Jumat, 18 September 2015

Fungsi Invers

         Blog Koma - Fungsi Invers merupakan suatu fungsi kebalikan dari fungsi awal. Untuk mempelajari materi ini, kita harus menguasai materi Relasi, Fungsi, dan Fungsi Komposisi. Berikut penjelasan tentang fungsi invers.

         Materi Fungsi Invers adalah salah satu materi wajib yang mana soal-soalnya selalu ada untuk ujian nasional dan tes seleksi masuk perguruan tinggi. Penting bagi kita untuk menguasainya, karena akan membantu kita dalam kelulusan nantinya. Untuk soal-soal fungsi invers sebenarnya memiliki beberapa trik khusus dalam menjawabnya terutama untuk soal-soal setingkat seleksi masuk perguruan tinggi seperti SBMPTN. Silahkan teman-teman pelajari kumpulan soal-soal fungsi komposisi dan invers untuk lebih mendalami materi fungsi invers ini.

Penjelasan dan Definisi Fungsi Invers
         Berdasarkan Gambar di atas , kita peroleh beberapa hal atau informasi yaitu :
*). Pertama,
       fungsi $f$ memetakan $x \in A$ ke $y \in B$. Jika fungsi $f$ dinyatakan ke dalam bentuk pasangan berurutan, maka dapat ditulis sebagai berikut. $f = \{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$. Pasangan berurut $(x , y)$ merupakan unsur dari fungsi $f$.
*). Kedua,
       invers fungsi $f$ atau $f^{-1} $ memetakan $y \in B$ ke $x \in A$. Jika invers fungsi $f$ dinyatakan ke dalam pasangan berurutan, maka dapat ditulis $f^{-1} = \{(y , x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$. Pasangan berurut $(y, x)$ merupakan unsur dari invers fungsi $f$.

Definisi Fungsi invers
       Jika fungsi $f$ memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan $f = \{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$, maka invers fungsi $f$ (dilambangkan $f^{-1}$) adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan $f^{-1} = \{(y, x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$.

Dapat ditulis: jika $ y = f(x) , \, $ maka inversnya $ x = f^{-1}(y) $
Cara menentukan fungsi invers dari fungsi awalnya
       Suatu fungsi $f$ akan mempunyai invers, yaitu $f^{-1}$ jika dan hanya jika fungsi $f$ bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, $f$ merupakan fungsi dari A ke B, maka $f^{-1}$ merupakan fungsi invers $f$ jika berlaku $(f^{-1} \circ f)(x) = x $ dan $ (f \circ f^{-1})(x) = x$. Perhatikanlah gambar di bawah ini.
Langkah-langkah menentukan fungsi invers:
1. Buatlah permisalan $f(x) = y$ pada persamaan.
2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh $x$ sebagai fungsi $y$ atau $x = f^{-1}(y)$.
3. Ganti variabel $y$ dengan $x$ pada $f^{-1}(y)$ sehingga diperoleh $f^{-1}(x) = y$ sebagai fungsi invers dari $y = f(x)$.
Contoh
1). Jika diketahui $ f(x) = 2x + 3 , \, $ tentukan inversnya dan nilai $ f^{-1}(1) $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ f(x) = y \, $ dan rubahlah kedalam bentuk $ x = f^{-1}(y) $
$ \begin{align} f(x) & = y \\ 2x + 3 & = y \\ 2x & = y - 3 \\ x & = \frac{y-3}{2} \\ \text{berdasarkan } x & = f^{-1}(y) \\ \text{diperoleh } f^{-1}(y) & = \frac{y-3}{2} \end{align} $
Gantilah variabel $ y $ dengan $ x $, artinya $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = 2x + 3 , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(1) $
$ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \rightarrow f^{-1}(1) = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $
Jadi, diperoleh nilai $ f^{-1}(1) = -1 $

2). Diketahui fungsi $ g(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \, $ , tentukanlah inversnya.!
Penyelesaian :
Misalkan $ g(x) = y \, $ dan rubahlah kedalam bentuk $ x = g^{-1}(y) $
$ \begin{align} g(x) & = \frac{3x-1}{2x+5} \\ y & = \frac{3x-1}{2x+5} \\ y(2x+5) & = 3x -1 \\ 2xy + 5y & = 3x - 1 \\ 2xy - 3x & = -5y - 1 \\ x(2y - 3) & = -5y - 1 \\ x & = \frac{-5y - 1}{2y - 3} \\ \text{berdasarkan } x & = f^{-1}(y) \\ \text{diperoleh } f^{-1}(y) & = \frac{-5y - 1}{2y - 3} \end{align} $
Gantilah variabel $ y $ dengan $ x $, artinya $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $
Cara II : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{-cx + a } $
$ g(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{5x+1}{-2x+3} $
$ g^{-1}(x) = \frac{5x+1}{-2x+3} \times \frac{-1}{-1} = \frac{-5x-1}{2x-3} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $

3). Diketahui $ f(x) = 5x - 3 . \, $ Jika $ f^{-1}(a) = 2 , \, $ maka nilai $ a + 5 = .... $
Penyelesaian :
Menentukan inversnya
$\begin{align} f(x) & = 5x - 3 \\ y & = 5x - 3 \\ 5x & = y + 3 \\ x & = \frac{y+3}{5} \\ f^{-1}(x) & = \frac{x+3}{5} \\ f^{-1}(a) & = \frac{a+3}{5} \end{align} $
Menenukan nilai $ a $
$ \begin{align} f^{-1}(a) & = 2 \\ \frac{a+3}{5} & = 2 \\ a+3 & = 10 \\ a & = 7 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + 5 = 7 + 5 = 12 $

4). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x + 1 . \, $ Apakah fungsi $ g(x) = \frac{x-1}{2} \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) $?
Penyelesaian :
*). Dua fungsi dikatakan salaing invers jika dikomposisikan menghasilkan fungsi identitas ($I(x) = x$).
*). Agar fungsi $ g(x) \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) \, $ , maka harus terpenuhi $ (f \circ g)(x) = x \, $ atau $ (g \circ f)(x) = x . \, $ Cukup cek salah satu saja.
*). cek fungsi komposisinya :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f\left( \frac{x-1}{2} \right) \\ & = 2\left( \frac{x-1}{2} \right) + 1 \\ & = (x-1) + 1 \\ & = x \end{align} $
Karena diperoleh $ (f \circ g)(x) = x, \, $ maka terbukti bahwa fungsi $ g(x) \, $ adalah invers dari fungsi $ f(x) $

Sifat-sifat Fungsi invers
       Beberapa sifat fungsi invers :
1). $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) $ ,
(fungsi invers di invers lagi, maka hasilnya kembali ke awal)
2). $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f )(x) = I(x) = x $
(fungsi awal di invers dengan dirinya sendiri atau kebalikannya menghasilkan fungsi identitas yaitu $ I(x) = x $

Penjelasan definisi invers :
Definisi : $ y = f(x) \rightarrow f^{-1}(y) = x $, artinya ketika fungsinya ($f$) pindah ruas (dari kanan ke kiri atau dari kiri ke kanan), maka fungsi tersebut diberikan invers. misalkan :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) $
$ A = f^{-1}(B) \rightarrow (f^{-1})^{-1} (A) = B \rightarrow f(A) = B $

Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 1 $
a). Tentukan $ f^{-1}(x) $
b). Tentukan $ (f^{-1}(x))^{-1} $
c). Tentukan $ (f \circ f^{-1})(x) $
d). Tentukan $ (f^{-1} \circ f)(x) $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ f^{-1}(x) $
$\begin{align} f(x) & = 2x - 1 \\ y & = 2x - 1 \\ 2x & = y + 1 \\ x & = \frac{y+1}{2} \\ f^{-1}(y) & = \frac{y+1}{2} \end{align} $
sehingga inversnya : $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
b). Menentukan invers dari $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{x+1}{2} \\ y & = \frac{x+1}{2} \\ 2y & = x + 1 \\ x & = 2y - 1 \\ f^{-1}(y) & = 2y -1 \end{align} $
invers dari $ f^{-1} (x) $ adalah $ (f^{-1}(x))^{-1} = 2x -1 , \, $ yang sama dengan $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) , \, $ ini sesuai dengan sifat invers.
c). Menentukan $ (f \circ f^{-1})(x) $
$ \begin{align} (f \circ f^{-1})(x) & = f(f^{-1}(x)) \\ & = f(\frac{x+1}{2}) \\ & = 2\left( \frac{x+1}{2} \right) - 1 \\ & = (x+1) - 1 \\ & = x \end{align} $
Diperoleh : $ (f \circ f^{-1})(x) = x $
d). Menentukan $ (f^{-1} \circ f)(x) $
$\begin{align} (f^{-1} \circ f)(x) & = f^{-1}(f(x)) \\ & = f^{-1}(2x-1) \\ & = \frac{(2x-1)+1}{2} \\ & = \frac{2x}{2} \\ & = x \end{align} $
Diperoleh : $ (f^{-1} \circ f)(x) = x $
Dari hasil c) dan d) terlihat bahwa $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x, \, $ yang sesuai dengan sifat invers.

2). Diketahui fungsi $ f(x-2) = 3x + 5 $. Jika $ f^{-1}(a) = -1 , \, $ maka tentukan nilai $ a^2 -4 $ !
Penyelesaian :
Cara I : Menentukan inversnya terlebih dahulu
Misalkan $ p = x -2 \rightarrow x = p+2 , \, $ substitusi ke fungsinya
$ \begin{align} f(x-2) & = 3x + 5 \\ f(p) & = 3(p+2) + 5 \\ f(p) & = 3p + 11 \end{align} $
sehingga, $ f(x) = 3x + 11 $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = 3x + 11 \\ y & = 3x + 11 \\ 3x & = y - 11 \\ x & = \frac{y - 11}{3} \end{align} $
sehingga inversnya : $ f^{-1}(x) = \frac{x - 11}{3} $
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{x - 11}{3} \\ f^{-1}(a) & = -1 \\ \frac{a - 11}{3} & = -1 \\ a - 11 & = -3 \\ a & = 11 - 3 = 8 \end{align} $
diperoleh nilai $ a = 8 $,
sehingga nilai $ a^2 - 4 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60 $
Jadi, nilai $ a^2 - 4 = 60 $

Cara II : Tanpa mencari inversnya.
*). Gunakan definisi invers : $ A = f(B) \rightarrow f^{-1}(A) = B $
$ f(x-2) = 3x + 5 \rightarrow x-2 = f^{-1}(3x+5) \, $ atau $ f^{-1}(3x+5) = x-2 $
*). Menyamakan bentuk yang diketahui dan yang ditanya.
$ \begin{align} f^{-1}(3x+5) & = x-2 \\ f^{-1}(a) & = -1 \end{align} $
Ruas kanan sama dengan ruas kanan dan ruas kiri sama juga dengan ruas kiri
Diperoleh : $ x - 2 = -1 \, $ dan $ a = 3x + 5 $
$ x - 2 = -1 \rightarrow x = 1 $
Substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke persamaan kedua
$ x = 1 \rightarrow a = 3x + 5 = 3.1 + 5 = 8 $
sehingga nilai $ a^2 - 4 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60 $
Jadi, nilai $ a^2 - 4 = 60 $

3). Diketahui fungsi invers $ f^{-1}\left( \frac{3}{x-1} \right) = \frac{x^2 - 8}{2- x } . \, $ Jika $ f(a) = -3, \, $ maka tentukan nilai $ a + 1 \, $ !
Penyelesaian : Tanpa mencari invernya,
Definisi : $ A = f(B) \rightarrow f^{-1}(A) = B $
sehingga $ f(a) = -3 \rightarrow a = f^{-1}(-3) \, $ atau $ f{-1}(-3) = a $
Menyamakan bentuknya :
$ \begin{align} f^{-1}\left( \frac{3}{x-1} \right) & = \frac{x^2 - 8}{2- x } \\ f^{-1}(-3) & = a \end{align} $
Diperoleh kesamaan : $ \frac{3}{x-1} = -3 \, $ dan $ a = \frac{x^2 - 8}{2- x } $
$ \frac{3}{x-1} = -3 \rightarrow x - 1 = -1 \rightarrow x = 0 $
Substitusi nilai $ x = 0 \, $ ke persamaan kedua,
$ a = \frac{x^2 - 8}{2- x } = \frac{0^2 - 8}{2- 0 } = \frac{ - 8}{2 } = -4 $
diperoleh nilai $ a = -4 $
Sehingga nilai $ a + 1 = -4 + 1 = -3 $
Jadi, nilai $ a + 1 = -3 $
Catatan : yang diubah menggunakan definisi invers boleh fungsi yang diketahui atau fungsi yang ditanyakan seperti soal nomor 2 dan nomor 3.

Invers dari fungsi komposisi
       Dari gambar diagram di atas $f : A \rightarrow B, \, g : B \rightarrow C$ , dengan $f$ dan $g$ berkorespondensi satu-satu sedermikian sehingga $h = g \circ f$, maka $h^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$. Dalam hal ini $(g \circ f)^{-1} = h^{-1} $ disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifat- sifat berikut ini.

$ (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \, $ dan $ (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) $
Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x + 5 \, $ dan $ g(x) = x -1 $. Tentukanlah $ (g \circ f)^{-1}(x) $
Penyelesaian :
*). Menentukan fungsi komposisinya
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(3x + 5) \\ & = (3x + 5) - 1 \\ & = 3x + 4 \end{align} $
*). Menentukan inversnya
misalkan $ y = (g \circ f)(x) $
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = 3x + 4 \\ y & = 3x + 4 \\ 3x & = y - 4 \\ x & = \frac{y-4}{3} \\ f^{-1}(y) & = \frac{y-4}{3} \end{align} $
Jadi, inversnya $ (g \circ f)^{-1}(x) = \frac{x-4}{3} $

2). Diketahui fungsi $ f^{-1}(x) = 2 - x \, $ dan $ g^{-1}(x) = \frac{x}{x-1} . \, $ Tentukan $ (f \circ g)^{-1}(x) $ !
Penyelesaian :
*). Kita langsung menggunakan sifat invers fungsi komposisi
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1}(x) & = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ & = g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}(2-x) \\ & = \frac{(2-x)}{(2-x)-1} \\ & = \frac{2-x}{1-x} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ (f \circ g)^{-1}(x) = \frac{2-x}{1-x} $

Menggambar Grafik Fungsi Invers dan Grafik Fungsi Asalnya
       Grafik fungsi invers ($f^{-1}(x)$) diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi awal ($f(x)$) terhadap garis $ y = x $ , begitu juga sebaliknya, untuk mencari grafik fungsi asalnya ($f(x)$) diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi invers ($f^{-1}(x)$) terhadap garis $ y = x $
Contoh
Diketahui fungsi $ f(x) = 2x-1 , \, $ gambarlah grafik $ f(x) \, $ dan $ f^{-1}(x) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers fungsi
$ \begin{align} f(x) & = 2x-1 \\ y & = 2x-1 \\ 2x & = y + 1 \\ x & = \frac{y+1}{2} \end{align} $
Sehingga, inversnya $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
*). Dari grafik di atas, garis warna biru adalah grafik fungsi $ f(x) = 2x-1 , \, $ garis warna hijau adalah grafik fungsi $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \, $ dan garis warna merah adalah grafik garis $ y = x $
*). Dari grafik di atas, terlihat bahwa grafik $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \, $ (warna hijau) adalah pencerminan dari grafik $ f(x) = 2x-1 \, $ (warna biru) terhadap garis $ y = x \, $ (warna merah).

       Demikian penjelasan tentang fungsi invers, semoga bisa bermanfaat. Materi Relasi, Fungsi, Fungsi komposisi, dan Fungsi invers semuanya saling terkait, jadi sebaiknya kita pelajari semuanya.

3 komentar:

  1. Balasan
    1. trims untuk kunjungannya, semoga tetap bisa membantu.

      Hapus
  2. share ilmunya keren..semoga sehat selalu sekeluarga..supaya bisa terus melanjutkan blog ini

    BalasHapus