Sabtu, 05 November 2016

Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas artikel "fungsi invers dan komposisi", kita lanjutkan dengan pembahasan materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma. Invers fungsi eksponen dan logaritma ini sengaja kita bahas sendiri karena bentuknya yang unik dan perlu teman-teman ketahui bahwa fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers. Ini artinya, invers fungsi eksponen adalah fungsi logartima, dan berlaku juga sebaliknya yaitu invers fungsi logaritma adalah fungsi eksponen.

         Materi-materi yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma yaitu definisi logaritma, definisi invers fungsi, dan invers fungsi komposisi. Mari kita simak penjelasannya berikut ini.

Definisi logaritma
       Definisi logartima :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
dengan $ a, \, b, \, c \, $ adalah bilangan real
dan syaratnya $ a > 0, \, a \neq 1 , \, $ dan $ b > 0 $.
Definisi Invers Fungsi
       Misalkan ada fungsi $ y = f(x) \, $ yang bijektif, maka invers fungsinya adalah :
$ \begin{align} y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1} (y) \end{align} $
Invers Fungsi Komposisi
       Berikut adalah invers fungsi komposisi :
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1} ) (x) \\ (g \circ f)^{-1} (x) & = (f^{-1} \circ g^{-1} ) (x) \end{align} $

Contoh soal invers fungsi eksponen dan logaritma :
1). Tentukan invers dari fungsi $ f(x) = 3^x $?
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan invers fungsi, kita ubah $ f(x) = y $ setelah itu kita gunakan definisi invers fungsi sehingga menjadi $ x = f^{-1} (y) $. Untuk bisa menentukan inversnya, kita harus menggunakan definisi logaritma.
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = 3^x \\ y & = 3^x \end{align} $
Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} b = a^c \Leftrightarrow c = {}^a \log b \end{align} $
Sehingga :
$ \begin{align} y = 3^x \Leftrightarrow x = {}^3 \log y \end{align} $
Artinya $ f^{-1} (y) = {}^3 \log y \, $ atau $ f^{-1} (x) = {}^3 \log x $ .
Jadi, invers dari $ f(x) = 3^x \, $ adalah $ f^{-1} (x) = {}^3 \log x. \, \heartsuit $

2). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ g(x) = 5^{2x + 1} $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} g(x) & = 5^{2x + 1} \\ y & = 5^{2x + 1} \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ 2x + 1 & = {}^5 \log y \\ 2x & = {}^5 \log y - 1 \\ 2x & = {}^5 \log y - {}^5 \log 5 \, \, \, \, \, \, \, \text{(sifat logaritma)} \\ 2x & = {}^5 \log \frac{y}{5} \\ x & = \frac{1}{2} \times {}^5 \log \frac{y}{5} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sifat logaritma)} \\ x & = {}^5 \log \left( \frac{y}{5} \right)^\frac{1}{2} \\ x & = {}^5 \log \sqrt{\frac{y}{5} } \\ g^{-1} (y) & = {}^5 \log \sqrt{\frac{y}{5} } \\ \text{ atau } & \\ g^{-1} (x) & = {}^5 \log \sqrt{\frac{x}{5} } \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ g(x) = 5^{2x + 1} \, $ adalah $ g^{-1} (x) = {}^5 \log \sqrt{\frac{x}{5} } $.


3). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ f(x) = {}^2 \log x $ ?
Penyelesaian :
*). Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} c = {}^a \log b \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = {}^2 \log x \\ y & = {}^2 \log x \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ x & = 2^y \\ f^{-1} (y) & = 2^y \\ \text{atau} & \\ f^{-1} (x) & = 2^x \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ f(x) = {}^2 \log x \, $ adalah $ f^{-1} (x) = 2^x $.

4). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ h(x) = {}^7 \log ( 3x - 5) $ ?
Penyelesaian :
*). Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} c = {}^a \log b \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} h(x) & = {}^7 \log ( 3x - 5) \\ y & = {}^7 \log ( 3x - 5) \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ 3x - 5 & = 7^y \\ 3x & = 7^y + 5 \\ x & = \frac{7^y + 5}{3} \\ x & = \frac{1}{3}(7^y + 5) \\ h^{-1}(y) & = \frac{1}{3}(7^y + 5) \\ \text{atau} & \\ h^{-1}(x) & = \frac{1}{3}(7^x + 5) \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ h(x) = {}^7 \log ( 3x - 5) \, $ adalah $ h^{-1}(x) = \frac{1}{3}(7^x + 5) $.

5). Diketahui fungsi $ f(x) = 3^x \, $ dan $ g(x) = {}^2 \log x $.
Tentukan :
a). $ (f \circ g)^{-1} (x) $
b). $ (g \circ f)^{-1} (x) $
Penyelesaian :
*). Menentukan invers masing-masing fungsi terlebih dahulu :
Invers fungsi $ f(x) = 3^x $ :
$ \begin{align} f(x) & = 3^x \\ y & = 3^x \\ x & = {}^3 \log y \\ f^{-1}(x) & = {}^3 \log x \end{align} $
Invers fungsi $ g(x) = {}^2 \log x $ :
$ \begin{align} g(x) & = {}^2 \log x \\ y & = {}^2 \log x \\ x & = 2^y \\ g^{-1}(x) & = 2^x \end{align} $
*). Menentukan invers komposisi dengan sifat invers komposisinya :
a). Hasil bentuk $ (f \circ g)^{-1} (x) $
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ & = g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}({}^3 \log x ) \\ & = 2^{{}^3 \log x} \end{align} $
Jadi, bentuk $ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) = 2^{{}^3 \log x} \end{align} $

b). Hasil bentuk $ (g \circ f)^{-1} (x) $
$ \begin{align} (g \circ f)^{-1} (x) & = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ & = f^{-1}(g^{-1}(x)) \\ & = f^{-1}(2^x ) \\ & = {}^3 \log 2^x \end{align} $
Jadi, bentuk $ \begin{align} (g \circ f)^{-1} (x) = {}^3 \log 2^x \end{align} $

6). Diketahui fungsi $ f(x) = {}^3 \log x \, $ dan $ g(x) = \frac{5x - 2}{4x + 7} $. Tentukan hasil $ (f \circ g)^{-1} (x) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers masing-masing fungsi :
Invers fungsi $ f(x) = {}^3 \log x $ :
$ \begin{align} f(x) & = {}^3 \log x \\ y & = {}^3 \log x \\ x & = 3^y \\ f^{-1} (x) & = 3^x \end{align} $
Invers fungsi $ g(x) = \frac{5x - 2}{4x + 7} $ :
$ \begin{align} g(x) & = \frac{5x - 2}{4x + 7} \\ y & = \frac{5x - 2}{4x + 7} \\ y(4x + 7) & = 5x - 2 \\ 4xy + 7y & = 5x - 2 \\ 4xy - 5x & = -7y - 2 \\ x(4y - 5) & = -7y - 2 \\ x & = \frac{-7y - 2}{4y - 5} \\ g^{-1} & = \frac{-7x - 2}{4x - 5} \end{align} $
*). Menentukan hasil $ (f \circ g)^{-1} (x) $ :
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1}) (x) \\ & = g^{-1} ( f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1} (3^x) \\ & = \frac{-7 \times 3^x - 2}{4 \times 3^x - 5} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) = \frac{-7 \times 3^x - 2}{4 \times 3^x - 5} \end{align} $

         Demikian pembahasan materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan fungsi dan invers fungsi. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar