Kamis, 10 September 2015

Barisan dan Deret Aritmetika

         Blog Koma - Barisan dan Deret Aritmetika membahas khusus tentang kumpulan suatu bilangan yang memiliki pola tersendiri. Disini akan dibedakan tentang barisan dan deret. Adapun materi yang akan kita pelajari pada barisan dan deret aritmetika adalah barisan, sisipan, suku tengah, dan jumlah $ n \, $ suku pertama suatu deret aritmetika. Selain barisan dan deret aritmetika, juga akan dibahas tentang barisan dan deret geometri, silahkan dibaca pada artikel "Barisan dan Deret Geometri". Untuk lebih jelasnya, mari kita simak penjelasan masing-masing berikut ini.
Barisan Aritmetika
Pengertian barisan
       Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk aljabar) yang disusun sehingga membentuk suku-suku yang dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola tertentu. Bentuknya disusun sebagai berikut :
                     $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $
Keterangan :
$ u_1 \, $ artinya suku ke-1 (suku pertama)
$ u_2 \, $ artinya suku ke-2 (suku kedua)
dan seterusnya....

Contoh : Berikut beberapa contoh barisan!
1). Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, ....
Keterangan :
suku ke-1 (suku pertama) adalah 1 ($u_1 = 1$),
suku ke-2 (suku kedua) adalah 3 ($u_2=3$),
suku ke-3 (suku ketiga) adalah 5 ($u_3=5$),
dan seterusnya ....
2). Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, ....
3). Barisan sebarang : 1, 5, 3, -2, 5, 7, ...

Pengertian barisan aritmetika
       Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai selisih yang sama itu dinamakan bedanya yang disimbulkan dengan huruf $ \, b \, $ .
Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $
Cara menghitung bedanya ($b$) adalah
$ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4 - u_3 = .....= u_n - u_{n-1} \, $

Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya adalah $ \, u_n = a + (n-1)b $
dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ b $ = bedanya, dan $ u_n $ = suku ke-$n$

Dari rumus suku ke-$n\, $ nya, dapat disusun barisan aritmetikanya,
$ u_n = a + (n-1)b $
$ u_1 = a + (1-1)b = a $
$ u_2 = a + (2-1)b = a + b $
$ u_3 = a + (3-1)b = a + 2b $
$ u_4 = a + (4-1)b = a + 3b $
$ u_5 = a + (5-1)b = a + 4b $
dan seterusnya .....
sehingga barisan aritmetikanya : $ a, \, a+b, \, a+2b, \, a+3b, \, .... $

Contoh :
1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan aritmetika?
a). 1, 3, 5, 7, ..... b). 2, 5, 8, 11, 14, ....
c). 1, 2, 5, 7, 8, .... d). 3, 5, 6, 2, 12, .... e). 4, 2, 0, -2, -4, ....
Penyelesaian :
Disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada.
a). $ \underbrace{1, \, 3}_{+2} \underbrace{, \, 5 }_{+2} \underbrace{, \, 7 }_{+2} , .... $
Karena selisihnya selalu sama antara dua suku yang berdekatan, maka barisan ini termasuk barisan aritmetika dengan bedanya 2. Cara mencari bedanya : $ b = 3-1 = 2 \, $ atau $ b = 5 - 3 = 2 \, $ atau $ b = 7 - 5 = 2 \, $ dan seterusnya.
b). $ \underbrace{2, \, 5}_{+3} \underbrace{, \, 8 }_{+3} \underbrace{, \, 11 }_{+3} \underbrace{, \, 14 }_{+3} , .... $
Selisihnya sama, sehingga termasuk barisan aritmetika dengan bedanya 3.
c). $ \underbrace{1, \, 2}_{+1} \underbrace{, \, 5 }_{+3} \underbrace{, \, 7 }_{+2} \underbrace{, \, 8 }_{+1} , .... $
Selisihnya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan aritmetika.
d). $ \underbrace{3, \, 5}_{+2} \underbrace{, \, 6 }_{+1} \underbrace{, \, 2 }_{-4} \underbrace{, \, 12 }_{+10} , .... $
Selisihnya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan aritmetika.
e). $ \underbrace{4, \, 2}_{-2} \underbrace{, \, 0 }_{-2} \underbrace{, \, -2 }_{-2} \underbrace{, \, -4 }_{-2} , .... $
Selisihnya sama, sehingga termasuk barisan aritmetika dengan bedanya -2. Cara mencari bedanya :
$ b = u_2 - u_1 = 2 -4 = -2 \, $ atau $ b = u_3 - u_2 = 0 - 2 = -2 \, $ dan seterusnya.

2). Tentukan suku ke-101 dari barisan aritmetika -1, 3, 7, 11, 15, ....?
Penyelesaian :
*). dari barisannya diperoleh $ a = -1 \, $ dan $ b = 7-3 = 4 $
*). Menentukan suku ke-101 dengan $ u_n = a + (n-1)b $
$ u_{101} = a + (101-1)b = -1 + 100 \times 4 = -1 + 400 = 399 $
Jadi, suku ke-101 nya adalah 399 ($u_{101} = 399$).

3). Diketahui suku ke-2 dan suku ke-4 suatu barisan aritmetika berturut-turut 6 dan 14. Tentukan nilai suku ke-11 nya!
Penyelesaian : diketahui $ u_2 = 6 \, $ dan $ u_4 = 14 $
Untuk menentukan nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai $ a \, $ dan bedanya ($b$) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui.
*). Rumus suku ke-$n\, \, : \, \, u_n = a+ (n-1)b $
$ u_4 = a+(4-1)b = a + 3b \rightarrow a + 3b = 14 \, $ .... pers(i)
$ u_2 = a+(2-1)b = a + b \rightarrow a + b = 6 \, $ .... pers(ii)
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dengan eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} a + 3b = 14 & \\ a + b = 6 & - \\ \hline 2b = 8 & \\ b = 4 & \end{array} $
Pers(ii) : $ a + b = 6 \rightarrow a + 4 = 6 \rightarrow a = 2 $
*). Menentukan suku ke-11
$ u_{11} = a+(11-1)b = 2 + 10 \times 4 = 2 + 40 = 42 $
Jadi, suku ke-11 nya adalah 42.

4). Tentukan banyak bilangan antara 1 sampai 500 yang habis dibagi oleh 3 !
Penyelsaian :
*). Kita daftar dulu barisan bilangan yang habis dibagi 3 antara 1 sampai 500
barisannya : 3, 6, 9, 12, ... , 498
diperoleh $ a = 3 \, $ dan $ b = 6 -3 = 3 $
*). Untuk menentukan banyak suku, kita gunakan suku terakhirnya.
Suku terakhir = 498 artinya $ u_n = 498 $
$ \begin{align} u_n & = 498 \\ a + (n-1)b & = 498 \\ 3 + (n-1)3 & = 498 \\ 3 + 3n - 3 & = 498 \\ 3n & = 498 \\ n & = \frac{498}{3} = 166 \end{align} $
artinya suku terakhir adalah suku ke-166, ini menandakan bahwa banyaknya suku ada 166 suku.

5). Jika suku-suku $ 2k +2 , \, k+7 , \, $ dan $ \, 3k+6 \, $ merupakan tiga suku pertama berurutan barisan aritmetika, tentukan besarnya suku ke-11?
Penyelesaian :
Diketahui : $ u_1 = 2k +1, \, u_2 = k+7, \, $ dan $ \, u_3 = 3k+6 $
*) Tiga suku berurutan barisan aritmetika, selisihnya sama :
$ \begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ (k+7) - (2k+2) & = (3k+6)- (k+7) \\ -k + 5 & = 2k - 1 \\ 5 + 1 & = 2k + k \\ 6 & = 3k \\ k & = \frac{6}{3} = 2 \end{align} $
diperoleh nilai $ k = 2 $
*). Menentukan besarnya suku pertama ($a$) dan bedanya ($b$) dengan $ k = 2 $
$ a = u_1 = 2k+2 = 2.2 + 2 = 6 $
$ u_2 = k + 7 = 2 + 7 = 9 $
$ b = u_2 - u_1 = 9 - 6 = 3 $
*). Menentukan nilai suku ke-11
$\begin{align} u_n & = a + (n-1)b \\ u_{11} & = 6 + (11-1)3 \\ & = 6 + 30 \\ & = 36 \end{align} $
Jadi, nilai suku ke-11 nya adalah 36.

Suku Tengah barisan aritmetika
Menentukan suku tengah ($u_t$)
       Barisan aritmetika mempunyai suku tengah dengan syarat banyak suku harus ganjil. Suku tengah disimbolkan $ u_t \, $ yang dapat dicari nilainya dari barisan yang banyak sukunya berhingga.
Rumus suku tengah : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $
Keterangan :
$ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya,
$ u_n \, $ = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya.

Contoh :
Tentukan nilai suku tengah dari setiap barisan aritmetika berikut !
a). 1, 3, 5, 7, 9 b). 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 c). 3, 5, 7, 9, ... , 2015
Penyelesaian :
Untuk banyak sukunya sedikit seperti soal bagian a dan b bisa langsung ditentukan suku tengahnya. Akan tetapi untuk soal bagian c kita tidak bisa langsung menentukan suku tengahnya sehingga harus menggunakan rumusnya.
a). Suku tengahnya adalah 5, caranya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5 $
b). Suku tengahnya adalah 8, caranya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8 $
c). Suku tengahnya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{3 + 2015}{2} = 1009 $

Sisipan pada barisan aritmetika
Menentukan barisan baru setelah disisipkan $ k \, $ suku
       Misalkan awalnya ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, .... $
Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sebanyak $ k \, $ suku, maka akan terbentuk barisan baru yang tetap dalam bentuk barisan aritmetika. Di sini yang sangat berperan penting adalah terbentuknya beda baru setelah disisipkan.
       Beda barunya : $ b^* = \frac{b}{k+1} $
Keterangan :
$ b \, $ = beda awal dari barisan sebelum disisipkan
$ b^* \, $ = beda baru setelah barsian disisipkan (beda barisan baru)
$ k \, $ = banyak suku yang disisipkan.

Contoh :
Diketahui barisan 1, 9, 17, 25, .... . Setiap antara dua suku disisipkan 3 bilangan. Tentukan barisan baru yang terbentuk?
Penyelesaian :
Untuk menyisipkan 3 bilangan, kita tidak boleh menyisipkan sebarang bilangan, karena barisan baru yang terbentuk harus tetap berbentuk barisan aritmetika. Agar dijamin tetap terbentuk barisan aritmetika, maka kita harus menggunakan rumus untuk mencari beda barunya.
*). Dari barisan 1, 9, 17, 25, .... diperoleh beda awal $ b = 9 - 1 = 8 $
*). akan disisipkan 3 bilangan, artinya $ k = 3 $
Sehingga beda barunya : $ b^* = \frac{b}{k+1} = \frac{8}{3+1} = \frac{8}{4} = 2 $
Barisan barunya dengan beda baru 2 adalah :
$ 1, \underbrace{ 3, 5, 7}_{\text{sisipan}} , 9 , \underbrace{ 11, 13, 15}_{\text{sisipan}} , 17 , \underbrace{ 19, 21, 23}_{\text{sisipan}} , 25, .... $
dimana barisan yang baru ini juga berbentuk barisan aritmetika.

Deret aritmetika
Jumlah $ n \, $ suku pertama deret aritmetika
       Deret aritmetika merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan aritmetika. Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga ($ n \, $ suku pertama). Simbol yang digunakan adalah $ s_n \, $ yang artinya jumlah $ n \, $ suku pertama.
Misalkan :
$ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku pertama)
$ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (jumlah 2 suku pertama)
$ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (jumlah 3 suku pertama)
$ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah 4 suku pertama)
dan seterusnya.

Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n \, $ suku pertama berdasarkan :
*). Diketahui suku pertama ($u_1$) dan suku terakhirnya ($u_n$),
              $ s_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) $
*). Diketahui suku pertama ($u_1 = a $) dan bedanya ($b$),
              $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
*). Diketahui banyak suku ($n \, $ suku) dan suku tengahnya ($u_t$),
Rumus suku tengahnya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $
Rumus jumlahnya : $ s_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = n . \frac{u_1 + u_n}{2} = n . u_t $
Sehingga : $ s_n = n.u_t $

Ketiga rumus $ s_n \, $ di atas memberikan hasil yang sama. Jika sobat tidak ingin mengingat ketiganya, cukup ingat rumus kedua saja yaitu $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

Contoh :
1). Tentukan jumlah 11 suku pertama dari barisan 2, 4, 6, 8, ....?
Penyelesaian :
*). Dari barisan diperoleh $ a = 2 \, $ dan $ b = 4-2 = 2 $
Jumlah 11 suku pertamanya :
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_{11} & = \frac{11}{2}(2.2 + (11-1)2) \\ & = \frac{11}{2}(4 + 20) \\ & = \frac{11}{2}(24) \\ & = 11 . 12 = 132 \end{align} $

2). Diketahui suatu barisan aritmetika yang terdiri dari 11 suku dengan suku tengahnya adalah 34. Tentukan jumlah 11 suku pertama barisan tersebut.!
Penyelesaian :
Diketahui $ n = 11 \, $ dan $ u_t = 34 $
Sehingga jumlah 11 suku pertamanya adalah :
$ s_n = n.u_t \rightarrow s_{11} = 11 . 34 = 374 $

3). Tentukan jumlah semua bilangan antara 5 sampai 200 yang habis dibagi 4!
Penyelesaian :
*). Pertama kita daftar dulu bilangan-bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampai 200.
Bilangannya : 8, 12, 16 ... , 196
dengan $ a = 8 \, $ dan $ b = 8 - 4 = 4 $
*). Menentukan banyaknya suku dengan menggunakan suku terakhir ($u_n = 196$)
$ \begin{align} u_n & = 196 \\ a + (n-1)b & = 196 \\ 8 + (n-1)4 & = 196 \\ 8 + 4n - 4 & = 196 \\ 4n & = 192 \\ n & = \frac{192}{4} = 48 \end{align} $
artinya ada 48 bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampai 200 .
Sehingga jumlah semua bilangan $ 8 + 12 + 16 + .... + 196 \, $ yang ada 48 suku
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) \\ s_{48} & = \frac{48}{2}(8 + 196) \\ & = 24 \times 204 = 4896 \end{align} $
Jadi, jumlah semua bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampi 200 adalah 4.896

         Barisan dan deret Aritmetika juga sering dikaitkan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat dalam penyelesaian suatu soal SBMPTN atau soal-soal masuk perguruan tinggi negeri. Silahkan juga baca materi mengenai persaman dan fungsi kuadrat.

3 komentar: