Pertumbuhan dalam Matematika

         Blog Koma - Apa sih yang dimaksud dengan pertumbuhan khususnya dalam matematika? Baik, secara garis besar, Pertumbuhan dalam Matematika adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin meningkat (semakin banyak) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Pertumbuhan yang akan dibahas lebih banyak pada pertumbuhan mahluk hidup seperti pertumbuhan pada manusia, bakteri, dan lainnya. Peningkatan yang terjadi pada Pertumbuhan dalam Matematika mengikuti pola atau aturan tertentu yang biasanya sesuai dengan barisan atau deret aritmatika dan barisan atau deret geometri. Untuk memudahkan mempelajari materi pertumbuhan ini, sebaiknya teman-teman kuasai dulu materi "barisan dan deret aritmatika" dan "barisan dan deret geometri".

         Adapun Ilustrasi pertumbuhan misalnya terjadi pada model multilevel marketing dimana setiap anggota harus merekrut dua anggota. Misalkan seseorang berhasil merekrut dua anggota, maka kedua anggota tersebut berada pada tingkat 1. Selanjutnya jika kedua anggota pada tingkat 1 masing-masing berhasil merekrut dua anggota, maka keempat anggota dari tingkat 1 berada pada tingkat 2 dan anggota yang Anda memiliki sebanyak 6 orang. Selanjutnya, jika keempat anggota pada level 2 masing-masing merekrut 2 anggota, maka anggota pada tingkat 3 sebanyak 8 orang dan anggota Anda mencapai 14 orang. Tentunya Anda bisa menghitung banyak anggota yang Anda miliki jika tingkat Anda semakin tinggi.

         Adapun Ilustrasi lain pertumbuhan misalkan terjadi pada pembelahan bakteri, dimana satu bakteri dapat membelah menjadi dua bakteri dan untuk membelah diri dibutuhkan waktu 1 jam. Dengan kata lain dari satu bakteri setelah 1 jam akan diperoleh dua bakteri. Selanjutnya, jika setiap bakteri dapat membelah diri menjadi dua bakteri baru, maka setelah 2 jam akan diperoleh empat bakteri, dan seterusnya.

Rumus pada Barisan dan deret aritmatika serta geometri
       Untuk mengingatkan kembali, kami akan mereview sedikit rumus suku ke-$n$ dan jumlah $ n $ suku pertama ($s_n$) barisan dan deret artimatika serta geometri :
*). Barisan dan deret aritmatika,
$ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ \, s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
*). Barisan dan deret geometri,
$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ \, s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $

Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama.
$ b = \, $ beda = $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = ...= u_n - u_{n-1}$ .
$ r = \, $ rasio = $ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = ... = \frac{u_n}{u_{n-1}} $ .

Contoh soal pertumbuhan dalam matematika :
1). Sebuah penitipan kucing peliharaan mengalami peningkatan penitipan ketika mendekati hari raya besar yang terjadi biasanya 10 hari sebelum hari H. Jika peningkatan setiap harinya selalu tetap, diketahui pada hari kedua ada 4 kucing yang dititipkan oleh pelanggan dan pada hari keenam ada 16 kucing yang dititipkan, maka tentukan :
a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh.
b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya.
c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari.

Penyelesaian :
*). Karena peningkatan selalu tetap, maka pertumbuhan pada kasus ini mengikuti aturan barisan dan deret aritmatika.
*). Diketahui : $ u_2 = 4 \, $ dan $ u_6 = 16 $.
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $
$ u_2 = 4 \rightarrow a + b = 4 \, $ ....pers(i)
$ u_6 = 16 \rightarrow a + 5b = 16 \, $ ....pers(ii)
Eleiminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 5b = 16 & \\ a + b = 4 & - \\ \hline 4b = 12 & \\ b = 3 & \end{array} $
pers(i) : $ a + b = 4 \rightarrow a + 3 = 4 \rightarrow a = 1 $.
*). Menyelesaikan soal :
a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh ($u_{10}$).
$ u_{10} = a + 9b = 1 + 9 \times 3 = 1 + 27 = 28 \, $ ekor kucing.

b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya.
hari pertama = 1 ,
hari kedua = 1 + 3 = 4 ekor kucing,
hari ke-3 = 4 + 3 = 7 ekor kucing,
hari ke-4 = 7 + 3 = 10 ekor kucing,
hari ke-5 = 10 + 3 = 13 ekor kucing,
hari ke-6 = 13 + 3 = 16 ekor kucing,
hari ke-7 = 16 + 3 = 19 ekor kucing,
hari ke-8 = 19 + 3 = 22 ekor kucing,
hari ke-9 = 22 + 3 = 25 ekor kucing,
hari ke-10 = 25 + 3 = 28 ekor kucing.

c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari ($s_{10}$).
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_{10} & = \frac{10}{2}(2a + (10-1)b) \\ & = 5(2a + (9)b) \\ & = 5(2 \times 1 + 9 \times 3) \\ & = 5(2 + 27) \\ & = 5 \times (29) \\ & = 145 \end{align} $
Artinya selama 10 hari pertama ada 145 ekor kucing yang dititipkan pelanggan ke penitipan kucing tersebut.


       Bagaimana dengan pertumbuhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk pertumbuhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan pertumbuhan penduduk suatu tempat setiap tahunnya meningkat sebesar $ i \, $ (dimana $i$ dalam %), dan banyak penduduk di awal sebanyak $ A_0 \, $ serta banyak penduduk setelah $ n \, $ tahun kita misalkan $ A_n $ , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:
setelah tahun pertama ($A_1$):
$ A_1 = A_0 + i \times A_0 = A_0(1 + i) $
setelah tahun kedua ($A_2$):
$ A_2 = A_1 + i \times A_1 = A_1(1 + i) = A_0(1 + i)(1+i) = A_0(1+i)^2 $
setelah tahun ke-3 ($A_3$):
$ A_3 = A_2 + i \times A_2 = A_2(1 + i) = A_0(1 + i)^2(1+i) = A_0(1+i)^3 $
dan seterusnya sampai
setelah tahun ke-$n$ ($A_n$):
$ A_n = A_{n-1} + i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 + i) = A_0(1 + i)^{n-1}(1+i) = A_0(1+i)^n $

Dari bentuk $ A_n = A_0 (1 + i)^n \, $ sebenarnya mirip dengan barisan geometri yaitu $ u_n = ar^{n-1} \, $ dengan $ r = 1 + i $. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus pertumbuhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu :
suku kedua pada barisan geometri = $ ar^{2-1} = ar^1 = ar \, $ dan pertumbuhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) = $ A_0(1+i)^1 = A_0(1+i) $.

Rumus Pertumbuhan dalam Matematika
       Adapaun rumus pertumbuhan setelah tahun ke-$n$ yaitu :
*). Jika diketahui persentase ($i$) :
$ A_n = A_0(1+i)^n $
*). Jika diketahui kelipatannya langsung (rasio) :
$A_n = A_0(r)^n $.
dengan $ r > 1 $

Keterangan :
$A_0 = \, $ jumlah penduduk/objek lainnya diawal
$A_n = \, $ jumlah penduduk/objek lainnya setelah tahun ke-$n$ atau periode ke-$n$
$i = \, $ persentase kenaikannya/pertumbuhannya
$r = \, $ kelipatan kenaikannya/pertumbuhannya (rasio)

Contoh soal pertumbuhan :
2). Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 1% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2009, penduduk di kota tersebut berbanyak 100.000 orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 2010 dan tahun 2020?

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100.000 $ dan $ i = 1\% = 0,01 $
*). Menentukan banyak penduduk pada tahun 2010 :
Tahun 2010 artinya satu tahun setelah tahun 2009, sehingga $ n = 1 $
atau $ n = 2010 - 2009 = 1 $
banyak penduduk tahun 2010 = $ A_1 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1+i)^n \\ A_1 & = 100.000 \times (1+0,01)^1 \\ & = 100.000 \times (1 ,01) \\ & = 101.000 \end{align} $
Jadi, jumlah penduduk tahun 2010 adalah 101.000 jiwa.
*). Menentukan banyak penduduk pada tahun 2020 :
Tahun 2020 artinya 11 tahun setelah tahun 2009, sehingga $ n = 11 $
atau $ n = 2020 - 2009 = 11 $
banyak penduduk tahun 2020 = $ A_{11} $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1+i)^n \\ A_{11} & = 100.000 \times (1+0,01)^{11} \\ & = 100.000 \times (1 ,01)^{11} \\ & = 100.000 \times 1,115668347 \\ & = 111.566,8347 \\ & = 111.567 \, \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align} $
Jadi, jumlah penduduk tahun 2020 adalah 111.567 jiwa.

3). Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menujukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri menjadi 2 dalam waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. Tentukan banyak bakteri setelah 20 jam!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1.000 \, $ dan $ r = 2 $
Pembelahan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 20 jam terjadi 10 kali pembelahan.
atau $ n = \frac{20}{2} = 10 $.
*). Menentukan banyak bakteri setelah 20 jam ($A_{10}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_{10} & = 1 .000 \times (2)^{10} \\ & = 1 .000 \times 1.024 \\ & = 1.024.000 \end{align} $
Jadi, ada 1.024.000 bakteri setelah 20 jam.

         Demikian pembahasan materi Pertumbuhan dalam Matematika beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan Peluruhan dalam Matematika. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

6 komentar:

  1. Balasan
    1. hallow @theodorus,

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Semoga selalu bisa memberikan manfaat.

      Hapus
  2. Thanks for give information to us...

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hellow,

      You are wellcome.

      Thanks for visiting "blog koma".

      Hapus
  3. Terimakasih sangat membantu untuk ulangan bab ini

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @MHT,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Selamat belajar.

      Hapus