Selasa, 23 Agustus 2016

Rente Dalam Matematika Keuangan

         Blog Koma - Andaikan kita menyimpan sejumlah uang setiap awal bulan di bank dengan jumlah yang sama, dan bank memberikan bunga terhadap simpanan kita. Setelah sekian bulan kita akan menghitung jumlah tabungan yang telah tersimpan. Semisal juga bank tidak membebani biaya administrasi, dapatkah kita menghitung jumlah keseluruhan simpanan uang anda? Untuk menghitung jumlah tabungan dari ilustrasi di atas. dibutuhkan ilmu tentang Rente. Pada artikel ini kita akan membahas Rente Dalam Matematika Keuangan.

         Pengertian Rente: Rente adalah sederetan modal atau angsuran yang dibayarkan atau diterima pada setiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya.
Ada beberapa macam rente yaitu :
a). Rente berdasarkan saat pembayaran angsuran terdiri dari:
$\clubsuit \, $ Rente Pra Numerando adalah rente yang dibayarkan atau diterima di awal periode.
$\clubsuit \, $ Rente Post Numerando adalah rente yang dibayarkan atau diterima di akhir periode.
b). Rente berdasarkan banyaknya angsuran terdiri dari:
$\spadesuit \, $ Rente Terbatas adalah rente yang jumlah angsurannya terbatas.
$\spadesuit \, $ Rente Kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas.
c). Rente berdasarkan langsung tidaknya pembayaran pertama terdiri dari:
$\clubsuit \, $ Rente Langsung adalah rente yang pembayaran pertamanya langsung sesuai perjanjian.
$\clubsuit \, $ Rente yang ditangguhkan adalah rente yang pembayaran pertamanya ditangguhkan beberapa periode.

         Pada materi Rente Dalam Matematika Keuangan ini, kita akan menghitung besarnya nilai akhir (NA) dan nilai tunai (NT). Sehingga penting bagi teman-teman untuk menguasai terlebih dahulu materi "nilai tunai dan nilai akhir". Dan satu lagi yang perlu kita pahami yaitu penghitungan rente menggunakan konsep "bunga majemuk".

Nilai Akhir Rente Pra numerando
       Rente Pra Numerando adalah Rente yang dibayarkan di awal periode, sehingga angsuran terakhir sudah mengalami pembungaan satu periode. Misalkan kita menabung setiap awal periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai akhir (NA) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NA = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NA = M . \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$n$.

Contoh soal Nilai Akhir Rente Pra numerando :
1). Setiap awal bulan Wildan menyimpan uang di Bank Makmur sebesar Rp100.000,00. Jika bank memberikan bunga 6%/bulan, tentukan uang Wildan setelah menabung 20 bulan (Seluruh uangnya diambil di akhir bulan ke-20)!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 100.000, $ i = 6\% = 0,06 \, $/bulan, dan $ n = 20 $.
*). Menentukan nilai akhir (NA) :
$ \begin{align} NA & = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \\ & = \frac{100.000 \times (1+0,06)[(1+0,06)^{20}-1]}{0,06} \\ & = \frac{100.000 \times (1 ,06)[(1 ,06)^{20}-1]}{0,06} \\ & = \frac{106.000 \times [2,207135472]}{0,06} \\ & = 3.899.272,67 \end{align} $
Jadi, total uang Wildan ketika diambil diakhir bulan ke-20 adalah Rp3.899.272,67.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M \times \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \\ & = M \times \text{ kolom 6% dan baris 20} \\ & = 100.000 \times 38,99272668 \\ & = 3.899.272,67 \end{align} $

Nilai Akhir Rente Post numerando
       Rente Pra Numerando adalah Rente yang dibayarkan di akhir periode, sehingga angsuran terakhir tidak mengalami pembungaan satu periode. Misalkan kita menabung setiap akhir periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai akhir (NA) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NA = \frac{M[(1+i)^n-1]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NA = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$(n-1)$.


Contoh soal Nilai Akhir Rente Post numerando :
2). Setiap akhir bulan Wulan menyimpan uang di bank Rp500.000,00 selam 2 tahun. Jika bank memberikan suku bunga 1.5%/bulan, tentukan simpanan total Wulan di bank tersebut!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 500.000, $ i = 1,5\% = 0,015 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan.
*). Menentukan nilai akhir (NA) :
$ \begin{align} NA & = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \\ & = \frac{500.000 \times [(1+0,015)^{24}-1]}{0,015} \\ & = \frac{500.000 \times [(1 ,015)^{24}-1]}{0,015} \\ & = \frac{500.000 \times 0,429502811}{0,015} \\ & = 14.316.760,40 \end{align} $
Jadi, total uang Wulan ketika diambil diakhir bulan ke-24 adalah Rp14.316.760,40.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M + M \times \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \\ & = M+ M \times \text{ kolom 1,5% dan baris (24-1) = 23} \\ & = 500.000 + 500.000 \times 27,63352080 \\ & = 14.316.760,40 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Pra numerando
       Nilai tunai rente Pra numerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Nilai tunai angsuran pertama adalah nilai angsuran itu sendiri, yaitu M. Misalkan kita menabung setiap awal periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai tunai (NT) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NT = \frac{M(1+i)[1 - (1+i)^{-n}]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NT = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$(n-1)$.

Contoh soal Nilai Tunai Rente Pra numerando :
3). Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap awal bulan dari PT SUKSES ABADI sebesar Rp250.000,00 selama 3 tahun. Jika pemberian itu akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 2%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 250.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 3 tahun = 36 bulan.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M(1+i)[1 - (1+i)^{-n}]}{i} \\ & = \frac{250.000 \times (1+0,02)[1 - (1+0,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{250.000 \times (1 ,02)[1 - (1 ,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{255.000 \times [1 - 0,49022315]}{0,02} \\ & = \frac{255.000 \times 0,50977685 }{0,02} \\ & = 6.499.654,83 \end{align} $
Jadi, siswa tersebut menerima seluruh beasiswanya diawal sebesar Rp6.499.654,83.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \\ & = M + M \times \text{ kolom 2% dan baris 36 - 1 = 35} \\ & = 250.000 + 250.000 \times 24,99861933 \\ & = 250.000 + 6249654,83 \\ & = 6.499.654,83 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Post numerando
       Nilai tunai rente Post numerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Misalkan kita menabung setiap akhir periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai tunai (NT) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NT = \frac{M[1 - (1+i)^{-n}]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NT = M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$n$.


Contoh soal Nilai Tunai Rente Pra numerando :
4). Tiap akhir bulan Yayasan Cinta Sejahtera mendapatkan sumbangan dari Badan Kemakmuran Dunia sebesar Rp5.000.000,00 selama 3 tahun berturut-turut. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus di awal dan dikenai bunga sebesar 2%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 3 tahun = 36 bulan.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M [1 - (1+i)^{-n}]}{i} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 - (1+0,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 - (1 ,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 - 0,552070889]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times 0,447929111}{0,02} \\ & = 111.982.277,80 \end{align} $
Jadi, yayasan akan menerima total uang sejumlah Rp111.982.277,80 di awal sehingga tidak perlu menunggu tiga tahun lagi.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \\ & = M \times \text{ kolom 2% dan baris 36 } \\ & = 5.000.000 \times 2296455551 \\ & = 111.982.277,80 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Kekal
       Rente kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas. Nilai akhir rente merupakan deret geometri naik. Oleh karena itu rente kekal tidak ada nilai akhirnya. Nilai tunai rente merupakan deret geometri turun, sehingga nilai tunai rente kekal memiliki nilai (konvergen).

a). Nilai Tunai Rente Kekal Pra Numerando
       $ \begin{align} NT = \frac{M(1+i)}{i} \end{align} \, $ atau $ \, \begin{align} NT = \frac{M }{i} + M \end{align} $

a). Nilai Tunai Rente Kekal Post Numerando
       $ \begin{align} NT = \frac{M}{i} \end{align} $

Contoh soal rente kekal :
5). Setiap awal bulan, Budi akan mendapatkan beasiswa dari PT ABC sebesar Rp175.000,00 dalam jangka waktu yang tak terbatas. PT. ABC tak mau repot. Oleh karena itu, beasiswa akan diberikan sekaligus namun harus dikenai bunga sebesar 1%/ bulan. Tentukan beasiswa total yg diterima Budi!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 175.000, $ i = 1\% = 0,01 \, $/bulan, dan $ n = \, $ tak terbatas.
*). Karena waktunya tak terbatas, maka termasuk rente kekal. Dan termasuk rente kekal pra numerando karena penerimaannya di awal.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M }{i} + M \\ & = \frac{175.000 }{0,01} + 175.000 \\ & = 17.500.000 + 175.000 \\ & = 17.675.000 \end{align} $
Jadi, total beasiswa yang diterima oleh budi di awal adalah Rp17.675.000,00.

6). Setiap akhir tahun yayasan A akan mendapatkan sumbangan dari Bank Dunia Sebesar Rp3.500.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank Dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 17,5%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yg diterima yayasan A tersebut!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 3.500.000, $ i = 17,5\% = 0,175 \, $/tahun, dan $ n = \, $ tak terbatas.
*). Karena waktunya tak terbatas, maka termasuk rente kekal. Dan termasuk rente kekal post numerando karena penerimaannya di akhir setiap periode.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M }{i} \\ & = \frac{3.500.000 }{0,175} \\ & = 20.000.000 \end{align} $
Jadi, yayasan A akan menerima total sumbangan sebesar Rp20.000.000,00.

Catatan :
Untuk rumus-rumus yang ada di atas, tentu kurang lengkap rasanya kalau kita tidak mengetahui asal-usul rumus tersebut. Sehingga pada artikel berikutnya akan kami share pembuktian rumus rente. Silahkan baca artikelnya dengan judul "Pembuktian Rumus Rente dalam Matematika Keuangan".

         Demikian pembahasan materi Rente Dalam Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Untuk materi berikutnya, silahkan pelajari yang masih terkait dengan matematika keuangan yaitu anuitas.

2 komentar: