1}{2} \times AG \times EP & = \frac{1}{2} \times EA \times EG \\ AG \times EP & = EA \times EG \\ 8\sqrt{3} \times EP & = 8 \times 8\sqrt{2} \\ EP & = \frac{8 \times 8\sqrt{2}}{8\sqrt{3} } \\ & = \frac{ 8\sqrt{2}}{\sqrt{3} } \\ & = \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG adalah $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Cara II : Menggunakan teorema phytagoras,
Misalkan panjang $ AP = x , \, $ maka panjang $ PG = AG - AP = 8\sqrt{3} - x $
Perhatikan segitiga EAP, $ EP^2 = EA^2 - AP^2 $
Perhatikan segitiga EGP, $ EP^2 = EG^2 - GP^2 $
Kedua panjang EP adalah sama, sehingga kita peroleh :
$ \begin{align} \text{ (segitiga EAP) } EP^2 & = \text{ (segitiga EGP) } EP^2 \\ EA^2 - AP^2 & = EG^2 - GP^2 \\ 8^2 - x^2 & = (8\sqrt{2})^2 - (8\sqrt{3} - x)^2 \\ 64 - x^2 & = 128 - (192 - 16\sqrt{3}x + x^2) \\ 64 - x^2 & = 128 - 192 + 16\sqrt{3}x - x^2 \\ 64 & = -64 + 16\sqrt{3}x \\ 16\sqrt{3}x & = 128 \\ x & = \frac{128}{16\sqrt{3}} \\ x & = \frac{8}{3}\sqrt{3} \end{align} $
Menentukan panjang EP :
$ \begin{align} EP^2 & = EA^2 - AP^2 \\ & = 8^2 - (\frac{8}{3}\sqrt{3})^2 \\ & = 64 - (\frac{64}{3} ) \\ EP^2 & = \frac{128}{3} \\ EP & = \sqrt{ \frac{128}{3} } = \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8 }{3} \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG adalah $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Cara III : Menggunakan Aturan cosinus,
*). Perhatikan segitiga EAG, kita terapkan aturan cosinus pada sudut A.
$ EG^2 = AE^2 + AG^2 - 2 . AE. AG \cos A \rightarrow \cos A = \frac{AE^2 + AG^2- EG^2}{2 . AE. AG} $.
Menentukan nilai cos A :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{AE^2 + AG^2- EG^2}{2 . AE. AG} \\ & = \frac{8^2 + (8\sqrt{3})^2- (8\sqrt{2})^2}{2 . 8. (8\sqrt{3})} \\ & = \frac{64 + 192- 128}{2 . 8. (8\sqrt{3})} \\ & = \frac{128}{2 . 8.8\sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{3}} \end{align} $
Menentukan nilai sin A , menggunakan identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A + (\frac{1}{ \sqrt{3}})^2 = 1 \rightarrow \sin ^2 A + \frac{1}{ 3} = 1 $
$ \rightarrow \sin ^2 A = \frac{2}{ 3} \rightarrow \sin A = \sqrt{\frac{2}{ 3} } = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Menentukan panjang EP, perhatikan segitiga EAP :
$ \begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} & = \frac{EP}{EA} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} & = \frac{EP}{8} \\ \frac{8}{3}\sqrt{6} & = EP \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG adalah $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Catatan :
*). Tidak semua soal bisa dikerjakan dengan ketiga cara diatas. Namun untuk cara II dan Cara III bisa diterapkan kesemua tipe soal konsep jarak titik ke garis.
*). Penghitungan jarak titik ke garis juga bisa menggunakan konsep vektor, silahkan baca artikelnya pada "aplikasi vektor : jarak titik ke garis"

4). Diketahui titik P ada ditengah-tengah garis EA pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik P ke garis BH?
Penyelesaian :
*). Jarak P ke garis BH diwakili oleh garis PN karena PN tegak lurus dengan BH.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiganya :
panjang PB = PH = $ \sqrt{PA^2 + PB^2} = \sqrt{5^2 + 100^2} = 5\sqrt{5} $
Karena segitiga PBH samakaki, maka letak N terletak ditengah BH.
Panjang $ BN = \frac{1}{2} BH = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3} $
Menentukan panjang PN, menggunakan segitiga PBN
$ \begin{align} PN & = \sqrt{PB^2 - BN^2} \\ & = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 - (5\sqrt{3})^2} \\ & = 5\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, jarak P ke garis BH adalah $ 5\sqrt{2} \, $ cm.

5). Pada limas segiempat beraturan T.ABCD memiliki rusuk alas $ 3\sqrt{2} \, $ cm dan rusuk tegaknya 8 cm. Tentukan jarak titik A ke TC?
Penyelesaian :
*). Melengkapkan panjang sisi-sisi segitiga.
Jarak A ke garis TC, kita gunakan segitiga ATC sebagai bantuannya.
Panjang AC pada segitiga ABC :
$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 } = \sqrt{ (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 } = \sqrt{36} = 6 $
Untuk menghitung jarak A ke TC = panjang AE, banyak metode yang bisa kita terapkan, misalnya metode phytagoras seperti contoh 3 dengan memisalkan $ CE = x \, $. Bisa juga menggunakan metode aturan cosinus pada sudut C atau T. Pada pembahasan ini kita akan menggunakan metode luas segitiga karena sisi-sisi segitiganya berupa bilangan bulat dengan luasan rumus Heron dan metode luasan biasa.
Cara I : Luas segitiga rumus Heron,
Luas segitiga $ \, = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \, $ dengan $ s = \frac{1}{2}(a+b+c) $.
Segitiga ATC dengan sisi-sisi 6, 8, 8.
$ s = \frac{1}{2}(6 + 8 + 8) = \frac{1}{2}(22) = 11 $
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{11(11-6)(11-8)(11-8)} = \sqrt{11.5.3.3} = 3\sqrt{55} \end{align} $
Luas segitiga ATC juga dapat dihitung dengan rumus :
$ \text{Luas ATC } = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2}.TC . AE = \frac{1}{2}.8 . AE = 4AE $
*). Menentukan panjang AE dengan kedua luas ATC yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \text{Luas ATC } \\ \frac{1}{2}.TC . AE & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ 4AE & = 3\sqrt{55} \\ AE & = \frac{3}{4} \sqrt{55} \end{align} $
Jadi, jarak A ke garis TC adalah $ \frac{3}{4} \sqrt{55} \, $ cm.

Cara II : Luas segitiga rumus biasa,
Perhatikan gambar (c),
Panjang TF dari segitiga TFC,
$ TF = \sqrt{TC^2 - FC^2 } = \sqrt{8^2 - 3^2 } = \sqrt{64 - 9 } = \sqrt{ 55} $
Luas segitiga ATC,
$ \text{Luas ATC } = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2}.AC . TF = \frac{1}{2}. 6 . \sqrt{ 55} = 3\sqrt{ 55} $
*). Menentukan panjang AE dengan kedua luas ATC yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \text{Luas ATC } \\ \frac{1}{2}.TC . AE & = \frac{1}{2}.AC . TF \\ 4AE & = 3\sqrt{55} \\ AE & = \frac{3}{4} \sqrt{55} \end{align} $
Jadi, jarak A ke garis TC adalah $ \frac{3}{4} \sqrt{55} \, $ cm.

6). Tentukan jarak titik A ke garis EF pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 10 cm?
Penyelesaian :
Jika titik A kita proyeksi ke garis EF, maka hasilnya adalah titik E karena AE tegak lurus dengan EF. Sehingga jarak titik A ke garis EF adalah 10 cm.

Untuk konsep jarak lainnya pada dimensi tiga, silahkan baca pada artikel : jarak titik dan bidang pada dimensi tiga, jarak dua garis bersilangan pada dimensi tiga, jarak antara garis dan bidang pada dimensi tiga.

       Bagaimana dengan materi Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang ini, pasti seru ya!!!. Memang tidak mudah untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan jarak pada dimensi tiga. Semuanya butuh latihan dan berlatih terus secara kontinu untuk mempelajarinya. Percayalah, semuanya pasti bisa, tidak ada yang tidak mungkin di dunia ini. (sok menghibur diri saya sebagai penulis, karena menurut saya juga sulit kok mempelajari dimensi tiga, apalagi berkaitan dengan soal-soal seleksi masuk PTN. ^_^). Semoga bermanfaat materi pada artikel ini untuk kita semua.

6 komentar:

  1. Mohon maaf sebelumnya, untuk soal no 4 bukannya BH merupakan diagonal ruang, sehingga nilainya 10 akar 3?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Berlin,

      Terimakasih untuk koreksinya. Ini sangat membantu blog koma sehingga artikelnya menjadi lebih baik. Jika ada kesalahan lagi pada artikel ini atau lainnya, mohon untuk koreksinya. Begitu juga mohon bantuannya untuk pembaca blog koma lainnya ya. Terimakasih sebesar-besarnya.

      Akan segera kami perbaiki kesalahan yang dimaksud.

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Hapus
    2. Terimakasih banyak, situs ini sangat membantu saya dalam mempelajari matematika dan saya yakin yang lain juga sangat terbantu. Sukses selalu konsep matematika;)

      Hapus
    3. Hallow @Berlin,

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Semoga terus bisa membantu.

      Tetap semangat belajarnya.

      Hapus
  2. untuk solusi nomer 3 juga mohon dikoreksi hubungan luas segitiganya EP X AG = EA x EG

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Agrend Kusuma,

      Terimakasih untuk koreksinya demi perbaikan artikel pada blog koma ini. Mohon juga bagi semua pembaca blog koma untuk memberitahukan ke kami sebagai admin jika memang ada artikel lainnya yang masih ada kesalahan, sehingga bisa dengan segera kami perbaiki.

      Sudah kami perbaiki kesalahan yang ada.

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Hapus