Soal Trigonometri 1
Diketahui nilai trigonometri $ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \, $ dan $ \, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2} $.
Tentukan nilai dari $ \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} \, $ adalah ....
Untuk menyelesaikan soal trigonometri 1 ini, kita akan menggunakan beberapa konsep trigonometri berikut ini.
Konsep Trigonometri yang digunakan
*). Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin A = \frac{de}{mi} \, $ dan $ \, \cos A = \frac{sa}{mi} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \, $ atau $ \, \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A $
*). Sudut Rangkap :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A $
$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $
$ \sin A = \frac{de}{mi} \, $ dan $ \, \cos A = \frac{sa}{mi} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \, $ atau $ \, \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A $
*). Sudut Rangkap :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A $
$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $
Pembahasannya :
*). Pertama kita tentukan nilai $ \frac{\sin 2x}{\sin 2y} $ :
Kalikan bentuk $ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \, $ dan $ \, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2} $
Dan gunakan : $ \sin 2x = 2\sin x \cos x \, $ dan $ \, \sin 2y = 2\sin y \cos y $
$\begin{align} \frac{\sin x}{\sin y} \times \frac{\cos x}{\cos y} & = 3 \times \frac{1}{2} \\ \frac{\sin x \cos x}{\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{2\sin x \cos x}{2\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{\sin 2 x }{\sin 2y } & = \frac{3}{2} \end{align} $
*). Menentukan bentuk $ \sin ^2 x \, $ dan $ \cos ^2 x $ :
$ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \rightarrow \sin x = 3\sin y \, $ atau
$ \sin x = \frac{3\sin y}{1} = \frac{de}{mi} $
Sehingga panjang sampingnya $(sa) $ :
$ sa = \sqrt{(mi)^2 - (de)^2} = \sqrt{1^2 - (3\sin y)^2} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } $
gambar segitiganya :
$ \cos x = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1 - 9\sin ^2 y }}{1} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } $
Kita peroleh :
$ \sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y $
$ \cos x = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } \rightarrow \cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y $
*). Menentukan nilai $ \sin ^2 y \, $ dan $ \sin ^2 x $ :
$ \begin{align} \frac{\cos x}{\cos y} & =\frac{1}{2} \\ \cos y & = 2 \cos x \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 y & = 4 \cos ^2 x \\ \cos ^2 y & = 4 (1 - 9\sin ^2 y) \, \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 1 - \sin ^2 y & = 4 - 36\sin ^2 y \\ 35 \sin ^2 y & = 3 \\ \sin ^2 y & = \frac{3}{35} \end{align} $
Sehingga nilai $ \sin ^2 x $
$ \sin ^2 x = 9\sin ^2 y = 9 \times \frac{3}{35} = \frac{27}{35} $
*). Menentukan nilai $ \frac{\cos 2x }{\cos 2 y} \, $ dengan sudut rangkap :
$ \begin{align} \frac{\cos 2x }{\cos 2 y} & = \frac{1 - 2\sin ^2 x}{1 - 2\sin ^2 y} \\ & = \frac{1 - 2 \times \frac{27}{35} }{1 - 2 \times \frac{3}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \times \frac{35}{35} \\ & = \frac{35 - 54 }{ 35 - 6 } \\ & = \frac{-9}{ 29} \end{align} $
*). Menentukan hasil akhir :
$ \begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} & = \frac{3}{2} + \frac{-9}{ 29} \\ & = \frac{3 \times 29}{2 \times 29} + \frac{-9 \times 2}{ 29 \times 2 } \\ & = \frac{87}{58} + \frac{-18}{ 58 } \\ & = \frac{87 - 18}{58} \\ & = \frac{69}{58} \end{align} $
Jadi, nilai $ \begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} = \frac{69}{58} \end{align} $ .
Catatan :
Sebenarnya untuk menentukan bentuk $\sin ^2 x \, $ dan $ \cos ^2 x \, $ bisa juga tanpa menggunakan perbandingan segitiga siku-siku seperti di atas, yaitu cukup menggunakan identitas trigonometri saja.
Diketahui : $ \sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y $
$ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y $
Bentuk $ \cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y \, $ sama dengan hasil cara di atas sebelumnya, namun cara ini lebih sederhana.
Demikian Pembahasan Soal Trigonometri 1. Jika teman-teman memiliki pertanyaan tentang trigonometri, silahkan share di blog koma ini, kita akan bahas bersama-sama. Terima kasih, semoga pembahasan soal trigonometri ini bermanfaat.
